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FUNDAMENTOS DE 
GEOMETRIA
Celso Pessanha Machado
Introdução à geometria 
euclidiana plana
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Descrever as origens da geometria.
 � Definir raciocínio dedutivo e métodos de demonstração.
 � Reconhecer a geometria formalizada.
Introdução
Neste capítulo, você iniciará uma jornada pela geometria, uma seção da 
matemática que trata das medidas de áreas, perímetros e distâncias e 
está diretamente relacionada ao cotidiano, fazendo parte da elaboração 
de plantas e no desenho das cidades.
Além de conhecer as origens da geometria, você também encontrará 
muitas informações sobre as demonstrações que provam deduções feitas 
pelos estudiosos da matéria. Tais demonstrações compõem a essência da 
própria matemática e fascinam todos os que entram em contato com ela.
Origens da geometria
A necessidade de calcular distâncias é um atributo de várias espécies, pois um 
predador selvagem que pretende garantir sua refeição na savana, por exemplo, 
deve calcular quando há uma proximidade razoável para tentar o ataque, sob 
pena de ter que despender desnecessariamente muita energia na busca por 
alimento (Figura 1).
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Figura 1. Um cálculo preciso de distância pode ser a garantia de um bom almoço na savana.
Fonte: Elana Erasmus/Shutterstock.com
Durante centenas de anos, os caçadores humanos tiveram que medir e 
calcular mentalmente as distâncias que havia entre eles e suas presas ou 
verificar o melhor local para montar uma armadilha. Também era necessário 
algum censo de direção para que grupos de caçadores mais bem preparados 
pudessem voltar à sua origem, garantindo alimentação para outros integrantes 
do grupo (MLODINOW, 2008).
 Os cálculos não precisavam de maior precisão nas sociedades de coletores 
e caçadores. Todavia, com o passar do tempo, a sociedade humana desenvolveu 
a agricultura, e, com isso, a medição de terrenos tornou-se uma prática cada 
vez mais importante, dando início a uma nova era, em que as mensurações 
deveriam ser precisas para que fossem registradas. A finalidade era garantir 
a posse e, com a organização de Estados, a cobrança de impostos. Tais acon-
tecimentos incentivaram o estudo sistemático das medidas e a criação de 
especialistas no assunto, encarregados de estudar e aplicar métodos cada vez 
mais exatos (MACHADO; GIRAFFA, 2009).
Povos habitantes da Mesopotâmia, como os babilônicos, tinham conhe-
cimentos matemáticos vindos da agrimensura, os hindus tinham medidas 
para os seus altares, e inúmeros artefatos encontrados na China demonstram 
conhecimentos sobre relações matemáticas nas figuras planas. O conhecimento 
de algumas dessas relações permitiu que os egípcios construíssem as suas 
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pirâmides, mas foi na Grécia que tal conhecimento se sistematizou e ganhou 
o nome pelo qual é conhecida mundialmente: geometria. 
A palavra geometria é oriunda da língua grega — geo = terra e metron 
= medir —, ou seja, o termo está ligado às origens históricas da disciplina. 
Foram os gregos que sistematizaram o estudo geométrico, eternizando al-
guns nomes, como Tales de Mileto, Eudoxo, Arquimedes, Pitágoras, Pla-
tão e Aristóteles. Observe que alguns dos citados são mais lembrados pela 
contribuição à filosofia. Vale lembrar-se de que o conhecimento não tinha, 
na época, uma divisão rígida entre as disciplinas como temos atualmente. 
Portanto, os pensadores transitavam pelos saberes com muito mais liberdade. 
O grande registro dos métodos matemáticos foi descrito numa grande obra, 
Os elementos de geometria, de Euclides (1944), cujo conteúdo será objeto de 
análise na próxima seção.
Raciocínio dedutivo e métodos de 
demonstração 
Euclides (1944), na sua obra Os elementos de geometria, escreveu um tratado 
sobre o conhecimento matemático de sua época. O trabalho consiste em 13 
livros, e boa parte do conhecimento geométrico ensinado nas escolas de 
ensino fundamental e médio de hoje é abordada nele. O livro é importante 
pela proposição de axiomas (ou postulados) que servirão de base para o ra-
ciocínio dedutivo matemático. Antes de tratar deles, vamos compreender o 
que é raciocínio dedutivo.
Um dos métodos do raciocínio lógico é a dedução, que consiste num pro-
cesso no qual uma conclusão se baseia na concordância de premissas, em 
geral, consideradas verdadeiras. Aristóteles concebeu o silogismo, exemplo 
clássico do raciocínio dedutivo, que consiste em que:
todos os homens são mortais;
Sócrates é um homem;
logo, Sócrates é mortal.
Generalizando, teremos que:
todos os A são B; 
todos os B são C.
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Portanto:
todos os A são C.
