MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADE

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Palavras do Professor 
A. Multiplicação de Probabilidades 
A probabilidade de ocorrer A e B é dada pelo produto da probabilidade de ocorrer um deles pela probabilidade 
de ocorrer o outro, dado a ocorrência do primeiro.
P(A B) P(A).P(B A) P(B).P(A B)∩ = =
B. Eventos Independentes 
Dois eventos A e B são independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles independe do fato de 
ter ou não ocorrido o outro.
Neste caso, temos: 
P(B A) P(B )=
 
e P(A B) P(A )=
Assim, quando A e B são independentes, temos: 
P(A B) P(A).P(B A) P(A).P(B)∩ = =
P(A B) P(B).P(A B) P(A).P(B)∩ = = )
Podemos então afirmar, que a probabilidade de ocorrência simultânea de eventos independentes, é igual 
ao produto das probabilidades dos eventos considerados.
Exemplo:
A probabilidade de um gato estar vivo daqui a 5 anos é 3/5. A probabilidade de um cão estar vivo daqui 
a 5 anos é 4/5. Considerando os eventos independentes, qual a probabilidade de somente o cão estar vivo 
daqui a 5 anos? 
Solução: 
Lendo novamente o enunciado temos dois personagens: o cão e o gato. Como deseja saber a probabilidade 
de somente o cão estar vivo daqui a 5 anos, isso que dizer que perguntar poderia ser traduzida de outra 
maneira: “Qual a probabilidade de o cão estar vivo daqui a 5 anos e o gato estar morto?”
Ou seja, se desejo somente o cão vivo, é porque quero também o gato morto!
P(cão vivo e gato morto)=(4/5)x(2/5)=8/25
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Questões resolvidas na Videoaula 
QUESTÃO 01 
(ENEM) Em um determinado semáforo, as luzes completam um ciclo de verde, amarelo e vermelho em 
1 minuto e 40 segundos. Desse tempo, 25 segundos são para a luz verde, 5 segundos para a amarela e 70 
segundos para a vermelha. Ao se aproximar do semáforo, um veículo tem uma determinada probabilidade de 
encontrá-lo na luz verde, amarela ou vermelha. Se essa aproximação for de forma aleatória, pode-se admitir que 
a probabilidade de encontrá-lo com uma dessas cores é diretamente proporcional ao tempo em que cada uma 
delas fica acesa. Suponha que um motorista passa por um semáforo duas vezes ao dia, de maneira aleatória e 
independente uma da outra. Qual é a probabilidade de o motorista encontrar esse semáforo com a luz verde 
acesa nas duas vezes em que passar?
A 
1
25
B 
1
16
C 
1
9
D 
1
3
E 
1
2
 
 
QUESTÃO 02 
Numa urna, estão 30 bolas vermelhas e 45 bolas brancas. A probabilidade de retiradas ao acaso 2 bolas, com 
reposição, ambas serem vermelhas é
A 30%
B 40%
C 36%
D 16%
E 25%
QUESTÃO 03 
(EsSA) A probabilidade de um jogador de futebol marcar o gol ao cobrar um pênalti, é de 80%. Se esse jogador 
cobrar dois pênaltis consecutivos, a probabilidade dele fazer o gol, em ambas as cobranças, é igual a: 
A 80% 
B 20% 
C 64%
D 16% 
E 32%
QUESTÃO 04 
(Fundatec) Uma questão de uma prova de Estatística apresenta grau médio de dificuldade. João tem 75% de 
chance de resolvê-la, e Daniel tem 60% de probabilidade de não resolvê-la. Se eles tentam resolver a questão 
de modo independente, qual será a probabilidade de que a questão seja resolvida?
A 22,5% 
B 55,0% 
C 70,0% 
D 75,5% 
E 85,0%
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Questões Resolvidas 
TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES:
Um apostador tem três opções para participar de certa modalidade de jogo, que consiste no sorteio aleatório 
de um número dentre dez. 
1ª opção: comprar três números para um único sorteio.
