Matematica para negócios

Prévia do material em texto

MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
UIA 2 | REGIME SIMPLES E JUROS COMPOSTOS 
 
! VERSÃO PARA IMPRESSÃO 
 MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS | UIA 2 | 
Copyright © 2018 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados. 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este material é destinado exclusivamente aos alunos e professores do Centro Universitário IESB, contém 
informações e conteúdos protegidos e cuja divulgação é proibida por lei. O uso e/ou reprodução total ou 
parcial não autorizado deste conteúdo é proibido e está sujeito às penalidades cabíveis, civil e 
criminalmente. 
 
 MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS | UIA 2 | 
Copyright © 2018 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados. 
3 
SUMÁRIO 
 
Aula 7 | Juros Simples ................................................................................................................... 4!
7.1. Introdução ........................................................................................................................................ 4!
7.2. Do que trata o estudo da Matemática Financeira? ....................................................................... 5!
7.3. Diagrama da Linha do Tempo ........................................................................................................ 6!
7.4. Juros Simples ................................................................................................................................... 6!
7.4.1. Elementos de uma Operação de Juros ............................................................................................................... 8!
7.4.2. O Conceito de Taxas Proporcionais ................................................................................................................... 10!
Aula 8 | Juro Exato e Comercial ................................................................................................ 12!
8.1. Montante em Juros Simples ........................................................................................................ 15!
Aula 9 | Desconto Simples ......................................................................................................... 17!
9.1. Elementos de uma Operação de Desconto ................................................................................. 18!
9.2. Desconto Simples Racional (por Dentro) .................................................................................... 20!
9.2.1. Outras Fórmulas a Serem Utilizadas no Desconto Simples Racional (por Dentro) .......................... 20!
9.3. Desconto Simples Comercial (por Fora) ..................................................................................... 21!
9.3.1. Outra Fórmula que Também Pode ser usada no Desconto Simples Comercial (por Fora) ........... 22!
9.4. Desconto Bancário ........................................................................................................................ 23!
Aula 10 | Equivalência Simples de Capitais ............................................................................. 24!
10.1. Equivalência de Capitais ............................................................................................................ 25!
10.1.1. Data Focal (DF) ....................................................................................................................................................... 25!
Aula 11 | Juros Compostos (Parte 1) ........................................................................................ 30!
11.1. Introdução ................................................................................................................................... 30!
11.2. Taxa de Juros: Nominais e Efetivas ........................................................................................... 31!
11.2.1. A Taxa Nominal ...................................................................................................................................................... 31!
11.2.2. Taxa Efetiva .............................................................................................................................................................. 33!
Aula 12 | Juros Compostos (Parte 2) ........................................................................................ 35!
12.1. Introdução ................................................................................................................................... 35!
12.2. Montante ..................................................................................................................................... 36!
12.3. Juros ............................................................................................................................................ 38!
Referências ................................................................................................................................. 42!
Glossário .................................................................................................................................... 42!
 
 MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS | UIA 2 | 
Copyright © 2018 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados. 
4 
Aula 7 |!JUROS SIMPLES 
 
O tema desta unidade é juros e taxa de juros. Nesta aula, veremos juros e aplicações de taxa de juros e juros 
simples. Boa aula! 
 
7.1.!INTRODUÇÃO 
Foram identificadas noções de juros desde as primeiras civilizações, em 2000 a.C., na antiga Babilônia, 
quando comerciantes começam a estabelecer relação entre o dinheiro e o tempo. Os juros eram pagos 
através da moeda mais comum da época, as sementes. Era comum também que o pagamento fosse feito 
através de outros tipos de bens. 
Desse costume, nasceram práticas relativas à Matemática Financeira que são 
utilizadas até hoje. 
A partir do aperfeiçoamento das técnicas utilizadas em cálculos financeiros, surgiram, no ano de 575 a.C., 
as primeiras organizações com objetivos bem parecidos com os dos bancos atuais, situados na Babilônia. 
A renda dessas organizações era coletada a partir das altas taxas de juros, cobradas pelos empréstimos 
de seu dinheiro para o financiamento do comércio internacional, como nos dias atuais. 
 
Peça da escultura sumeriana e de toda a arte mesopotâmica (Museu do Louvre, Paris). 
Fonte: http://tinyurl.com/jg39non 
 
Os sumérios, na região da Mesopotâmia, em suas transações comerciais, trabalhavam tanto com juros 
simples como compostos. Nessa época, 2100 a.C., eles registravam essas operações matemáticas em tábuas 
de argila. 
Na Idade Média, eram comuns as trocas de produtos e mercadorias para o sustento da sociedade feudal. 
A base econômica dessa época era o feudo, com a sistemática de que quem possuía a terra possuía mais 
poder. Com a evolução mercantil, surgiu um bem intermediário para esse processo de trocas, a moeda. 
Assim, passou a ser praticado o preço como medida para o valor dos bens. 
 MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS | UIA 2 | 
Copyright © 2018 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados. 
5 
 
Moeda de ouro de 1491. Fonte: http://tinyurl.com/j9o2k38 
 
Constatou-se que os bens poderiam ser consumidos ou guardados para o consumo futuro (MATHIAS; 
GOMES, 2011). Verificou-se, então, a preferência temporal pelas pessoas de realizar o consumo. 
Nesse cenário, no decorrer dos avanços tecnológicos e das pesquisas voltadas à aplicação financeira nos 
vários tipos de mercado, surgiu o segmento da matemática aplicada às finanças, mais conhecida como 
Matemática Financeira. 
 
Houve um tempo em que fenícios, gregos, egípcios e romanos 
possuíam importante participação nos métodos bancários. Acesse o link 
a seguir e leia o texto nele disponível para saber um pouco mais sobre 
“essa história”. 
http://tinyurl.com/zsrh4g7 
 
7.2.!DO QUE TRATA O ESTUDO DA MATEMÁTICA FINANCEIRA? 
 
 
A Matemática Financeira estuda como valores monetários se 
comportam ao longo do tempo. Em outras palavras, nosso 
interesse aqui será o de estudar qualo valor do dinheiro 
quando transportado para uma data posterior ou anterior ao 
valor presente1 também chamado de valor atual. 
 
De acordo com Assaf Neto (2009), a Matemática Financeira passou a tratar, em essência, do estudo do 
valor do dinheiro ao longo do tempo. Atualmente, a Matemática Financeira possui várias ferramentas 
aderentes às finanças que permitem efetuar as análises e as comparações dos vários fluxos de entrada e 
saída de dinheiro, observados em diversos fenômenos econômicos. 
! 
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
1 É quanto vale o seu compromisso numa data anterior à data do vencimento. 
 MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS | UIA 2 | 
Copyright © 2018 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados. 
6 
7.3.!DIAGRAMA DA LINHA DO TEMPO 
O diagrama da linha do tempo nada mais é que uma reta que se inicia na data zero, chamada de valor 
presente ou valor atual que equivale ao dia de hoje. E sobre essa reta desenharemos valores monetários ao 
longo do tempo. Esse tipo de diagrama é bastante útil e serve para facilitar a compreensão da operação que 
será realizada. 
Por exemplo, suponha que eu me desloquei até a agência do Banco C mais próxima para depositar 
$10.000 unidades monetárias na caderneta de poupança com a intenção de sacar esse dinheiro daqui a 9 
meses. Veja a seguir como essa operação pode ser visualizada na nossa linha do tempo. 
 
Figura 1: Diagrama da linha do tempo 
 
Pergunta: Qual é o valor que eu deverei sacar daqui a 9 meses? 
Ainda não sei, mas é fácil perceber no gráfico que o valor a ser sacado será maior que o valor depositado. 
Concordam? E isso por quê? Isso se deve a primeira grande lei da Matemática Financeira, que diz que 
valores monetários nunca ficam parados no tempo. 
A Matemática Financeira é dividida em dois grandes blocos. O regime simples e o regime composto. 
Dessa forma, faz-se necessário, antes da resolução de qualquer questão, identificar o regime da operação. 
Combinado? Então, nosso primeiro passo será o de identificar qual será o regime da operação. 
 
Se ficou curioso para saber mais detalhes sobre as diversas aplicações 
da Matemática Financeira no sistema econômico de hoje, acesse o link 
disponível a seguir. 
http://tinyurl.com/n9eyu2j 
 
7.4.!JUROS SIMPLES 
Como dissemos anteriormente, com a evolução econômica, verificou-se a preferência temporal das 
pessoas em consumir seus bens no presente e não no futuro. 
 
