aula_8_Int_Vibracao_Aleatoria_rv

Prévia do material em texto

Unesp 
 Ilha Solteira 
Introdução a Vibrações 
Aleatórias 
João Antonio 
Unesp 
 Ilha Solteira 
 Alguns sistemas podem vibrar de maneira aleatória. Nestes sistemas não se tem 
 como prever o que acontecerá com seu comportamento em um tempo t qualquer, 
 mesmo quando já se tem algumas informações obtidas num tempo t=t0, ou num certo 
 intervalo de tempo T. 
 
 Introdução 
 
 Uma variável randômica X, de forma geral, é uma variável que assume qualquer 
 valor de forma aleatória. Pode ser pensada como uma variável, uma função de 
 dados correspondentes a um dado experimento randômico. 
 
 A forma de especificar como se dá os diferentes valores da variável randômica é 
 através da Função de Distribuição de Probabilidade ou Função Densidade de 
 Probabilidade 
)xX(P)x(F 
dx
)x(dF
)x(f 
Unesp 
 Ilha Solteira 
 
 O assunto vibrações aleatórias consiste em averiguar de que forma as características 
 estatísticas do movimento de um sistema excitado aleatoriamente (ex. comportamento 
 da calda de um avião atravessando uma tempestade) dependem das características 
 estatísticas da excitação (rajadas de ventos) e das propriedades dinâmicas do 
 sistema vibrante (massa, rigidez e amortecimento) 
 Introdução 
Unesp 
 Ilha Solteira 
 
Para um melhor entendimento do problema, considere inicialmente o comportamento (time 
history) de um sistema determinístico ( não randômico), por exemplo, de uma senoidal de 
amplitude xo e freqüência . 










2
0
2
0
0
1
cos
x
x
x
dx
tx
dx
dttsenxtx 0)(  dttxtdx  cos)( 0
O tempo que x(t) permanece no intervalo x e x+dx por ciclo, pode ser estimado como sendo 
22
0 xxT
dx2
T
)dt(2


 22
0
)(2
xx
dx
T
dt



 /2T 
Função densidade de probabilidade 
Unesp 
 Ilha Solteira 
Para um instante de 
tempo conhecido, t = t0 
valor de x(t0) é 
imediato 
variável determinística 
 
(Ex. senoide) 
Para um instante de 
 tempo qualquer t = 
 qual valor de x(t0) ??? 
 É possível predizer x(t0) ??? 
 t0 se encontra em um ciclo 
incompleto ??? 
Variável determinística 
 
(Ex. senoide) 
Predizer o valor de x(t0) 
● chance de x(t0) se encontrar dentro do 
 intervalo x e x+dx 
● depende somente de quanto x(t0) permanece 
 dentro do intervalo x e x+dx 
)dxx)t(xx(obPr 0   Fração tempo que x(t) se encontra entre x e x+dx 
 pelo tempo total (1 ciclo) 
Função densidade de probabilidade 
Unesp 
 Ilha Solteira 
T
dt
dxxtxxProb
)(2
))(( 0 
0022
0
0 ))(( xxxpara
xx
dx
dxxtxxProb 



 
 ou 
Utilizando a definição de função de 
probabilidade de 10 ordem 
 dxxpdxxtxxProb  ))(( 0
00
22
0
1
)( xxxpara
xx
xp 



Função densidade de probabilidade 
Unesp 
 Ilha Solteira 
 Gráfico da fdp de uma senoide 
Conforme pode ser observado, qualquer valor, escolhido de forma arbitraria, se encontra 
dentro dos limites –x0 e +x0. A probabilidade de x(t0) ter um valor entre x e x+dx é a área 
achureada, já probabilidade de que x(t0) tenha um valor entre de –x0 e +x0 é a integral da 
função e, conseqüentemente, deve ter um valor unitário (probabilidade de 100%), pois a 
probabilidade de x(t0) se encontrar em qualquer valor fora da faixa de –x0 e +x0 é zero. Uma 
onda senoidal de amplitude x0 constante, nunca atinge valores fora dos seus limites – x0 e +x0. 




0
0
)())((Pr 0
x
x
dxxpdxxtxxob  

 

0
0
22
0
0
1
))((Pr
x
x
dx
xx
dxxtxxob

Função densidade de probabilidade 
Unesp 
 Ilha Solteira 
A fdp fornece a densidade de distribuição dos valores de x. Isso pode ser visto na 
figura abaixo. Observe que a função senoide permanece um tempo maior próxima 
dos valores de pico do que do valor médio, ou seja, a função densidade de 
probabilidade aumenta na direção dos extremos e é mínima em torno da média. 
 