2ª opção: comprar dois números para um sorteio e um número para um segundo sorteio.
3ª opção: comprar um número para cada sorteio, num total de três sorteios. 
QUESTÃO 01 
(ENEM) Escolhendo a 2a opção, a probabilidade de o apostador NÃO GANHAR em qualquer dos sorteios 
é igual a: 
A 90%. 
B 81%. 
C 72%.
D 70%. 
E 65%. 
Solução: A probabilidade do apostador não ganhar em qualquer dos sorteios é equivalente a não ganhar no 
primeiro sorteio e não ganhar no segundo sorteio, então:
P =
8 9
10 10
× = 72% (perder nos dois).
QUESTÃO 02 
(ENEM) Se X, Y, Z representam as probabilidades de o apostador GANHAR ALGUM PRÊMIO, escolhendo, 
respectivamente, a 1a, a 2a ou a 3a opções, é correto afirmar que: 
A X < Y < Z. 
B X = Y = Z. 
C X > Y = Z. 
D X = Y > Z. 
E X > Y > Z.
Solução: Para o apostador ganhar algum prêmio, temos três possibilidades:
Ganhar na primeira opção = 3 30%
10
= .
Ganhar na segunda opção: 8 91
10 10
− ⋅ (perder nos dois sorteios) = 28%.
Ganhar na terceira opção: 9 9 91
10 10 10
− ⋅ ⋅ (perder nos três sorteios) = 27,1%.
Logo, X > Y > Z. 
31
QUESTÃO 03 
(UERJ) Cinco cartas de um baralho estão sobre uma mesa; duas delas são Reis, como indicam as imagens.
Após serem viradas para baixo e embaralhadas, uma pessoa retira uma dessas cartas ao acaso e, em seguida, 
retira outra.
A probabilidade de sair Rei apenas na segunda retirada equivale a: 
A 1/2 B 1/3 C 2/5 D 3/10
Solução: 
Observe que a probabilidade de não sair um rei na primeira retirada é 3
5
, enquanto que a probabilidade de 
sair um rei na segunda retirada, sabendo que não saiu um rei na primeira retirada, é 
2 1 .
4 2
=
Portanto, pela regra da multiplicação de probabilidade, teremos: 
3 1 3 .
5 2 10
⋅ =
QUESTÃO 04 
(UFPA) Alguns estudantes estavam se preparando para realizar o PSS da UFPA e resolveram inventar um jogo 
de dados a fim de testar os seus conhecimentos em Teoria das Probabilidades. O jogo possuía as seguintes 
regras:
I. O jogador faz o primeiro lançamento do dado. Se sair o número 5 o jogo termina e o jogador vence.
II. Se na primeira jogada não sair o número 5, o jogador deve lançar o dado pela segunda e última vez. Se sair 
um número maior do que 3, o jogador vence. Caso contrário perde. A probabilidade de o jogador vencer 
esse jogo é
A 
9
13
B 
7
12
C 
3
5
D 
4
7
E 
10
13
 
 
Solução: 
Observe o diagrama de árvore
Saiu 5 (ganhou)
(ganhou)
(ganhou)
Maior
Que 3
Não é
Maior
Que 3
Saiu 5
Não
A probabilidade de o jogador vencer é: 1 5 1 1 5 2 5 7
6 6 2 6 12 12 12
+
+ ⋅ = + = =
32
QUESTÃO 05 
(UNICAMP) Lançando-se determinada moeda tendenciosa, a probabilidade de sair cara é o dobro da proba-
bilidade de sair coroa. Em dois lançamentos dessa moeda, a probabilidade de sair o mesmo resultado é igual a 
A 1/2
B 5/9
C 2/3
D 3/5
Solução: 
Considere que c denota cara e k coroa, pelo enunciado temos: P(c) 2 P(k).= ⋅
Sabemos que: P(c) P(k) 1 2 P(k) P(k) 1
1P(k) .
