Propagacao de Erros ou Desvios

Prévia do material em texto

Algarismos Significativos
Propagação de Erros ou Desvios
• Qual destas medidas está correta? Qual apresenta algarismos com 
significado? 
• O instrumento de medida não garante precisão de milímetros (0,1 
cm), muito menos de décimos de milímetros (0,01 cm). 
• Então, 0,3 cm é um valor duvidoso, mas pode ser estimado por um 
ser humano, mas 0,05 cm não pode ser estimado com a escala da 
figura. 
L1 = 1,35 cm; 
L2 = 1,3 cm; 
L3 = 1,30 cm 
L4 = 1,4 cm; 
L5 = 1,7 cm. 
• Nesta escala, centésimos de centímetros, ou décimos de milímetros
(0,01 cm = 0,1 mm) são os primeiros algarismos duvidosos, e por
isto passam a ser significativos
• comprimento do palito é L6 = 1,34 cm, mas 1,36 também seria uma
boa leitura.
• Os algarismos significativos são todos os algarismos corretos e o
primeiro algarismo duvidoso.
• vamos assumir que se não soubermos qual é a
incerteza da medida, assumiremos como sendo igual
a metade do menor intervalo de medida do
instrumento.
• de modo que poderíamos escrever 
• L4 = (1,4 ± 0,5) cm, 
• e para o instrumento mais preciso: 
• L7 = (1,35 ± 0,05) cm. 
Zero a direita é algarismo significativo, mas
zero a esquerda não é algarismo significativo.
• Média aritmética: Se n número dados, cada número
denotado por xi, onde i = 1, ..., n, a média aritmética é a
soma dos valores xi's divididos por n, ou
• Desvio médio: Se desejamos determinar a precisão de
um conjunto de dados, primeiramente devemos
entender o que é desvio da média, ΔXi, de uma medida
xi:
i med iX x x  
 
1
n
i
i
x
x
n


• quando calculamos a soma dos desvios da média,
obtemos o valor zero. Isto faz muito sentido porque a
média está situada em uma posição que separa o
conjunto de dados “ao meio”.
• É bastante simples: digamos que se tenha o conjunto
(2,4). A média é 3, e a medida 2 está uma unidade
abaixo da média (seu desvio é -1) enquanto que a
medida 4 está uma unidade acima da média (seu
desvio é +1). A soma dos desvios é zero (tente mostrar
que este resultado sempre é verdadeiro).
• Uma vez que a soma dos desvios é nula, a
maneira de obtermos o desvio médio é tomarmos
a média dos módulos dos desvios:
• Com o média dos módulos dos desvios em mãos
poderemos expressar a grandeza X de um modo
bastante interessante:
i
i
med
X
X
n
 
 
  

med medX X X  
• A variância é calculada subtraindo o valor
observado do valor médio. Essa diferença é
quanto um valor observado se distância do valor
médio. Observe o exemplo a seguir:
 
2
2
1
med i
i
X x
N

 
 
 


2) Observe as notas de três competidores em uma prova de 
manobras radicais com skates.
Competidor A: 7,0 – 5,0 – 3,0
Competidor B: 5,0 – 4,0 – 6,0
Competidor C: 4,0 – 4,0 – 7,0
Ao calcular a média das notas dos três competidores iremos 
obter média cinco para todos, impossibilitando a nossa análise 
sobre a regularidade dos competidores.
Partindo dessa ideia, precisamos adotar uma medida que 
apresente a variação dessas notas no intuito de não 
comprometer a análise.
Competidor A:
Competidor B:
Competidor C: 
     
2 2 2
2
5 7 5 5 5 3
2,0
3 1
A
     
  

     
2 2 2
2
5 5 5 4 5 6
1,0
3 1
B
     
  

     
2 2 2
2
5 4 5 4 5 7
3,0
3 1
C
     
  

• O desvio padrão, S, é estatisticamente mais significativo que o
desvio médio de uma amostra.
• Para um conjunto de N dados, a variância, σ2 é definida como:
 
2
2
1
med i
i
X x
N

 
 
 


• O Desvio padrão é obtido através da Raiz quadrada da Variância. 
Utilizando ainda o mesmo exemplo podemos obter o seguinte:
Competidor A
√2,0 = 1,41
Competidor B
√ 1,0 = 1,0
Competidor C
√3,0 = 1,73
-> Logo Podemos notar que o 
competidor B possui uma melhor 
regularidade nas notas.
 
2
1
med i
i
X x
N

 
 
 


 
 
2
1
med i
i
m
X x
N NN


 
 
  


Sabemos agora determinar a partir de n observações o
desvio padrão de uma medida, isto é, sabemos estimar a
partir da análise de n observações o erro que teríamos,
com uma dada probabilidade, caso houvéssemos realizado
uma única determinação.
Entretanto, tendo realizado n determinações o
melhor valor disponível é a sua média (xmed), e portanto
estaremos mais interessados em estimar o erro em xmed.
Note que, quanto maior o número
de observações n, menor será o
desvio padrão da média e
portanto, maior a precisão do
resultado. Este é um princípio
fundamental da estatística.
Quando a medição de uma grandeza R de interesse é feita
de maneira indireta, sendo esta grandeza obtida a partir
de medidas de n grandezas primárias {a1, a2, a3, ..., ak, ...,
an}, o cálculo de R é feito a partir de uma função
conhecida das grandezas primárias.
Estas grandezas são também
denominadas grandezas de entrada,
enquanto a grandeza R é
denominada grandeza de saída.
Exemplo:
Cálculo da Densidade
Grandezas de entrada: massa e volume
Grandeza de saída: densidade
Fazendo um desenvolvimento matemático apropriado,
temos uma expressão para o cálculo da incerteza padrão
da grandeza de saída
     
1 2
22 2
22 2
1 2
...
na a aR
n
R R R
a a a
   
      
        
       
Esta expressão para a incerteza padrão da grandeza de
saída, também chamada de incerteza padrão
combinada, é utilizada quando as grandezas de
entrada {a1, a2, a3, ..., ak, ..., an} são medidas repetidas
vezes, gerando valores médios e desvios padrão das
médias
ka
ka

Consideremos o caso em que se deseja calcular a incerteza
padrão propagada no valor de uma grandeza de saída R,
com relação funcional do tipo R = a + b.
Sendo as incertezas padrão de a e b, e 
respectivamente.
Sendo a forma final para grandeza combinada e sua
incerteza padrão combinada escrita como:
a b
   
   
2 2
22
22
aR b
aR b
R R
a b
  
  
    
    
    
 
     
22
aR b
R a b      
Referências 
• Referências Bibliográficas
1. Domiciano, J. B., Juraltis K. R., “Introdução ao 
laboratório de Física Experimental”, EDUEL, 2009.
2. Vuolo, J. H. – “Fundamentos da Teoria de Erros” –
Ed. Edgard Blücher , São Paulo, 1992.
3. 
http://www.uel.br/cce/fisica/docentes/dari/d3_materia
l10_6ce2c61b.pdf