SISTEMAS AMORTECIDOS E NÃO-AMORTECIDOS REPRESENTADOS NO SOFTWARE OCTAVE

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CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ANÁPOLIS UNIEVANGÉLICA 
BACHARELADO EM ENGENHARIA MECÂNICA 
 
 
 
 
 
FERNANDA VIEIRA CARDOSO 
KAROLINA DE SOUZA GONÇALVES 
ROMÁRIO RODRIGUES AMORIM 
 
 
 
 
 
 
SISTEMAS AMORTECIDOS E NÃO-AMORTECIDOS REPRESENTADOS NO 
SOFTWARE OCTAVE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANÁPOLIS 
2020 
FERNANDA VIEIRA CARDOSO 
KAROLINA DE SOUZA GONÇALVES 
ROMÁRIO RODRIGUES AMORIM 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SISTEMAS AMORTECIDOS E NÃO-AMORTECIDOS REPRESENTADOS NO 
SOFTWARE OCTAVE 
 
 
Relatório apresentado ao Curso de Engenharia 
Mecânica do Centro Universitário de Anápolis 
UniEVANGÉLICA como requisito para 
complementação da nota da aula prática da 
1ªV.A. da disciplina de Vibrações de Sistemas 
Mecânicos, sob orientação do Prof. Me. Gino 
Bertollucci Colherinhas. 
 
 
 
 
 
 
 
ANÁPOLIS 
2020 
LISTA DE FIGURAS 
 
Figura 1 - Situações no cotidiano onde há presença de vibrações ............................. 4 
Figura 2 - Tipos de amortecimento .............................................................................. 5 
 
LISTA DE GRÁFICOS 
 
Gráfico 1 - Comportamento de um Sistema não amortecido ...................................... 7 
Gráfico 2 - Comportamento de um Sistema Sub-amortecido ...................................... 8 
Gráfico 3 - Comportamento de um Sistema Superamortecido .................................... 8 
Gráfico 4 - Comportamento de um Sistema Criticamente amortecido ........................ 9 
 
 
SUMÁRIO 
 
1. INTRODUÇÃO ..................................................................................................... 4 
1.1 Sistema não amortecido ( = 𝟎) ................................................................. 5 
1.2 Sistema amortecido ..................................................................................... 5 
1.2.1 Sub-amortecido ( < 1) ........................................................................... 6 
1.2.2 Superamortecido ( > 1) ......................................................................... 6 
1.2.3 Criticamente amortecido ( = 1) ............................................................ 6 
2. OBJETIVO ........................................................................................................... 7 
3. RESULTADOS .................................................................................................... 7 
3.1 Sistema não amortecido .............................................................................. 7 
3.2 Sistema amortecido ..................................................................................... 7 
3.2.1 Sub-amortecido ....................................................................................... 7 
3.2.2 Superamortecido ..................................................................................... 8 
3.2.3 Criticamente amortecido .......................................................................... 9 
4. CONCLUSÃO ...................................................................................................... 9 
REFERÊNCIAS ........................................................................................................... 9 
4 
 
1. INTRODUÇÃO 
Vibração ou oscilação é qualquer movimento que se repete, regular ou 
irregularmente, depois de um intervalo de tempo. Assim, para o perfeito entendimento 
deste tipo de movimento, torna-se necessário o estudo do movimento de oscilação de 
um corpo em torno de uma posição de equilíbrio, bem como das forças e/o momentos 
a ele associadas. Em engenharia estes movimentos ocorrem em elementos de 
máquinas e nas estruturas em geral, quando submetidas a ações dinâmicas. 
A vibração pode ser utilizada com proveito em várias aplicações industriais, testes 
de materiais, processos de usinagem e soldagem. Nas aplicações industriais 
destacam-se as esteiras transportadoras, as peneiras, os compactadores, os 
misturadores, as máquinas de lavar, que utilizam a vibração em seu princípio de 
funcionamento. A figura 1 a seguir mostra a gama de situações onde a presença de 
vibração é um fato. 
Figura 1 - Situações no cotidiano onde há presença de vibrações 
 
Fonte: [1] 
As vibrações podem ser classificadas quanto à existência ou não de excitação, 
quanto à existência ou não de amortecimento e quanto à linearidade, neste relatório 
daremos ênfase a classificação relacionada ao amortecimento, sendo eles sistema 
não amortecido, sub-amortecido, superamortecido e criticamente amortecido. 
5 
 