Observou-se que a necessidade de adiar a entrada de dinheiro por certo tempo 
envolvia um determinado sacrifício, o qual deveria ser pago mediante uma 
recompensa (MATHIAS; GOMES, 2011; ASSAF NETO, 2009). Essa recompensa 
ficou conhecida no mercado financeiro como juros. 
 MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS | UIA 2 | 
Copyright © 2018 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados. 
7 
Os juros são a alavanca que possibilita o adiamento do consumo, permitindo a 
formação de poupanças e de novos investimentos. 
Os juros podem ser entendidos também como o custo de crédito 
ou a remuneração de um capital aplicado por um determinado 
tempo. Ele é determinado através de um fator ou coeficiente que 
corresponde, num dado intervalo de tempo, à remuneração 
obtida. Como exemplo ilustrativo, se tivermos uma taxa de juros 
de 10% ao ano, significa dizer que um determinado capital a essa 
taxa, no período de um ano, renderá 10%. 
A taxa de juros determina quanto um investidor (ou o tomador de empréstimo) deve receber (ou pagar) de juros 
durante um período de tempo. Ela se refere sempre a um determinado intervalo de tempo (dia, mês, ano etc.). 
Quando fazemos uma aplicação, devemos expressar a taxa e o prazo no mesmo período 
de tempo. A fixação da taxa de juros leva em consideração três fatores: 
1.! Inflação – representa a perda do poder aquisitivo. 
2.! Risco – representa incerteza quanto ao dinheiro aplicado com relação ao futuro, 
tendo em vista o risco de inadimplência do devedor, o prazo da operação e o 
volume do dinheiro investido. 
3.! Oportunidade – o investimento em certo projeto, ao invés de aplicar em outros, 
pode levar a desperdiçar outras oportunidades de investimentos mais lucrativas. O 
retorno deve ser atraente. 
Como dito no tópico anteriormente, a Matemática Financeira está dividida em dois grandes blocos. 
Assim, existem dois modelos de capitalização no mercado, o de capitalização de juros simples, também 
denominado linear, e o de juros compostos2 ou exponencial. 
 
Podemos definir o regime de capitalização como um processo no qual os juros 
são agregados ao montante do capital da aplicação. Na capitalização simples, os 
juros vão incidir somente sobre o capital inicial. Já na capitalização composta, os 
juros serão incorporados de forma composta ao capital a cada período, ou seja, 
os juros incidirão sobre o capital e aos juros de forma acumulativa. 
No gráfico a seguir, podemos comparar o comportamento entre uma capitalização simples e outra 
composta. Podemos perceber que, no primeiro momento, a diferença entre os valores das capitalizações 
é mínima. A partir do segundo período, a diferença de valores aumenta consideravelmente. 
Inicialmente, trataremos apenas dos juros simples. Posteriormente, abordaremos conceitos e aplicações 
dos juros compostos. 
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
2 Incorporam ao capital o capital do período mais os juros sobre os juros acumulados. 
 MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS | UIA 2 | 
Copyright © 2018 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados. 
8 
 
Gráfico 1: Comparativo entre a capitalização simples e a composta 
 
Resumo: uma operação de juros é aquela em que você tem um valor conhecido na 
data de hoje e deseja projetar esse valor para uma data futura. 
 
7.4.1.!ELEMENTOS DE UMA OPERAÇÃO DE JUROS 
•! Capital (C): valor monetário conhecido na data de hoje. Ou seja, é o quanto eu possuo de 
dinheiro na minha carteira hoje, e deve ser o elemento em que dá início à operação de juros. 
•! Tempo (n): intervalo de tempo no qual o dinheiro ficou aplicado. Na verdade, o tempo será um 
elemento presente em todas as operações de Matemática Financeira, que podem ser dias, meses, 
trimestres ou anos. 
•! Montante (M): resultado final do dinheiro aplicado. Ou seja, é o valor a ser resgatado pelo 
investidor. 
•! Taxa (i): elemento que vai fazer com que o capital fique maior ao longo do tempo. É como se fosse o 
fermento do bolo. A taxa pode estar na forma percentual (percentual = por cem) ou na forma unitária. 
Ou seja, existem duas formas de representar a taxa de juros: a forma percentual e a unitária. A tabela a 
seguir apresenta um exemplo de conversão de taxa da forma percentual para a forma unitária. 
Forma Percentual Conversão Forma unitária 
6% a.a. (ao ano) !
"##
 0,06 a.a. 
2% a.m. (ao mês) $
"##
 0,02 a.m. 
3% a.t. (ao trimestre) %
"##
 0,03 a.t. 
Tabela 1: Conversão de porcentagem para forma unitária 
Note que, para transformar da forma unitária para a forma percentual, basta fazer o inverso, 
multiplicando o valor da forma unitária por 100. 
 MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS | UIA 2 | 
Copyright © 2018 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados. 
9 
 
Juros (J) nada mais é que a diferença entre o valor do montante (M) e o capital (C). 
Nossa linha do tempo pode agora ser representada da seguinte maneira: 
 
Figura 2: Nova linha do tempo 
 
Os juros simples são mais utilizados em operações 
praticadas no curto prazo. Portanto, são raras as 
operações financeiras e comerciais que compõem 
montantes de juros simples segundo a capitalização 
linear (ASSAF NETO, 2009). No entanto, é importante 
iniciar os estudos de Matemática Financeira utilizando 
a capitalização linear, juros simples, pois proporciona 
mais facilidade para o entendimento dos conceitos que 
norteiam as operações financeiras e que serviram de 
base os outros métodos a serem estudados. 
"!#$%#&%'!(')!*&+')!,!-./+-))'!(0!)-1&234-!503-2+06 
Juros = Capital × Taxade juros × Número de períodos 
Onde: 
J = juros 
C = capital 
i = taxa de juros 
n = número de períodos 
M = montante 
! 
 MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS | UIA 2 | 
Copyright © 2018 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados. 
10 
Podemos também utilizar uma fórmula simplificada para calcularmos juros: 
Fórmula 
original 
Derivações 
& ' ()* ( '
&
)*
 
) '
&
(*
 
* '
&
()
 
M = C + J; logo, J = M - C 
No regime de juros simples, o capital inicial aplicado (() é diretamente proporcional ao seu valor e ao 
tempo de aplicação (*). Essa proporcionalidade é dada pela taxa de juros ()). 
Veja a seguir algumas dicas práticas que devemos observar antes de iniciar a resolução de exercícios que 
envolvem cálculos: 
•! Inicialmente, é fundamental interpretar os dados contidos no enunciado do problema. Do que se 
trata essa questão? A questão trata de uma pessoa que tem um valor conhecido na data de hoje 
e deseja aplicar esse valor para ser resgatado numa data posterior. Sempre que houver um valor 
conhecido e se deseja projetar esse valor para uma data posterior, estaremos diante de uma 
operação de juros. 
•! Em seguida, devemos identificar se a questão é de juros simples ou juros compostos. Ou seja, 
precisamos saber qual o regime que a operação deve ser resolvida. Como eu faço para 
identificar o regime da operação? Há duas maneiras de fazer isso! Primeiro, procure no 
enunciado da questão a palavra “simples”. Apareceu a palavra “simples”, então, você já sabe que 
se trata de uma questão de juros simples. Segundo, quando a questão nada disser acerca do 
regime, resolve-se a questão por juros simples. 
•! O próximo passo será distribuir os dados do problema na fórmula. Cuidado! Antes de aplicar os 
dados do enunciado da questão nas fórmulas, é preciso que obrigatoriamente o período entre a 
taxa de juros e o número de períodos da operação esteja na mesma unidade. Ou seja, taxa e 
tempo devem estar sempre na mesma unidade. Caso contrário, devemos fazer com que 
estejam. Para isso, introduziremos agora o conceito de taxas proporcionais. 
 