De modo geral, segundo Gensler (2017), é possível verificar que um silo-
gismo tem duas premissas, contém um quantificador (alguns, todos...), sendo 
expresso no modo afirmativo ou negativo. Nas duas premissas, há um termo 
comum, geralmente indicado por B, sendo possível relacionar os outros dois 
elementos (A e C) por meio de uma conclusão, como vimos no parágrafo 
anterior.
Esse método é base de boa parte das demonstrações matemáticas. Entre-
tanto, na época de Euclides (1944), nem todas premissas geométricas podiam 
ser provadas, e a solução encontrada foi considerar que algumas proposições 
deveriam ser consideradas como verdadeiras sem demonstração: os postulados 
ou axiomas.
 � Axiomas
 ■ Axioma I: pode-se traçar uma única reta ligando quaisquer dois 
pontos.
 ■ Axioma II: pode-se continuar (de uma maneira única) qualquer reta 
finita continuamente em uma reta.
 ■ Axioma III: pode-se traçar um círculo com qualquer centro e qual-
quer raio.
 ■ Axioma IV: todos ângulos retos são iguais.
 ■ Axioma V: se uma reta, ao cortar outras duas, forma ângulos internos, 
no mesmo lado, cuja soma é menor do que dois ângulos retos, então 
essas duas retas encontrar-se-ão no lado onde estão os ângulos cuja 
soma é menor do que dois ângulos retos.
 � Postulados
 ■ Postulado 1: dados dois pontos distintos, há um único segmento de 
reta que os une.
 ■ Postulado 2: um segmento de reta pode ser prolongado indefinida-
mente para construir uma reta.
 ■ Postulado 3: dados um ponto e uma distância quaisquer, pode-se 
construir uma circunferência de centro naquele ponto e com raio 
igual à distância dada.
 ■ Postulado 4: todos os ângulos retos são congruentes (semelhantes).
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 ■ Postulado 5: se duas linhas intersectam uma terceira linha, de tal 
forma que a soma dos ângulos internos em um lado é menor que 
dois ângulos retos, então as duas linhas devem intersectar-se nesse 
lado, se forem estendidas indefinidamente.
Euclides (1944) também propôs definições, como as que são apresentadas 
a seguir.
I. Ponto é o que não tem partes, ou o que não tem grandeza alguma. 
II. Linha é o que tem comprimento, porém não tem largura.
III. As extremidades da linha são pontos.
IV. Linha reta é aquela que está posta igualmente entre as suas extremidades.
V. Superfície é o que tem comprimento e largura.
VI. As extremidades da superfície são linhas.
VII. Superfície plana é aquela sobre a qual assenta toda uma linha reta entre 
dois pontos quaisquer que estiverem na mesma superfície.
Há outras definições, porém apresentamos as mais relevantes para nossos 
estudos de geometria: o ponto, a reta e o plano. Na Figura 2, a seguir, pode-
mos ler que o ponto é adimensional, ou seja, não tem dimensões, a reta tem 
uma dimensão, isto é, só tem comprimento, e o plano tem duas dimensões, 
comprimento e largura. 
Figura 2. Ponto (A), reta (BC), plano (DEFG).
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Definido um método, com as bases assentadas em axiomas, postulados 
e definições, foi possível desenvolver as demonstrações matemáticas que 
são o cerne, o caminho que cria ferramentas analíticas e novos métodos. A 
demonstração, segundo Eves (1995), não se estabeleceu de um momento para 
outro, mas foi desenvolvendo-se e impondo-se, colocando-se no centrodo 
pensamento matemático.
Observe este exemplo de exercício de lógica.
Alguns habitantes das cavernas usam fogo.
Todos que usam fogo têm inteligência.
Portanto:
a) todos os habitantes das cavernas têm inteligência.
b) todos que têm inteligência usam fogo. 
c) alguns habitantes das cavernas têm inteligência. 
d) nenhum habitante das cavernas tem inteligência.
e) usar fogo em cavernas é perigoso.
Utilizando o método dedutivo, temos que:
A = alguns habitantes, B = usar fogo, C = inteligência
A → B
B → C
A → C
Portanto, alguns habitantes têm inteligência. Logo, a alternativa correta é a C.
Geometria formalizada
O pensamento matemático se desenvolveu historicamente por acréscimo, ou 
seja, pensadores após pensadores foram contribuindo para expansão da área, 
sem invalidar ou descartar os conhecimentos anteriores. Para que você tenha 
uma ideia disso, um professor do ensino fundamental poderia usar muito dos 
Elementos de Euclides para planejar suas aulas, pois o conteúdo dos livros do 
sábio grego continua verdadeiro. 
Por que isso acontece? Pela organização proposta em axiomas, postulados 
e demonstrações, que tornam indiscutíveis os resultados, dando a certeza de 
que, no momento da prova ou em qualquer situação futura, tais enunciados 
permanecerão válidos e incontestáveis.
Vamos ver um exemplo simples: prove que é a diagonal de um quadrado.
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Observe o quadrado da Figura 3, a seguir.
Figura 3. Quadrado.
