EQUAÇÃO DE BERNOULLI COM PERDA DE CARGA - EXERCÍCIO RESOLVIDO

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MECÂNICA DOS FLUIDOS 
André Pucciarelli Contato: (19) 998207507 
 
EQUAÇÃO DE BERNOULLI COM PERDA DE CARGA – EXERCÍCIO RESOLVIDO 
 
Um tanque de 3 metros de diâmetro está inicialmente cheio com água até 2 metros acima do 
centro de um orifício com diâmetro de 10 centímetros e aresta viva. A superfície da água do tanque 
é aberta para a atmosfera e o orifício drena para a atmosfera através de um tubo com 100 metros 
de comprimento. O coeficiente de atrito do tubo pode ser considerado como 0,015 e o efeito do 
fator de correção de energia cinética pode ser desconsiderado. Determine: 
 
a) A velocidade inicial na saída do tanque; 
b) O tempo necessário para esvaziar o tanque; 
 
 
 
 
Resolução: Inicialmente, como de costume, vamos determinar algumas aproximações para 
facilitar o estudo desse exercício. Primeiro, vamos considerar que o escoamento é 
incompressível, ou seja, a densidade do fluido no ponto 1 é igual à no ponto 2. Vamos também 
desconsiderar os conceitos de variação de energia cinética. 
 
Nesse caso, como o tanque estará sendo esvaziado, o regime não é permanente, pois a 
velocidade no ponto 2 varia à medida que o fluido do tanque é esvaziado. 
 
Como podemos perceber pelo enunciado, o tanque inicia com uma determinada quantidade de 
fluido em seu interior e é esvaziado pelo ponto 2. Tanto o ponto 1 como o ponto 2 estão abertos 
para a atmosfera, ou seja, suas pressões serão: 
 
𝑃1 = 𝑃2 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 = 0 
 
No tubo de 100 metros, haverá duas perdas de pressão: 
 
i. A distribuída, que será dada pelo fator de atrito de 0,015 dado no enunciado; 
ii. A localizada, que é dada devido ao canto vivo no fim do tubo, apresentando 
constante de perda de pressão de 𝐾 = 0,5 (valor tabelado) 
Outra aproximação que podemos fazer é com a velocidade do escoamento no ponto 1. Como sua 
área é muito maior que a área do ponto 2, o escoamento apresentará velocidade muito menor 
do que em 2. Sendo assim, podemos considerar que 𝑣1 = 0. 
 
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a) Agora, para determinar a velocidade inicial no ponto 2, quando o tanque se encontra 
completamente cheio, vamos aplicar a equação de Bernoulli entre 1 e 2. Em seu modo mais geral, 
teremos: 
 
 
 
 A partir das aproximações, a equação fica: 
 
O valor de 𝛼2 = 1 e ℎ𝐿 está relacionado ao valor da perda de pressão distribuída (ℎ𝐿𝑚𝑎𝑗𝑜𝑟 ) e 
localizada (ℎ𝐿𝑀𝑖𝑛𝑜𝑟) citadas acima. Sendo assim, o ℎ𝐿 será: 
 
Substituindo o valor de ℎ𝐿na equação de Bernoulli, teremos: 
 
A velocidade no ponto 2 quando o tanque encontra-se completamente cheio será de: 
 
 
 
b) Agora, para determinarmos o tempo necessário para esvaziar todo o tanque, vamos ter 
que determinar o conceito de vazão volumétrica, onde vamos multiplicar a velocidade no ponto 
2 com a área do tubo em 2, tendo então: 
 
 
 
Como vemos na equação acima, 𝑣2 depende da altura ‘z’ do nível da água em 1. 
 
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Para determinar a relação entre volume do tanque, vazão e tempo, devemos fazer: 
 
 
Onde sabemos que o variação ‘dV’ do volume depende da vazão multiplicado por um período de 
tempo ‘dt’. 
 
Já o volume do tanque vai depender da área da seção transversal do tanque (que é constante) e 
da altura do nível da água ‘dz’, sendo dada por: 
 
 
 
Agora, vamos relacionar estas 3 equações, igualando os ‘dV’: 
 
 
 
Isolando ‘dt’: 
 
 
 
Como sabemos, inicialmente a altura do ponto 1 era ‘𝑧1’, sendo ela 2 metros e, no final, será de 
0. Agora, vamos integrar essa equação entre o tempo 0 e ‘𝑡𝑓’, que é o que queremos determinar 
nesse item ‘b’: 
 
 
 
 
 
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Portanto, o tempo necessário para esvaziar o tanque será de: