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Matemática
1ª edição
2017
Matemática
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Palavras do professor
Caro aluno,
Seja bem-vindo à disciplina de Matemática, pela qual entenderemos a 
importância dos números em nosso cotidiano.
Os números e a sua história vêm acompanhando todos os avanços da 
civilização humana, assim como a crescente necessidade de resolver pro-
blemas, dos mais variados tipos, no cotidiano profissional e pessoal da 
humanidade.
Se voltarmos à idade da pedra, percebemos que, por meio da contagem 
dos animais, surgiram os números naturais. Desde então, com o desen-
volvimento exponencial da população e os avanços obtidos pela globa-
lização, há uma necessidade cada vez maior entre os seres humanos de 
realizar cálculos de créditos e débitos, assim como a divisão por bens, ter-
ritórios, entre outros, fazendo-se necessário o surgimento dos números 
inteiros e fracionários, respectivamente.
Assim, observamos, que com o passar dos tempos e com o objetivo de 
facilitar o estudo dos pesquisadores, os números foram sendo agrupados 
em vários tipos de conjuntos. Nessa diversidade deles, encontramos o dos 
números naturais, que posteriormente foi transformado em conjunto de 
números inteiros, para que os cálculos pudessem ter números negativos 
em suas operações. Além deles, temos o conjunto dos números racionais, 
entre outros. Para identificar cada um, estudiosos adotaram uma letra 
maiúscula, de modo que ela exerça uma linguagem universal dentro da 
matemática.
Nesse contexto, com esses conjuntos numéricos formados, foi possível 
atribuir outros conceitos matemáticos na resolução de problemas como, 
por exemplo, as funções, as matrizes, a análise combinatória, entre outros.
Vamos aos estudos!
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Unidade 1
Introdução aos Números Inteiros 
e Funções
Para iniciar seus estudos
Você está iniciando o estudo da primeira unidade da disciplina de Mate-
mática. Preparado para questões, apontamentos e prática? Esta unidade 
aborda o universo dos números e seus respectivos conjuntos números, 
bem como suas operações e propriedades. Ainda aqui você conhecerá o 
conceito de funções e alguns de seus respectivos tipos. Vamos lá?
Objetivo de Aprendizagem
• Introduzir e contextualizar números inteiros e como estes são apli-
cados, assim como os conceitos e tipos de funções são classificados.
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Matemática | Unidade 1 - Introdução aos Números Inteiros e Funções
1.1 Contextualizando os números
Os números estão cada vez mais presentes no nosso dia a dia, pois é por meio deles que podemos realizar a con-
tagem, isto é, identificar o número de contas a serem pagas mensalmente ou a quantidade de produtos vendidos 
na loja, entre outras aplicações. 
No entanto, acredita-se que, bem antes da criação dos números, essa contagem já era utilizada pelo homem, 
porém de uma forma mais rudimentar se comparada aos dias atuais, ou seja, ela era realizada por meio de obje-
tos, sendo a pedra o objeto mais comum na época.
Por meio da história, conta-se que no pastoreio, para que as ovelhas fossem contadas, seu dono as representava 
por uma pedrinha pequena guardada em um recipiente qualquer. Dessa forma, todos os dias era realizada a con-
tagem das ovelhas e o pastor, por meio das pedras, conseguia identificar se estavam sobrando ou faltando seus 
animais, pois mantinha uma relação um para um, isto é, uma pedra era igual a uma ovelha e vice-versa.
Outra forma de representação de contagem também poderia ser identificada por meio de desenhos em caver-
nas, cortes em pedaços de madeira, nós em corda, sendo todos usados para identificar e representar a marcação 
de quantidades.
No entanto, com a evolução humana em relação às comunidades criadas, por exemplo, teve-se a necessidade de 
aprimorar a forma de contagem, pois novos e os mais variados tipos de contagens foram necessários. Não bas-
tava apenas contar as pessoas, mas era necessário fazê-lo para a quantidade de comida e a forma como ela seria 
dividida entre os povos. Assim, cada civilização passou a representar a marcação de quantidade com símbolos 
próprios, dando origem à escrita numérica e aos diferentes sistemas de numeração.
A numeração representada pelos povos egípcios era feita com traços verticais para os algarismos de 1 a 9, con-
forme ilustramos no quadro a seguir:
Quadro1 – Representaçãodos algarismos de 1 a 9 pelos egípcios.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
| || ||| |||| ||||| |||||| ||||||| |||||||| |||||||||
Legenda: Representavam numérica egípcia.
Fonte: Elaborado pelo autor (2018).
A partir do número dez, eles adotavam outra simbologia, na qual para a dezena era utilizado um símbolo que 
representava o calcanhar, já para a centena um símbolo que representava o rolo de corda e assim sucessivamente.
Já os maias, tinham sua própria representação simbólica para os números de um a 19: era considerado um sis-
tema de numeração visegimal, ou seja, um sistema de base 20.
Os romanos, por sua vez, usavam combinações de vários símbolos para poder fazer a marcação de numeração, 
conforme apresentamos no quadro a seguir:
Quadro 2 – Representaçãodos algarismos 1 a 9 pelos romanos.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
| || ||| IV V VI VII VIII IX
Legenda: Representação numérica romana.
Fonte: Elaborado pelo autor (2018).
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Matemática | Unidade 1 - Introdução aos Números Inteiros e Funções
Comparado aos demais sistemas de numeração criados na antiguidade, o sistema de numeração romano, mais 
sofisticado, é composto pelas letras, I, V, X, L, C, D, M, porém todas devem estar em caixa alta (letra maiúscula). Os 
valores para cada uma das letras são indicados por:
• I representa 1;
• V representa 5;
• X representa 10;
• L representa 50;
• C representa 100;
• D representa 500;
• M representa 1000.
Nesse contexto, notamos que, independentemente de civilização, os sistemas de numeração são utilizados por 
todos com o mesmo objetivo: a representação de quantidade.
No Brasil, o sistema de numeração adotado é o decimal, isto é, um mesmo algarismo pode assumir diferentes 
valores, dependendo da posição em que ocupa no numeral. Cada uma dessas posições é denominada de ordem, 
de modo a identificar se o algarismo é uma centena, dezena ou unidade.
Figura 1.1 – Exemplos de numerações
Legenda: Os números podem ser combinados de várias formas por meio de suas posições.
Fonte: Plataforma Deduca (2018).
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Para cada uma das ordens desses algarismos, os conjuntos numéricos são criados para que possam ser represen-
tados os sistemas de numeração e seus respectivos tipos.
Dentre os conjuntos numéricos existentes na matemática, o conjunto numérico é o mais importante, porém 
dentre os conjuntos estão os naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais e complexos. Vamos ver cada um deles 
a seguir.
1.1.1 Conjunto de números naturais (N)
Os conjuntos naturais, matematicamente representados pela letra maiúscula N, foram criados devido à necessi-
dade de contar objetos. Ele começa pelo valor zero e infinitamente é acrescentada uma unidade.
Como conjuntos dos números naturais, temos:
N = { 0,1,2,3,…,13,14,….100,101…,10000,….}
Caso o elemento zero seja excluído do conjunto N, este deve ser representado por N*. 
Dentre as operações que podem ser realizadas no conjunto N, estão a adição, subtração, multiplicação e divisão.
A operação de adição é adotada quando se deseja fazer a soma de dois ou mais elementos ou então quando 
desejamos adicionar uma determinada quantidade à outra.
Um exemplo da operação de adição pode ser dado por meio da soma de cinco bananas a três maçãs em um cesto 
de fruta, ou seja, por meio desse somatório, o cesto de frutas teria como resultado a quantidade de oito frutas.
Quando nos referimos à operação de adição, algumas propriedades, segundo Scheinerman (2016), são estabe-
lecidas e precisam ser levadas em consideração em sua aplicação, por exemplo:
• Propriedade comutativa: a ordem dos fatores não altera a soma dos produtos, isto é, se a e b são dois 
números naturais quaisquer, então a + b = b +a, isto é, 2 + 5 = 7, assim como 5 + 2 = 7.
• Propriedade associativa: é utilizada na adição ou no somatório de três ou mais números, associando os 
elementos em ordens diferentes. Por exemplo, dados três números naturais, representados por a, b e c, 
temos que (a + b) + c = a + (b + c), isto é, (2 + 3) + 1 = 6, da mesma forma que 2 + (3 + 1) = 6.
• Elemento neutro da adição: é a adição de um número natural com o zero. Desta forma, a soma sempre é 
igual ao valor do número natural. Por exemplo, a + 0 = 0 + a, ou seja, 2 + 0 = 2, assim como 0 + 2 = 2. Ao 
valor zero é dado o nome de elemento natural da adição.
Além da adição, outra operação muito utilizada no conjunto de números naturais é a subtração, utilizada quando 
se deseja fazer a retirada de uma quantidade ou então quando desejamos saber quanto uma quantidade tem a 
mais que a outra.
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Matemática | Unidade 1 - Introdução aos Números Inteiros e Funções
Como exemplo, temos: “Um celular smartphone custa R$ 1.500,00, enquanto que o outro custa R$ 890,00. Qual 
a diferença de preço entre os dois?”.
Para resolver essa diferença de preço, realizamos a seguinte operação matemática: 1.500,00 - 890,00 = 610,00. 
Assim, identificamos que os celulares apresentam uma diferença de preço no valor de R$ 610,00.
Assim como na operação de adição, Scheinerman (2016) define algumas propriedades para a operação de sub-
tração, a saber:
• Propriedade comutativa: na subtração, não existe propriedade comutativa, pois dados dois números 
naturais, a e b, temos que a - b ≠ b - a.
• Propriedade associativa: o mesmo podemos dizer para a propriedade associativa, que não se aplica à 
operação subtração, como (a - b) - c ≠ a - (b - c) 
• Elemento neutro da subtração: a subtração de números naturais não apresenta elemento neutro, já que 
a - 0 = a, mas 0 - a = -a, assim -a não pertence ao conjunto de elementos naturais.
Para todas as operações matemáticas (adição, subtração, multiplicação e divisão) existem 
propriedades a serem seguidas. Embora essas propriedades apresentem, normalmente, o 
mesmo nome, nem sempre podem ser aplicadas da mesma forma nos cálculos. 
Já a operação de multiplicação do conjunto de números naturais associa situações nas quais desejamos adicionar 
determinado número de parcelas iguais, bem como saber a forma como podemos dividir essas parcelas. Vejamos 
um exemplo de multiplicação na sequência:
Cada andar de um edifício tem dois apartamentos. Se o prédio tem três andares, qual seria o total do número 
total de apartamentos?