7.4.2.!O CONCEITO DE TAXAS PROPORCIONAIS 
O conceito de taxas proporcionais é utilizado no regime simples com o intuito de alterar a taxa fornecida 
pelo enunciado da questão na mesma unidade do tempo. Para isso, basta fazer o seguinte: 
•! Quando precisarmos transformar a taxa de uma unidade maior para uma unidade menor, 
dividiremos. 
Pergunto: dividiremos por quanto? Dividiremos pelo número de vezes que a 
unidade menor cabe dentro da maior. 
 MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS | UIA 2 | 
Copyright © 2018 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados. 
11 
•! Quando precisarmos transformar a taxa de uma unidade menor para uma unidade maior, 
multiplicaremos. 
Outra pergunta: multiplicaremos por quanto? Multiplicaremos pelo número de 
vezes que a unidade menor cabe dentro da maior. 
Exemplo 1: Transforme uma taxa 12% ao semestre numa taxa mensal. 
Note que, nesse caso, temos uma taxa maior semestre e queremos transformá-la numa taxa menor mês. 
De acordo com o conceito de taxas proporcionais, nós temos a taxa de uma unidade maior e desejamos 
transformá-la para uma unidade menor. Logo, teremos que dividir. Mas dividir por quanto? Iremos 
dividir pelo número de vezes que a unidade menor cabe dentro da maior. Quantos meses cabem dentro 
de um semestre? A resposta é seis (6 meses = 1 ano). Logo, dividiremos 12% a.s. por 6 meses e teremos a 
taxa mensal de 2% ao mês. 
Exemplo 2: Transforme uma taxa de 4% ao semestre numa taxa anual. 
Note que, nesse caso, temos uma taxa menor semestre e queremos transformá-la numa taxa maior ano. 
De acordo com o conceito de taxas proporcionais, nós temos a taxa de uma unidade menor e desejamos 
transformá-la para uma unidade maior. Logo, teremos que multiplicar. Mas multiplicar por quanto? 
Iremos multiplicar pelo número de vezes que a unidade menor cabe dentro da maior. Quantos semestres 
cabem dentro de um ano? A resposta é dois (2 semestres = 1 ano). Logo, multiplicaremos 4% a.s. por 2 
meses e teremos a taxa mensal de 8% ao mês. 
Na hora de colocar a taxa na fórmula, é preciso que ela esteja na sua forma unitária. 
No exemplo anterior, nós encontramos a taxa mensal de 8%. Logo, para 
transformar essa taxa em unitária, preciso dividir por 100. Portanto, 8/100 = 0,08. 
Portanto, 0,08 é o valor que eu devo colocar na fórmula. 
•! Enfim, resolver o problema de forma organizada e estruturada, em seguida, fazer uma análise dos 
resultados encontrados. 
Exemplo 3: João resolveu fazer uma aplicação de R$ 20.000,00 (vinte mil reais), pois pretende utilizar 
essa quantia ao final de seis meses. Ele aplicou suas economias em uma conta poupança a uma taxa de 
juros de 12% ao a.a. Qual o valor dos juros que esse turista receberá ao final do período? 
Passo 1: Note que, no enunciado da questão, João possui um valor conhecido na data de hoje e deseja 
fazer uma aplicação para retirar essa quantia daqui a 6 meses. Vimos que, quando temos um valor 
conhecido na data de hoje e desejamos projetá-lo para uma data futura, estamos diante de uma 
operação de juros. 
Passo 2: Vimos também que a Matemática Financeira está dividida em dois grandes regimes: o regime 
simples e o regime composto. Como faço para identificar o regime da operação? Já vimos que há duas 
maneiras de fazer isso! Primeiro, é procurar no enunciado da questão a palavra “simples”; se aparecer, é 
questão de juros simples. Segundo, se a questão nada disser acerca do regime, resolve-se a questão por 
juros simples. Neste exemplo, nada é dito acerca do regime da operação de juros. Logo, nada dito, é uma 
operação de juros simples. 
Passo 3: Precisamos que a taxa e o tempo estejam na mesma unidade. No exemplo, a aplicação do 
capital será de 6 meses e a taxa fornecida é de 12% ao ano. Ou seja, o tempo está em meses e a taxa está 
em ano. Logo, aplicaremos o conceito de taxas proporcionais para fazer essa transformação. Eu quero 
transformar a taxa anual em uma taxa mensal. Vimos que quando estamos indo de uma unidade maior 
 MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS | UIA 2 | 
Copyright © 2018 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados. 
12 
para uma unidade menor dividiremos. Nesse caso, como já vimos, dividiremos pelo número de vezes que 
a unidade menor cabe dentro da maior. No nosso caso 12, pois 1 ano é igual a 12 meses. 
) ' "$+,-. -. ' /0
/0
' 1+,2.3. 
Atenção! Não podemos esquecer que, para alimentar a fórmula, é preciso 
transformar a taxa percentual em unitária dividindo por 100. Logo, 1/100 = 0,01. 
Passo 4: Devemos agora resolver o problema de forma organizada e estruturada, substituindo as 
informações na fórmula e, em seguida, fazer uma análise dos resultados encontrados. 
& ' ()*!
& ' $#.###4##5#4#",5!!
& ' ,67,"$##4##,!
Resposta: No final da aplicação, o turista receberá R$ 1.200,00 de juros. O montante dessa operação será 
de: M = C + J. 
M = 20.000 + 1200 = $ 21.200,00 
 
Amplie o seu conhecimento e acesse o link a seguir para assistir a uma 
pequena videoaula sobre juros simples. 
http://tinyurl.com/zher4t8 
 
Introduzimos conceitos que serão importantes ao longo desta parte do conteúdo. Continue os estudos desta 
disciplina e até breve! 
 
Aula 8 |!JURO EXATO E COMERCIAL 
 
Falaremos aqui de juro exato3 e comercial. Dentro desse assunto, 
abordaremos também montante em juros simples. Boa aula! 
 
Nas aplicações financeiras, muitas vezes as taxas são expressas em unidades de tempos diferenciados, 
como ao ano ou ano mês e, em alguns casos, o prazo é fixado em dias. Portanto, é necessário calcular a 
taxa proporcional ao dia. Nesse caso, existem duas possibilidades, o ano civil, em que se considera 365 
dias, e o ano comercial, com 360 dias. 
Quando utilizamos o ano civil para o cálculo dos juros, o denominamos de juro 
exato. Quando utilizamos o ano comercial para o cálculo dos juros, o 
denominamos de juro comercial4. 
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!3 Quando se utiliza o ano civil para o cálculo dos juros, o denominamos de juro exato. 
 MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS | UIA 2 | 
Copyright © 2018 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados. 
13 
Os juros exatos nada mais são que uma modalidade dos juros simples! Então, como saber se uma 
questão deve ser resolvida utilizando os juros exatos? Você deverá resolver uma questão de juros simples 
usando juros exatos apenas quando o enunciado da questão o disser explicitamente. Combinado!? 
É importante destacar que, quando estivermos diante de uma questão de juros exatos, trabalharemos 
sempre com a unidade diária e a contagem dos dias será de acordo com o calendário convencional. 
Logo, janeiro (31 dias), fevereiro (28 dias), março (31 dias), abril (30 dias), maio (31 dias), junho (30 dias), 
julho (31 dias), agosto (31 dias), setembro (30 dias), outubro (31 dias), novembro (30 dias) e dezembro (31 
dias). O ano inteiro terá 365. Lembrem-se, em ano bissexto, fevereiro terá 29 dias e o ano 366 dias. 
 
Aprenda mais acessando o link a seguir, que fala sobre juro exato e 
comercial. 
http://tinyurl.com/jc466kz 
Exemplo 1: Um capital no valor de R$ 10.000,00 foi aplicado do dia 20 de junho até o dia 10 de outubro do ano 
de 2015, a uma taxa de juros exatos de 20% ao ano. Calcule os juros produzidos como porcentagem do capital. 
Passo 1: Note que o enunciado da questão não deixa dúvidas e revela que a questão é de juros simples exatos. 
Passo 2: Vimos também que juros exatos é uma modalidade da operação de juros simples. 
Passo 3: Precisamos que a taxa e o tempo esteja na mesma unidade. Vimos também que, nessa 
modalidade, adotaremos sempre a unidade dias, considerando o calendário convencional. 
No exemplo anterior, a aplicação do capital será do dia 20 de junho a 10 de outubro, e a taxa fornecida é 
de 20% ao ano. Ou seja, o tempo está em dias e a taxa está em ano. Logo, aplicaremos o conceito de 
taxas proporcionais para fazer essa transformação. Eu quero transformar a taxa anual em uma taxa diária. 
Vimos que, quando estamos indo de uma unidade maior para uma unidade menor, dividiremos. Mas, 
nesse caso, dividiremos por quanto? Dividiremos pelo número de vezes que a unidade menor cabe 
dentro da maior. No nosso caso, 365 dias, pois no calendário convencional o ano tem 365 dias. 
) ' $#+,-. -. ' 08
9:;
' <4 <=+,2. >. 
Atenção! Na hora de colocar a taxa de juros na fórmula, não podemos esquecer de 
transformar a taxa percentual na forma unitária dividindo por 100. Logo 0,05/100 = 
0,0005 ao dia. 
Passo 4: Essa é uma particularidade das operações de juros exatos. Precisamos agora descobrir o número 
de dias em que o capital ficou aplicado. 
! 
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
4 Quando se utiliza o ano comercial para o cálculo dos juros, o denominamos de juro comercial. 
 MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS | UIA 2 | 
Copyright © 2018 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados. 
14 
Datas em que o capital ficou 
aplicado 
Número de dias 
20 de junho 30 – 20 = 10 
Julho 31 
Agosto 31 
Setembro 30 
Outubro 10 
Total 112 
Passo 5: Devemos agora resolver o problema de forma organizada e estruturada, substituindo as 
informações na fórmula e, em seguida, fazer uma análise dos resultados encontrados. 
Atenção! Antes de aplicarmos a fórmula, nós precisamos reler o enunciado da questão. Pessoal muito 
cuidado aqui. Ainda não podemos resolver a questão! Alguém sabe por quê? A questão pediu para que 
calculássemos os juros como porcentagem do capital. Quando isso ocorrer, faremos o seguinte: atribua o 
valor 100 para o elemento de referência. No nosso caso, o enunciado da questão pede para calcular os 
juros como porcentagem do capital. Sempre que isso ocorrer, “calcule este elemento como porcentagem 
deste outro”, atribuiremos o valor 100 para este outro elemento. Combinado!? Mas o que é esse 100? 
Cem por cento. Logo, nosso capital será igual a 100. Veja: 
& ' ()*!
& ' "##5#4###?,5""$!
& ' ,?4!+,!
Resposta: No final da aplicação, o investidor receberá um rendimento (juro) de 5,6% do valor aplicado. 
Mas e se alguém me perguntar: “Professor, eu poderia calcular os juros na forma monetária e depois 
calcular os juros como porcentagem do capital?”. Sim, você pode fazer isso. O que eu mostrei foi um 
artifício para você economizar o seu tempo precioso. 
Exemplo 2: Calcule o juro de um capital de R$ 4.000,00, aplicado por 60 dias a uma taxa de juros simples 
exatos de 10% ao ano. 
Resolvendo: 
( ' ,67,@.###4##, 
) ' ,"#+,-. -. 
* ' ,!#,A)-B 
 MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS | UIA 2 | 
Copyright © 2018 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados. 
15 
Juro exato: 
( ' ,67,@.###4##, 
) ' ,"#+,-. -. ' , "# %!? ,-. A. 
) ' ,#4#$C@+,-. A. 
* ' ,!#,A)-B 
! 
Fórmula: & ' ()* 
& ' @.###4##5
#4#$C@
"##
,5!# 
& ' ,67,!?4C?, 
Exemplo 3: Calcule o juro de um capital de R$ 4.000,00, aplicado por 60 dias a uma taxa de juros simples 
comercial de 10% ao ano. 
Juro comercial: 
( ' ,67,@.###4##, 
) ' ,"#+,-. -. ' , "# %!# ,-. A. 
) ' ,#4#$CD+,-. A. 
* ' ,!#,A)-B 
! 
Fórmula: & ' ()* 
& ' @.###4##5
#4#$CD
"##
,5!#!
& ' ,67,!!4!!,!
Resposta: Com base no ano civil, o valor dos juros será de R$ 65,75, se considerarmos o ano comercial, o 
valor dos juros será de R$ 66,66. 
 