3
+ = ⇔ ⋅ + =
⇔ =
Ocorre que: 2P(c)
3
=
Portanto, a probabilidade pedida é igual a: 1 1 2 2 5 .
3 3 3 3 9
⋅ + ⋅ =
QUESTÃO 06 
(ENEM) Um médico está estudando um novo medicamento que combate um tipo de câncer em estágios 
avançados. Porém, devido ao forte efeito dos seus componentes, a cada dose administrada há uma chance de 
10% de que o paciente sofra algum dos efeitos colaterais observados no estudo, tais como dores de cabeça, 
vômitos ou mesmo agravamento dos sintomas da doença. O médico oferece tratamentos compostos por 3, 
4, 6, 8 ou 10 doses do medicamento, de acordo com o risco que o paciente pretende assumir. Se um paciente 
considera aceitável um risco de até 35% de chances de que ocorra algum dos efeitos colaterais durante o 
tratamento, qual é o maior número admissível de doses para esse paciente?
A 3 doses
B 4 doses
C 6 doses
D 8 doses
E 10 doses
Solução: a probabilidade de um paciente não sofrer efeitos colaterais com o tratamento em uma dose é de 
90%. 
Desse modo, a probabilidade de sofrer algum efeito colateral após n doses é dado por (1 - 0,9n).100%.
• Com 3 doses: (1 - 0,93).100%= 27%
• Com 4 doses: (1 - 0,94).100%= 34%
• Com 5 doses: (1 - 0,95).100%= 41%
Logo, o maior número admissível de doses para o paciente em questão é 4.
 Rascunho
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QUESTÃO 07 
(EFOMM) Um atleta de tiro ao prato tem probabilidade de 0,9 de acertar o prato a cada novo lançamento. 
Analisando esse jogador antes do início da competição, após quantos lançamento de pratos, a probabilidade 
de ele não ter acertado todos os tiros se tornará maior que a probabilidade de acertar todos? 
A 9
B 8
C 7
D 6
E 5
Solução:
Observe que após n tiros, a probabilidade do atleta acertar todos os tiros é 0,9n,então, a probabilidade dele 
não ter acertado todos é 1–0,9n.
Queremos calcular n tal que: n n
n
n
n
0,9 1 0,9
2 0,9 1
10,9
2
9 1
10 2
< −
⋅ <
<
  < 
 
Vamos considerar as aproximações: 
log 2 0,301
log 3 0,477
≅
≅
Portanto:
( )
n9 1log log n log 9 log10 log1 log 2
10 2
   < ⇒ ⋅ − < −   
   
( ) ( )2n log 3 1 0 log 2 n 2 0,477 1 0,301⋅ − < − ⇒ ⋅ ⋅ − < − 
( )n 0,046 0,301 n 6,54⋅ − < − ⇒ >
A quantidade mínima de lançamentos será 7.
Mamatas e Durezas 
QUESTÃO 01 
(Mackenzie) A probabilidade de um casal ter um filho do sexo masculino é 0,25. Então a probabilidade do 
casal ter dois filhos de sexos diferentes é: 
A 1/16 
B 3/8
C 9/16 
D 3/16 
E 3/4
34
QUESTÃO 02 
(PUC-RIO) Um casal pretende ter 3 filhos. Qual a probabilidade de que todos os três filhos sejam do mesmo 
sexo? 
A 1/8 
B 1/6 
C 1/3 
D 1/4
E 2/3
QUESTÃO 03 
(ESAF) Dois eventos A e B são ditos eventos independentes se e somente se:
A a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for nula.
B a ocorrência de B alterar a probabilidade de ocorrência de A.
C a ocorrência de A alterar a probabilidade de ocorrência de B.
D a ocorrência de B não alterar a probabilidade de ocorrência de A.
E a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for igual a 1.
QUESTÃO 04 
(UFPA) No Estado do Pará, 94% dos estudantes do Ensino Médio estão matriculados em escolas públicas. 
