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Equações do 1º grau 
(Parte 2) 
 
 
Profa. Dra. Denise Ortigosa Stolf 
 
Sumário Página 
Expressões algébricas ou literais ................................................................................................ 1 
Conjunto universo e conjunto solução de uma equação ............................................................ 3 
Como verificar se o número dado é raiz de uma equação .......................................................... 5 
Equações equivalentes ................................................................................................................ 6 
 Como reconhecer se duas ou mais equações são equivalentes ........................................... 6 
Os princípios de equivalência .................................................................................................... 6 
 Como escrever uma equação equivalente a uma equação dada .......................................... 6 
 Princípios da igualdade ....................................................................................................... 6 
 Princípio aditivo da igualdade ......................................................................................... 6 
 Princípio multiplicativo da igualdade .............................................................................. 7 
Referências bibliográficas .......................................................................................................... 8 
 
 
 
 
 
 1
EQUAÇÕES DO 1º GRAU 
 
Expressões algébricas ou literais 
 
São expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter números. São 
também denominadas expressões literais. 
Em muitos problemas podemos usar letras para generalizar uma situação. 
Veja como podemos expressar o perímetro de alguns polígonos cujos lados têm 
a mesma medida, representada pela letra x. 
 
 
 
• Triângulo eqüilátero: xxxx 3=++ 
• Quadrado: xxxxx 4=+++ 
• Pentágono regular: xxxxxx 5=++++ 
 
Agora, para escrever a expressão do perímetro do retângulo abaixo: 
 
Temos: 
nm
nnmm
nmnm
22 +
=+++
=+++
 
 
 2
No cotidiano, muitas vezes usamos expressões sem perceber que as mesmas 
representam expressões algébricas ou numéricas. 
As letras nas expressões são chamadas incógnitas ou variáveis o que significa 
que o valor de cada letra pode ser substituído por um valor numérico. 
Exemplos: 
a) Numa papelaria, quando calculamos o preço de um caderno somado ao preço 
de duas canetas, usamos expressões como 1x+2y, onde x representa o preço do 
caderno e y o preço de cada caneta. 
b) Num colégio, ao comprar um lanche, somamos o preço de um refrigerante 
com o preço de um salgado, usando expressões do tipo 1x+1y onde x representa 
o preço do salgado e y o preço do refrigerante. Usamos a subtração para saber o 
valor do troco. Por exemplo, se V é o valor total de dinheiro disponível e T é o 
valor do troco, então temos uma expressão algébrica do tipo V− (1x+1y) = T. 
c) Consideremos P = 2A+10 e tomemos A=5. Assim: 
P = 2⋅5 + 10 
P = 10 + 10 
P = 20 
Aqui A é a variável da expressão, 5 é o valor numérico da variável e 20 é o valor 
numérico da expressão indicada por P. 
d) As expressões algébricas são encontradas muitas vezes em fórmulas 
matemáticas. Por exemplo, no cálculo de áreas de retângulos, triângulos e outras 
figuras planas. 
 
Expressão algébrica Objeto matemático Figura 
A = b · h Área do retângulo 
 
A = b · h / 2 Área do triângulo 
 
P = 4 a Perímetro do quadrado 
 
 
 3
Conjunto universo e conjunto solução de uma equação 
Consideremos as seguintes situações: 
1ª) Dentre os elementos do conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, qual deles podemos 
colocar no lugar da letra x para tornar verdadeira a equação 62 =+x ? 
Fazendo a substituição, vemos que o elemento é o número 4, pois: 
66 
624
62
=
=+
=+x
 
Assim: 
• O conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, formado por todos os elementos que a 
incógnita x pode assumir, é denominado conjunto universo da equação. 
• O conjunto {4}, formado pelo elemento de A que torna verdadeira a equação, 
chama-se conjunto solução da equação. 
• O número 4 é a solução ou raiz da equação. 
 
Síntese: 
Equação dada: 62 =+x 
Conjunto universo: U = {0, 1, 2, 3, 4, 5} 
Conjunto solução: S = {4} 
Solução ou raiz da equação: o número 4 
 
 
2ª) Qual é o número natural que podemos colocar no lugar da letra x para tornar 
verdadeira a equação 153 =x ? 
Fazendo a substituição, vemos que o número natural é 5, pois: 
1551 
1553
153 
=
=⋅
=x
 
Os demais números naturais não tornam verdadeira a equação. 
Assim: 
 4
• O conjunto � dos números naturais, que representa os valores que a incógnita 
x pode assumir, é denominado conjunto universo da equação. 
• O conjunto {5}, formado pelo elemento de � que torna verdadeira a equação, 
chama-se conjunto solução da equação. 
• O número 5 é a solução ou raiz da equação. 
 
Síntese: 
Equação dada: 153 =x 
Conjunto universo: U = � 
Conjunto solução: S = {5} 
Solução ou raiz da equação: o número 5 
 
 
3ª) Qual é o número inteiro que podemos colocar no lugar da letra y para tornar 
verdadeira a equação 512 −=+y ? 
Fazendo a substituição, vemos que o número natural é –3, pois: 
55 
51)3(2
512 
−=−
−=+−⋅
−=+y
 
Síntese: 
Equação dada: 512 −=+y 
Conjunto universo: U = � 
Conjunto solução: S = {–3} 
Solução ou raiz da equação: o número –3 
 
Pelas situações dadas, você verifica que, dada uma equação, devemos 
estabelecer inicialmente um conjunto numérico formado por todos os valores 
pelos quais a incógnita pode ser substituída. Esse conjunto é chamado conjunto 
universo da equação. 
Assim: 
• Se U = �, a incógnita pode assumir o valor de qualquer número natural. 
• Se U = �, a incógnita pode assumir o valor de qualquer número inteiro. 
• Se U = �, a incógnita pode assumir o valor de qualquer número racional. 
 5
Você verifica, também, que o conjunto solução (S) de uma equação é formado 
por todos os valores do conjunto universo dado que tornam verdadeira a equação 
e, por esse motivo, também pode ser chamado conjunto verdade (V) da 
equação. 
O conjunto solução pode ter um ou mais elementos, podendo ser também um 
conjunto vazio. 
 
