Análise Matemática - Resolução de Problemas 4

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AULA ATIVIDADE TUTOR 
 
 
Licenciatura em Matemática 
 
 
 
 
AULA 
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TUTOR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curso: 
Licenciatura em 
Matemática 
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Disciplina: Análise Matemática 
Teleaula: 04 
 
Parte 1: Resolução de problemas 
Para a primeira parte, sua tarefa consiste em resolver os seguintes problemas relacionados aos 
conceitos em estudo na quarta aula da disciplina e quarta unidade do material. 
 
Questão 1 
Demonstre a regra do produto para derivadas utilizando a definição formal via limites considerando 
funções 𝑓 e 𝑔 diferenciáveis em um ponto 𝑥. 
Gabarito: 
Queremos mostrar que (𝑓𝑔)′(𝑥) = 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) ou (𝑓𝑔)′(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) + 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥), 
sendo 𝑓 e 𝑔 funções deriváveis em um ponto 𝑥. Como 𝑓 e 𝑔 são diferenciáveis em 𝑥 é válido que: 
lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
= 𝑓′(𝑥) 
lim
ℎ→0
𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
ℎ
= 𝑔′(𝑥) 
Além disso, observe que: 
𝑓(𝑥 + ℎ)𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)
ℎ
=
𝑓(𝑥 + ℎ)𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥 + ℎ)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥 + ℎ)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)
ℎ
=
[𝑓(𝑥 + ℎ)𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥 + ℎ)𝑔(𝑥)] + [𝑓(𝑥 + ℎ)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)]
ℎ
= 𝑓(𝑥 + ℎ) ⋅
𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
ℎ
+
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
⋅ 𝑔(𝑥) 
Calculando o limite quando ℎ → 0, e considerando que 𝑓′(𝑥) e 𝑔′(𝑥) estão definidas, obtemos: 
lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ)𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)
ℎ
= lim
ℎ→0
(𝑓(𝑥 + ℎ)
𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
ℎ
+
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
𝑔(𝑥))
= lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) ⋅
𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
ℎ
+ lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
⋅ 𝑔(𝑥)
= lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) ⋅ lim
ℎ→0
𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
ℎ
+ lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
𝑔
⋅ lim
ℎ→0
𝑔(𝑥)
= 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) + 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) 
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Portanto, 𝑓𝑔 é diferenciável em 𝑥, com (𝑓𝑔)′(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) + 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥). 
 
Questão 2 
Seja 𝑓: [0,∞) → ℝ definida por 𝑓(𝑥) = ξ𝑥. Mostre que para todo 𝑎 > 0 é válido que 
𝑓′(𝑎) =
1
2ξ𝑎
. 
Além disso, mostre que 𝑓 não é derivável na origem. 
Gabarito: 
Para 𝑎 > 0 temos que: 
lim
ℎ→0
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ
= lim
ℎ→0
ξ𝑎 + ℎ − ξ𝑎
ℎ
= lim
ℎ→0
(
ξ𝑎 + ℎ − ξ𝑎
ℎ
⋅
ξ𝑎 + ℎ + ξ𝑎
ξ𝑎 + ℎ + ξ𝑎
)
= lim
ℎ→0
1
ξ𝑎 + ℎ + ξ𝑎
=
1
2ξ𝑎
 
Logo, 𝑓′(𝑎) =
1
2ξ𝑎
 para 𝑎 > 0. 
No caso da origem, ou 𝑎 = 0, observe que devemos avaliar a derivada à direita e, nesse caso: 
lim
ℎ→0+
𝑓(0 + ℎ) − 𝑓(0)
ℎ
= lim
ℎ→0+
1
ξ0 + ℎ + ξ0
= lim
ℎ→0+
1
ξℎ
 
o qual não existe, pois tende a infinito. Logo, 𝑓 não é diferenciável em 𝑎 = 0. 
 
Questão 3 
Construa uma interpretação para o teorema do valor médio considerando uma função real cujo 
domínio seja descrito por um intervalo na forma [𝑎, 𝑏], com 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ. 
Gabarito: 
Podem ser construídas diversas funções, desde que atendam ao critério de serem contínuas em [𝑎, 𝑏] 
e deriváveis em (𝑎, 𝑏). Seja, por exemplo, a função 𝑓: [0,2] → ℝ definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥2. A função 𝑓 
atende às hipóteses do teorema do valor médio, logo, existe algum número 𝑐 ∈ (0,2) cuja derivada 
seja dada por: 
𝑓′(𝑐) =
𝑓(2) − 𝑓(0)
2 − 0
=
4 − 0
2 − 0
= 2 
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Para esse exemplo, veja que 𝑐 = 1, pois nesse ponto temos que 𝑓′(1) = 2 ⋅ 1 = 2. Note que a reta 
tangente ao gráfico de 𝑓 em 𝑥 = 1 é paralela ao segmento de reta que une os pontos (0,0) e (2,4), 
que são os extremos do gráfico de 𝑓 identificados a partir de seu domínio. 
 