Se a probabilidade de esses estudantes serem negros (pretos + pardos) é de 75%, então a probabilidade de o 
estudante do Ensino Médio estar matriculado em escola pública e ser negro é de
A 23,5%
B 45,5%
C 55,5%
D 67,5%
E 70,5%
QUESTÃO 05 
(ENEM)Um protocolo tem como objetivo firmar acordos e discussões internacionais para conjuntamente 
estabelecer metas de redução de emissão de gases de efeito estufa na atmosfera. O quadro mostra alguns dos 
países que assinaram o protocolo, organizados de acordo com o continente ao qual pertencem.
Países da América do Norte Países da Ásia
Estados Unidos da América China
Canadá Índia
México Japão
Em um dos acordos firmados, ao final do ano, dois dos países relacionados serão escolhidos aleatoriamente, 
um após o outro, para verificar se as metas de redução do protocolo estão sendo praticadas. A probabilidade 
de o primeiro país escolhido pertencer à América do Norte e o segundo pertencer ao continente asiático é 
A 
1
9
B 
1
4
C 
3
10
D 
2
3
E 1
35
QUESTÃO 06 
(ENEM) Uma loja acompanhou o número de compradores de dois produtos, A e B, durante os meses de 
janeiro, fevereiro e março de 2012. Com isso, obteve este gráfico:
Janeiro
N
úm
er
o 
de
 c
om
pr
ad
or
es
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Fevereiro Março
A
B
A loja sorteará um brinde entre os compradores do produto A e outro brinde entre os compradores do produto 
B. Qual a probabilidade de que os dois sorteados tenham feito suas compras em fevereiro de 2012?
A 1/20
B 3/242
C 5/22
D 6/25
E 7/15
QUESTÃO 07 
(UFMG) Dois jovens partiram do acampamento em que estavam, em direção à Cachoeira Grande e à Cachoeira 
Pequena, localizadas na região, seguindo a trilha indicada neste esquema:
Acampamento
Cachoeira Grande
Cachoeira Pequena
Em cada bifurcação encontrada na trilha, eles escolhiam, com igual probabilidade, qualquer um dos caminhos 
e seguiam adiante. Então, é CORRETO afirmar que a probabilidade de eles chegarem à Cachoeira Pequena é
A 1/2.
B 2/3.
C 3/4.
D 5/6.
QUESTÃO 08 
Suponha que a probabilidade de Júnior resolver um problema é de 60% e que a probabilidade de Maria resolver 
o problema é de 80%. Se os dois tentarem resolver o problema, independentemente, qual a probabilidade 
percentual de o problema ser resolvido por algum deles? 
A 90% 
B 92%
C 94% 
D 96% 
E 98%
36
QUESTÃO 09 
Uma máquina caça-níqueis possui três discos. Cada disco contém 
um conjunto de símbolos que, na figura ao lado, estão representados 
nas três colunas à direita:
Ao se inserir R$ 1,00 e pressionar um botão, os três discos começam 
a rodar. O jogador deve, então, pressionar outros 3 botões, ao acaso, 
para parar cada disco. Os três símbolos que aparecerem na linha 
horizontal marcada serão iluminados e determinarão o quanto o 
jogador ganha:
Combinação Prêmio (em R$)
3 bandeiras 1 500,00
2 bandeiras 750,00
3 bolas 250,00
3 camisas 250,00
3 chuteriras 250,00
Qual é a probabilidade de uma pessoa, em apenas uma jogada, ganhar R$ 1.500,00?
A 
1
8000
B 
1
4000
C 
1
400
D 
1
80
E 
1
4
QUESTÃO 10 
(UNIRIO) As probabilidades de três jogadores marcarem um gol cobrando um pênalti são, respectivamente, 
1/2, 2/5 e 5/6. Se cada um bater um único pênalti, a probabilidade de todos errarem é igual a: 
A 3% 
B 5%
C 17% 
D 20% 
E 25%
QUESTÃO 11 
Há apenas dois modos de Sara ir para o trabalho: de ônibus ou de moto. A probabilidade de ela ir de ônibus é 
30% e, de moto, 70%. Se Sara for de ônibus, a probabilidade de chegar atrasada ao trabalho é 10% e, se for de 
moto, a probabilidade de se atrasar é 20%. A probabilidade de Sara não se atrasar para chegar ao trabalho é igual a: 
A 30% 
B 80% 
C 70%
D 67% 
E 83%
37
QUESTÃO 12 
(ENEM) No próximo final de semana, um grupo de alunos participará de uma aula de campo. Em dias 
chuvosos, aulas de campo não podem ser realizadas.
