30_inducao_e_indutancia

Prévia do material em texto

Indução e Indutância
Cap. 30
Copyright © 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
30-1 Lei de Faraday e Lei de Lenz
1. A corrente é observada apenas se existe um movimento relativo entre a 
espira e o ímã; a corrente desaparece no momento em que o movimento 
relativo deixa de existir.
2. Quanto mais rápido o movimento, maior a corrente.
3. Se, quando aproximamos da espira o polo norte do ímã, a corrente tem o 
sentido horário, quando afastamos o polo norte do ímã, a corrente tem o 
sentido anti-horário. Nesse caso, quando aproximamos da espira o polo sul 
do ímã, a corrente tem o sentido anti-horário, e quando afastamos da espira 
o polo sul do ímã, a corrente tem o sentido horário.
© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Primeiro Experimento. A Figura mostra uma espira de 
material condutor ligada a um amperímetro. Como não 
existe bateria ou outra fonte de tensão no circuito, não há 
corrente. Entretanto, quando aproximamos da espira um 
ímã em forma de barra, o amperímetro indica a passagem 
de uma corrente. A corrente desaparece quando o ímã 
para. Quando afastamos o ímã da espira, a corrente torna 
a aparecer, no sentido contrário. Repetindo o experimento 
algumas vezes, chegamos às seguintes conclusões:
30-1 Lei de Faraday e Lei de Lenz
Observamos uma corrente induzida (e, portanto, uma força eletromotriz 
induzida) quando a corrente na espira da direita está variando (aumentando 
ou diminuindo), mas não quando é constante (com a chave permanentemente 
aberta ou permanentemente fechada). A força eletromotriz induzida e a 
corrente induzida nesses experimentos são aparentemente causadas pela 
variação de alguma coisa, mas qual é essa “coisa”? Faraday encontrou a 
resposta.
© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Segundo Experimento. Para esse experimento, 
usamos o arranjo da Figura, com duas espiras 
condutoras próximas uma da outra, mas sem se 
tocarem. Quando a chave S é fechada, fazendo 
passar uma corrente na espira da direita, o 
amperímetro registra, por um breve instante, uma 
corrente na espira da esquerda. Quando a chave é 
aberta, o instrumento também registra uma corrente, 
no sentido oposto.
30-1 Lei de Faraday e Lei de Lenz
O fluxo magnético ΦB através de uma área A em um campo magnético B é 
definido como
Onde a integral é tomada sobre a área. A unidade SI para fluxo magnético é o 
weber, onde 1 Wb = 1 T  m2.
Se B é perpendicular à área e uniforme, o fluxo é
Lei de Indução de Faraday
© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Faraday descobriu que uma força eletromotriz e uma corrente 
podem ser induzidas em uma espira, como em nossos dois 
experimentos, fazendo variar a quantidade de campo 
magnético que atravessa a espira.
30-1 Lei de Faraday e Lei de Lenz
Lei de Indução de Faraday
A FEM induzida tende a se opor à mudança de 
fluxo e o sinal negativo indica esta oposição. Este 
sinal de menos é conhecido como Lei de Lenz.
© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
O módulo da força eletromotriz induzida em uma espira condutora é igual à taxa 
de variação, com o tempo, do fluxo magnético ΦB que atravessa a espira.
Lei de Faraday. Usando a definição de fluxo magnético, podemos 
enunciar a lei de Faraday de um modo mais rigoroso:
30-1 Lei de Faraday e Lei de Lenz
Lei de Lenz
A corrente induzida tem um sentido tal que o fluxo magnético devido a esta 
corrente induzida se opõe à alteração no fluxo magnético que induz a corrente. A 
força eletromotriz induzida tem um sentido compatível com o sentido da corrente 
induzida.
Lei de Lenz na prática. Como o 
magneto se move em direção à 
espira, uma corrente é induzida na 
espira. A corrente produz seu próprio 
campo magnético, com momento de 
dipolo magnético μ orientado de 
modos a se opor ao movimento do 
magneto. Então a corrente induzida 
deve ser no sentido anti-horário como 
mostrado na figura.
© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
30-1 Lei de Faraday e Lei de Lenz
Lei de Lenz
© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
O sentido da corrente i induzida em uma espira é tal que o campo magnético Bind produzido pela 
corrente se opõe à variação do campo magnético B que induziu a corrente. O campo Bind sempre 
tem o sentido oposto ao sentido de B, se está aumentando (a, c), e o mesmo sentido que B, se 
está diminuindo (b, d). A regra da mão direita fornece o sentido da corrente induzida a partir do 
sentido do campo induzido.