Nesse caso, poderíamos fazer o cálculo por meio da operação de adição, como por exemplo:
2 + 2 + 2 = 6
Para uma quantidade pequena de valores, a soma poderia ser útil; porém, para uma quantidade grande de valores, 
ela se torna ineficaz e, para isso, temos a multiplicação. Como operação e resultado para esse problema, temos:
2 × 3 = 6
Para Sheinerman (2016), as principais propriedades da multiplicação são:
• Propriedade comutativa: na multiplicação de dois números do conjunto dos números naturais quaisquer, 
a ordem dos fatores não altera o valor do produto. Sendo assim, dado dois números a e b, temos que 
a × b = b × a.
• Propriedade associativa: nessa operação, os elementos podem ser associados de formas diferentes, pois 
não se alteram, por exemplo: (a × b) × c = a × (b × c)
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Matemática | Unidade 1 - Introdução aos Números Inteiros e Funções
• Elemento neutro da multiplicação: na multiplicação de qualquer número natural por 1, o produto é sem-
pre igual a esse número. Assim, se é um número natural qualquer, temos que a ×1 = 1 × a = a.
• Propriedade distributiva: nessa propriedade, o produto de um número natural por uma soma é igual à 
soma dos produtos desse número em cada uma das parcelas. Simplificando, dados os números naturais 
a, b e c, temos que a×(b + c) = a × b + a×.
Por fim, a operação de divisão, também chamada de quociente, está associada a situações em que se deseja 
dividir quantidade em partes iguais.
Como exemplo, podemos dividir a quantidade de 20 chicletes entre cinco crianças, em partes iguais. Como nota-
ção e resultado dessa operação, temos: 20 ÷ 5 = 4.
Em relação às propriedades da divisão, consideramos as definidas por Scheinerman(2016):
• Propriedade comutativa: na divisão, essa propriedade não é aplicada, pois dois números naturais a e b, 
sendo naturais a ≠ b temos que 
• Propriedade associativa: essa propriedade também não se aplica à operação de divisão, pois dados os 
números naturais a, b e c, temos que (a ÷ b) ÷ c ≠ a ÷ (b ÷ c).
• Elemento neutro da divisão: não existe elemento neutro na divisão, pois 5 dividido por 1 é igual a 5, porém 
1 dividido por 5 não pertence ao conjunto dos números naturais.
1.1.2 Conjunto de números inteiros ou inteiros relativos (Z)
Os números inteiros são números naturais que permitem que seja acrescentado o sinal de positivo e negativo, 
mais o número zero. A notação matemática para representado do conjunto Z é dada por:
Z = {…,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,…}
Assim, podemos dizer que N é um subconjunto de Z. Logo, todo número natural é um número inteiro.
Figura1.2 – Representação dos números inteiros em relação aos números naturais
 
 
 
Legenda: Conjunto de números inteiros (Z) em relação ao conjunto de números naturais (N).
Fonte: Elaborada pelo autor (2018).
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Sempre que falamos de números inteiros, algumas informações e representações são de 
suma importância, tais como: Z+ são os números inteiros não negativos; Z- são os números 
inteiros não positivos; Z+*são os números inteiros estritamente positivos (sem o zero); Z-*são 
os números inteiros estritamente negativos (sem o zero). 
Assim como no conjunto de números naturais, os números inteiros adotam e utilizam as operações de adição, 
subtração, multiplicação e divisão. Porém, como em Z existem números negativos e positivos, em determinadas 
operações é necessária a utilização dos parênteses (GERSTING, 2016).
Na adição de dois números inteiros, se os valores apresentarem sinais diferentes, é necessário subtrair a menor 
parcela da maior e conservar o sinal da parcela de maior módulo.
Um exemplo de uma adição com dois números de mesmo sinal é dado pela soma dos módulos e atribuindo o 
sinal comum a eles.
(+2) + (+5) = +7
(-2) + (-5) = -7
No entanto, quando os números apresentam sinais diferentes, ou seja, um número com valor positivo e outro 
com o valor negativo, temos o seguinte exemplo de adição:
(-2) + (+5) = +3
(+2) + (-5) = -3
Para a operação de subtração no conjunto de números inteiros, o processo de cálculo é dado pela retirada dos 
números dos parênteses e subtração do número de menor módulo do número de maior módulo.
Como exemplos de cálculos de subtração no conjunto de inteiros, temos:
33 - 10 = 23
(-35) - (+8) = -35 - 8 = -43
(+5) - (+3) = 5 - 3 = 2
90 - (-20) = 90 + 20 = 110
A multiplicação dos conjuntos inteiros segue o mesmo raciocínio apresentado pelo conjunto dos números natu-
rais; no entanto, é necessário que sejam cuidados os sinais.
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Se na frente dos parênteses houver um sinal positivo, os parênteses são retirados e o sinal 
dos números de seu interior é conservado. Já se, na frente dos parênteses, houver um sinal 
negativo, ao retirarmos os parênteses, devemos trocar o sinal dos números do seu interior. 
Assim, para a multiplicação ou produto de dois números inteiros, o primeiro é multiplicado pelo segundo e o sinal 
(+) é atribuído ao resultado se os dois números tiverem sinais iguais e sinal (-) se os dois números tiverem sinais 
contrários.
Como exemplo, temos:
(+2) × (+2)= +4
(+2) × (-2) = -4
(-2) × (-2) = +4
(-2) × (+2) = -4
Na multiplicação de dois números inteiros, há uma regra que precisa ser levada em consi-
deração no momento do cálculo: 1) Se multiplicarmos dois números inteiros que tenham 
o mesmo sinal, o resultado será positivo.2) Se multiplicarmos dois númerosinteiros que 
tenham sinais diferentes, o resultado será negativo. 
A operação de divisão dos números inteiros é a mesma do conjunto dos números naturais, apenas levando em 
consideração a regra de sinais vista na multiplicação de números inteiros.
Dessa forma, para o quociente ou divisão de dois números inteiros, dividimos o primeiro pelo segundo número e 
então atribuímos ao resultado o sinal de (+) ou (-).
Como exemplos de divisão de números inteiros, temos:
(+64) ÷ (-8) = -8
(-100) ÷ (-20) = +5
(-120) ÷ (+6) = -20
Cabe ressaltar que, para a divisão ocorrer, o divisor precisa ser diferente de zero; caso contrário, não há necessi-
dade de divisão entre os números.
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1.1.3 Conjunto de números racionais (Q)
Os números racionais são os números representados na forma de em que p e q são números inteiros, em que 
o q ≠ 0.
A notação matemática adotada para a representação de um conjunto de números racionais é dada por:
Como todos os elementos do conjunto dos números inteiros (Z) pertencem ao conjunto dos números racionais 
(Q), então:
Dessa forma, dizemos que uma fração ou um número fracionário representa um número racional e sua notação 
é representada da seguinte forma:
Onde a é o numerador e b é o denominador. Assim, a e b são números inteiros com b ≠ 0. O denominador tem 
como objetivo indicar em quantas partes iguais a unidade foi ou será dividida.
O numerador e o denominador são os elementos que compõem uma fração. 
1.1.4 Conjunto de números irracionais (I)
Dizemos que os números irracionais são os números reais que não são racionais, isto é, são os números cuja 
representação decimal não é exata, nem periódica e que, em consequência desse fato, não podem ser escritos 
na forma de fração. São representados por:
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Como exemplo de números racionais, temos:
Observarmos que nenhum dos elementos do conjunto I pertence aos conjuntos N, Z ou Q.
1.1.5 Conjunto de números reais (R)
Até o momento, todos os números apresentados são chamados de números reais, ou seja, o conjunto de núme-
ros reais é formado por todos os números racionais acrescido dos números irracionais.
Dizemos que:
a. Todo número natural é real;
b. Todo número inteiro é real;
c. Todo número racional é real;
d. Todo número irracional é real.
Sua notação matemática é dada da seguinte forma:
As regras para a utilização dos operadores: adição, subtração, multiplicação e divisão seguem as mesmas apre-
sentadas pelo conjunto de números inteiros, conforme vimos na seção 2.1.2.
1.1.6 Números decimais
Esses números são conhecidos por apresentar uma parte inteira e outra parte fracionária, sendo a primeira repre-
sentada pelos algarismos que estão à esquerda da vírgula, enquanto que a parte fracionária é representada pelos 
algarismos que se encontram à direita da vírgula.
A parte fracionária pode ser finita ou infinita. Por exemplo:
2,30
3,33333….
Note no primeiro exemplo que o algarismo 2 representa o número inteiro, enquanto que o 30 representa a parte 
fracionária do número decimal. Esse é um exemplo de número decimal finito. Já no segundo exemplo, a parte 
fracionária é composta de reticências, o que define o número como sendo decimal infinito.
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1.1.7 Conjunto de números complexos (C)
Esse conjunto se refere aos números que não são reais, isto é, as raízes de índices par de números negativos.
O conjunto de números complexos é composto por todos os números na forma , em que a e b são 
números reais e .
Desse modo, dizemos que o conjunto de números reais é um subconjunto dos números complexos.
1.2 Funções
Para Gersting (2016), o termo função é muito comum, mesmo em contexto não técnicos, pois podem ser utiliza-
das para representar várias situações do cotidiano como, por exemplo, o aumento dos salários dos funcionários.
Outra forma de se trabalhar com funções é no contexto matemático, a qual melhor se aplica, para resolução de 
problemas de álgebra, bem como no cálculo diferencial.
Recorde que uma função pode ser dita como uma correspondente entre dois conjuntos.
Figura 1.3 – Representação de uma função por dois conjuntos A e B
1
1
2 2
3
3
4
4
5 5
67
A B
Legenda: Ilustração de dois conjuntos A e B e suas respectivas 
correspondências para representar uma função por meio de conjuntos.
Fonte: Adaptada de Gersting (2016, p.181).
Nesse contexto, observamos na Figura 3 que todos os elementos do conjunto A apresentam correspondência 
com os elementos do conjunto B. Além disso, cada um dos elementos do primeiro conjunto está associado a 
apenas um elemento do conjunto B. Essa correspondência entre os conjuntos A e B é chamada de aplicação ou 
função de A em B.
Um exemplo de função seria a equação , que representa uma relação funcional entre os valores de x e os valores 
correspondentes que resulta da substituição, na equação, de x por seus valores (GERSTING, 2016, p. 181). Desta 
forma, se fizermos com que x tome quaisquer valores reais, o gráfico resultado será uma curva contínua, con-
forme ilustramos na Figura 4.
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Matemática | Unidade 1 - Introdução aos Números Inteiros e Funções
Figura 4– Gráfico resultante da função 
g (x)
x
(2,8)
(1,1)
(-1, -1)
Legenda: O gráfico representa uma curva contínua para a função, e os pontos 
adotados para sua representação no plano cartesiano são (2,8), (1,1), (-1, -1).
Fonte: Gesrsting (2016, p. 181).
Para Gesrsting (2016, p. 182), uma função apresenta três componentes: 
(1) um conjunto de valores iniciais, (2) um conjunto do qual os valores associados são tomados e (3) 
a associação propriamente dita. O conjunto dos valores iniciais é chamado de domínio da função, e 
o conjunto com os valores associados é chamado de contradomínio da função. Portanto, o domínio 
e o contradomínio representam o elenco dos valores passíveis de serem usados pela função. 
Podemos dizer que uma função matemática sempre relaciona dois conjuntos, porém os elementos do primeiro 
conjunto representam o domínio de uma função, pois são os elementos de partida, ou seja, por meio deles é rea-
lizada a correspondência entre o outro conjunto. Já o elemento em que o domínio é associado, é denominado de 
um conjunto de chagada ou contradomínio. Por fim, os elementos desse contradomínio são os que representam 
o conjunto de imagem de uma função. 
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Matemática | Unidade 1 - Introdução aos Números Inteiros e Funções
Figura 1.5 – Exemplos de domínio e contradomínios de uma função
Im f
f
Dom f
Domínio de f Contradomínio de f 
e conjunto imagem
Legenda: Ilustração de dois conjuntos, sendo o primeiro o domínio da função e o segundo o 
contradomínio e o conjunto imagem, baseado nas definições anteriormente apresentadas.
Fonte: Adaptada de Gersting (2016, p. 186).
Com base na definição, podemos resumidamente notar que uma função matemática nada mais é do que a rela-
ção direta e particular entre dois conjuntos, em que cada elemento do domínio apresenta apenas uma imagem, 
segundo a regra ou a função.
Uma função pode ser representada de várias formas, seja por meio de conjuntos, uma 
expressão matemática, um gráfico, uma expressão verbal, entre outras. Porém, dentre as 
representações existentes, a mais adotada para sua representação é a expressão matemá-
tica e o gráfico. 
Dizemos que o gráfico é o retrato de uma função, pois por meio dele é possível fazer análises, cotações e até 
mesmo perspectivas, ou seja, o gráfico permite visualizar melhor o comportamento da função, seu crescimento 
e seus máximos e mínimos.
O gráfico é uma das formas de representação de uma função, pois por meio de seus pontos, 
associados um a um, é possível em um plano cartesiano traçar uma reta. 
Além da diversidade de formas de representação, as funções também podem ser classificadas de várias formas: 
crescentes e decrescentes, lineares, quadráticas, cúbicas, racionais, módulo,trigonométricas, composição de 
funções etc. Nesta unidade, abordaremos os conceitos das funções que são básicas para o entendimento das 
demais existentes.
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Matemática | Unidade 1 - Introdução aos Números Inteiros e Funções
1.2.1 Funções crescentes e decrescentes
Por meio dessas funções crescentes e decrescentes, torna-se possível investigar o crescimento ou decrescimento 
de uma função real para um determinado subconjunto de valores. Veja o um exemplo na figura a seguir.
Figura 1.6 – Função crescente e decrescente
a c
d
O e
b
x
y
Legenda: O gráfico apresenta intervalos onde a função está crescente e decrescente.
Fonte: Gersting (2016, p. 192).
Notamos, nessa figura, que nos intervalos [a, c] e [d, e] a função é crescente, enquanto que nos intervalos [c, d] e 
[b, e] a função é decrescente.
1.2.2 Funções Lineares
Funções lineares são quando elas representam graficamente retas paralelas no plano cartesiano.
A notação matemática que expressa uma função linear é dada por:
Nesta função linear, as variáveis a e b são definidas como constante e todos os seus valores reais são o domínio. 
Observamos que, quando b = 0, a função linear do gráfico é representada por uma reta que passa pela origem. Já 
no caso da variável a = 0, a representação gráfica desta função é uma reta paralela ao eixo x. Se ocorrer a inter-
ceptação do eixo y na variável b, dizemos que a função é constante.
Em relação ao coeficiente angular de uma reta, ele está diretamente relacionado à variável a, ou seja, se o valor 
de a for positivo, a reta apresenta sentido crescente, senão, decrescente b, é dito como sendo o coeficiente linear. 
A figura a seguir ilustra alguns exemplos de funções lineares.
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Matemática | Unidade 1 - Introdução aos Números Inteiros e Funções
Figura 1.7 – Exemplos de funções lineares
f (x) = -5x
x
f (x) = -x - 2
x
x
f (x) = x
1
2
x
f (x) = -1
Legenda: A imagem representa graficamente como uma função linear pode ser aplicada em um plano cartesiano.
Fonte: Adaptada de Marques (2018, p. 15).
O coeficiente angular de uma reta r é definido como sendo a tangente do ângulo (α) que essa reta faz com a reta 
horizontal que a intercepta.
1.2.3 Funções Quadráticas
As funções quadráticas são representadas por parábolas quando seus gráficos são gerados e podem ser expres-
sas por:
Onde a, b e c são constantes e a ≠ 0. 
Um exemplo gráfico de uma função quadrática pode ser visualizado na figura a seguir.
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Matemática | Unidade 1 - Introdução aos Números Inteiros e Funções
Figura 1.8 – Exemplos de funções quadráticas
f (x) = -x2 - 4x + 2
xx
f (x) = x2 - 4x - 2
Legenda: A imagem ilustra graficamente a parábola da função quadrática conforme o sinal estipulado para a.
Fonte: Adaptada de Marques (2018, p. 16).
Notamos nesta figura que, nas duas imagens, as parábolas encontram-se em sentidos inversos. Nesse contexto, 
quando a concatividade da parábola é para cima, dizemos que o a é positivo; caso contrário, a concatividade é 
para baixo.
1.2.4 Funções Exponenciais
Estas funções são aquelas em que apresentam crescimento (ou decrescimento) muito rápido e, por isso, são 
utilizados experimentos, pois permitem representar fenômenos que possuem essa característica. Como exem-
plos, podemos citar: crescimento de bactérias, decaimento radioativo de elementos químicos, juros compostos, 
inflação, entre outros.
A definição matemática para as funções exponenciais é dada da seguinte forma:
Se b é um número positivo diferente de 1 ( b > ,0 b ≠ 1), então a função exponencial de base b é definida como 
f(x) = bx para qualquer número real x.
Figura 1.9 – Exemplos de funções exponenciais crescentes e decrescentes
f (x) = 10x
f (x) = 3x
f (x) = 2x
f (x) = 1,3x
f (x) = 0,1x
f (x) = 0,5x
f (x) = 0,8x
Legenda: A imagem ilustra graficamente as funções crescentes e decrescentes no plano cartesiano.
Fonte: Adaptada de Marques (2018, p. 15).
20
Matemática | Unidade 1 - Introdução aos Números Inteiros e Funções
Dentre as funções aqui apresentadas, podemos dizer que a função exponencial é bastante 
utilizada, pois muitos experimentos científicos realizados por biólogos e químicos que preci-
sam dessa função para representar graficamente o resultado de suas pesquisas. 
1.2.5 Composição de Funções
A composição de funções, em matemática, sempre é criada pela aplicação de uma função de saída, ou o resul-
tado, de outra função, e assim sucessivamente como demonstra a figura abaixo.
Figura 1.10 – Composição de funções
s
f(s) g(f(s))
S T U
Legenda: Ilustração da composição das funções baseado nos três conjuntos S, T e U.
Fonte: Gersting (2016, p. 191).
Gersting (2016) define uma função composta da seguinte forma:
Seja f : S R T e g:T R U, então a função composta, g ° f é uma função de S em U definida por (g ° f)(s)=g(f(s)).
Assim, a função g ° f é aplicada da direita para a esquerda, isto é, f é aplicada primeiro e então é aplicada a função 
g como na figura a seguir:
Figura 1.11 – Definição de função composta
f
T
U
g
g O f
S
Legenda: Ilustração, por meio de retas,de quais são os domínios e contradomínios da função.
Fonte: Gersting (2016, p. 191)
21
Matemática | Unidade 1 - Introdução aos Números Inteiros e Funções
Na figura anterior, observamos que os vértices indicam os domínios e contradomínios das três funções. 
O diagrama diz que começando com um elemento em S, se seguirmos pelo caminho ou pelo 
caminho/e depois pelo caminho g, obteremos o mesmo elemento de U. Diagramas que ilustram 
que caminhos alternativos geram os mesmos resultados são chamados de diagramas comutati-
vos (GERSTING, 2016, p. 191).
1.2.6 Funções Inversas
Para que uma função tenha uma função inversa, ela deve ser uma função bijetora. 
Uma função é dita como bijetora quando obedece ao mesmo tempo os critérios: 1) dois 
elementos quaisquer do seu domínio nunca podem ser associados a um mesmo elemento 
do contradomínio; 2) nenhum elemento do contradomínio pode ficar sem associação com 
quaisquer dos elementos do domínio. 
Glossário
Dessa forma, podemos dizer que dada uma função bijetora f(x) qualquer com pares ordenados do tipo (a, b), a 
função inversa f - 1(x) é uma função que fará o caminho inverso, ou seja, os pares ordenados terão a forma (b, a), 
conforme ilustra a próxima figura.
Figura 1.12 – Exemplo de função inversa
2
4
7
3
5
8
A B
2
4
7
3
5
8
A B
f(x) → IDA
Pares ordenados
f = {(2,3), (4,5), (7,8)}
f -1(x) → VOLTA
Pares ordenados
f -1 = {(3,2), (5,4), (8,7)}
Legenda: Ilustração de dois conjuntos de pares ordenados e como estes são 
representados quando ocorre a inversa de uma função.
Fonte: Adaptada de Gersting (2016, p.195).
22
Matemática | Unidade 1 - Introdução aos Números Inteiros e Funções
Quando se realiza a inversão de uma função y = x, é necessário que seja verificado se a função obtida (y = x) é igual 
à própria função original. Essa função é chamada de função identidade e possui a propriedade de ser a única 
função cuja inversa é ela mesma.
Graficamente, essa função f (x) = x funciona como um eixo de simetria para qualquer função e sua inversa.
Dada a função f(x)=2x+3 e sua função inversa · , ambas funções de primeiro grau, crescentes.
Figura 1.13 – Função inversa
Legenda: Ilustração da função e sua inversa no plano cartesiano, respectivamente.
Fonte: Adaptada de Marques (2018, p. 17).
Note que os pares ordenados (0, 3) e (-1,5; 0) da função foram invertidos, obtendo os pares (3, 0) e (0; -1,5) da 
função inversa 
23
Considerações finais
Nesta unidade, fizemos uma introdução ao estudo dos números, suas 
classificações e introduzimos os conceitos das funções e alguns de seus 
tipos. Assim, podemos brevemente relembrar o que foi estudado no 
decorrer da unidade:
• Conceituamos números e seu surgimento.
• Descrevemos os sistemas de numeração e seus respectivos con-
juntos.
• Entendemos os conceitos e como os conjuntos numéricos são 
diferenciados, tais como: naturais, reais, inteiros, racionais, entre 
outros.
• Ressaltamos as propriedadescomutativa, associativa e elemento 
neutro existentes em cada nas operações de adição, subtração, 
multiplicação e divisão, sendo que esta última também contém a 
propriedade distributiva.
• Definimos o conceito de função, quais são os seus três principais 
componentes: domínio, contradomínio e imagem.
• Mostramos como as funções podem ser classificadas: crescentes, 
decrescentes, entre outras.
Referências bibliográficas
24
GERSTING, J. L. Fundamentos matemáticos para a ciência da compu-
tação. São Paulo: LTC, 2016.
MARQUES, G. da C. Funções 2.In: Universidade De São Paulo (USP). Fun-
damentos de Matemática I. Curso de Licenciatura em Ciências. p. 
32-48. USP/Univesp: 2018. Disponível em:<https://midia.atp.usp.br/plc/
plc0001/impressos/plc0001_02.pdf>. Acesso em: 23 jan. 2018.
SCHEINERMAN, E. R. Matemática discreta: uma introdução. Boston: 
Cengage Learning, 2016.
https://midia.atp.usp.br/plc/plc0001/impressos/plc0001_02.pdf
https://midia.atp.usp.br/plc/plc0001/impressos/plc0001_02.pdf
Matemática
1ª edição
2017
Matemática
3
2Unidade 2
Matrizes: definições, tipos e 
operações
Para iniciar seus estudos
Possivelmente, não é a primeira vez que você ouve a palavra “matriz” na 
sua vida, mas talvez até agora esse nome deva remetê-lo ao título de um 
famoso filme de ficção científica, sobre o qual, infelizmente, não falaremos 
nesta unidade. Porém, vamos nos dedicar ao estudo das estruturas mate-
máticas que recebem o nome de matrizes. Elas são arranjos de números 
em forma de linhas e colunas nas quais podemos definir algumas opera-
ções similares às que sabemos fazer para números reais (adição, subtra-
ção, multiplicação). São importantes, porque ajudam a organizar dados e 
a manipulá-los matematicamente de modo consistente. Isso faz com que 
elas sejam fundamentais não só para matemáticos, mas também para 
programadores, engenheiros e outros cientistas. 
Vamos aos estudos!
Objetivo de Aprendizagem
• Explicar o que são matrizes, seus tipos e as principais operações 
que podem ser realizadas com seu uso na resolução de problemas.
4
Matemática | Unidade 2 - Matrizes: definições, tipos e operações
2.1 Definições iniciais sobre matrizes
Quando queremos organizar dados de forma compacta e fácil de ler, um objeto gráfico que utilizamos para cum-
prir esta função é uma tabela. Uma matriz nada mais é do que uma tabela, organizada em linhas e colunas. A 
diferença da nomenclatura entre matriz e tabela vem apenas do fato de que a primeira é um objeto matemático 
no qual podem ser definidas operações, enquanto a segunda é apenas um objeto gráfico.
Formalmente, uma matriz n × m é um arranjo de elementos numéricos dispostos em linhas e colunas, da 
seguinte forma:
Note que no encontro de cada linha com cada coluna existe um elemento denotado por . Em termos de nota-
ções, na literatura matemática também é usual encontrarmos matrizes denotadas por parênteses:
Observe ainda que costumamos utilizar letras maiúsculas (M,P,D,A,…) como rótulos para as matrizes.
Exemplo 2.1.1: Consideremos a seguinte matriz 3 × 2, isto é, com três linhas e duas colunas:
Nesse exemplo, observemos que o elemento que se encontra no cruzamento da linha 1 com a coluna 1 é a11=-1, 
no cruzamento da linha 1 com a coluna 2 é a12=-0, no cruzamento da linha 2 com a coluna 1 é a fração 
, no cruzamento da linha 2 com a coluna 2 é a22 = π, no cruzamento da linha 3 com a coluna 1 é a31=3 e, final-
mente, no cruzamento da linha 3 com a coluna 2 é o número complexo a32 = 2 + 3i. Podemos perceber que, a 
priori, matrizes podem aceitar qualquer tipo de valor numérico no cruzamento entre cada linha e cada coluna, 
inclusive números irracionais (como π) ou números complexos (como 2 + 3i).
Em uma matriz genérica M descrita por
dizemos que cada elemento aij no cruzamento da linha i com a coluna j é chamado de entrada da matriz, o qual 
ainda pode ser ainda especificado como sendo a entrada da posição i por j da matriz M. Além disso, a matriz 
5
Matemática | Unidade 2 - Matrizes: definições, tipos e operações
M pode ser denotada por Mn × m, em que fica claro que ela tem n linhas e m colunas. Ademais, M = (aij)n×m é uma 
notação simplificada da matriz descrita acima.
Entrada é cada elemento numérico encontrado no cruzamento entre uma linha e uma 
coluna de uma matriz. 
Glossário
Exemplo 2.1.2: Vamos construir uma matriz M2 × 3 com entradas aij definidas por aij = i + j. Da forma como enuncia-
mos, primeiramente vemos que a matriz deve ter duas linhas e três colunas. Além disso, cada entrada presente no 
cruzamento entre uma linha i e uma coluna j deve ser dado pela soma i + j. Por exemplo, o elemento a21, que está 
na entrada 2 × 1 (linha 2 e coluna 1), é dado pelo número 2 + 1 = 3. Fazendo isso em todas as posições, obtemos:
Logo, a matriz descrita inicialmente neste exemplo é dada por:
Como discutimos no começo desta unidade, uma matriz pode ser a representação matemática de uma situação 
prática que pode ser modelada anteriormente por uma tabela. Imaginemos, por exemplo, um campeonato de 
futebol que tenha sido disputado por quatro times: Alecrim, Babosa, Camomila e Dente de Leão. Nesse campeo-
nato, cada time jogou contra outro uma única vez. Em cada partida, se houve um ganhador, o vencedor ganhou 
três pontos e o perdedor não pontuou. Por sua vez, se houve empate, cada time recebeu um ponto. O placar dos 
jogos está indicado no Quadro 2.1 a seguir:
Quadro 2.1 - Resultado dos jogos do campeonato de futebol.
Alecrim 2 1 Babosa
Camomila 3 2 Dente de Leão
Babosa 0 1 Camomila
Dente de Leão 2 2 Alecrim
Alecrim 3 1 Camomila
Dente de Leão 0 0 Babosa
Legenda: Quadro com os placares dos jogos do campeonato de futebol mencionado nesta seção, no qual em 
cada linha a segunda coluna apresenta o número de gols marcados pelo time da primeira coluna no seu con-
fronto contra o time da quarta coluna, cujos números de gols estão assinalados na terceira coluna.
Fonte: Elaborado pelo autor (2018).
No fim do campeonato de futebol mencionado anteriormente, produzimos o Quadro 2.2 com algumas carac-
terísticas dos times: número de pontos feitos, número de gols marcados, número de gols sofridos e classificação 
final do time no campeonato (de 1 a 4):
6
Matemática | Unidade 2 - Matrizes: definições, tipos e operações
Quadro 2.2: Informações do campeonato.
Time Pontos
Gols 
marcados
Gols 
sofridos
Classificação 
final
Alecrim 7 7 4 1
Babosa 1 1 3 4
Camomila 6 5 5 2
Dente de Leão 2 4 5 3
Legenda: Quadro com informações finais de cada time do campeonato de futebol mencionado nesta seção.
Fonte: Elaborado pelo autor (2018).
Com base nos Quadros 2.1 e 2.2, podemos produzir inúmeras matrizes. Por exemplo, vamos denotar por a matriz 
dos placares dos jogos (obtida das colunas intermediárias do Quadro 1), por A a matriz 6 × 2 do campeonato 
(conforme o Quadro 2) e por C = (cij)4 × 4 a matriz definida da seguinte forma: a entrada cij é igual a 1 se o time da 
linha i venceu o time da linha j; é igual a -1 se perdeu; é igual a 0 se empatou; é igual a X se i e j são o mesmo time, 
em que i (ou j) representa o time que foi classificado em i-ésimo (j-ésimo) lugar no campeonato (por exemplo, o 
time da linha i = 2 é o Camomila, e o time da coluna j = 4 é o Babosa). Assim, as matrizes A, B e C são dadas por:
2.2 Tipos, transposição e igualdade de matrizes
Existem alguns tipos de matrizes que chamam a atenção por sua forma ou suas características de suas entradas. 
A seguir, apresentamos alguns deles:
• Matriz nula: é aquela cujas entradas são todas nulas. Por exemplo, a seguir há uma matriz nula 2 × 3:
• Matriz linha: é aquela que possui apenas uma linha. Por exemplo, a matriz 1 × 5 a seguir é uma matriz 
linha:
• Matriz coluna: é aquela que possui apenas uma coluna. A matriz com três linhas a seguir é um exemplo 
de matriz coluna:
7
Matemática | Unidade 2 - Matrizes: definições, tipos e operações
Matriz quadrada: é aquela cujo número de linhas coincide com o número de colunas. Quando uma matrizé 
quadrada e tem linhas e colunas, dizemos que ela tem ordem n. Por exemplo, a seguir há uma matriz quadrada 
de ordem 3:
Em uma matriz quadrada, os elementos (ou seja, as entradas cuja posição da linha coincide com a posição da 
coluna) formam a sua diagonal principal, enquanto os elementos aij tais que i + j = n + 1 formam a diagonal 
secundária. Na matriz A anterior, a diagonal principal é formada pelos elementos a11 = 1, a22 = 2 e a3 = 1. Por sua 
vez, a diagonal secundária é formada pelos elementos a31 = 0, a2 = 2 e a13 = -1.
Ordem de uma matriz quadrada é o seu número de linhas, o qual, nesse caso, coincide com 
o número de colunas. 