A ideia é que essa aula seja no sábado, mas, se estiver chovendo no sábado, a aula será adiada para o domingo. 
Segundo a meteorologia, a probabilidade de chover no sábado é de 30% e a de chover no domingo é de 25%
A probabilidade de que a aula de campo ocorra no domingo é de 
A 5,0%
B 7,5%
C 22,5%
D 30,0%
E 75,0%
QUESTÃO 13 
(UERJ) Em um escritório, há dois porta-lápis: o porta-lápis A com 10 lápis, dentre os quais 3 estão apontados, 
e o porta-lápis B com 9 lápis, dentre os quais 4 estão apontados.
Um funcionário retira um lápis qualquer ao acaso do porta-lápis A e o coloca no porta-lápis B. Novamente ao 
acaso, ele retira um lápis qualquer do porta-lápis B. A probabilidade de que este último lápis retirado não tenha 
ponta é igual a:
A 0,64
B 0,57
C 0,52
D 0,42
QUESTÃO 14 
Dois sacos exteriormente iguais contêm bolas pretas e vermelhas.
S1 S2
• No saco S1 há 3 bolas pretas e 4 bolas vermelhas • No saco S2 há 2 bolas pretas e 3 vermelhas.
Escolhe-se ao acaso um saco e tira-se uma bola.
a) Qual é a probabilidade de que a bola extraída seja vermelha?
b) A bola extraída é preta, qual é a probabilidade de que tenha sido extraída do saco S1?
38
Solução:
S1
S2
a) A probabilidade de que a bola extraída seja vermelha é 1 4 1 3 41P (V)
2 7 2 5 70
= × + × =
b) A bola extraída é preta, a probabilidade de que tenha sido extraída do saco S1 é: 
1
1
1 3
P(S P) 152 7P(S P ) 1 3 1 2P(P) 29
2 7 2 5
×∩
= = =
× + ×
QUESTÃO 15 
(IBMEC) Durante o mês de Março no campeonato de Fórmula 1 a probabilidade de chover em um dia 
determinado é 4/10 . A equipe Ferrari ganha uma corrida em um dia com chuva com probabilidade igual a 
6/10 e em um dia sem chuva com probabilidade igual a 4/10. Sabendo-se que a Ferrari ganhou uma corrida 
naquele dia de Março, qual a probabilidade de que choveu nesse dia?
A 4/10
B 6/10
C 1/3
D 1/2
E 1/4
QUESTÃO 16 
(AFA) Em uma mesa há dois vasos com rosas. O vaso A contém 9 rosas das quais 5 tem espinhos e o vaso B 
contém 8 rosas sendo que exatamente 6 não tem espinhos.Retira-se, aleatoriamente, uma rosa do vaso A e 
coloca-se em B. Em seguida, retira-se uma rosa de B.A probabilidade de essa rosa retirada de B ter espinhos é
A 8/81
B 18/81
C 18/81
D 23/81
QUESTÃO 17 
Abel tem uma moeda que dá “cara” com probabilidade 1/2 e Breno tem uma moeda que dá “cara” com 
probabilidade 1/3 . Abel e Breno lançam suas respectivas moedas, alternadamente. O primeiro que obtiver 
“cara”, ganha. Abel é o primeiro a lançar, e os lançamentos são todos independentes.
A probabilidade de Abel ganhar no seu terceiro lançamento é de 
A 1/2 .
B 1/3 .
C 1/4.
D 1/8 .
E 1/18 .