Assista ao vídeo que mostra a resolução problema de Matemática 
Financeira que tem como base o juro comercial. 
http://tinyurl.com/opfm6oe 
 
8.1.!MONTANTE EM JUROS SIMPLES 
Montante pode ser definido como o total dos juros verificados num período especificado somado ao capital 
inicial da aplicação, associado ao capital inicial (() e à taxa de juros ()) aplicada em determinado período de 
tempo (*). 
Montante = Capital × (1 + Taxa de juros × Número de períodos) 
Utilizaremos M para representar o montante, e podemos calculá-lo usando uma forma reduzida, 
representada a seguir: 
M = C (1 + in) 
Evidencia-se na fórmula que o parêntese E" F GHI é o fator de correção do capital, onde i é a taxa de juros 
e n o tempo em que o capital ficou aplicado. O diagrama a seguir ajuda a ilustrar a evolução do capital no 
tempo sendo sensibilizado pela taxa juros, ele nos mostra que o montante é igual ao capital somado aos 
juros do período, representado pela fórmula: 
M = C + J 
 MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS | UIA 2 | 
Copyright © 2018 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados. 
16 
 
Gráfico 2: Diagrama do capital no tempo 
 
Exemplo 4: Um jovem resolveu aplicar R$ 30.000,00 por 3 anos para comprar seu primeiro imóvel. 
Sabendo se que aplicação escolhida rende em média 1% ao mês, qual será o valor do montante recebido 
por esse jovem ao final da operação? 
Passo 1: Note que, no enunciado da questão, um jovem possui um valor conhecido na data de hoje e 
deseja fazer uma aplicação para retirar essa quantia daqui a 3 anos. Vimos que, quando temos um valor 
conhecido na data de hoje e desejamos projetá-lo para uma data futura, estamos diante de uma 
operação de juros. 
Passo 2: Vimos também que a Matemática Financeira está dividida em dois grandes regimes: o regime 
simples e o regime composto. Como já vimos, se no enunciado da questão temos a palavra “simples”, 
então, trata-se de uma questão de juros simples. Se a questão nada disser acerca do regime, resolve-se a 
questão por juros simples. No caso deste exemplo, nada é dito acerca do regime da operação de juros. 
Logo, nada dito, a questão é uma operação de juros simples. 
Passo 3: Precisamos que a taxa e o tempo estejam na mesma unidade. Nesse exemplo, a aplicação do 
capital será de 3 anos e a taxa fornecida é de 1% ao mês. Ou seja, o tempo está em anos e a taxa está em 
mês. Logo, aplicaremos o conceito de taxas proporcionais para fazer essa transformação. Eu quero 
transformar a taxa mensal em uma taxa anual. Vimos que, quandoestamos indo de uma unidade menor 
para uma unidade maior, multiplicaremos. Mas, nesse caso, multiplicaremos por quanto? 
Multiplicaremos pelo número de vezes que a unidade menor cabe dentro da maior. No nosso caso, 12, 
pois 1 ano é igual a 12 meses. 
) ' "+,-.J. ' "K"$ ' 1L+,2. 2. 
Atenção! Não podemos esquecer que, para alimentar a fórmula, é preciso 
transformar a taxa percentual em unitária dividindo por 100. Logo, 12/100 = 0,12. 
Passo 4: Devemos, agora, resolver o problema de forma organizada e estruturada, substituindo as 
informações na fórmula e, em seguida, fazer uma análise dos resultados encontrados. 
M ',N, 
( ' ,67,%#.###4##, 
) ' ," 
+,-.J. 
* ' ,%,-*OB 
Aplicação da fórmula: M ' (,E" F )*I 
P ' %#.###4##5#4"$,5% 
P ' ,67,@#.D##4##, 
*8! */ *Q *0 
( 
M 
& 
 MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS | UIA 2 | 
Copyright © 2018 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados. 
17 
Resposta: Ao final da aplicação, esse jovem receberá um montante no valor de R$ 40.800,00. 
Vamos ver se você aprendeu? Resolva os seguintes exercícios, seguindo todos os 
passos que você aprendeu até agora! 
 
Exercício 1: “Um determinado capital foi aplicado pelo período de 16 meses, a uma taxa 
de 8% ao mês, rendeu juros de R$ 3.880,00. Qual seria o valor desse capital?”. 
Resposta: C = R$ 3.031,25 
 
Exercício 2: Determine o valor de um montante obtido por um capital de R$ 1.200,00, 
aplicado no regime de juros simples a uma taxa mensal de 2%, pelo período de 10 meses. 
Resposta: M = R$ 1.440,00 
 
Estudantes, termina aqui essa importante aula desta disciplina. As noções aprendidas aqui são essenciais para 
o dia a dia profissional e para o estudioso(a) da área. Continue os estudos desta disciplina e até breve! 
 
Aula 9 |!DESCONTO SIMPLES 
 
Desta vez, falando sobre desconto simples. Estamos na metade do caminho para adquirir as competências e 
habilidades proporcionadas por esta Unidade. Continue estudando! 
 
A operação de desconto é um artifício utilizado quando 
um investidor necessita resgatar um determinado título 
antes do seu vencimento. É muito comum no mercado 
financeiro a realização de negócios com base em um 
valor futuro5 em letras de câmbio, certificados de 
depósito bancário, notas promissórias, entre outros 
produtos que as instituições financeiras disponibilizam. 
Toda vez que o investidor necessitar de dinheiro antes do vencimento do prazo da 
aplicação, devemos antecipar a operação. 
 
 
Esse tipo de operação é chamado de desconto. Ou seja, desconto é uma operação em 
que você tem um valor conhecido numa data futura e você deseja saber o quanto 
valerá essa importância quando projetado para uma data anterior. 
Na operação de desconto, é resgatado o capital investido e os juros rendidos até a data do resgate. Os 
descontos mais comuns no mercado financeiro são: 
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
5 O valor futuro do título é qualquer data posterior à data a que estamos considerando no momento. 
 MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS | UIA 2 | 
Copyright © 2018 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados. 
18 
•! desconto racional6, também conhecido como desconto por dentro; 
•! desconto comercial ou por fora; 
•! desconto bancário. 
 