Glossário
• Matriz diagonal: é a matriz quadrada A = (aij )n × n cujas entradas aij com i ≠ j são todas nulas, isto é, cujas 
entradas fora da diagonal principal são todas iguais a zero. Por exemplo, a matriz 2×2 a seguir é diagonal:
• Matriz triangular superior: é a matriz quadrada cujas entradas abaixo da diagonal principal são todas 
nulas. Por exemplo, a matriz quadrada de ordem 3 a seguir é triangular superior, pois só elementos da 
diagonal principal e acima dela são não nulos:
• Matriz triangular inferior: é a matriz quadrada cujas entradas acima da diagonal principal são todas 
nulas. Um exemplo de matriz triangular inferior é a seguinte matriz quadrada de ordem 5:
8
Matemática | Unidade 2 - Matrizes: definições, tipos e operações
• Matriz identidade de ordem n: é a matriz diagonal de ordem cujos elementos da diagonal principal são 
todos iguais a 1. Por exemplo, a matriz identidade de ordem 4 é dada por:
Existem matrizes que “se parecem” com outras mediante uma reflexão. Se A = (aij ) é uma matriz n × m, a matriz 
B = (bij) de ordem m × n cujos elementos são definidos por bij = aji é chamada de matriz transposta de A. Em outras 
palavras, a matriz transposta B é aquela cujas colunas são as linhas de A. Tal matriz usualmente é denotada por AT.
Se A é uma matriz m × n, então AT é uma matriz n × m. Transpondo novamente esta última 
matriz, obtemos a matriz inicial de ordem m × n, isto é, (AT )T = A. Memorize essa propriedade! 
Exemplo 2.2.1: Considere a matriz A2 × 3 dada por
Transformando cada linha de A em uma coluna, obtemos a matriz transposta de A, que é dada por:
Além de transpor uma matriz, podemos encontrar também sua matriz adjunta. Se você já 
estudou números complexos, poderá entender bem esse conceito. Nesse caso, recomenda-
mos que faça uma busca na internet para descobrir a definição de matriz adjunta. 
Parece trivial, mas precisamos definir o que são matrizes iguais ou idênticas. Duas matrizes A = (aij)n × m e 
B = (bij )p × q são iguais quando o n = p (o número de linhas de uma é igual ao número de linhas da outra), 
m = q (o número de colunas de uma coincide com o número de colunas da outra) e aij = bij para todo par i, j (ou 
seja, as entradas coincidem em cada posição). Notemos, por exemplo, que as matrizes A e B abaixo não são 
iguais, mesmo tendo os mesmos elementos
9
Matemática | Unidade 2 - Matrizes: definições, tipos e operações
De fato, o elemento da primeira posição na matriz A é 1 enquanto o elemento da primeira posição na matriz B é 
diferente de 1 (é igual a 4).
Exemplo 2.2.2: Vamos encontrar x e y que façam com que as matrizes A e B sejam iguais.
Inicialmente, precisamos notar que as matrizes A e B têm o mesmo número de linhas e o mesmo número de 
colunas (senão, não poderiam ser iguais). Agora, os elementos que estão no encontro da linha 1 com a coluna 3 
em ambas as matrizes são y e x + 3. Para que A seja igual a B, devemos ter y = x + 3 (i). Por sua vez, os elementos 
que estão no cruzamento da linha 2 com a coluna 2 em A e B são x e 2y - 1. Como A = B devemos ter x = 2y - 1 (ii). 
Agora, substituindo o valor de y da expressão (i) na expressão (ii), obtemos:
Portanto, x = -5. Substituindo esse valor de x na expressão (i), obtemos y = -2. Logo, para que as matrizes A e B 
sejam iguais, devemos ter x = -5 e y = -2.
Exemplo 2.2.3: Consideremos a matriz
Vamos encontrar os números x, y e z, tais que a matriz A seja igual à matriz AT, ou seja, à sua transposta. Devemos ter:
Igualando as entradas em posições correspondentes, obtemos x2 = 9, y = 3 e 3z = 2z. Disso segue que x = ±3, 
y = 3 e z = 0.
2.3 Operações com matrizes
A vantagem de trabalhar com matrizes enquanto objeto matemático é poder realizar operações com elas. São 
três as principais operações envolvendo matrizes: adição, multiplicação por escalar e multiplicação entre matri-
zes. A seguir, estudaremos cada uma delas detalhadamente.
10
Matemática | Unidade 2 - Matrizes: definições, tipos e operações
2.3.1 Adição
Consideremos duas matrizes A = (aij)m × n e B = (bij)m × n, observando que ambas têm o mesmo número de linhas e o 
mesmo número de colunas. A adição (ou soma) dessas duas matrizes A e B, denotada por A + B, é definida como 
sendo uma nova matriz S = (sij )m × n , em que cada entrada sij é dada por aij + bij, ou seja,
Exemplo 2.3.1.1: Consideremos as matrizes
Assim, a adição de A por B é uma nova matriz quadrada de ordem 2 dada por:
Observe, ainda, que podemos fazer a adição de B por A, obtendo o mesmo resultado:
Exemplo 2.3.1.2: Tomemos as matrizes
Como a matriz M é 3 × 2 e a matriz N é 2 × 3, então não é possível realizar a adição de uma pela outra. No entanto, 
podemos realizar a adição de uma delas pela transposta da outra. Assim,
enquanto,
Podemos notar, nesse exemplo, que a adição M + NT e MT + N não resulta na mesma matriz, visto que em uma o 
número de linhas é diferente do número de linhas da outra. Porém, podemos notar que uma é a transposta da outra.
A seguir, listamos algumas propriedades da adição de matrizes, que podem ser usadas nas nossas manipula-
ções algébricas envolvendo tais estruturas. Nelas, consideremos as matrizesAm × n, B m × n e C m × n.
• Associatividade: (A + B) + C = A + (B + C)
• Comutatividade: A + B = B + A
11
Matemática | Unidade 2 - Matrizes: definições, tipos e operações
• Existência de elemento neutro:A + 0m × n = A, em que 0m × n representa a matriz nula m × n.
• Existência do elemento oposto: existe uma matriz -A, na qual cada entrada é dada pelo valor negativo 
da entrada correspondente em A, de modo que A + (-A) = 0.
• Transposta da adição: (A + B)T = AT + BT.
2.3.2 Multiplicação de matriz por escalar
Nesse contexto, escalar é o mesmo que um número no mesmo conjunto no qual são tomadas as entradas de uma 
matriz. Sejam A = (aij )m × n uma matriz e α um escalar (número), o qual geralmente é um número real ou complexo. 
A multiplicação da matriz A pelo escalar α é definida como sendo uma nova matriz m × n, em que cada entrada 
é igual à correspondente entrada de A multiplicada por α, isto é,
Exemplo 2.3.2.1: Se α =5 e A é a matriz
então, a multiplicação do escalar α por A é dada por:
Exemplo 2.3.2.2: Se α = -1 e A = (aij )m × n é uma matriz genérica qualquer, então αA = (-1)A = (-aij )m × n, que é a matriz 
-A tal que A + (-A) = 0 m × n. Por conta disso, podemos definir a subtração de duas matrizes A e B da seguinte forma:
Podemos observar que a matriz -A tal que a adição A + (-A) resulta na matriz nula é obtida da 
matriz A por uma multiplicação pelo escalar -1. 
12
Matemática | Unidade 2 - Matrizes: definições, tipos e operações
Vejamos algumas propriedades da multiplicação por escalar, considerando α e β dois escalares e A e B duas 
matrizes com mesmo número de linhas e mesmo número de colunas:
• Associatividade dos escalares: α(βA)=(αβ)A
• Distributividade dos escalares: (α + β)A=αA+ βA
• Distributividade das matrizes: α(A + B)=αA+ αB.
• Existência do elemento unidade: 1 . A = A.
• Transposição: (αA)T = αAT.
Exemplo 2.3.2.3: Sejam α = 3, β =-2 e as matrizes
Vamos calcular o valor da expressão (αA)T - β(AT + B). Pelas propriedades, obtemos:
Agora
e
Logo,
2.3.3 Multiplicação de matrizes
De todas as operações até aqui estudadas, a de conceituação menos trivial é a multiplicação entre duas matri-
zes. A seguir, daremos uma definiçãoformal, mas, logo em seguida, desenvolveremos um método prático para 
realizar essa operação.
I - Conceituação formal
Considere A = (aij )m × n e B = (bij )n × p, observando atentamente que tomamos o número de linhas da matriz B igual 
ao número de colunas da matriz A. A multiplicação (ou produto) da matriz B pela matriz A é dada por uma nova 
matriz C = (cij )m × p, denotada por AB ou A.B, em que cada entrada é definida da seguinte forma:
13
Matemática | Unidade 2 - Matrizes: definições, tipos e operações
Dessa forma, podemos observar que cada entrada i × j da matriz C = AB é dada por uma combinação das entradas 
da linha i da matriz A pelas entradas da coluna j da matriz B. Essa combinação é a soma do produto entrada por 
entrada dessas filas.
No produto de matrizes AB, com base na definição apresentada anteriormente, por que o 
número de linhas da matriz B deve coincidir com o número de colunas da matriz A? 
Para esclarecer as condições para realizar a multiplicação entre duas matrizes, considere a seguinte figura e sua 
legenda:
Figura 2.1: Condições para a multiplicação de matrizes
=
Legenda: Para que a multiplicação de matrizes AB possa ser feita, é necessário que o número de linhas de B 
coincida com o número de colunas de A (n). Ao realizar o produto, a matriz resultante tem número de linhas 
igual ao número de linhas de A (m) e tem número de colunas igual ao número de colunas de B (p). 
Fonte: Elaborada pelo autor (2018). 
Exemplo 2.3.3.1: Considere a matriz linha A=[(2-1 3)] e a matriz coluna . Observe que a matriz A é 
1 × 3 e que a matriz B é 3 × 1. Como o número de linhas de B coincide com o número de colunas de A, podemos 
realizar a multiplicação AB, a qual será uma matriz quadrada de ordem 1. A única entrada da nova matriz deve ser 
dada pela soma do produto entrada a entrada dos elementos da primeira linha de A pelos elementos da primeira 
coluna de B, ou seja,
Porém, observe que o produto BA não pode ser feito, já que o número de linhas de A não coincide com o número 
de colunas de B.
14
Matemática | Unidade 2 - Matrizes: definições, tipos e operações
Exemplo 2.3.3.2: Consideremos as matrizes
Observe que A é uma matriz 2 × 2 e que B é uma matriz 3 × 2. Como o número de linhas de B não é igual ao 
número de colunas de A então não é possível fazer o produto de AB. No entanto, note que podemos realizar o 
produto BA, já que o número de linhas de A coincide com o número de colunas de B, resultando numa matriz 
BA = (pij) com 3 linhas (número de linhas de B) e 2 colunas (número de colunas de A):
Segundo a definição formal que fizemos acima, o elemento p11 é obtido pela soma do produto entrada a 
entrada da primeira linha de B pela primeira coluna de A, ou seja, p11 = (-1) × 1 + 0 × 2 = -1. O elemento p12 
é obtido fazendo a combinação da primeira linha de B com a segunda linha de A: p12= (-1) × 3 + 0 × 4 = -3. O 
elemento p21 é obtido pela soma do produto entrada por entrada da segunda linha de B pela primeira linha de 
A: p21 = 1 × 1 + 2 × 2 = 5. Seguindo esse processo, obtemos:
Considerando as matrizes do Exemplo 2.3.3.2, faça a multiplicação ABT e AT B quando for 
possível. Quando não for possível, explique o motivo. 
II - Método prático
A seguir descreveremos um método prático para realizar a multiplicação de matrizes AB, em que A = (aij )n × m e 
B = (bij )m × p. O método consiste em escrever a matriz B acima da matriz A, mas deslocada à direita. Fazendo isso, 
cria-se um espaço ao lado direito da matriz A e abaixo da matriz B, o qual deve ser preenchido, em cada cruza-
mento de uma linha de A por uma coluna de B, pela soma de produto entrada a entrada dessas filas, conforme 
esquematizado na figura a seguir.
15
Matemática | Unidade 2 - Matrizes: definições, tipos e operações
Figura 2.2: Esquema prático de multiplicação de matrizes.
Legenda: A matriz A é colocada à esquerda e a matriz B acima dela de maneira deslocada. Abaixo, cria-se uma nova 
matriz cujas posições são preenchidas pela soma dos produtos entrada por entrada das filas que se cruzam nelas.
Fonte: Elaborada pelo autor (2018). 
Para entender bem esse processo, vamos fazer um exemplo:
Exemplo 2.3.3.3: Consideremos as matrizes
Vamos fazer o produto AB, que resultará numa matriz 3 × 3, utilizando o método prático descrito acima. Inicial-
mente, façamos o diagrama do método conforme a Figura 3. Olhando a figura, podemos ver que cada posição 
cij encontra-se no cruzamento da linha i da matriz A com a coluna j da matriz B. A posição c11 deve ser então 
preenchida pela combinação da linha 1 de A com a coluna 1 de B: c11 = 1 × 3 + 3 × 4 = 15. O que foi feito com c11 
é repetido em cada posição cij. Note, por exemplo, que a posição c23 é obtida fazendo a combinação da linha 2 
de A com a coluna 3 de B (veja a Figura 4). Fazendo isso em todas as 9 posições cij, vemos finalmente, conforme a 
Figura 5, que a matriz AB é dada por:
Figura 2.3: Diagrama da multiplicação AB do Exemplo 2.3.3.3.
Legenda: Inicialmente, as matrizes estão dispostas conforme indicamos na descrição do método prático.
Fonte: Elaborada pelo autor (2018).
16
Matemática | Unidade 2 - Matrizes: definições, tipos e operações
Figura 2.4: Novo diagrama da multiplicação AB do Exemplo 2.3.3.3.
AB
1 3
–1 0
2 4
3 –2 –1
4 1 0
15 1 –1
–3 2 c23
c31 c32 c33
Legenda: Diagrama da multiplicação no passo em que se encontra o elemento .
Fonte: Elaborada pelo autor (2018).
Figura 2.5: Diagrama final da multiplicação AB do Exemplo 2.3.3.3.
Legenda: Diagrama completo após a aplicação do método prático em todas as entradas cij.
Fonte: Elaborada pelo autor (2018).
Finalmente, conheçamos algumas propriedades sobre multiplicação de matrizes:
• Associatividade: (AB)C=A(BC), em que A é m × n, B é n × p e C é p × q.
• Distributividade à esquerda: (A + B)C = AC + BC, em que A e B são matrizes m × n e C é n × p.
• Distributividade à direita: A(B + C) = AB + AC, em que A é m × n e B e C são n × p.
• Associatividade com escalar: (αA)B = α(AB), em que α é um escalar, A é uma matriz m×n e B é uma 
matriz n × p.
• Transposição do produto: (AB)T = BT AT, em que A é uma matriz m × n e B é uma matriz n × p.
• Existência do elemento unidade: se I é matriz identidade de ordem n e A é uma matriz quadrada de 
ordem n, então AI = IA = A.
Nem sempre vale a propriedade comutativa para a multiplicação de matrizes, isto é, nem 
sempre AB = BA. 
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Matemática | Unidade 2 - Matrizes: definições, tipos e operações
Reflita por que nem sempre vale a propriedade comutativa para a multiplicação de matrizes 
e encontre exemplos de matrizes A e B que não satisfazem essa propriedade. 
Exemplo 2.3.3.4: Considere a matriz . Vamos encontrar uma matriz B quadrada de ordem 2 tal que 
AB = I, em que I é a matriz identidade de ordem 2. Note que o queremos é uma matriz tal que
Realizando o produto AB, obtemos a igualdade:
Da igualdade de matrizes, obtemos o seguinte sistema de equações:
Das equações (ii) e (iii) anteriores, obtemos b22 = -2b12(v) e b21=-3/4 b11 (vi). Substituindo esses valores em (iv) e (i), 
chegamos aos seguintes resultados:
de onde, retornando em (v) e (vi), temos:
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Matemática | Unidade 2 - Matrizes: definições, tipos e operações
Logo, a matriz B procurada é dada por:
Como B é uma matriz que satisfaça AB = I, dizemos que B é a matriz inversa da matriz A.
Procure saber o que é uma matriz inversa. Investigue se é verdade que toda matriz quadrada 
possui uma matriz inversa. Por fim, estude algum método para calcular a matriz inversa de 
uma dada matriz. 
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Considerações finais
Nesta unidade, fizemos uma introdução ao estudo das matrizes. Especi-
ficamente, vimos:
• O conceito de matriz e suas diversas formas de notação.
• Exemplos de como construir uma matriz com base em alguma 
expressão de suas entradas e de como elas podem ser úteis na 
prática.
• Os principais tipos de matrizes, com especial destaque às matrizes 
quadradas.• O conceito de matriz transposta.
• O que é a igualdade entre duas matrizes.
• A definição de adição entre duas matrizes e suas propriedades.
• A definição da multiplicação de uma matriz por um escalar e suas 
principais propriedades.
• A definição da multiplicação entre duas matrizes, as condições 
para realizar esta operação e suas principais propriedades.
• Um método prático para realizar a multiplicação entre duas matrizes.
• Um exemplo de como obter a matriz inversa de uma matriz.
Para complementar o seu aprendizado sobre matrizes, recomendamos 
que procure descobrir o conceito de determinante de uma matriz qua-
drada, que aprenda a calculá-lo principalmente quando a matriz tem 
ordem 2 ou 3 e que saiba qual a sua relação com a existência de inversa 
de matrizes.
Referências bibliográficas
20
GERSTING, J. L. Fundamentos matemáticos para a ciência da compu-
tação. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
SCHEINERMAN, E. R. Matemática discreta: uma introdução. São Paulo: 
Cengage Learning, 2016.
Matemática
1ª edição
2017
Matemática
3
3Unidade 3
Lógica Matemática e Lógica 
Proposicional
Para iniciar seus estudos
Você está iniciando o estudo da terceira unidade da disciplina de Mate-
mática. Preparado para questões, apontamentos e prática? Nesta uni-
dade, abordaremos os conceitos lógicos e como influenciam em nosso 
raciocínio. Além disso, entenderemos do que se trata a lógica matemática 
e seus simbolismos, bem como os conceitos e cálculos da lógica proposi-
cional e seus tipos de proposições. Vamos lá?
Objetivos de Aprendizagem
• Identificar os principais conceitos da lógica matemática de modo 
a conhecer o vocabulário utilizado na resolução de problemas 
matemáticos.
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Matemática | Unidade 3 - Lógica Matemática e Lógica Proposicional
3.1 Introdução à lógica
A palavra ou o termo lógico é utilizado por muitas pessoas em várias situações, sempre no contexto de afirmação 
de conhecimento sobre algo ou simplesmente para ressaltar o óbvio segundo uma forma de pensamento. Assim, 
observamos que normalmente adotamos a expressão “é lógico”, ou “é lógico que vai...” para várias ocorrências, 
mas será que podemos, de fato, afirmar que um pensamento é lógico ou não? 
Perguntas desse tipo nos levam a pensar na forma como pensamos e, principalmente, a maneira que utilizamos 
as expressões para dar opiniões sobre determinado assunto que nos parece tão evidente.
Muitas pessoas adotam afirmações ou suposições em seus diálogos no intuito de defender seu ponto de vista 
ou sua posição, porém elas normalmente são fundamentadas em experiências vividas ou por visões de mundo 
diferentes ou por comparações com situações vivenciadas semelhantemente.
Nesse contexto, observamos que todas essas vivências e experiências nem sempre são suficientes para provar, 
defender ou sustentar uma ideia ou opinião.
Para provar alguma coisa, sustentar uma opinião ou defender um ponto de vista sobre algum 
assunto, é preciso argumentar. Ou seja, é preciso apresentar justificativas convincentes e corretas 
que sejam suficientes para estabelecer, sem deixar nenhuma dúvida, se uma afirmação é falsa ou 
verdadeira (GERSTING, 2016, p. 32).
Para auxiliar no propósito de argumentação, temos a lógica formal, criada por Aristóteles, com o intuito de ser um 
instrumento do pensamento para raciocinarmos corretamente. No entanto, a lógica também apresentou e ainda 
apresenta grandes feitos na ciência.
Assim, podemos dizer que a lógica não se refere a nenhum ser, a nenhum objeto ou coisa, nem mesmo a um 
determinado conteúdo, mas sim a um modo de dar forma ao pensamento, de modo que possamos chegar a 
verdade ou a falsidade sobre si ou sobre algo.
A lógica pode ser definida como sendo uma ciência que coloca em ordem as operações da razão, de modo que 
se obtenha a verdade, e seus padrões e comportamentos podem ser aplicados a qualquer área de estudo (GERS-
TING, 2016).
Portanto, a lógica é o que precisa ser estudado ou entendido antes de se iniciar qualquer investigação cientifica 
ou filosófica, pois somente por ela é possível ter a indicação de proposição, raciocínio, demonstração, prova, 
definição que uma determinada ciência pode utilizar.
Em lógica, dois conceitos são bastante abordados: a premissa e o silogismo. Premissa trata 
do conjunto de duas ou mais sentenças declarativas das quais decorre uma terceira, definida 
como conclusão, ou seja, em termos lógicos, ela apresenta como conclusão a verdade ou a 
falsidade. Já o silogismo, é dito como sendo o raciocínio dedutivo estruturado formalmente 
a partir de duas premissas, das quais se obtém uma terceira: a conclusão. 
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Matemática | Unidade 3 - Lógica Matemática e Lógica Proposicional
Atualmente, a lógica tem diversas linhas de pensamento e de estudo, sendo que cada uma delas representa uma 
forma de manifestação do pensamento. Para entendermos melhor cada uma de suas vertentes, na sequência 
apresentamos brevemente cada um de seus tipos.
A lógica clássica é fundamentada no simbolismo e adota um rigor mais fundamentalista. Por sua vez, a lógica 
formal ou também chamada de lógica simbólica destina-se ao estudo do raciocínio, ou seja, como as relações 
entre os conceitos e provas são realizadas. Dentre as lógicas formais, temos a lógica de programação, lógica 
matemática e a lógica proposicional.
• Lógica de programação: está diretamente relacionada à linguagem adotada para criação de programas 
de computador, ou seja, ao desenvolvimento de algoritmos.
• Lógica matemática: valida o raciocínio matemático por meio de regras e estruturas criadas.
• Lógica proposicional: examina os raciocínios criados em relação aos seus discursos, misturando assim 
à lógica de argumentos.
Já a lógica material é aplicada ao pensamento, à metodologia de cada ciência e ao mundo concreto, misto é, 
realidade material. Dentre essa lógica material, podemos encontrar a:
• Lógica modal: tem como principal funcionalidade agregar os princípios das possibilidades.
• Lógica epistemológica lógica do conhecimento: aborda o princípio da incerteza como, por exemplo, 
“pode existir vida após a morte, mas não há provas”.
• Lógica deôntica: diretamente vinculada à moral aos direitos, às obrigações ou proibições como, por 
exemplo, “é proibido sonegar impostos”.
As lógicas anticlássicas ou modernas são formas de lógica que não aceitam pelo menos um dos três princípios 
da lógica clássica como, por exemplo, o princípio da não contradição, do terceiro excluído e da identidade. Entre 
as lógicas anticlássicas, estão:
• Lógica paraconsistente: as sentenças podem ser tanto falsas como verdadeiras, dependendo apenas do 
contexto em que está inserida. Exemplo: “Max é cego, mas enxerga”.
• Lógica paracompleta: uma sentença pode não ser totalmente verdadeira ou falsa como, por exemplo, 
“Alguém conhece a história de vida de Jorge Amado sem ter vivido com ele”.
• Lógica fuzzy ou lógica difusa: agrega uma terceira possibilidade, ou seja, “é, não é, ou pode ser”.
Agora que entendemos um pouco sobre as variações da lógica, vamos aprofundar sobre a lógica matemática, 
conforme descreve a seção que segue.
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Matemática | Unidade 3 - Lógica Matemática e Lógica Proposicional
3.2 Lógica matemática
Conforme citamos anteriormente, a lógica é a ciência que coloca ordem nas operações da razão, a fim de que se 
atinja a verdade e pode ser aplicada a qualquer área.
A lógica matemática, também denominada de lógica simbólica, tem como objetivo se preocupar com o discurso 
da linguagem natural e seus respectivos enunciados. Sua criação se deu por meio de símbolos matemáticos, 
de modo a permitir o entendimento da estrutura lógica das proposições, dos argumentos e, principalmente, do 
desenvolvimento lógico-matemático.
Nesse contexto, torna-se mais fácil, por meio de suas leis, métodos e propriedades, a compreensão da linguagem 
matemática facilitando o entendimento das estruturas lógicas criadas pelos argumentos (SCHEINERMAN, 2016).
Assim, a lógica matemática é fundamental para a construção do pensamento,ensino, aprendizagem e raciocínio 
matemático, pois isso ocorre por meio da transformação das sentenças da linguagem natural para a algébrica, por 
meio de símbolos e cálculos matemáticos, criando as regras, leis e comportamentos para os argumentos válidos.
Sempre que trabalhamos com a lógica matemática, é necessário que alguns princípios ou conceitos sejam 
entendimentos, entre eles está a proposição.
Proposição ou enunciado, na lógica matemática, é toda sentença declarativa afirmativa que expressa um pensa-
mento de sentido completo como, por exemplo:
• “Professores de Física são doidos”. Essa sentença afirma que um professor de Física não é uma pessoa de 
sã consciência.
• “cos x = ½” significa o mesmo que “cosseno de x é igual a meio”, ou seja, por meio dessa sentença é afir-
mado que o cosseno de um ângulo desconhecido é igual a ½.
• “5 + 4 = 9”.
Com base nesses exemplos, podemos observar que grande parte da linguagem matemática se encontra estru-
turada por meio de proposições.
Neste sentido, qualquer sentença que não seja declarativa afirmativa não pode ser considerada uma proposi-
ção (VILLAR, 2015). Como exemplo de paradoxos não proposicionais (também ditos como sentenças abertas), 
temos: “O dia está lindo”, “Talvez chova”, ou “x - y < 7”.
Paradoxo é uma ideia ou conceito que contraria os princípios que o rege ou que contradiz 
outra ideia mais amplamente aceita ou mesmo o senso comum. 
Glossário
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Matemática | Unidade 3 - Lógica Matemática e Lógica Proposicional
Com o intuito de facilitar as operações existentes na lógica matemática, normalmente a sentença declarativa 
afirmativa é substituída por letras minúsculas, por exemplo: p, q, r, ..., t. Estas letras minúsculas são também ado-
tadas para representar as proposições simples, como no exemplo:
p:o quadro é circular
q: √2 é igual a 1.41
Para Gersting (2016), a lógica adota como regras fundamentais os princípios, também chamados de axiomas, da 
identidade, da não contradição e do terceiro excluído.
Os três princípios da lógica matemática são:
1. Princípio da identidade – é dito que todo objeto é idêntico a si mesmo.
2. Princípio da não contradição – uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo, isto é, 
duas proposições precisam ser contraditórias, onde uma nega a outra.
3. Princípio do terceiro excluído – toda a proposição é verdadeira ou é falsa, de modo a excluir qualquer 
terceira possibilidade.
Assim, dizemos que o valor lógico de uma proposição p é dado por:
V(p)=V,se for verdadeira,ou V(p)=F,se for falsa.
Axioma é uma premissa considerada necessariamente evidente e verdadeira, fundamento 
de uma demonstração, porém ela mesma indemonstrável. 
Glossário
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Matemática | Unidade 3 - Lógica Matemática e Lógica Proposicional
3.3 Lógica proposicional
A lógica proposicional foi desenvolvida há mais de 2.300 anos pelo filósofo Aristóteles, conforme ilustra a Figura 1.
Figura 1: Imagem de Aristóteles.
Legenda: Busto do filósofo Aristóteles, criador da lógica proposicional.
Fonte: Plataforma Deduca (2018).
A definição da lógica proposicional é análoga à definição de outras linguagens como, por exemplo, a linguagem 
da língua portuguesa, pois em ambas é necessária a utilização de um alfabeto para representar os símbolos que 
formam as palavras da linguagem.
Conforme descrito por Gersting (2016) usamos letras de alfabeto para indicar variáveis proposicionais que por 
sua vez representam as proposições, assim como as letras são usadas para indicar variáveis numéricas.
Uma proposição é uma sentença declarativa, ou seja, uma sentença que declara um fato, 
que pode ser verdadeiro ou falso, porém nunca ambos. 
Glossário
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Matemática | Unidade 3 - Lógica Matemática e Lógica Proposicional
As proposições podem ser classificadas em simples e compostas: as simples são aquelas que vêm sozinhas, desa-
companhadas de outras proposições, por exemplo: “A televisão está ligada”, “O novo Papa é argentino”; já as 
compostas são aquelas formadas pela combinação de proposições simples, como: “João é engenheiro, e Maria é 
médica”, “Se fizer sol, então irei ao parque”.
Nesse contexto, as proposições simples podem ser combinadas para formar proposições mais complexas, cha-
madas de proposições compostas. A combinação entre as palavras ou símbolos usados na criação das proposi-
ções são denominados de conectivos. Como exemplo de conectivos, temos o Quadro 1 a seguir.
Quadro 1: Conectivos.
Conectivo Símbolo Descrição
Não; não é verdade que ~ Negação ou modificador
E ^ Conjunção
Ou V Disjunção
Se... então → Condicional
Se, e somente se ↔ Bicondicional
Legenda: Tabela que representa os conectivos lógicos das proposições.
Fonte: Elaborado pelo autor (2018).
Para Gersting (2016, p. 4), os conectivos lógicos são úteis também nas linguagens de programação:
Os conectivos lógicos E (AND), OU (OR) e NAO (NOT) (correspondendo, respectivamente, a ∧, ∨ e 
∼) estão disponíveis em muitas linguagens de programação, assim como em calculadoras gráfi-
cas programáveis. Esses conectivos, de acordo com as tabelas-verdade que definimos, agem em 
combinações de expressões verdadeiras ou falsas para produzir um valor lógico final. Tais valores 
lógicos fornecem a capacidade de tomada de decisão fundamental ao fluxo de controle em pro-
gramas de computadores. Assim, em uma ramificação condicional de um programa, se o valor 
lógico da expressão condicional for verdadeiro, o programa executará a seguir um trecho de seu 
código; se o valor for falso, o programa executará um trecho diferente de seu código. Se a expres-
são condicional for substituída por outra expressão equivalente mais simples, o valor lógico da 
expressão, e portanto, o fluxo de controle do programa, não será afetado, mas o novo código será 
mais fácil de ser entendido e poderá ser executado mais rapidamente (GERSTING, 2016, p. 4).
Dadas às proposições simples p e q, podemos, com o uso de conectivos, formar novas proposições a partir de p e 
q, conforme visto no Quadro 2 a seguir.
Quadro 2: Exemplo do uso de conectivos lógicos.
A negação de p ~p não p
A conjunção de p e q p ^ q p e q
A conjunção de p ou q p v q p ou q
A condicional de p e q p → q Se p, então q
A bicondicional de p e q p ↔ q p se, e somente se, q
Legenda: O quadro apresenta como os conectivos lógicos das proposições são aplicados simbolicamente.
Fonte: Elaborado pelo autor (2018).
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Matemática | Unidade 3 - Lógica Matemática e Lógica Proposicional
Com o objetivo de melhor entendimento sobre o uso desses conectivos lógicos, observe os exemplos do Quadro 3.
Dada às proposições p: 2 é um número par e q: 6 é múltiplo de 3, a tradução para a linguagem da lógica proposicio-
nal seria:
Quadro 3: Tradução de sentença para lógica proposicional.