Questão 4 
A tabela a seguir apresenta a velocidade de uma locomotiva em miniatura que se desloca por um 
trilho durante 10 segundos. Sabendo que a distância pode ser determinada a partir da integral da 
função velocidade, construa uma estimativa para a distância percorrida por esse brinquedo no 
intervalo considerado. A estimativa deve ser identificada por meio do cálculo da soma de Riemann 
tomando os valores 𝑚𝑘 em cada subintervalo, a partir dos extremos inferiores de cada subintervalo. 
Tempo (s) Velocidade (cm/s) Tempo (s) Velocidade (cm/s) 
0 0 6 11 
1 12 7 6 
2 22 8 2 
3 10 9 6 
4 5 10 0 
5 13 
Gabarito: 
Para determinar a soma de Riemann devemos avaliar as somas que envolvem os produtos do 
comprimento de cada subintervalo com as imagens dos extremos inferiores de cada subintervalo 
pela função velocidade, conforme os dados presentes na tabela. 
Desse modo, como Δ𝑥 = 1 para todo subintervalo, totalizando dez subintervalos, teremos: 
𝑅𝐼 = 1 ⋅ 0 + 1 ⋅ 12 + 1 ⋅ 22 + 1 ⋅ 10 + 1 ⋅ 5 + 1 ⋅ 13 + 1 ⋅ 11 + 1 ⋅ 6 + 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ 6
= 0 + 12 + 22 + 10 + 5 + 13 + 11 + 6 + 2 + 6 = 87 
Portanto, a estimativa para a distância percorrida nesse intervalo de tempo é 87 cm. 
 
Parte 2: Estudo complementar a respeito de derivadas 
Na segunda parte, sua tarefa consiste em realizar um estudo complementar a respeito de derivadas, 
retomando os conceitos estudados anteriormente, principalmente nas disciplinas de Cálculo 
Diferencial e Integral. 
 
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Em disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral, muitas vezes a apresentação dos conceitos costumam 
ser feitas de maneira intuitiva e informal, com foco nas técnicas e estratégias de cálculo, bem como 
na resolução de problemas correspondentes. Por outro lado, na Análise Real, o objetivo é observar 
como essas técnicas e ferramentas são justificadas, conhecer as demonstrações que permitiram 
justificar a validade de grande parte dos resultados estudados em Cálculo Diferencial e Integral. 
Porém, é importante associar esses campos do conhecimento entre si, de modo a estabelecer 
relações entre os fundamentos teóricos, apresentados pela Análise, com os procedimentos práticos, 
de interesse do Cálculo. 
Nesse sentido, a proposta para essa parte é realizar um estudo a respeito de derivadas tomando por 
base algumas das abordagens presentes em livros de Cálculo, visto que já nesse momento são 
introduzidos procedimentos e justificativas da Análise, ainda que de forma incompleta. 
Diante desse tema, a proposta é que você estude os seguintes materiais, os quais podem ser 
acessados na Biblioteca Digital, desde que seja feito o login antes de acessar esses livros: 
• Livro: Cálculo – Volume 1. Autor: James Stewart. Esse livro está disponível na Minha Biblioteca 
a partir do link: 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/cfi/167!/4/4@0.00:34.3 
(acesso em 22 fev. 2020) 
Consulte especificamente a seção 2.8 (entre as páginas 131 e 142), a qual discute a respeito da 
definição formal de derivada e da identificação da lei de formação de derivadas a partir do cálculo de 
limites. Procure explorar também os exercícios disponíveis nessa seção. 
• Livro: Cálculo – Volume 1. Autor: Jon Rogawski. Esse livro está disponível na Minha Biblioteca 
a partir do link: 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582604601/cfi/136!/4/4@0.00:0.00 
(acesso em 22 fev. 2020) 
Consulte especificamente a seção 2.2 (entre as páginas 121 e 135), a qual discute a respeito da 
definição formal de derivada e da identificação da lei de formação de derivadas a partir do cálculo de 
limites, bem como algumas regras de derivação. Procure explorar também os exercícios disponíveis 
nessa seção. 
 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/cfi/167!/4/4@0.00:34.3
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582604601/cfi/136!/4/4@0.00:0.00
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Orientações para o desenvolvimento da atividade: 
A proposta é que os alunos possam aprofundar seus estudos por meio da retomada de 
procedimentos aplicados no estudo do Cálculo Diferencial e Integral, mas que também estão 
presentes no estudo da Análise Real, principalmente no que se refere à definição de derivada a partir 
dos limites e a justificativa, por exemplo, das regras de derivação obtidas a partir do cálculo de limites. 
É importante que os alunos relacionem os conteúdos presentes nas seções dos livrossugeridos com 
os temas abordados na quarta unidade do livro da disciplina, de modo a obter outras conclusões e 
favorecer a aprendizagem principalmente dos conceitos envolvendo derivadas. Se necessário, outros 
livros de Cálculo Diferencial e Integral podem ser consultados, principalmente os primeiros volumes 
das coleções mais comuns, por se tratar de um conteúdo estudado geralmente no Cálculo Diferencial 
e Integral I.