9.1.!ELEMENTOS DE UMA OPERAÇÃO DE DESCONTO 
•! Valor Nominal7 (N): Também chamado de valor de face de um título ou de uma obrigação com 
vencimento para uma data futura. Em outras palavras, corresponde ao valor monetário 
conhecido na data futura. Note que o valor nominal é análogo ao montante. 
•! Valor Atual (A): Também chamado de valor líquido ou valor descontado, corresponde ao valor 
futuro projetado para uma data anterior. Note que o valor descontado é análogo ao capital. 
•! Tempo (n): Representa a distância na linha do tempo entre o valor nominal e o valor atual. É 
interpretado como o tempo em que se antecipa o pagamento da obrigação. 
•! Desconto (D): É a diferença entre o valor nominal e o valor atual. Dessa forma, apresentamos a 
nossa primeira equação. D = N – A. Perceba que o desconto é análogo ao juro. 
Atenção! A fórmula DNA pode e deve ser utilizada em qualquer modalidade de 
desconto que será apresentada a seguir. Guarde essa fórmula, pois ela será muito útil. 
•! Taxa (i): a taxa é o elemento que vai fazer com que o valor nominal fique menor quando 
projetado para trás ao longo do tempo. É como se fosse o fermento do bolo. A taxa pode estar na 
forma percentual (percentual = por cem) ou na forma unitária. 
705')!#'3#-24&0+!')!/+23#2/02)!/+'(&4')!-.2)4-34-)!(2)/'389-2)!3'!5-+#0('!:2303#-2+'6 
•! Duplicata – são papéis de crédito utilizados em transações comerciais envolvendo 
tanto pessoas jurídicas como físicas. 
•! Nota promissória – é um título com vencimento predeterminado, é muito 
comum em transações entre pessoas jurídicas e físicas. 
•! Letra de câmbio – são títulos emitidos ao portador por agentes financeiros 
credenciados com vencimento preestabelecidos referentes a uma 
determinada aplicação. 
Assim como no nosso estudo de juros, também o desconto está inserido no regime simples ou no regime 
composto. Dessa forma, sempre que identificarmos que estamos diante de uma operação de desconto, 
devemos estar atentos em identificar se a operação será realizada no regime simples ou composto. 
Como eu faço, então, para identificar se a operação é de desconto simples ou de 
desconto composto? 
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
6 É o desconto obtido pela diferença entre o valor nominal de um título e o valor de um determinado compromisso que deve ser 
resgatado (ou saldado) n períodos antes do seu vencimento (MATHIAS; GOMES, 2011). 
7 Significa quanto vale o seu compromisso na data do vencimento, numa data futura. 
 MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS | UIA 2 | 
Copyright © 2018 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados. 
19 
Já vimos que existem duas maneiras de identificar se uma questão de desconto é simples ou composto: a 
primeira é quando o enunciado da questão revelar que se trata de regime simples. A segunda é quando o 
enunciado da questão nada disser sobre o regime. Repetindo: nada dito, regime simples. Combinado!? 
Nas operações de desconto, além dos regimes (simples/composto), nós devemos ter um terceiro 
cuidado, que é o de identificar a modalidade da operação que resulta das três modalidades de desconto 
que devemos estar atentos: 
•! desconto racional, também conhecido como desconto por dentro; essa modalidade de desconto é irmã 
da operação de juros, já que são operações inversas e que se baseiam no mesmo referencial; 
•! desconto comercial ou por fora; 
•! desconto bancário. 
Não se esqueçam! Somente após a identificação do regime e da modalidade é que 
poderemos dar início à resolução da questão de desconto. Mas como eu faço para 
identificar a modalidade da operação de desconto? 
Devemos estar atentos às informações fornecidas pelo enunciado da questão. Primeiro, nada dito acerca 
da modalidade, se racional (por dentro) ou comercial (por fora), eu volto e releio o enunciado procurando 
as palavras “taxa de juros”. Quando isso ocorrer, adotaremos a modalidade desconto racional ou 
desconto por dentro. Segundo, toda vez que o enunciado da questão não revelar qual é a modalidade 
do desconto e as palavras “taxa de juros” também não estiverem presentes, então, saberemos que 
devemos trabalhar com o desconto comercial ou desconto por fora. Por fim, a modalidade de desconto 
bancário deve obrigatoriamente ser revelada. 
Observação 1: Esses tipos de descontos diferenciam-se porque os elementos de referência das fórmulas 
são diferentes. 
Observação 2: Assim como na operação de juros, nas operações de desconto, taxa e tempo devem 
obrigatoriamente estar sempre na mesma unidade. Quando elas não estiverem, devemos fazer isso 
usando o conceito de taxas proporcionais estudado. 
Observação 3: Na hora de colocar a taxa na fórmula, é preciso que ela esteja na sua forma unitária.Nossa linha do tempo pode agora ser representada da seguinte maneira: 
 
Figura 3: Nova linha do tempo 
 
 MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS | UIA 2 | 
Copyright © 2018 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados. 
20 
9.2.!DESCONTO SIMPLES RACIONAL (POR DENTRO) 
 
Desconto racional é o desconto obtido pela diferença entre o valor nominal de 
um título e o valor de um determinado compromisso que deve ser resgatado (ou 
saldado) * períodos antes do seu vencimento (MATHIAS; GOMES, 2011). 
É possível obter o desconto simples racional simplesmente aplicando a taxa de desconto ao valor atual do título. 
).1( niN += !
)1( in
NA
+
= 
Observação 1: Faça uma comparação entre as fórmulas do montante dos juros simples (M=C(1+in)) com 
o valor nominal do desconto simples racional (N = (1+in)) e você perceberá que a fórmula é idêntica. A 
única diferença será a nomenclatura, que se faz necessária para as convenções do desconto. 
 
9.2.1.!OUTRAS FÓRMULAS A SEREM UTILIZADAS NO DESCONTO SIMPLES RACIONAL (POR 
DENTRO) 
Desconto Simples Racional (Dr): !
"
#
$
%
&
+ ).1(
..
ni
niNDr 
Número de períodos com Desconto Simples Racional: 
!
!
!
!
"
#
$
$
$
$
%
&
'
(
)*
+
, -
=
i
A
N
n
1
 
Taxa de Desconto Simples Racional: 
!
!
!
!
"
#
$
$
$
$
%
&
'
(
)*
+
, -
=
n
A
N
i
1
 
 
Descubra mais sobre desconto simples, acessando a seguinte 
videoaula, disponível no link a seguir. 
http://tinyurl.com/hhncaw6 
Exemplo 1: Uma pessoa deseja quitar um título no valor de R$ 8.200,00 quatro meses antes de seu 
vencimento, se a taxa de juros é de 15% a.a., pede-se determinar o valor do desconto racional e o valor 
que essa pessoa receberá de resgate. 
Passo 1: Note que, pelo enunciado da questão, observa-se que é uma antecipação de pagamento de um 
título quatro meses antes de seu vencimento. Logo, de cara, sabemos que estamos diante de uma 
questão de desconto. 
Passo 2: A questão acima não revelou qual deverá ser a modalidade de desconto que devemos usar. 
Então, vamos identificar a modalidade dessa operação de desconto. Primeiro, se nada dito acerca da 
modalidade, se racional (por dentro) ou comercial (por fora), eu volto e releio o enunciado procurando as 
palavras “taxa de juros”. Quando isso ocorrer, adotaremos a modalidade desconto racional ou desconto 
 MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS | UIA 2 | 
Copyright © 2018 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados. 
21 
por dentro. Segundo, toda vez que o enunciado da questão não revelar qual é a modalidade do 
desconto e as palavras “taxa de juros” também não estiverem presente, então, saberemos que devemos 
trabalhar com o desconto comercial ou desconto por fora. Por fim, a modalidade de desconto bancário 
deve obrigatoriamente ser revelada. Em nosso exemplo, apareceu “taxa de juros”. Vimos que a operação 
de desconto simples racional é irmã da operação de juros simples. Logo, podemos concluir que estamos 
diante de uma operação de desconto simples racional (por dentro). 
Passo 3: Precisamos que a taxa e o tempo esteja na mesma unidade. No exemplo, a antecipação do 
pagamento do título é de 4 meses e a taxa fornecida é de 15% ao ano. Ou seja, o tempo está em meses e 
a taxa está em ano. Logo, aplicaremos o conceito de taxas proporcionais para fazer essa transformação. 
Eu quero transformar a taxa anual em uma taxa mensal. Vimos que, quando estamos indo de uma 
unidade maior para uma unidade menor, dividiremos; nesse caso, pelo número de vezes que a unidade 
menor cabe dentro da maior. No nosso caso, 12, pois 1 ano é igual a 12 meses. 
) ' "?+,-. -. '!!/;
/0
' 14 L=+,2.3.!
Atenção! Não podemos esquecer que, para alimentar a fórmula, é preciso transformar a 
taxa percentual em unitária dividindo por 100. Logo, 1,25/100 = 0,0125. 
Passo 4: Devemos agora resolver o problema de forma organizada e estruturada, substituindo as 
informações na fórmula e, em seguida, fazer uma análise dos resultados encontrados. 
RS ',N 
A = ? 
P ' ,67,D.$##4## 
) ' ,"?+,-. -. 
* ' ,@,JTBTB 
Aplicação da fórmula: RS '
UVQ
E/WVQI
 
RS '
D.$##4##5#4#"$?5@
" F #4#"$?5@
 
RS ' ,X7,%Y#4@D, 
RZ ' P [ \ ] ,%Y#4@D ' D.$##4## [ \ '^ \ ' C.D#Y4?$ 
Resposta: ao subtrair o valor do desconto do valor nominal, encontraremos o valor do resgate: 
R$ 8.200,00 - R$ 390,48 = R$ 7.809,52. 
 
9.3.!DESCONTO SIMPLES COMERCIAL (POR FORA) 
O valor do desconto é deduzido diretamente com base no valor nominal sem atualizar o valor do mesmo para a 
data de resgate. Para calcular o valor do desconto comercial (Dc), multiplica-se o valor nominal pela taxa de 
desconto e pelo prazo de vencimento do título e a data de antecipação através da seguinte fórmula: 
Dc = N.i.n 
Utilizando essa fórmula, obtém-se o valor do desconto comercial (Dc) para um valor nominal (N), a uma 
taxa de juros (i) para um prazo de antecipação de n períodos. 
Na prática, somente o desconto comercial é utilizado; porém, é necessário fazermos um rápido estudo do 
desconto racional, porque o desconto composto está ligado a esse conceito (CRESPO, 2002). 
 MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS | UIA 2 | 
Copyright © 2018 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados. 
22 
9.3.1.!OUTRA FÓRMULA QUE TAMBÉM PODE SER USADA NO DESCONTO SIMPLES COMERCIAL 
(POR FORA) 
)1( inNA != 
).1( ni
AN
!
= !
Exemplo 2: Uma pessoa deseja quitar um título que vale R$ 8.200,00 antecipando em quatro meses o 
seu vencimento, sendo a taxa de juros de 15% a.a. Qual seria o valor do desconto comercial e do resgate 
recebido pelo cliente? 
Passo 1: Note que, no enunciado da questão, trata-se de uma antecipação de pagamento de um título quatro 
meses antes de seu vencimento. Logo, de cara, sabemos que estamos diante de uma questão de desconto. 
Passo 2: Vimos também que a Matemática Financeira está dividida em dois grandes regimes: o regime 
simples e o regime composto. Vimos que nada dito, então, regime simples. 
Passo 3: Falta identificar a modalidade do desconto. O enunciado revelou qual deverá ser a modalidade 
de desconto que devemos usar. Logo, podemos concluir que estamos diante de uma operação de 
desconto simples comercial (por fora). 
Passo 4: Precisamos que a taxa e o tempo esteja na mesma unidade. No exemplo, a antecipação do 
pagamento do título é de 4 meses e a taxa fornecida é de 15% ao ano. Ou seja, o tempo está em meses e 
a taxa está em ano. Logo, aplicaremos o conceito de taxas proporcionais para fazer essa transformação. 
Eu quero transformar a taxa anual em uma taxa mensal. Vimos que, quando estamos indo de uma 
unidade maior para uma unidade, menor dividiremos. Nesse caso, pelo número de vezes que a unidade 
menor cabe dentro da maior. No nosso caso 12, pois 1 ano é igual a 12 meses. 
) ' "?+,-. -. ' /;
/0
' 14 L=+,2.3. 
Atenção! Não podemos esquecer que, para alimentar a fórmula, é preciso transformar 
a taxa percentual em unitária dividindo por 100. Logo, 1,25/100 = 0,0125. 
Passo 5: Devemos agora resolver o problema de forma organizada e estruturada, substituindo as 
informações na fórmula e, em seguida, fazer uma análise dos resultados encontrados. 
R_ ',N 
A = ? 
P ' ,67,D.$##4## 
) ' ,"?+,-. -. 
* ' ,@,JTBTB 
Aplicação da fórmula: R_ ' P)* 
RS ' D.$##4##5#4#"$?5@ ] ,R_ ' ,X7,@"#4##, 
R ' P [ \ ] ,@"#4## ' D.$##4## [ \ '^ \ ' 7C.CY#4## 
Resposta: Subtraindo o valor do desconto do valor nominal, podemos determinar valor do resgate, que 
será de R$ 7.790,00. 
! 
 MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS | UIA 2 | 
Copyright © 2018 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados. 
23 
9.4.!DESCONTO BANCÁRIO 
O desconto bancário é baseado no desconto comercial, acrescido de uma taxa (h) cobrada sobre o valor 
nominal (MATHIAS; GOMES, 2011). 
 
O desconto bancário nada mais é que o desconto comercial acrescido de uma 
taxa prefixada denominada de h, calculada com base no valor nominal e que não 
depende do tempo de antecipação da obrigação. 
Para calcularmos o desconto bancário temos a seguinte fórmula: 
Db = N (i.n + h ) 
Onde: 
(R`) = valor dodesconto bancário 
(P) = valor nominal 
()) = taxa de juros ()) 
(*I ',prazo de antecipação de períodos 
a ' taxa administrativa cobrada pela instituição financeira 
Exemplo 3: Um comerciante deseja quitar um título no valor de R$ 8.200,00 quatro meses antes de seu 
vencimento. A taxa de juros é de 15% a.a. e a despesa administrativa é de 2%. Determine o valor do 
desconto bancário e o valor do resgate recebido pelo cliente. 
Passo 1: O enunciado da questão fala de uma antecipação de pagamento de um título quatro meses 
antes de seu vencimento. Logo de cara, sabemos que estamos diante de uma questão de desconto. 
Passo 2: Vimos também que a Matemática Financeira está dividida em dois grandes regimes: o regime 
simples e o regime composto. Nesse caso, nada foi dito sobre regime simples. 
Passo 3: A questão agora é identificar a modalidade do desconto. O enunciado revelou qual deverá ser a 
modalidade de desconto que devemos usar. Logo, podemos concluir que estamos diante de uma 
operação de desconto simples bancário. Só resolveremos uma questão por desconto bancário quando o 
enunciado da questão o disser explicitamente. 
Passo 4: Precisamos que a taxa e o tempo esteja na mesma unidade. No exemplo, a antecipação do 
pagamento do título é de quatro meses, e a taxa fornecida é de 15% ao ano. Ou seja, o tempo está em 
meses e a taxa está em ano. Logo, aplicaremos o conceito de taxas proporcionais para fazer essa 
transformação. Eu quero transformar a taxa anual em uma taxa mensal. Vimos que, quando estamos indo 
de uma unidade maior para uma unidade menor, dividiremos. Nesse caso, dividiremos por quanto? 
Dividiremos pelo número de vezes que a unidade menor cabe dentro da maior. No nosso caso, 12, pois 1 
ano é igual a 12 meses. 
) ' "?+,-. -. '!!/;
/0
' 14 L=+,2.3.!
Atenção! Não podemos esquecer que, para alimentar a fórmula, é preciso 
transformar a taxa percentual em unitária, dividindo por 100. Logo, 1,25/100 = 
0,0125. 
 MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS | UIA 2 | 
Copyright © 2018 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados. 
24 
Passo 5: Devemos agora resolver o problema de forma organizada e estruturada, substituindo as 
informações na fórmula e, em seguida, fazer uma análise dos resultados encontrados. 
R` ',N 
A = ? 
P ' ,67,D.$##4## 
) ' ,"?+,-. -. 
* ' ,@,JTBTB 
Aplicação da fórmula: R` ' PE)* F aI 
R` ' D.$##4##, #4#"$?5@ F #4#$ ] R` ' ,X7,?C@4##, 
R ' P [ \ ] ,?C@4## ' D.$##4## [ \ '^ \ ' 7C.!$!4## 
Resposta: O valor do resgate será de R$ 7.626,00. 
Mas não pare por aí... 
Consulte as referências que são apresentadas ao final deste material de estudo e as que constam no 
plano de ensino da disciplina para ampliar o seu conhecimento. 
 
O link disponível a seguir contém uma interessante videoaula de 
Matemática Financeira dada para a Caixa Econômica Federal. Assista e 
amplie seus conhecimentos. 
http://tinyurl.com/q3vpr7b 
 
Continue estudando para desenvolver as competências e habilidades necessárias a essa área de atuação e do 
conhecimento. Até a próxima aula! 
 
Aula 10 |!EQUIVALÊNCIA SIMPLES DE CAPITAIS 
 
Nesta aula, falaremos sobre a equivalência simples de capitais. Fique ligado! Essa noção é essencial para o 
estudioso(a) da área. Boa aula! 
 
É muito comum em operações financeiras a necessidade de mudar a forma original de pagamento de 
uma obrigação. Pode ser porque você deseje antecipar ou até mesmo prorrogar o pagamento de uma 
dívida. Outras vezes, desejamos mudar a forma de pagar uma dívida contraída. Pode acontecer também 
que uma pessoa necessite substituir o pagamento de vários títulos em um único título ou vice-versa. 
Segundo Mathias e Gomes (2010, p. 132), “é frequente a necessidade de antecipar ou de prorrogar títulos 
nas operações financeiras. Às vezes queremos substituir um título por outro ou por vários. Podemos 
também ter vários títulos que queremos substituir por um único ou por vários”. Ainda de acordo com os 
autores, tais questões dizem respeito à comparação de valores diferentes referidos a datas diferentes, 
considerando uma dada taxa de juros. 
! 
 MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS | UIA 2 | 
Copyright © 2018 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados. 
25 
10.1.!EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
Dessa forma, podemos concluir que estamos diante de uma operação de equivalência de capitais quando: 
•! Houver duas formas diferentes de quitar uma mesma obrigação. 
•! Quando estivermos em uma situação de empréstimo. 
Por exemplo, suponha que eu comprei um carro hoje e fiquei de pagar R$ 20.000 daqui a um mês e mais 
R$ 10.000 daqui a 2 meses. Tudo bem? Agora, vamos supor que ocorreu um imprevisto. Eu fui assaltado 
quando saía do banco com o dinheiro para pagar a primeira parcela do carro ao meu credor. Dessa 
maneira, eu não tive alternativa a não ser ligar para o meu credor e explicar a situação. O credor 
entendeu a situação e acreditou na minha história, já que vivemos num país muito violento. No entanto, 
o credor perguntou como eu faço agora diante da situação para quitar minha dívida com ele? Então, eu 
disse a ele que poderia pagá-lo com duas prestações de mesmo valor para as datas 3 e 4 meses. 
Vamos visualizar abaixo graficamente essa situação! 
 
Figura 4: Situação do exemplo 
 
Vocês perceberam que eu comprei um carro e combinei de pagar de uma maneira, mas que, devido ao 
imprevisto ocorrido, tive que propor uma nova forma de pagamento da compra por mim realizada. 
Portanto, sempre que houver uma mudança da forma de pagamento originalmente contratada, 
estaremos diante de uma operação de equivalência de capitais. 
Em outras palavras, para que eu, devedor, não saia perdendo e para que o meu credor também não, 
precisamos garantir que a nova forma de pagamento proposta seja equivalente à primeira. Portanto, o 
nome equivalência de capitais. 
 