~p 2 não é número par (ou: 2 é um número ímpar)
~p v q 2 não é par ou 6 é múltiplo de 3
~q → p Se 6 não é múltiplo de 3, então 2 é par
~p ↔ q 2 é ímpar se, e somente se, 6 é múltiplo de 3
~(p ^ ~q) Não é verdade que 2 é par e 6 não é múltiplo de 3
Legenda: O quadro apresenta a tradução das proposições p e q para a lógica proposicional.
Fonte: Elaborado pelo autor (2018).
Podemos observar na literatura, pelos mais diversos autores, que as letras utilizadas para as variáveis proposi-
cionais são p, q, r, s etc. E o valor verdade de uma proposição é indicado pela letra V, se esta for uma proposição 
verdadeira, e a letra F, indica uma proposição falsa.
3.3.1 Operações lógicas sobre proposições
Ao pensarmos, estamos efetuando certas operações sobre proposições, as quais denominamos de operações 
lógicas. Essas obedecem à regra de um cálculo que chamamos de cálculo proposicional.
O cálculo proposicional é bastante semelhante aos cálculos aplicados na aritmética de 
números, pois permitem operações como negação, conjunção, disjunção, disjunção exclu-
siva, entre outros. 
As operações lógicas adotadas nos cálculos proposicionais são conhecidas como negação, conjunção, disjunção, 
disjunção exclusiva, condicional e bicondicional.
3.3.1.1Negação ( ~ )
Chamamos de negação de uma proposição p a proposição representada pela sua negação, isto é, “não p”, em 
que o valor lógico é verdadeiro quando p é falsa e, falso quando p é verdadeiro.
Desta forma, dizemos que “não p” sempre apresenta valor lógico oposto ao valor de p.
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Matemática | Unidade 3 - Lógica Matemática e Lógica Proposicional
Simbolicamente, a notação utilizada para representação da operação lógica negação é dada por: elê-se como 
“não p”.
Assim, podemos visualizar no exemplo a seguir como a negação é adotada em valores lógicos verdadeiros e falsos.
~V = F
~F = V
V(~p) = ~V(p)
Para melhor entendimento, veja o exemplo no qual são adotadas duas premissas e com base em seu resultado a 
negação é aplicada.
(1) p: 2 + 3 = 5 (V) e ~p = 2 + 3 ≠ 5 (F)
V(~p) = ~V(p) = ~V = F
Quando adotamos a negação à linguagem comum, normalmente nos casos mais simples, acrescentamos o 
advérbio “não” ao verbo da proposição dada. 
Por exemplo, a negação da proposição:
p: O sol é brilhante.
é
~p: O sol não é brilhante.
A alternativa para realizar a negação de uma proposição é por meio de expressões como “não é verdade que”, “é 
falso que”. A negação da proposição:
q: João é engenheiro.
é
~q: Não é verdade que João é engenheiro.
ou
~q: é falso que João é engenheiro.
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Matemática | Unidade 3 - Lógica Matemática e Lógica Proposicional
Agora que entendemos a negação, apenas precisamos ter alguns cuidados quando formos 
utilizá-la, como é o caso do exemplo: Para “Todos os homens são elegantes” sua negação seria 
“Nem todos os homens são elegantes” e a negação de “Nenhum homem é elegante” seria “Algum 
homem é elegante” (VILLAR, 2015). 
3.3.1.2 Conjunção (^)
Definimos conjunção o conjunto de duas proposições p e q a representada por “p e q”, em que o valor lógico é 
verdade (V) quando ambas as proposições “p e q” são verdadeiras e falso (F) para os demais casos.
A notação simbólica da conjunção de duas proposições é dada por: e se lê como “p e q”. O valor lógico da conjun-
ção de duas proposições é definido pelas igualdades, por exemplo:
V ^ V = V
V ^ F = F
F ^ V = F
F ^ F = F.
E
V(p ^ q) = V(p) ^ V(q).
Como exemplos práticos, temos:
p: A neve é branca (V)
q: 2 < 5 (V)
p ^ q: A neve é branca e 2 < 5 (V)
V (p ^ q) = V(p) ^ V(q) = V ^ V = V
p: O enxofre é verde (F)
q: 7 é um número primo (V)
p ^ q: O enxofre é verde e 7 é um número primo (F)
V (p ^ q) = V(p) ^ V(q) = F ^ V = F
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Matemática | Unidade 3 - Lógica Matemática e Lógica Proposicional
p: A Terra é quadrada (F)
q: Tiradentes foi enforcado (V)
 ^ : A Terra é quadrada e Tiradentes foi enforcado (F)
 ^ = V(p) ^ V(q) = F ^ V = F
p: Caio nasceu na Inglaterra (V)
q: Soares era médico (F)
p ^ q: Caio nasceu na Inglaterra e Soares era médico (F)
V (p ^ q) = V(p) ^ V(q) = V ^ F = F
Notamos, pelos exemplos, que para toda proposição de p e q é necessário verificar se estas são verdadeiras ou falsas 
e então, posteriormente, aplicar a operação de conjunção de acordo com as igualdades (SCHEINERMAN, 2016).
3.3.1.3 Disjunção (v)
Dizemos que existe a disjunção entre duas proposições p e q a representada por “p ou q”, em que o valor lógico é 
verdade (V) quando ao menos uma das proposições “p e q” são verdadeiras e falso (F) quando ambas as proposi-
ções são falsas.
A notação simbólica da conjunção de duas proposições é dada por: v e se lê como “p ou q”.
O valor lógico da conjunção de duas proposições é definido pelas igualdades, por exemplo:
V v V=V
V v F=V
F v V=V
F v F=F
E
V(p v q ) = V(p) v Vq).
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Matemática | Unidade 3 - Lógica Matemática e Lógica Proposicional
Como exemplos práticos, temos:
p: 9 – 4 = 5 (V)
q: 5/7 é uma fração própria (V)
v : 9-4 = 5 ou 5/7 é uma fração própria (V) 
v = V(p) v V(q) = V v V = V
p: Londres é a capital da Inglaterra (V)
q: π = 3 (F)
v : Londres é capital da Inglaterra ou π = 3 (F)
v = V(p) v V(q) = V v F = V
p: A Terra é quadrada (F)
q: Tiradentes foi enforcado (V)
p v q: A Terra é quadrada ou Tiradentes foi enforcado (F)
V(p v q) = V(p) v V(q) = F v V = V
p: Camões escreveu Tieta (F)
q: Carlos Gomes nasceu no Rio Grande do Sul (F)
v : Camões escreveu Tieta ou Carlos Gomes nasceu no Rio Grande do Sul (F) 
v = V(p) v V(q) = F v F = F
3.3.1.4 Disjunção exclusiva (v)
Já observamos que, na linguagem natural e comum, a palavra ou sempre apresenta dois sentidos. Observe as 
duas proposições que seguem:
p: Pedro é médico ou professor
q: Rafael é catarinense ou gaúcho
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Matemática | Unidade 3 - Lógica Matemática e Lógica Proposicional
Notamos que, na proposição p, indicamos que pelo menos umas das proposições é verdadeira ou então ambas 
são verdadeiras. No entanto, na proposição q, estamos afirmando que apenas e somente uma das proposições é 
verdadeira.
Assim, na proposição p dizemos que o “ou” é inclusivo, enquanto que na proposição q o “ou” é exclusivo.
Simbolicamente, a forma de representar e/ou inclusivo é pelo símbolo V e/ou exclusivo utilizamos o símbolo V. 
Assim, a proposição p é a disjunção inclusiva ou simplesmente disjunção, enquanto que a proposição q é a disjun-
ção exclusiva.
Nesse contexto, de modo geral, chamamos de disjunção exclusiva de duas proposições p e q a proposição repre-
sentada por p V q e se lê como “ou p ou q” ou apenas “p ou q, mas não ambos”. O valor lógico é verdade (V) somente 
quando p for verdadeiro ou q é verdadeiro, porém não quando p e q são verdadeiros, e a falsidade (F) quando p e 
q são verdadeiras ou ambas falsas.
Portanto, o valor lógico da disjunção exclusiva de duas proposições é definido pelas igualdades, como:
V V V = F
V V F = V
F V V = V
F V F = F
E
V(p V q) = V(p) V V(q)
No latim, a palavra “ou” pode ser representada disjunção no sentido débil ou inclusivo, 
enquanto que a palavra latina “aut” exprime a disjunção no sentido mais forte ou exclusivo. 
3.3.1.5 Condicional (→)
Chamamos de proposição condicional ou simplesmente condicional uma proposição representada por “se p 
então q”, em que o valor lógico é a falsidade (F) no caso em que p é verdadeira e q é falsa e a verdade (V) nos 
demais casos (SCHEINERMAN, 2016).
Simbolicamente, a condicional de duas proposições e é representada com a notação “p →q” e se lê de uma das 
seguintes formas:
a. p é condição suficiente para q
b. q é condição suficiente para p
Sendo que, na condicional “p →q”, o p é o antecedente e q é o consequente. 
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A flecha ou símbolo (→) utilizado na notação condicional é denominada de símbolo de 
implicação. 
O valor lógico da condicional de duas proposições é definido pelas igualdades, como:
V → V =V
V → F= F
F → V = V
F → F = V
E
V(p → q ) = V(p) → Vq).
Como exemplos práticos, temos:
p: Itália fica na Europa (V)
q: A neve é branca (V)
p → q: Se Itália fica na Europa, então a neve é branca (V)
V(p → q) = V(p) → V(q) = V → V = V
p: Londres é a capital da Inglaterra (V)
q: π = 3 (F)
p → q: Se Londres é capital da Inglaterra, então se π = 3 (F)
V(p → q) = V(p) → V(q) = V → F = F
p: A Terra é quadrada (F)
q: Tiradentes foi enforcado (V)
p → q: Se a Terra é quadrada, então Tiradentes foi enforcado (V)
V(p → q) = V(p) → V(q) = F → V = V
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p: Camões escreveu Tieta (F)
q: Carlos Gomes nasceu no Rio Grande do Sul (F)
p → q: Se Camões escreveu Tieta, então Carlos Gomes nasceu no Rio Grande do Sul (V)
V(p → q) = V(p) → V(q) = F → F = V
É importante salientar que uma condicional p → q não afirma que o consequente q se deduz 
ou é consequência do antecedente p. Veja o exemplo para as condicionais:
 7 é um número ímpar → Curitiba é uma cidade
 3+5 =9 → Santos Dumont nasceu no Ceará
não estão a afirmar, de forma alguma, que o fato de “Curitiba ser uma cidade” se deduz do 
fato de “7 é um número ímpar”. Ou seja, quando utilizamos uma condicional, este apenas se 
refere à relação entre os valores lógicos que antecedem o consequente