30-1 Lei de Faraday e Lei de Lenz
Lei de Lenz
© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Variação do Fluxo. Então existe um movimento relativo entre um campo 
magnético e uma espira condutora; o fluxo do campo através da espira varia 
com o tempo. (aqui o fluxo varia porque a parte da espira que está imersa no 
campo magnético varia).
Potência. Para puxar a espira com velocidade constante v, é preciso
aplicar à espira uma força constante F pois a espira está sujeita a uma força 
magnética de mesmo módulo e sentido oposto. A taxa com a qual a força 
aplicada realiza trabalho − ou seja, a potência desenvolvida pela força − é 
dada por
em que F é o módulo da força aplicada. 
30-2 Indução e Transferências de Energia
© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Na Figura uma espira retangular de largura L está 
parcialmente imersa em um campo magnético externo 
uniforme perpendicular ao plano da espira. O campo 
pode ser produzido, por exemplo, por um grande 
eletroímã. As retas tracejadas da Figura mostram os 
limites do campo magnético; o efeito da bordas é 
considerado desprezível. Suponha que a espira seja 
puxada para a direita com velocidade constante v.
Força Eletromotriz Induzida. Para determinar o valor da 
corrente, começamos por aplicar a lei de Faraday. No 
instante em que o comprimento da parte da espira que 
ainda está na região onde existe campo magnético é x, a 
área da parte da espira que ainda está na região onde 
existe campo magnético é Lx. Nesse caso, o valor absoluto 
do fluxo através da bobina é
Quando x diminui, o fluxo diminui. De acordo com a lei de 
Faraday, a diminuição do fluxo faz com que uma força 
eletromotriz seja induzida na espira. Podemos escrever o 
valor absoluto da força eletromotriz como
em que substituímos dx/dt por v, a velocidade com a qual a 
espira está se movendo.
30-2 Indução e Transferências de Energia
Diagrama esquemático 
da espira da Figura 
acima enquanto está se 
movendo.
© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
30-2 Indução e Transferências de Energia
Corrente Induzida. A figura (parte de baixo) mostra a 
espira como um circuito: a FEM induzida está 
representada à esquerda, e a resistência equivalente R 
da espira está representada à direita. Para calcular o 
módulo da corrente induzida podemos aplicar a 
equação
Na Fig. (em cima), as forças defletoras agindo sobre os 
3 segmentos da espira estão marcadas F1, F2, e F3. 
Note, entretanto, que por simetria, as forças F2 e F3
têm módulos iguais e se cancelam. Isto deixa apenas a 
força F1, a qual está direcionada no sentido oposto a F
na espira e então é a força se opondo a você. 
© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Diagrama esquemático 
da espira da Figura 
acima enquanto está se 
movendo.
30-2 Indução e Transferências de Energia
Então, F = -F1. O módulo de F1 é então
(da eq. )
Onde o ângulo entre B e o vetor comprimento L para o 
segmento esquerdo é 90°. Isto nos dá
Uma vez que B, L, e R são constantes, a velocidade v na qual 
você move a espira é constante se o módulo da força F que 
você aplica na espira é também constante.
Taxa de Trabalho: Encontramos a taxa a qual você realiza 
trabalho na espira ao puxá-la do campo magnético:
NOTE: O trabalho que você realiza puxando a espira 
através do campo magnético aparece como energia 
térmica na espira.
© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.Diagrama esquemático 
da espira da Figura 
acima enquanto está se 
movendo.
30-3 Campos Elétricos Induzidos
Portanto, uma FEM é induzida por um fluxo magnético variável mesmo se a trajetória 
pela qual o fluxo está se alterando não é um condutor físico mas uma linha imaginária. O 
campo magnético variável induz um campo elétrico E em cada ponto desta trajetória; a 
FEM induzida está relacionada com E por
(a) Se o campo magnético aumenta a uma 
taxa constante, uma corrente induzida 
constante aparece, como mostrado, no anel 
de cobre de raio r. (b) Um campo elétrico 
induzido existe mesmo quando o anel é 
removido, o campo elétrico é mostrado em 4 
pontos. (c) O esquema completo do campo 
elétrico induzido, mostrado como linhas de 
campo. (d) 4 trajetórias fechadas similares 
de mesma área. FEMs iguais são induzidas 
em torno de 1 e 2, as quais estão totalmente 
na região do campo magnético. Uma FEM 
menor é induzida em torno de 3, a qual fica 
apenas parcialmente naquela região. 