 
Como verificar se o número dado é raiz de uma equação 
Cada um dos valores que, colocados no lugar da incógnita, transforma a equação 
em uma sentença verdadeira é chamado de raiz da equação. Para verificarmos 
se um dado número é ou não raiz de uma equação, basta substituirmos a 
incógnita por esse número e observarmos se a sentença obtida é ou não 
verdadeira. 
Exemplos: 
a) Verificar se o número 3 é raiz da equação 6235 +=− xx . 
(V) 1212 
66315 
632335
6235 
=
+=−
+⋅=−⋅
+=− xx
 
Logo, o número 3 é raiz da equação 6235 +=− xx . 
b) Verificar se o número –2 é raiz da equação 535y2 +=− yy . 
(F) 114 
56104 
5)2(3)2(5)2(
535y 
2
2
−≠
+−=+
+−⋅=−⋅−−
+=− yy
 
Logo, o número –2 não é raiz da equação 535y2 +=− yy . 
 6
Equações equivalentes 
Como reconhecer se duas ou mais equações são equivalentes 
É através do conjunto solução que identificamos as equações equivalentes. 
Em um mesmo conjunto universo, duas ou mais equações que apresentam o 
mesmo conjunto solução (não vazio) são denominadas equações equivalentes. 
Exemplo: 
Consideremos as equações, sendo U = �: 
{7} S onde ,7
{7} S onde ,310
{7} S onde ,103
==
=−=
==+
x
x
x
 
7 número o é que raiz,ou solução
mesma a apresentam equações as Todas
 
As equações 103=+x , 310==x e 7=x apresentam a mesma raiz ou solução. 
Por esse motivo, são chamadas equações equivalentes. 
A forma mais simples de representar essas equações é 7=x . 
 
 
Os princípios de equivalência 
Como escrever uma equação equivalente a uma equação dada 
É através do conjunto solução que identificamos as equações equivalentes. 
Como de uma equação chegamos a uma equação equivalente a ela?Para isso 
precisamos utilizar os princípios da igualdade, esses princípios são utilizados 
tanto para encontrar equações equivalentes como para qualquer tipo de 
igualdade matemática. 
 
Princípios da igualdade 
 
►Princípio aditivo da igualdade 
Esse princípio diz que em uma igualdade matemática se adicionarmos um 
mesmo valor aos dois membros de uma equação, obteremos uma equação 
equivalente à equação dada. Veja o exemplo: 
 7
► Dada a equação 813 =−x , se somarmos 5 aos dois membros da sua 
igualdade, teremos: 
)813 equação à eequivalent é que equação outra à (chegamos 1343 
58513
813 
=−=+
+=+−
=−
xx
x
x
 
 
Conforme o princípio aditivo da igualdade, as duas equações são equivalentes. 
Se acharmos as raízes das duas equações, perceberemos que são iguais, então 
afirmaremos o que esse princípio diz - que as duas são equivalentes. Veja o 
cálculo das suas raízes: 
 
3 
3
1
9
3
1
3 
93 
 18113
813 
=
⋅=⋅
=
+=+−
=−
x
x
x
x
x
 
 
 {3}S= 
3 
 
3
1
9
3
1
3 
93 
 413443
1343 
=
⋅=⋅
=
−=−+
=+
x
x
x
x
x
 
 
 {3}S= 
 
As raízes são iguais, portanto confirmamos o princípio aditivo da igualdade. 
 
 
►Princípio multiplicativo da igualdade 
Esse princípio diz que ao multiplicarmos ou dividirmos os dois membros da 
igualdade pelo mesmo número, desde que esse seja diferente de zero, obteremos 
outra equação que será equivalente à equação dada. Veja o exemplo: 
► Dada a equação 21=−x , uma das formas de achar uma equação equivalente 
a ela é utilizando o princípio multiplicativo da igualdade. Se multiplicarmos os 
dois membros dessa igualdade por 4, teremos: 
 
)21 equação à eequivalent é que equação outra à (chegamos 844 
24)1(4
21 
=−=−
⋅=−⋅
=−
xx
x
x
 
 8
Já sabemos que suas equações são equivalentes se suas raízes são iguais. Então, 
vamos calcular as raízes do exemplo acima, para verificarmos se realmente são 
equivalentes. 
 
3 
 1211
21 
=
+=+−
=−
x
x
x
 
 
 {3}S= 
 3 
 
4
1
12
4
1
4 
124 
 48444
844 
=
⋅=⋅
=
+=+−
=−
x
x
x
x
x
 
 
 {3}S= 
 
As raízes são iguais, portanto confirmamos o princípio multiplicativo da 
igualdade. 
 
 
 
Referências bibliográficas 
[1] A conquista da matemática (5ª a 8ª Série). Giovanni, Castrucci e Giovanni Jr.. Editora 
FTD. 
[2] Matemática (Projeto Araribá) (5ª a 8ª Série). Editora Moderna. 
[3] Tudo é matemática (5ª a 8ª Série). Luiz Roberto Dante. Editora Ática. 
[4] Matemática hoje é feita assim (5ª a 8ª Série). Antonio José Lopes Bigode. Editora FTD. 
[5] Matemática no plural (5ª a 8ª Série). Marcos Miani. Editora IBEP. 
[6] http://www.brasilescola.com