Resolução Homework 1

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Resolução Homework 1 
 
Aluno: Wendell Bruno Almeida Bezerra CM 20126 
 
Problema proposto: 
 
Considere uma corda vibrante com 100 metros de comprimento, que satisfaça a 
condição abaixo: 
 
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
=
1
22
𝜕2𝑢
𝜕𝑡2
 , 0 < 𝑥 < 100 𝑒 𝑡 > 0 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑆𝐼 
 
Condições de contorno: 
 
𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(100, 𝑡) = 0 
 
Condições iniciais: 
 
𝑢(𝑥, 0) =
{
 
 
 
 
𝑥
5
, 0 ≤ 𝑥 < 5
10 − 𝑥
5
, 5 ≤ 𝑥 < 10
 0, 10 ≤ 𝑥 < 100
 
 
𝜕𝑢
𝜕𝑡
(𝑥, 0) = 0 
 
Pede-se: 
 
A solução da equação u(x,t); 
 
Gráficos da solução nos instantes de tempo (s): 0, 1, 5, 10, 50, 100 e 500. 
 
RESOLUÇÃO 
 
Considerando a equação diferencial da onda: 
 
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
=
1
𝑐2
𝜕2𝑢
𝜕𝑡2
 
 
Segundo o método proposto por D’Alembert, a solução da equação da onda tem a 
forma: 
𝑢(𝑥, 𝑡) =
1
2
[𝑢0(𝑥 − 𝑐𝑡) + 𝑢0(𝑥 + 𝑐𝑡)] +
1
2𝑐
∫ 𝑣0(𝜉)𝑑𝜉
𝑥+𝑐𝑡
𝑥−𝑐𝑡
 
Onde: 
u0 é a condição inicial u(x,0); v0 é a condição inicial ∂u/∂t (x,0). 
 
 
Dessa forma, temos que o termo referente à integral é nulo, visto que ∂u/∂t (x,0) = 
0. Isto é: 
 
1
2𝑐
∫ 𝑣0(𝜉)𝑑𝜉
𝑥+𝑐𝑡
𝑥−𝑐𝑡
= 0 
 
Logo, u(x,t): 
 
𝑢(𝑥, 𝑡) =
1
2
[𝑢0
∗(𝑥 − 𝑐𝑡) + 𝑢0
∗(𝑥 + 𝑐𝑡)], 0 ≤ 𝑥 < 100 
 
Define-se a extensão ímpar da função u0(x) como u0*(x) (periódica em 2L): 
 
𝑢0
∗(𝑥) = {
 𝑢0(𝑥), 0 ≤ 𝑥 < 100
−𝑢0(−𝑥) , − 100 < 𝑥 ≤ 0
 
 
𝑢0
∗(𝑥) =
{
 
 
 
 
 
 
 
 
0, −100 < 𝑥 ≤ −10
−10 − 𝑥
5
, −10 < 𝑥 ≤ −5
𝑥
5
, −5 < 𝑥 ≤ 0
 
𝑥
5
, 0 ≤ 𝑥 < 5
10 − 𝑥
5
, 5 ≤ 𝑥 < 10
 0, 10 ≤ 𝑥 < 100
 
 
A solução de u(x,t), através da substituição de x – ct e x + ct em u0*(x), pode ser vista 
como a contribuição, em média, de duas ondas que se propagam em direções 
opostas. 
 
Substituindo x – ct em u0*(x) (c=2), tem-se a onda que se desloca para a direita: 
 
1
2
𝑢0
∗(𝑥 − 2𝑡) =
{
 
 
 
 
 
 
 
 
0, −100 < 𝑥 − 2𝑡 ≤ −10
−10 − 𝑥 + 2𝑡
10
, −10 < 𝑥 − 2𝑡 ≤ −5
𝑥 − 2𝑡
10
, −5 < 𝑥 − 2𝑡 ≤ 0
 
𝑥 − 2𝑡
10
, 0 ≤ 𝑥 − 2𝑡 < 5
10 − 𝑥 + 2𝑡
10
, 5 ≤ 𝑥 − 2𝑡 < 10
 0, 10 ≤ 𝑥 − 2𝑡 < 100
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo x + ct em u0*(x) (c=2), tem-se a onda que se desloca para a esquerda: 
 
1
2
𝑢0
∗(𝑥 + 2𝑡) =
{
 
 
 
 
 
 
 
 
0, −100 < 𝑥 + 2𝑡 ≤ −10
−10 − 𝑥 − 2𝑡
10
, −10 < 𝑥 + 2𝑡 ≤ −5
𝑥 + 2𝑡
10
, −5 < 𝑥 + 2𝑡 ≤ 0
 
𝑥 + 2𝑡
10
, 0 ≤ 𝑥 + 2𝑡 < 5
10 − 𝑥 − 2𝑡
10
, 5 ≤ 𝑥 + 2𝑡 < 10
 0, 10 ≤ 𝑥 + 2𝑡 < 100
 
 
Para t=0, u(x,0) tem a forma: 
 
 
 
Para t=1, u(x,1) tem a forma: 
 
 
 
 
 
Para t=5, u(x,5) tem a forma: 
 
 
Para t=10, u(x,10) tem a forma: 
 
 
Para t=50, u(x,50) tem a forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para t=100, u(x,100) tem a forma: 
 
 
 
Para t=500, u(x,500) tem a forma: