Prova1 calculo III

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Prova 1 – Sequências e Séries (Colocar nome na folha de respostas. Provas sem nome serão zeradas!)
1. Escreva com suas próprias palavras o significado dos seguintes conceitos:
a) Limite de uma sequência e de uma série;
b) Série convergênte e série divergênte;
c) Convergência condicional e absoluta de uma série;
d) Convergência uniforme e ponto-a-ponto de uma série;
e) Raio de convergência de uma série de potências.
2. Neste exercício e nos outros, log(x) significa o logarítmo natural de x.
a) Encontre a expansão em série de Taylor da função f(x) = log(x) em torno de x = 1.
b) Encontre a expansão em série de Maclaurin da função f(x) = log(1 + x).
c) Use ambas as séries para representar log(2).
Calcule apenas os primeiros termos e tente adivinhar os restantes.
3. Através dos testes da comparação, da razão, da raíz ou da integral (pelo menos um destes testes), mostre quais das
seguintes séries convergem e quais divergem:
a)
∞∑
k=1
1
2k
, b)
∞∑
k=1
1
k2
, c)
∞∑
k=1
(−1)k k
2
2k
, d)
∞∑
k=1
1
k!
, e)
∞∑
k=1
log n
n
.
4. As integrais Si(x) =
∫ sin(x)
x dx, não pode ser expressa em termos de funções elementares (i.e., combinações finitas
de funções algébricas, racionais, exponenciais, trigonométricas e suas inversas). No entanto, podemos facilmente
integrá-la por meio de séries.
a) Encontre a expansão em série de Maclaurin de f(x) = sin(x)/x; (Dica: primeiro encontre a expansão em
série de sin(x) e depois divida tudo por x.)
b) Explique porque podemos integrar termo-a-termo estas série para obter a integral Si(x);
c) Integre termo-a-termo esta série para obter a integral Si(x).
5. Não é muito difícil mostrar que a expansão de (1 + x)n, para qualquer n inteiro e positivo, é dada pela fórmula:
(1 + x)n = ( n0 )x
0 + ( n1 )x
1 + · · ·+ ( nn−1 )xn−1 + ( nn )x
n =
n∑
k=0
( nk )x
k,
onde os números ( nk ), definidos por,
( n0 ) = (
n
n ) = 1, (
n
1 ) = (
n
n−1 ) = n, (
n
2 ) = (
n
n−2 ) =
n!
2!(n− 2)!
, · · · ( nk ) = (
n
n−k ) =
n!
k!(n− k)!
,
são chamados de coeficientes binomiais. Assim, por exemplo, podemos mostrar que
(1 + x)2 = 1+ 2x+ x2, (1 + x)3 = 1+ 3x+ 3x2 + x3, (1 + x)4 = 1+ 4x+ 6x2 + 4x3 + x4.
Newton generalizou este resultado para qualquer função f(x) = (1 + x)s, onde s é qualquer número real e |x| < 1
(Teorêma do Binômio de Newton):
f(x) = (1 + x)s = ( s0 ) + (
s
1 )x+ (
s
2 )x
2 + ( s3 )x
3 + · · · =
∞∑
k=0
( sk )x
k, (∗)
onde, neste caso, temos que os coeficientes são dados por:
( sk ) =
s(s− 1)(s− 2) · · · (s− k + 1)
k(k − 1)(k − 2) · · · 2 · 1
. (†)
a) Suponha que a função f(x) = (1 + x)s possa ser respresentada por uma série de Maclaurin da forma
f(x) = f0 + f1x+ f2x
2 + f3x
3 + · · · . Calcule os valores de fk.
b) Escreva a série de f(x) até a quinta potência em x e verifique que ela corresponde à expansão proposta por
Newton em (∗).
c) Usando (∗) e (†), encontre a expansão de f(x) =
√
1 + x.
d) Usando (∗) e (†), encontre a expansão de f(x) = 1/
√
1 + x.
e) Se s é inteiro (s = n), mostre que a série (∗) termina na potência de grau n. Isto é, que fk = 0 para k > n,
de modo que (∗) se reduz à expansão de (1 + x)n para n inteiro e positivo.