AULA 5 - QUANTIFICADORES - DIAGRAMAS LÓGICOS

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 MATEMÁTICA E LÓGICA PROF SÉRGIO SARKIS RACIOCÍNIO LÓGICO 
AULA 5 QUANTIFICADORES – DIAGRAMAS LÓGICOS 
 
QUANTIFICADORES 
 
Quantificadores são palavras ou expressões que 
indicam que houve quantificação. São exemplos de 
quantificadores as expressões: existe, algum, 
todo, cada, pelo menos um, nenhum. 
Não encontramos nos dicionários esses conceitos 
sobre quantificadores. Esse termo, no entanto, é 
de uso comum na Lógica. 
 
PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS – DIAGRAMAS 
LÓGICO 
Em algumas situações, símbolos matemáticos são 
usados para facilitar a compreensão e o estudo de 
temas mais teóricos, inclusive de outras áreas, 
como a Lógica Matemática. 
 
Os Diagramas de Venn são ferramentas utilizadas 
para facilitar o estudo de sentenças lógicas 
argumentativas. Veja os exemplos: 
 
1) Proposição do tipo “Todo A é B “. 
Exemplo: todo mamífero é um animal. 
Podemos ter 2 possibilidades de representação em 
forma de diagramas. 
 
Todo elemento de A é elemento de B ou seja: 
A B. 
 
Diagramas 
 
 
 
 
 
 
 
 Caso genérico Caso particular 
 
2) Proposição do tipo “Algum A é B “. 
Exemplo: algum número par é primo. 
Essa proposição nos leva a pensar em 4 
possibilidades de representação (diagramas) 
Pelo menos um elemento de A é elemento de B. 
 
 
 
 
 
 
 
Todos os elementos de A estão em B ou seja: 
A  B 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pode ocorrer ao contrário ou seja todo B está em 
A ou seja B  A 
 
 
 
 
 
 
E pode ocorrer de ambos serem iguais (A = B) 
 
 
 
 
 
 
 
3) Proposição do tipo “Algum A não é B “. 
Exemplo: algum pesquisador não é professor. 
Podemos ter 3 possibilidades de representação 
Existe elemento de A que não faz parte de B. 
 
Diagramas 
 
 
 
 
 
 
 Caso genérico Caso particular 
 
Quando dizemos algum não podemos deixar de 
pensar na possibilidade de serem todos. 
 
 
 
 
 
 
 
4) Proposição do tipo “Nenhum A é B“. 
Exemplo: nenhum número par é impar 
Esta proposição afirma que A e B são dois 
conjuntos disjuntos ( intersecção vazia ). 
 
Diagrama 
 
 
 
 
Exemplo 
Se é verdade que “Alguns A são R” e que “Nenhum 
G é R”, então 
é necessariamente verdadeiro que: 
a) algum A não é G; 
b) algum A é G; 
c) nenhum A é G; 
d) algum G é A; 
e) nenhum G é A. 
 
 
 
 

 
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AULA 5 QUANTIFICADORES – DIAGRAMAS LÓGICOS 
Solução: 
Vamos representar os diagramas: 
“Alguns A são R” (o conjunto A tem contato com o 
conjunto R) 
 “Nenhum G e R” (o conjunto G não tem contato 
com R). 
Nesse caso existem duas possibilidades para o 
conjunto G: ter ou não contato com A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que em qualquer hipótese teremos que 
algum A não será G ou seja alternativa correta 
letra A. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1) Algum A é B. Todo A é C. Logo: 
a) algum D é A 
b) todo B é C. 
c) todo C é A. 
d) todo B é A. 
e) algum C é B 
 
2) Todo A é B, e todo C não é B, portanto: 
a) algum A é C; 
b) nenhum A é C; 
c) nenhum A é B; 
d) algum B é C; 
e) nenhum B é A; 
 
3) Se todos os jaguadartes são momorrengos e 
todos os momorrengos são cronópios então pode-
se concluir que: 
a) é possível existir um jaguadarte que não seja 
momorrengo. 
b) é possível existir um momorrengo que não seja 
jaguadarte. 
c) todos os momorrengos são jaguadarte. 
d) é possível existir um jaguadarte que não seja 
cronópio. 
e) todos os cronópios são jaguadartes 
 
4) (FCC) Considerando “todo livro é instrutivo” 
como uma proposição verdadeira, é correto inferir 
que: 
a) “Nenhum livro é instrutivo” é uma proposição 
necessariamente verdadeira; 
b) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição 
necessariamente verdadeira; 
c) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição 
verdadeira ou falsa; 
d) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição 
verdadeira ou falsa; 
e) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição 
necessariamente verdadeira. 
5) Todas as estrelas são dotadas de luz própria. 
Nenhum planeta brilha com luz própria. Logo, 
a) todos os planetas são estrelas. 
b) nenhum planeta é estrela. 
c) todas as estrelas são planetas. 
d) todos os planetas são planetas. 
 
6) Sabe-se que existem pessoas desonestas e que 
existem corruptos. Admitindo-se verdadeira a 
frase:" Todos os corruptos são desonestos”, é 
correto concluir que 
a) quem não é corrupto é honesto. 
b) existem corruptos honestos. 
c) alguns honestos podem ser corruptos. 
d) existem mais corruptos do que desonestos. 
e) existem desonestos que são corruptos. 
 
7) (FCC) Em certo planeta, todos os Aleves são 
Bleves, todos os Cleves são Bleves, todos os 
Dleves são Aleves, e todos os Cleves são Dleves. 
Sobre os habitantes desse planeta, é correto 
afirmar que 
a) Todos os Dleves são Bleves e são Cleves. 
b) Todos os Bleves são Cleves e são Dleves. 
c) Todos os Aleves são Cleves e são Dleves. 
d) Todos os Cleves são Aleves e são Bleves. 
e) Todos os Aleves são Dleves e alguns Aleves 
podem não ser Cleves. 
 
8) Considere as seguintes afirmações: 
- Todo escriturário deve ter noções de Matemática. 
- Alguns funcionários do Tribunal de Contas do 
Estado de São Paulo são escriturários. 
Se as duas afirmações são verdadeiras, então é 
correto afirmar que: 
a) Todo funcionário do Tribunal de Contas do 
Estado de São Paulo deve ter noções de 
Matemática. 
b) Se Joaquim tem noções de Matemática, então 
ele é escriturário. 
c) Se Joaquim é funcionário do Tribunal de Contas 
do Estado de São Paulo, então ele é escriturário. 
d) Se Joaquim é escriturário, então ele é 
funcionário do Tribunal de Contas do Estado de São 
Paulo. 
e) Alguns funcionários do Tribunal de Contas do 
Estado de São Paulo podem não ter noções de 
Matemática. 
 
9) Considere as seguintes premissas: 
– Todo Físico é inteligente. 
– Todo Físico sabe Matemática. 
– Perseu é inteligente. 
– Levi sabe Matemática. 
e as conclusões: 
I. Levi é inteligente. 
II. Perseu é Físico. 
III. Existem pessoas que sabem Matemática e são 
inteligentes. 
 
 
 
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 MATEMÁTICA E LÓGICA PROF SÉRGIO SARKIS RACIOCÍNIO LÓGICO 
AULA 5 QUANTIFICADORES – DIAGRAMAS LÓGICOS 
Relativamente a essas conclusões, é correto 
afirmar que, com certeza, APENAS 
a) I é verdadeira. 
b) II é verdadeira. 
c) III é verdadeira. 
d) II é falsa. 
e) I é falsa. 
 
10) (CESPE) Considere as seguintes frases. 
I Todos os empregados da PETROBRAS são ricos. 
II Os cariocas são alegres. 
III Marcelo é empregado da PETROBRAS. 
IV Nenhum indivíduo alegre é rico. 
Admitindo que as quatro frases acima sejam 
verdadeiras e considerando suas implicações, 
julgue os itens que se seguem. 
1. Nenhum indivíduo rico é alegre, mas os cariocas, 
apesar de não serem ricos, são alegres. 
2. Marcelo não é carioca, mas é um indivíduo rico. 
3. Existe pelo menos um empregado da 
PETROBRAS que é carioca. 
4. Alguns cariocas são ricos, são empregados da 
PETROBRAS e são alegres 
 
 
GABARITO 
 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
E B B B B E D E C CCEE