1.1 Sistema não amortecido ( = 𝟎) 
Neste tipo de sistema nenhuma energia é perdida ou dissipada por atrito ou 
outra resistência durante a oscilação, dessa forma o fator de amortecimento é 
nulo. [2] 
A frequência que um corpo possui em vibração livre é chamada de frequência 
natural e é calculada por: 
 𝜔𝑛 = √
𝐾
𝑚
 (1) 
A amplitude é a magnitude da oscilação, calculada por: 
 
𝐴 = √𝑥𝑜2 +
�̇�𝑜
2
𝜔𝑛
 (2) 
O ângulo de fase é o deslocamento sofrido pela onda, calculado por: 
 
𝜙 = 𝑡𝑔−1 (
�̇�𝑜
𝑥𝑜 ∙ 𝜔𝑛
) (3) 
Com esses conceitos definidos temos a equação do movimento oscilatório 
dada por: 
 𝑥(𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑛𝑡 ∙ −𝜙) (4) 
Onde o 𝑡 representa o intervalo de tempo da oscilação. 
1.2 Sistema amortecido 
O amortecimento representa a capacidade do sistema em dissipar energia. [3] 
Na figura 2 temos a representação dos tipos de amortecimentos. 
Figura 2 - Tipos de amortecimento 
 
Fonte: [4] 
6 
 
1.2.1 Sub-amortecido ( < 1) 
Neste sistema a relação entre a frequência natural e este fator de 
amortecimento resulta na frequência natural amortecida, dada por: 
 𝜔𝑑 = 𝜔𝑛√1 −  2 (5) 
Este é o único caso amortecido onde existe oscilação, assim a amplitude 
desta é calculada por: 
 𝐴 = √(
�̇�𝑜
2 +  ∙ 𝜔𝑛 ∙ 𝑥𝑜
𝜔𝑑
)
2
+ 𝑥𝑜2 (6) 
E seu ângulo de fase é dado por: 
 𝜙 = 𝑡𝑔−1 (
𝑥𝑜 ∙ 𝜔𝑑
�̇�𝑜 +  ∙ 𝜔𝑛 ∙ 𝑥𝑜
) (7) 
Sendo possível calcular a equação do movimento oscilatório, da seguinte 
forma: 
 𝑥(𝑡) = 𝐴𝑒− ∙𝜔𝑛∙𝑡 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝜔_𝑑 ∙ 𝑡 − 𝜙𝑑) (8) 
1.2.2 Superamortecido ( > 1) 
Neste sistema sua equação do movimento oscilatório é dada por: 
 𝑥(𝑡) = 𝑒− ∙𝜔𝑛∙𝑡 [𝐶1 ∙ 𝑐𝑜𝑠ℎ (𝜔𝑛√ 
2 − 1 ∙ 𝑡) + 𝐶2 ∙ 𝑠𝑒𝑛ℎ (𝜔𝑛√ 
2 − 1 ∙ 𝑡)] (9) 
Esta é dependente das variáveis 𝐶1 e 𝐶2, que se relacionam com o 
deslocamento 𝑥𝑜, velocidade �̇�𝑜, fator de amortecimento  e frequência natural 
𝜔𝑛, como mostrado abaixo: 
 𝐶1 = 𝑥𝑜 (10) 
 
𝐶2 =
�̇�𝑜 + 𝑥𝑜 ∙  ∙ 𝜔𝑛
𝜔𝑛√ 2 − 1
 (11) 
As respostas de sistemas superamortecidos não envolvem oscilação, assim 
quando este é perturbado, este retorna a sua posição de equilíbrio de forma 
exponencial, dessa forma não é necessário calcular amplitude e ângulo de fase. 
1.2.3 Criticamente amortecido ( = 1) 
Neste tipo de sistema a equação do movimento oscilatório é definida como: 
 𝑥(𝑡) = 𝑒−𝜔𝑛∙𝑡[𝑥𝑜 + (�̇�𝑜 + 𝑥𝑜 ∙ 𝜔𝑛) ∙ 𝑡] (12) 
Um sistema amortecido criticamente quando perturbado por certas 
condições iniciais, retorna à posição do equilíbrio no tempo mais rápido sem 
7 
 