10.1.1.!DATA FOCAL (DF) 
Segundo Penido (2007, p. 50), “data focal é a data que se considera como base de comparação dos 
valores referidos a datas diferentes, ou seja, é a data para onde serão transportados os valores de entrada 
e saída de dinheiro como o objetivo de avaliação”. 
Em outras palavras, a data focal nada mais é que uma data de referência, para a qual iremos projetar 
todas as parcelas do desenho, por meio de operações de desconto. 
 MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS | UIA 2 | 
Copyright © 2018 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados. 
26 
Mas como eu devo utilizar a data focal? 
Nós devemos estar atentos a duas regras para o uso da data focal. A primeira é que nós devemos ser 
obedientes e adotar a data focal sugerida pelo enunciado da questão. A segunda é, quando nada for dito 
no enunciado da questão, adotaremos sempre a data focal zero. 
Exemplo 1: Pedro comprou hoje o novo IPhone 6S e combinou de pagar por ele da seguinte maneira: 
uma parcela no valor de R$ 1.000,00 daqui a 30 dias, e mais uma outra parcela no valor de R$ 2.000,00, 60 
dias após a compra. Devido à grave crise financeira em que estamos vivendo, Pedro não possui dinheiro 
suficiente para quitar a sua dívida com a loja onde comprou o celular. Como ele não tem a intensão de 
dar um calote na empresa, Pedro solicitou alterar a forma de pagamento originalmente combinada. A 
nova proposta de pagamento de Pedro é a seguinte: ele se propõe a pagar duas parcelas iguais e de 
mesmo valor 90 e 120 dias após a data da compra. Vamos considerar uma taxa de 10% ao mês, e o 
desconto simples comercial. Para que o credor e o devedor não saiam perdendo, calcule o valor das 
novas prestações. Para este problema, adote a data focal 120 dias. 
Passo 1: Logo de cara, identificamos que se trata de uma operação simples de capital. O enunciado foi 
direto e nos revelou em duas formas diferentes de pagar uma obrigação com vencimento futuro. 
Passo 2: Faça o desenho da questão. É muito útil e facilita muito a compreensão e a resolução do 
exercício. O desenho é a linha do tempo com as respectivas informações do enunciado da questão. É 
importante quevocê faça o retrato fiel do problema. No nosso caso, o desenho fica assim: 
 
Figura 5: Situação do exemplo 
 
Passo 3: Agora, é necessário identificar o que é (1) a primeira forma de pagamento originalmente 
acordada e o que é a (2) nova forma de pagamento, que chamaremos de segunda forma de pagamento, 
para que possamos definir as parcelas que deverão ser equivalentes. 
 MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS | UIA 2 | 
Copyright © 2018 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados. 
27 
 
Figura 6: Situação do exemplo 
 
Passo 4: Taxa e tempo devem sempre estar na mesma unidade no contexto da Matemática Financeira. 
No exemplo, a taxa fornecida é mensal (10% a.m.) e o tempo está em dias (30, 60, 90 e 120). Sabemos que 
30 dias é igual a 1 mês, 60 dias igual a 2 meses, 90 dias igual a 3 meses e 120 dias igual a 4 meses. Logo, 
podemos representar o nosso desenho da seguinte maneira: 
 
Figura 7: Situação do exemplo 
 
Passo 5: Precisamos descobrir qual o regime e a modalidade da operação de desconto que deveremos 
utilizar para resolver a questão de equivalência. Nesse caso, foi fácil descobrir porque o enunciado da 
questão revelou que deveremos adotar a operação de desconto simples comercial (por fora). 
Passo 6: Temos que identificar a data focal. Ou seja, temos que definir a data que servirá de referência 
para a qual todas as parcelas do desenho serão projetadas via operações de desconto. Não podemos 
esquecer as duas regras que devemos seguir: a primeira é que nós devemos sempre adotar a data focal 
sugerida pelo problema. A segunda é que, nada dito, devemos sempre adotar a data zero como data 
focal (DF). Mas o enunciado do problema foi bem claro e pediu para que nós adotássemos a data 120 dias 
como data focal. 
 MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS | UIA 2 | 
Copyright © 2018 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados. 
28 
 
Figura 8: Situação do exemplo 
 
Passo 7: A partir de agora, podemos dar início à resolução efetiva da questão. Precisamos projetar todas as 
parcelas do desenho para a data focal por meio de operações de desconto simples comercial (por fora). 
Iniciaremos transportando o valor de R$ 1000,00 para a data focal. Tenha cuidado! Esse é um erro muito 
comum. Observem que a distância da primeira parcela e a data focal é de 3 meses e não de 4 meses. A 
letra E é a incógnita que estamos interessados. Ela é utilizada apenas para fins didáticos. Poderia ser 
qualquer letra do alfabeto. 
a.! 
 
310,01
1000
)1( x
N
in
AN
!
="
!
= ! 57,1428=N , para fins didáticos escreveremos E = $ 1428,57. 
 
 MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS | UIA 2 | 
Copyright © 2018 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados. 
29 
b.! 
 
210,01
2000
)1( x
N
in
AN
!
="
!
= ! 00,2500=N , para fins didáticos escreveremos F = $2500,00. 
c.! 
110,01)1( x
XN
in
AN
!
="
!
= ! XN 11,1= , para fins didáticos escreveremos G = 1,11X. 
d.! 
A última parcela já está sobre a data focal; logo, o valor da última parcela é o próprio X. Portanto, H = X. 
Passo 8: Chegamos ao último passo. A partir de agora, iremos aplicar a fórmula de equivalência de capitais. 
( ) ( )DfDf !!"=!" 
 MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS | UIA 2 | 
Copyright © 2018 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados. 
30 
Essa equação nos diz que o somatório das parcelas referentes à primeira obrigação, após serem 
projetadas para a data focal, deve ser igual à soma da parcelas da segunda obrigação transportadas para 
a data focal. 
Logo, temos: 
XX +=+ 1,1250057,1428 ! X1,257,3928 = ! X = 
1,2
57,3928 ! X = 75,1870 
Resposta: Pedro deverá pagar duas parcelas no valor de R$ 1.870,75 no terceiro e quarto mês 
respectivamente. 
Viram como é fácil? 
Basta seguir o passo a passo e você estará apto a resolver qualquer questão de equivalência simples de capitais. 
Para tirar a prova, eu convido você a resolver a seguinte questão segundo os passos descrito nesta aula. 
Exercício 1: Suponha que eu tenha ganho o terno da Megasena e desejo quitar uma 
dívida. A dívida por mim contraída possui uma parcela no valor de R$ 4.000,00 que venceu 
há 20 dias, mais uma parcela no valor de R$ 4.620,00 que irá vencer daqui a 50 dias e mais 
outra parcela no valor de R$ 3.960,00 que vencerá dentro de 100 dias a uma taxa de juros 
simples de 0,1% ao dia. Qual seria o capital na data de hoje equivalente a essa dívida? 
Resposta: O valor do capital equivalente na data de hoje seria de X = R$ 12.080,00. 
 
 
Para aprender mais sobre equivalência de capitais, acesse a videoaula 
disponível no link a seguir. 
http://tinyurl.com/go4uffd 
 
Descubra mais sobre equivalência simples de capitais acessando o link a 
seguir. 
http://tinyurl.com/hrft2bg 
 
Aula 11 |!JUROS COMPOSTOS (PARTE 1) 
 
Temos dois regimes de capitalização utilizados em transações financeiras, o de juros simples, conhecido 
também como linear, e o de juros compostos ou exponencial. Bom estudo! 
 
11.1.!INTRODUÇÃO 
O regime de juros compostos tem grande importância financeira pelo fato de ser utilizado na prática. Os 
juros compostos são cumulativos, e, portanto, o juro gerado pela aplicação será incorporado à mesma 
passando a participar da geração de juros no período seguinte. 
 MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS | UIA 2 | 
Copyright © 2018 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados. 
31 
Num regime de capitalização8, os juros do período são incorporados ao capital inicial da aplicação. Os 
juros simples incidirão sobre o capital inicial, já os compostos serão incorporados ao capital do período 
somados aos juros acumulados. 
No gráfico abaixo, pode-se comparar a diferença do nível de crescimento entre uma capitalização 
simples e outra composta: 
 
Gráfico 1. Diferença do nível de capitalização entre uma simples e outra composta 
 
Os conceitos de taxa nominal e de taxa efetiva ajudarão no entendimento para calcularmos montante9 e 
juros compostos. 
 
Aprenda um pouco mais sobre juros compostos acessando o link a 
seguir. 
http://tinyurl.com/zts8adb 
 
11.2.!TAXA DE JUROS: NOMINAIS E EFETIVAS 
11.2.1.!A TAXA NOMINAL 
 
A taxa nominal representa a taxa de juros contratada (ou declarada) numa 
operação financeira. Normalmente, essa taxa é expressa para um período 
superior ao da incidência de capitalização dos juros (ASSAF NETO, 2009). 
Em outras palavras, sempre que uma taxa for diferente da unidade de capitalização, estamos diante de 
uma taxa nominal. Portanto, a taxa nominal nada mais é que aquela que está presente a palavra 
capitalização, em que a unidade da taxa é diferente da unidade de capitalização. 
Exemplo: Suponha um empréstimo no valor de R$ 10.000,00 a ser pago em sete 
prestações mensais, a uma taxa de 12% a.a. com capitalização. 
 