Nenhuma FEM é induzida em torno de 4, 
que fica inteiramente fora do campo mag.
© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
30-3 Campos Elétricos Induzidos
Usando o campo elétrico induzido 
podemos escrever a Lei de Faraday na 
sua forma mais geral como 
Potencial Elétrico: Campos elétricos induzidos são produzidos não por cargas 
estáticas mas por um fluxo magnético variável. Portanto,
© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Um campo magnético variável produz um campo elétrico.
O potencial elétrico tem significado apenas para campos elétricos produzidos por cargas 
estáticas; o conceito não se aplica aos campos elétricos produzidos por indução.
30-4 Indutores e Indutância
Os indutores toscos com os 
quais Michael Faraday descobriu 
a lei da indução. Na época, 
componentes como fios com 
isolamento ainda não eram 
fabricados comercialmente. 
Dizem que Faraday isolava os 
fios enrolando-os com tiras de 
pano cortadas de uma das 
anáguas da sua mulher.
Um indutor é um dispositivo que pode ser usado 
para produzir um campo magnético conhecido 
numa região específica. Se uma corrente i 
percorre cada uma das N voltas de um indutor, 
um fluxo magnético ΦB se estabelece. A 
indutância do indutor é
A unidade do SI para indutância é o henry (H), 
onde 1 henry = 1H=1Tm2/A.
A indutância por unidade de comprimento 
próximo ao centro de um solenoide de área 
transversal A e n voltas por unidade de 
comprim. é
© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
30-5 Autoindução
Se duas bobinas — que podem agora ser chamadas de 
indutores — estão próximas uma da outra, uma corrente i 
em uma produz um fluxo magnético ΦB na segunda. 
Vimos que se alteramos o fluxo por alterar a corrente, 
uma FEM induzida aparece na segunda bobina de acordo 
com a lei de Faraday. Uma FEM induzida aparece na 
primeira bobina também. Este processo (ver Figura) é 
chamado auto-indução, e a FEM gerada é chamada de
FEM auto-induzida. Obedece a Lei de Faraday de indução como outras 
FEMs induzidas. Para qualquer indutor, 
A Lei de Faraday diz que
Combinando estas equações, temos
Nota: Então, em qualquer indutor 
(como uma bobina, um solenoide, 
ou um toroide) uma FEM induzida 
aparece sempre que a corrente 
muda com o tempo. O módulo da 
corrente não tem influência no 
módulo da FEM induzida; 
somente a taxa de variação da 
corrente conta.
© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Uma força eletromotriz induzida aparece em todo indutor cuja corrente 
está variando.
30-6 Circuitos RL
Se uma FEM constante é introduzida num circuito simples 
contendo uma resistência R e uma indutância L, a corrente 
aumenta até um valor de equilíbrio de /R de acordo com
Aqui τL, a constante de tempo indutiva, é
Um circuito RL.
Gráficos (a) e (b) mostram como a dif. de 
potencial VR (= iR) no resistor e VL (= L di/dt) 
no indutor variam com o tempo para valores 
particulares de , L, e R.
Quando a fonte de FEM constante é removida 
e substituída por um condutor, a corrente 
decai de um valor i0 de acordo com
A alteração com o tempo de (a) VR, a 
dif. de potencial no resistor no circuito 
(acima), e (b) VL, a diferença de 
potencial no indutor no circuito. 
© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
30-7 Energia Armazenada em um Campo Magnético
Um circuito RL.
Se um indutor L carrega uma corrente i, o campo magnético do indutor 
armazena uma energia dada por
© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
30-7 Energia Armazenada em um Campo Magnético
Um circuito RL.
© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
30-7 Energia Armazenada em um Campo Magnético
Um circuito RL.
© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
30-8 Densidade de Energia de um Campo Magnético
Considere um segmento de comprimento l perto do centro de um solenoide 
longo, de seção reta A, percorrido por uma corrente i; o volume do segmento é 
Al. A energia UB armazenada nesse trecho do solenoide deve estar toda no 
interior do solenoide, já que o campo magnético do lado de fora de um
solenoide é praticamente zero. Além disso, a energia armazenada deve estar 
uniformemente distribuída, pois o campo magnético é (aproximadamente) 
uniforme no interior de um solenoide. Assim, a energia armazenada no campo 
por unidade de volume é
Nós temos,
Aqui L é a indutância de comprim. l do solenoide 
Substituindo por L/l obtemos
E podemos escrever a densidade de energia como
© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
30-8 Indução Mútua
Se as bobinas 1 e 2 estão próximas, uma corrente variável 
em cada bobina pode induzir uma FEM na outra. Esta 
indução mútua é descrita por
e
Indução mútua. (a) O campo 
magnético B1 produzido pela 
corrente i1 na bobina 1 atravessa 
as espiras da bobina 2. Quando se 
faz variar a corrente i1 (fazendo 
variar a resistência R), uma força 
eletromotriz é induzida na bobina 
2 e o amperímetro ligado à bobina 
2 revela a passagem de uma 
corrente. (b) O mesmo sistema, 
com os papéis das bobinas 1 e 2 
invertidos.
© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
30 Sumário
Fluxo Magnético
• O fluxo magnético através de uma 
área A num campo magnético B é 
definido como
• Se B: é perpendicular à área e 
uniforme, Eq. 30-1 torna-se
Eq. 30-1
Lei de Lenz
• Uma corrente induzida tem um 
sentido tal que o campo magnético 
devido a esta corrente induzida se 
opõem à alteração no fluxo 
magnético que induz a corrente. 
Eq. 30-20
Eq. 30-19
Lei de Indução de Faraday
• A FEM induzida é,
• Se a espira é substituída por N 
voltas, a FEM induzida é
Eq. 30-5
FEM e o Campo Magético
Induzido
• A FEM induzida e E estão 
relacionados por
• Lei de Faraday na forma geral,
Eq. 30-2
Eq. 30-4
© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Eq. 30-35
30 Sumário
Indutor
• A indutância L do indutor é
• A indutância por unid. de comprim. 
próximo ao centro do solenoide 
extenso com área transversal A e n 
voltas por uni. de comprimento é
Eq. 30-28
Circuito RL em Série
• Aumento de corrente, 
• Decaimento de corrente
Eq. 30-55
Eq. 30-49
Auto-Indução
• Esta FEM auto-induzida é,
Energia Magnética
• O campo magnético do indutor 
armazena energia dada por
• A densidade de energia magnética 
armazenada é dada por,
Eq. 30-31
Eq. 30-41
Eq. 30-45
Indução Mútua
• A indução mútua é descrita por,
Eq. 30-64
Eq. 30-65
© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
30 Exercícios
© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Halliday 10ª. Edição
Cap. 30:
Problemas 1; 11; 29; 36; 42; 45; 54; 61; 70; 77 
30 Problema 30-1
© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Na Fig. 30-33, uma espira circular com 10 cm de diâmetro (vista de perfil) 
é posicionada com a normal fazendo um ângulo θ = 30o com a direção 
de um campo magnético uniforme cujo módulo é 0,50 T. A espira começa 
a girar de tal forma que descreve um cone em tornoda direção do campo 
à taxa de 100 revoluções por minuto; o ângulo θ permanece constante 
durante o processo. Qual é a força eletromotriz induzida na espira?
30 Problema 30-11
© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Uma bobina retangular, de comprimento a e largura b, com N espiras, gira com 
frequência f na presença de um campo magnético uniforme , como mostra a Fig. 
30-40. A bobina está ligada a cilindros metálicos que giram solidariamente a ela e 
nos quais estão apoiadas escovas metálicas que fazem contato com um circuito 
externo. (a) Mostre que a força eletromotriz induzida na bobina é dada (em função 
do tempo t) pela equação
Esse é o princípio de funcionamento dos geradores comerciais de corrente 
alternada. (b) Para qual valor de Nab a força eletromotriz gerada tem uma 
amplitude igual a 150 V quando a bobina gira com uma frequência de 60,0 
revoluções por segundo em um campo magnético uniforme de 0,500 T?
30 Problema 30-29
© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Na Fig. 30-52, uma barra de metal é forçada a se mover com velocidade 
constante ao longo de dois trilhos paralelos ligados em uma das 
extremidades por uma fita de metal. Um campo magnético de módulo B 
= 0,350 T aponta para fora do papel. (a) Se a distância entre os trilhos é 
25,0 cm e a velocidade escalar da barra é 55,0 cm/s, qual é o valor 
absoluto da força eletromotriz gerada? (b) Se a barra tem uma 
resistência de 18,0 Ω e a resistência dos trilhos e da fita de ligação é 
desprezível, qual é a corrente na barra? (c) Qual é a taxa com a qual a 
energia é transformada em energia térmica?
