CALCULO DE INTEGRAL POR PARTES EXERCÍCIO 3 LIVRO CÁLCULO E ÁLGEBRA LINEAR KAPLAN-LEWIS, PG 329 EDIÇÃO 1974

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CALCULO DE INTEGRAL POR FRAÇÕES PARCIAIS – EXERCÍCIO 3 – LIVRO CÁLCULO E
ÁLGEBRA LINEAR – KAPLAN-LEWIS, PG 329 – EDIÇÃO 1974
∫ [2 x−1]
[x2−4 ]
dx
O grau do denominador é maior que o grau do numerador, o que permite a realização da integral por
frações parciais sem qualquer outro procedimento. Verifica-se que o numerador é uma diferença de 
quadrados, pelo que a fatoração será dada por:
x2 – 4 = x2 – 22 = (x + 2) (x – 2)
Teremos, então:
(2 x−1)
(x2−4)
= 
[2 x−1]
[(x+2)(x−2)]
[2 x−1]
[(x+2)(x−2)]
= 
A
(x+2)
+
B
(x−2)
 
[2 x−1]
[(x+2)(x−2)]
= 
A (x−2)+B(x+2)
[(x+2)(x−2)]
Simplificando:
[2 x−1] = A (x−2)+B (x+2)
Desenvolvendo:
2x – 1 = Ax – 2A + Bx + 2B → 2x – 1 = x (A + B) + (– 2A + 2B)
Daí resultam as seguintes equações, ao comparar o coeficiente de x e o termo independente:
1) A + B = 2 → A = 2 – B 
2) – 2A + 2B = – 1
1) em 2)
– 2 (2 – B) + 2B = – 1
– 4 + 2B + 2B = – 1
– 4 + 4B = – 1 →4B = – 1 + 4 → 4B = + 3 →B = 3
4
Em 1)
A + 
3
4
 = 2 →A = 2 – 3
4
→A = (8−3)
4
→A = 5
4
Então:
[2 x−1]
[(x+2)(x−2)]
= 
(5/4)
(x+2)
+
(3/4 )
(x−2)
 =
= 
[2 x−1]
[(x2−4)]
= 
(5/4)
(x+2)
+
(3/4 )
(x−2)
Retornando à integral:
∫ [2 x−1]
[x2−4 ]
dx = ∫ (5 /4)
(x+2)
+
(3/4)
(x−2)
dx 
∫ [2 x−1]
[x2−4 ]
dx = ∫ (5 /4)
(x+2)
dx+∫ (3/ 4)
(x−2)
dx = ...
... ∫ [2 x−1]
[x2−4 ]
dx = 
5
4∫
1
(x+2)
dx+
3
4∫
1
(x−2)
dx = ... 
Solução:
____________________________________________
| ∫ [2 x−1]
[x2−4 ]
dx = 
5
4
ln | x+2|+ 3
4
ln| x−2| + C |
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