Um quadrado é formado por quatro lados iguais, paralelos dois a dois, cujo 
lado pode ser denotado pela letra l. A diagonal do quadrado é uma segmento 
de reta que liga dois vértices da figura (Figura 4).
Figura 4. Diagonal.
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A diagonal divide o quadrado em dois triângulos retângulos congruentes. 
Pelo teorema de Pitágoras, temos que o quadrado da hipotenusa é igual à 
soma dos quadrados dos catetos. Observe que a diagonal do quadrado é a 
hipotenusa do triângulo retângulo, e os lados são os catetos. Denominando a 
diagonal como D, e os lados como l, podemos expressar o valor da diagonal 
utilizando o teorema pitagórico:
D2 = l2+l2
Assim:
D2 = 2l2
Como desejamos o valor da diagonal e não o do quadrado da diagonal, 
devemos extrair a raiz quadrada dos dois termos:
√D2 = √2l2
Logo:
D = l√2 , terminando a demonstração.
Tal descoberta foi responsável por uma das grandes crises da matemática 
e também a provável causa do assassinato do matemático grego Hipaso de 
Metaponto. Para você entender, saiba que Pitágoras fundou a escola pitagórica, 
onde homens e mulheres estudavam arte, filosofia, matemática e música, 
devendo seguir determinados preceitos. A estrutura do grupo era a que hoje 
denominamos de seita, cheia de segredos e procedimentos secretos. Essas 
pessoas acreditavam na existência concreta dos números em um universo 
paralelo, uma cosmovisão na qual todas as coisas podem ser determinadas, 
se encontrarmos as relações numéricas adequadas (VENTURA, 2019).
 Essas ideias levaram à crença da perfeição dos números, que expressavam 
a racionalidade do universo. Deduzir a lei que determina a raiz da diagonal do 
quadrado levou à descoberta do número , irracional, cujas casas se expandem 
para o infinito sem apresentar um padrão para o surgimento dos algarismos 
à esquerda da vírgula. A existência de um número irracional destruiu a base 
na qual os pitagóricos fundamentaram suas crenças, levando a uma crise 
que perturbou e atrasou o desenvolvimento matemático. Quanto a Hipaso, 
ele era pitagórico e teria insistido na divulgação do segredo da existência de 
grandezas incomensuráveis, sendo condenado por seus pares e jogado para 
morte em algum ponto do litoral da Grécia.
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Você pode verificar um exemplo de construção geométrica não europeia em um 
puzzle muito utilizado nas escolas de educação básica brasileira: o Tangram (Figura 
5) — quebra-cabeça composto por sete peças, dois triângulos grandes, dois pequenos, 
um médio, um quadrado e um paralelogramo.
Figura 5. Tangram montado no formato de um quadrado.
Fonte: maksimee/ Shutterstock.com.
Há diversas lendas sobre a criação do Tangram, todavia o registro concreto 
do jogo foi feito por Yang-cho-chü-shih, que escreveu, editou e publicou o 
primeiro durante o reinado de Chia-ch’ing (1796–1820) (SLOCUM et al., 
2004). Segundo Slocum et al. (2004), divertiram-se e estudaram o quebra-
-cabeça celebridades como Napoleão Bonaparte, Lewis Carrol (que além de 
escritor de Alice no país das maravilhas, era matemático), Edgar Allan Poe, 
Hans Christian Anderson e Michael Faraday. 
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Você pode divertir-se montando diversas figuras com Tangram, como um cisne, por 
exemplo:
ou uma casa:
Como você pode observar, a imaginação e a criatividade não são atributos exclusivos 
dos povos ocidentais. Há muito para aprender na diversidade das culturas.
EUCLIDES. Os elementos de geometria. São Paulo: Edições Cultura, 1944.
EVES, H. Introdução à história da matemática. Campinas: UNICAMP, 1995.
GENSLER, H. J. Introduction to logic. 3rd ed. New York: Routledge, 2017.
MACHADO, C. P.; GIRAFFA, L. M. M. História das ferramentas para ensino de Geometria: 
da corda com 12 nós aos Softwares Educacionais. Educação Matemática em Revista, 
São Paulo, v. 14, p. 9–14, 2009.
MLODINOW, L. A janela de Euclides: a história da geometria, das linhas paralelas ao 
hiperespaço. São Paulo: Geração Editorial, 2008.
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SLOCUM, J. et al. The Tangram book: the story of the Chinese puzzle with over 2000 
puzzles to solve. New York: Sterling, 2004. 
VENTURA, D. O assassinato cometido para ocultar uma descoberta matemática ‘peri-
gosa’. BBC News, 3 mar. 2019. Disponível em: https://www.google.com/amp/s/www.
bbc.com/portuguese/amp/geral-47436677. Acesso em: 24 maio 2019.
Leitura recomendada
ÁVILA, G. Euclides, geometria e fundamentos. Revista do Professor de Matemática, [s. l.], v. 
45, 2001. Disponível em: http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/2010/
veiculos_de_comunicacao/RPM/RPM45/RPM45_01.PDF. Acesso em: 24 maio 2019.
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