39
QUESTÃO 18 
(UNIRIO) Joga-se um dado três vezes consecutivas. A probabilidade de surgirem os resultados a seguir, em 
qualquerordem, é: 
A 1/216 
B 1/72 
C 1/36
D 1/18 
E 1/3
QUESTÃO 19 
Brasil dá vexame nos pênaltis, erra 4 cobranças e é eliminado pelo Paraguai.
Disponível em: <http://globoesporte.globo.com/futebol/selecao-brasileira/noticia/2011/07/brasil-tem-a-
tuacao-desastrosa-nos-penaltis-e-perde-doparaguai.html.>. Acesso em: 17 jul. 2011.
Considerando-se que a probabilidade de certo jogador de futebol profissional converter, em gol, um pênalti 
seja de 80%, em uma série de cinco cobranças, pode-se concluir que a probabilidade de esse jogador errar, 
exatamente, quatro pênaltis, é de
A 0,64% 
B 0,68% 
C 0,72% 
D 0,78%
E 0,84%
QUESTÃO 20 
A campanha Nacional de Incentivo à Doação de Órgãos de 2010 traz o 
conceito “Deixe sua marca, multiplique vidas”. Ela expressa a importância de 
ser um doador. No transplante de medula, existe uma probabilidade muito 
maior de haver compatibilidade quando o doador e o receptor são da mesma 
família. Entre irmãos, as chances de compatibilidade são de 1 para 4. Quando 
o transplante não acontece entre membros da mesma família, a chance de 
encontrar um doador compatível é de 1 em 3 milhões. (ABTO, 2010).
De acordo com o texto, a probabilidade de um paciente, necessitando de transplante de medula, com 4 irmãos 
vivos, encontrar entre eles, pelo menos, um doador compatível, é de
A 
145
256
B 
155
256
C 
165
256
D 
175
256
E 185/256 
 
GABARITO
CAPÍTULO 01
Questões Resolvidas na Videoaula
01-A 02-D 03-A 04-B
Questões Resolvidas
01-E 02-D 03-D
Mamatas e Durezas
01-C 02-E 03-B 04-C
05-E 06-A 07-D 08-B
09-B 10-B 11-E 12-B
13-B 14-A 15-C 16-D
17-C 18-D 19-D 20-D
21-E
CAPÍTULO 02
Questões Resolvidas na Videoaula
01-D 02-E 03-A
Questões Resolvidas
01-A 02-A 03-D
Mamatas e Durezas
01-B 02-D 03-D 04-E
05-C 06-C 07-B 08-E
CAPÍTULO 03
Questões Resolvidas na Videoaula
01-E 02-A 03-D 04-C
Questões Resolvidas
01-C 02-D
Mamatas e Durezas
01-D 02-D 03-C 04-A
05-C 06-B 07-D 08-C
09-E
CAPÍTULO 04
Questões Resolvidas na Videoaula
01-B 02-D 03-C 04-E
Questões Resolvidas
01-C 02-E 03-D 04-B
05-B 06-B 07-C
Mamatas e Durezas
01-B 02-D 03-D 04-E
05-C 06-A 07-C 08-B
09-B 10-B 11-E 12-C
13-B 14-RESOLVIDA 15-D
16-D 17-E 18-C 19-A
20-D
CAPÍTULO 05
Questões Resolvidas
01-RESOLVIDA 02-E
Questões Resolvidas na Videoaula
01-C 02-C 03-D
Mamatas e Durezas
01-A 02-C 03-A 4-B
05-A 06-B 07-C 8-D
09-C 10-C 11-B 2-B
13-C 14-C 
	probabilidade Murakami
	Botão 20: 
	Botão 42: 
	Página 29: 
	Botão 43: 
	Página 31: 
	Página 33: 
	Página 35: 
	Página 37: 
	Página 39: 
	Botão 21: 
	Botão 22: 
	Botão 23: 
	Botão 24: 
	Botão 25: 
	Botão 26: 
	Botão 32: 
	 :