30 Problema 30-36
© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
A Fig. 30-56 mostra duas regiões circulares, R1 e R2, de raios r1 = 20,0 
cm e r2 = 30,0 cm. Em R1 existe um campo magnético uniforme, de 
módulo B1 = 50,0 mT, que aponta para dentro do papel; em R2, existe 
um campo magnético uniforme, de módulo B2 = 75,0 mT, que aponta 
para fora do papel (ignore os efeitos de borda). Os dois campos estão 
diminuindo à taxa de 8,50 mT/s. Calcule o valor de (a) para a trajetória 1, 
(b) para a trajetória 2 e (c) para a trajetória 3.
30 Problema 30-42
© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
A Fig. 30-58 mostra uma fita de cobre, de largura W = 16,0 cm, que foi 
enrolada para formar um tubo, de raio R = 1,8 cm com duas extensões 
planas. Uma corrente i = 35 mA está distribuída uniformemente na fita, 
fazendo com que o tubo se comporte como um solenoide de uma espira. 
Suponha que o campo magnético do lado de fora do tubo é desprezível e 
que o campo magnético no interior do tubo é uniforme. Determine (a) o 
módulo do campo magnético no interior do tubo e (b) a indutância do 
tubo (desprezando as extensões planas).
30 Problema 30-45
© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Em um dado instante, a corrente e a força eletromotriz autoinduzida em 
um indutor têm o sentido indicado na Fig. 30-59. (a) A corrente está 
aumentando ou diminuindo? (b) A força eletromotriz induzida é 17 V e a 
taxa de variação da corrente é 25 kA/s; determine a indutância.
30 Problema 30-54
© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Na Fig. 30-62, = 100 V, R1 = 10,0 Ω, R2 = 20,0 Ω, R3 = 30,0 Ω e L = 2,00 
H. Determine os valores de (a) i1 e (b) i2 logo após o fechamento da 
chave S. (Considere positivas as correntes nos sentidos indicados na 
figura e negativas as correntes no sentido oposto.) Determine também os 
valores de (c) i1 e (d) i2 muito tempo após o fechamento da chave. A 
chave é aberta depois de ter permanecido fechada por muito tempo. 
Determine os valores de (e) i1 e (f) i2 logo depois de a chave ter sido
novamente aberta. Determine também os valores de (g) i1 e (h) i2 muito 
tempo depois de a chave ter sido novamente aberta.
30 Problema 30-61
© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Uma bobina é ligada em série com um resistor de 10,0 kΩ. Uma fonte 
ideal de 50,0 V é ligada aos terminais do conjunto e a corrente atinge um 
valor de 2,00 mA após 5,00 ms. (a) Determine a indutância da bobina. (b) 
Determine a energia armazenada na bobina nesse instante.
30 Problema 30-70
© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
A Fig. 30-67a mostra, em seção reta, dois fios 
retilíneos, paralelos e muito compridos. A razão 
i1/i2 entre a corrente no fio 1 e a corrente no fio 2 é 
1/3. O fio 1 é mantido fixo no lugar. O fio 2 pode ser 
deslocado ao longo do semieixo x positivo, o que 
faz variar a densidade de energia magnética uB
criada pelas duas correntes na origem. A Fig. 30-
67b mostra um gráfico de uB em função da posição 
x do fio 2. A curva tem uma assíntota uB = 1,96 
nJ/m3 para x → ∞, e a escala do eixo horizontal é 
definida por xs = 60,0 cm. Determine o valor de (a) 
i1 e (b) i2.
30 Problema 30-77
© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
As duas bobinas da Fig. 30-70 têm indutâncias L1 e L2 quando estão 
muito afastadas. A indutância mútua é M. (a) Mostre que a combinação 
que aparece na figura pode ser substituída por uma indutância 
equivalente dada por
Leq = L1 + L2 + 2M.
(b) De que forma as bobinas da Fig. 30-70 podem ser ligadas para que a 
indutância equivalente seja
Leq = L1 + L2 − 2M?
(Este problema é uma extensão do Problema 47, na qual foi suprimida a 
condição de que as bobinas estejam muito afastadas.)