oscilar. Sendo assim também não é necessário calcular amplitude e ângulo de 
fase. 
2. OBJETIVO 
O objetivo deste relatório é demonstrar, com o uso do software Octave GNU, os 
gráficos dos diferentes comportamentos, em situações distintas, de um sistema 
oscilatório, seja ele amortecido ou não. 
3. RESULTADOS 
3.1 Sistema não amortecido 
As condições utilizadas foram: rigidez 𝐾 = 10 𝑁/𝑚, massa 𝑚 = 5 𝐾𝑔, 
deslocamento inicial 𝑥𝑜 = 1 𝑚, velocidade inicial �̇�𝑜 = 10 𝑚/𝑠, intervalo de tempo 
𝑡 = 0: 0.01: 20 e as equações usadas foram as 1, 2, 3 e 4. O resultado está 
representado no gráfico 1 abaixo. 
Gráfico 1 - Comportamento de um Sistema não amortecido 
 
Fonte: [5] 
3.2 Sistema amortecido 
3.2.1 Sub-amortecido 
As condições utilizadas foram: fator de amortecimento  = 0,1, rigidez 𝐾 =
55 𝑁/𝑚, massa 𝑚 = 10 𝐾𝑔, deslocamento inicial𝑥𝑜 = 1 𝑚, velocidade inicial 
�̇�𝑜 = 10 𝑚/𝑠, intervalo de tempo 𝑡 = 0: 0.01: 10 e as equações usadas foram as 
1, 5, 6, 7 e 8. O resultado está representado no gráfico 2 abaixo. 
8 
 
Gráfico 2 - Comportamento de um Sistema Sub-amortecido 
 
Fonte: [5] 
3.2.2 Superamortecido 
As condições utilizadas foram: fator de amortecimento  = 1,2, 
deslocamento inicial 𝑥𝑜 = 1 𝑚𝑚, velocidades iniciais �̇�𝑜1 = 9 𝑚𝑚/𝑠, �̇�𝑜2 =
−9 𝑚𝑚/𝑠, frequência natural 𝜔𝑛 = 3 𝑟𝑎𝑑/𝑠, intervalo de tempo 𝑡 = 0: 0.01: 4 e 
as equações usadas foram as 9, 10 e 11 para cada um dos dois casos. O 
resultado está representado no gráfico 3 abaixo. 
Gráfico 3 - Comportamento de um Sistema Superamortecido 
 
Fonte: [5] 
9 
 
3.2.3 Criticamente amortecido 
As condições utilizadas foram: fator de amortecimento  = 1,0, 
deslocamento inicial 𝑥𝑜 = 1 𝑚𝑚, velocidades iniciais �̇�𝑜1 = 1 𝑚𝑚/𝑠, �̇�𝑜2 =
10 𝑚𝑚/𝑠, �̇�𝑜3 = −15 𝑚𝑚/𝑠, frequência natural 𝜔𝑛 = 2 𝑟𝑎𝑑/𝑠, intervalo de 
tempo 𝑡 = 0: 0.01: 4 e a equação usada foi a 12 para cada um dos três casos. 
O resultado está representado no gráfico 4 abaixo. 
Gráfico 4 - Comportamento de um Sistema Criticamente amortecido 
 
Fonte: [5] 
4 CONCLUSÃO 
Considerando os argumentos apresentados e os resultados obtidos podemos 
concluir que o tipo de amortecimento impacta diretamente na vibração de um sistema 
e a escolha da utilização de um desses tipos depende da aplicação solicitada. Os 
gráficos resultantes da simulação no Octave são semelhantes aos modelos presentes 
na introdução teórica. 
REFERÊNCIAS 
1. SOEIRO, N. S. Curso de Fundamentos de Vibrações e Balanceamento de 
Rotores. Belém: [s.n.], 2008. 
10 
 
2. RAO, S. Vibrações Mecânicas. 4ª. ed. São Paulo: Pearson Education Brasil, 
2008. 
3. WALKER, H. R. Fundamentos de Física 1 - Mecânica. [S.l.]: LTC, 2006. 
4. ROQUE, A. Física II – Ondas, Fluidos e Termodinâmica. São Paulo: USP. 
5. EATON, J. W. GNU Octave. [S.l.]: [s.n.], 2020.