Função densidade de probabilidade 
Unesp 
 Ilha Solteira 
 Processo Aleatória Tempo histórico de um dado processo 
))(( 0 dxxtxxProb   É dada pela fração tempo em que x(t) se encontra entre 
 x e x+dx em relação ao tempo total de observação 
T
dt
T
dtdtdtdt
dxxp n




)...(
)( 321
Função densidade de probabilidade 
Unesp 
 Ilha Solteira 
 Cálculo da fdp de um processo aleatório (Analisador de Probabilidade) 
)dxx)t(xx(obPr 0 
N
dn
dxxp )(
  Fração do número total de amostras que se encontra 
 dentro da banda x e x+dx pelo número total de intervalos. 
 
T
dt
T
dtdtdtdt
dxxp n




)...(
)( 321
Função densidade de probabilidade 
Unesp 
 Ilha Solteira 
Distribuição Gaussiana 
 
Um fato interessante que ocorre na vida real é que muitas situações 
envolvendo vibrações aleatórias que ocorrem natureza têm, a bem conhecida, 
distribuição de probabilidade na forma de sino, 
 
 
 
As constantes m e σ são denominadas média e desvio padrão da distribuição e 
podem ser facilmente calculadas. No caso do processo ser realmente randômico 
elas levam a uma perfeita representação das características do processo. 
 
2
2
2
mx
e
2
1
)x(p 



m  media 
  desvio padrão 
Função densidade de probabilidade 
Unesp 
 Ilha Solteira 
Valor médio 
As características de um processo aleatório x(t), podem ser estudadas em termos das 
suas propriedades médias (estatísticas). Considerando que existe uma função de 
densidade de probabilidade para o processo, p(x), então é possível estimar algumas 
propriedades estatísticas do processo. Inicialmente é discutido o valor médio (mean) de 
x(t), usualmente denotado por E[x], em que o operador E[.] significa “esperança 
estatística de”. 
 
 
 
 
Unesp 
 Ilha Solteira 

T
0
dt)t(xT]x[E 
T
T
dt
txxE
0
)(][
 → Área total abaixo da curva x(t) durante o intervalo T (a área abaixo da 
 linha do zero é subtraída da área total) 
 
 
 
T]x[E
Cálculo da media E[x] 
Função densidade de probabilidade 
)dxxexentreencontrase)t(xquetempodefração(.)t(x
T
dt
)t(x
t
T
0

Unesp 
 Ilha Solteira 
 
 
 
Valor médio 
Função densidade de probabilidade 
Unesp 
 Ilha Solteira 
 
 
 
Valor médio 
Função densidade de probabilidade 
Unesp 
 Ilha Solteira 
 
 
 
Unesp 
 Ilha Solteira 
Valor médio Quadrático 
Unesp 
 Ilha Solteira 
Variância 
Unesp 
 Ilha Solteira 
Unesp 
 Ilha Solteira 
mxE ][
222 mxE ][
Unesp 
 Ilha Solteira 
Unesp 
 Ilha Solteira 
Unesp 
 Ilha Solteira 
Unesp 
 Ilha Solteira 
Unesp 
 Ilha Solteira 
Unesp 
 Ilha Solteira 
Unesp 
 Ilha Solteira 
Unesp 
 Ilha Solteira 
Unesp 
 Ilha Solteira 
Unesp 
 Ilha Solteira 
Unesp 
 Ilha Solteira 
Unesp 
 Ilha Solteira 
Unesp 
 Ilha Solteira 
Unesp 
 Ilha Solteira 
Unesp 
 Ilha Solteira 
Unesp 
 Ilha Solteira 
Unesp 
 Ilha Solteira 
Unesp 
 Ilha Solteira 
mxy  myx 
0][][  yExE
Unesp 
 Ilha Solteira 
Unesp 
 Ilha Solteira 
Unesp 
 Ilha Solteira 
Unesp 
 Ilha Solteira 
Unesp 
 Ilha Solteira 
Unesp 
 Ilha Solteira 
Unesp 
 Ilha Solteira 
Unesp 
 Ilha Solteira 
Unesp 
 Ilha Solteira 
Unesp 
 Ilha Solteira 
Unesp 
 Ilha Solteira 
Unesp 
 Ilha Solteira 
Unesp 
 Ilha Solteira 
Unesp 
 Ilha Solteira 
Unesp 
 Ilha Solteira 
Unesp 
 Ilha Solteira 
Unesp 
 Ilha Solteira 
Unesp 
 Ilha Solteira 
Unesp 
 Ilha Solteira 
Unesp 
 Ilha Solteira 
UnespIlha Solteira 
Unesp 
 Ilha Solteira 
Unesp 
 Ilha Solteira 
Unesp 
 Ilha Solteira 
Unesp 
 Ilha Solteira 
Unesp 
 Ilha Solteira 
Unesp 
 Ilha Solteira 
Unesp 
 Ilha Solteira 
Unesp 
 Ilha Solteira 
Unesp 
 Ilha Solteira 
Unesp 
 Ilha Solteira 
Unesp 
 Ilha Solteira 
Unesp 
 Ilha Solteira 
Unesp 
 Ilha Solteira