Perceberam que o período da operação é anual e a incidência do juro é mensal? 
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
8 É o processo no qual os juros são formados e incorporados ao capital (principal financeiro inicial da aplicação). 
9 Representa a soma do valor aplicado (principal) mais os juros calculados durante determinado período. 
 MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS | UIA 2 | 
Copyright © 2018 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados. 
32 
Assim, fique atento, a taxa nominal é aquela em que está presente a palavra capitalização, e em que a 
unidade da taxa é diferente da unidade da capitalização. 
É importante salientar que taxa nominal só existe no regime composto. 
Portanto, sempre que for resolver uma questão de matemática financeira e 
você se deparar com a taxa nominal, saiba que você está diante de uma 
questão do regime composto. Pois poderá ser uma questão de juros 
compostos, desconto composto, equivalência de capitais etc. 
Outra informação importante: a taxa nominal não pode ser aplicada em 
nenhuma fórmula. Ou seja, toda vez que nos depararmos com uma taxa 
nominal precisamos transformá-la numa taxa efetiva e faremos isso usando o conceito de taxas 
proporcionais aprendido. Portanto, temosnossa regra número 1. 
O conceito de taxas proporcionais é utilizado no regime simples com o intuito de alterar a taxa fornecida 
pelo enunciado da questão na mesma unidade do tempo. Para isso, basta fazer o seguinte: 
Quando precisarmos transformar a taxa de uma unidade maior para uma unidade menor, 
nós dividiremos. 
 
Mas dividiremos por quanto? Pelo número de vezes que a unidade menor cabe 
dentro da maior. 
 
Quando precisarmos transformar a taxa de uma unidade menor para uma unidade maior, 
nós multiplicaremos. 
 
Mas multiplicaremos por quanto? Pelo número de vezes que a unidade menor cabe 
dentro da maior. 
Logo, com base no exemplo acima, precisamos transformar a taxa anual em uma taxa mensal. Quando 
estamos indo de uma unidade maior para uma unidade menor teremos que dividir pelo número de vezes 
que a unidade menor cabe dentro da unidade maior. Logo, em nosso caso, dividiremos por 12, já que 1 
ano é igual a 12 meses. 
Logo /0+,b.b.
/0,cdede
' "+,-.J. 
 
Portanto, não esqueçam: toda vez que estivermos diante de uma taxa nominal, 
devemos transformá-la numa taxa efetiva pelo uso do conceito de taxas 
proporcionais. 
! 
 MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS | UIA 2 | 
Copyright © 2018 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados. 
33 
Veja no quadro a seguir alguns exemplos de conversão. 
Taxa nominal Conversão Taxa efetiva mensal 
36% a.a. (ao ano) 36/12 3% a.m. 
15% a.a. (ao ano) 15/12 1,25% a.m. 
8% a.a. (ao ano) 8/12 0,66% a.m. 
24% a.a. (ao ano) 24/12 2% a.m. 
Quadro 1. Exemplos de taxas nominais com conversão para taxa efetiva mensal 
 
Após analisarmos o quadro de conversão acima, percebemos que quanto maior o número de períodos, 
maior será a taxa nominal de juros, o mesmo acontece com a taxa efetiva, ou seja, o crescimento do 
rendimento acumulado está associado ao aumento da frequência de capitalização da taxa nominal. 
 
11.2.2.!TAXA EFETIVA 
 
Segundo Penido (2007, p. 70) “Uma taxa é efetiva quando a sua unidade de 
tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. É, 
portanto, a taxa que deve ser utilizada nos cálculos”. 
Dessa maneira, a taxa efetiva é obtida pela capitalização exponencial dos juros acumulados ao longo do 
tempo, conhecido no mercado financeiro como juros compostos. 
Para transformar uma taxa efetiva em outra taxa efetiva utilizaremos a seguinte fórmula: 
" F f ' E" F )Ig 
Onde I = a taxa maior, i = a taxa menor e k = o número de vezes que a unidade menor 
cabe dentro da unidade maior. 
 
 
Exemplo: Paulo fez uma aplicação de uma quantia a uma taxa de juros compostos de 9% 
ao bimestre, durante um período de seis meses. 
Notem que a taxa de juros está numa unidade e o tempo de 
aplicação do dinheiro está em outra unidade. Aprendemos que em 
matemática financeira taxa e tempo devem sempre estar na mesma 
unidade. Acabamos de ver também que no regime composto 
quando queremos transformar uma taxa efetiva em outra taxa 
efetiva utilizaremos o conceito de taxas equivalentes. Então, mãos à obra, a seguir segue a 
fórmula para o cálculo. 
" F f ' E" F )Ig 
Primeiramente, nós precisamos transformar uma taxa efetiva bimestral (9%a.b.) em uma 
 MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS | UIA 2 | 
Copyright © 2018 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados. 
34 
taxa efetiva mensal. Dessa maneira o nosso f representará nossa taxa maior, que no caso é 
o bimestre. Portanto, f ' #4#Y. 
Nunca podemos esquecer que precisamos transformar a taxa na forma 
percentual para a taxa na forma unitária antes de substituir na fórmula. 
Em segundo lugar, ) é a taxa menor que estamos interessados, portanto, é a nossa 
incógnita. Por último, h é o número de vezes que a taxa menor cabe dentro da taxa maior. 
No nosso caso, mês é a taxa menor e cabe duas vezes dentro da unidade maior bimestre, 
pois 1 bimestre é igual a 2 meses. 
Em resumo, nós temos estas informações: 
f ' #4#Y 
) 'N 
h ' $ 
" F #4#Y ' " F ) 0 i E"4#YI
/
0 i " F ) i ) ' "4#@@ [ " i ) ' #4#@@ 
"&!)-*0;!) ' @4@#%"+!0'!5<)= 
 
Muito fácil né!? Vamos utilizar os conceitos que aprendemos e resolver o exemplo a seguir. 
 
Exemplo: Suponha uma taxa nominal de 24% ao ano, considerando uma taxa de 
capitalização mensal, qual seria a taxa efetiva anual? 
 
Caro(a) estudante, você percebeu que estamos diante de uma taxa anual e a 
capitalização é mensal? Quando isso acontece estamos diante de uma taxa 
nominal. Aprendemos anteriormente que a taxa nominal, nada mais é que aquela 
que está presente à palavra capitalização, e em que a unidade da taxa é diferente 
da unidade de capitalização. Qual é o primeiro passo que nós devemos adotar? 
Devemos transformar a taxa nominal numa taxa efetiva utilizando o conceito de 
taxas proporcionais. 
 
Assim, trabalhando com a taxa de 24% ao ano com capitalização mensal faremos o seguinte: 
$@+,-. -.
"$,JTBTB
' $+,-.J. ' j-K-,TkTj)l- 
 
Caro(a) estudante, você percebeu que a taxa efetiva foi uma taxa mensal? Sabe 
explicar o porquê? 
Porque a capitalização da taxa é mensal. Tão simples quanto isso. 
Agora nós temos uma taxa efetiva mensal de 2% ao mês e precisamos transformá-la em outra taxa 
efetiva anual. E como faremos isso? Faremos isso utilizando o conceito de taxas equivalentes. 
 MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS | UIA 2 | 
Copyright © 2018 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados. 
35 
Dessa maneira o f representará a taxa maior, que no caso acima é o ano. É exatamente o f que estaremos 
interessados em descobrir. E ) é a taxa menor fornecida no enunciado da questão () ' $+,-. -. I. Nunca 
podemos esquecer que precisamos transformar a taxa na forma percentual para a taxa na forma unitária 
antes de substituir na fórmula. E h é o número de vezes que a taxa menor cabe dentro da taxa maior. No 
nosso caso mês é a taxa menor e cabe doze vezes dentro da unidade maior ano, pois 1 ano é igual a 12 meses. 
Em resumo nós temos estas informações: 
f 'N 
) ' #4#$,-O,JmB 
h ' "$ 
" F f ' E" F #4#$I/0 i f ' E"4#$I/0 [ " i f ' "4$!D$ [ " i ) ' #4$!D$ 
Ou seja, ) ' $!4D$+ ao ano. 
Resposta: 26,82% ao ano. 
 
 
Leia o artigo “Taxa de juros: nominal, efetiva ou real?”, disponível no link 
a seguir e no acervo da disciplina, sobre a confusão que reina, no 
mercado financeiro brasileiro, no que se refere aos conceitos de taxas de 
juros nominal, efetiva e real. 
http://tinyurl.com/mdro78t 
 
Introduzimos conceitos que serão importantes ao longo desta parte do conteúdo. Continue os estudos desta 
disciplina e até breve! 
 
Aula 12 |!JUROS COMPOSTOS (PARTE 2) 
 
Estudante, nesta aula, veremos as características do regime de juros compostos. Continue estudando para 
desenvolver as competências e habilidades necessárias a essa área de atuação e do conhecimento. 
 
12.1.!INTRODUÇÃO 
Vimos em juros simples que os juros são diretamente 
proporcionais ao tempo e à taxa de juros, ou seja, eles são 
aplicados diretamente ao capital de forma linear. No regime de 
juros compostos a característica é exponencial, ou seja, os juros 
gerados durante a aplicação, à medida que o número de 
períodos se realiza, são incorporados, período a período, 
considerando-se sempre o seu valor acumulado. Dessa forma, 
pode-se dizer que os juros são capitalizados também, além do 
capital investido (ASSAF NETO, 2009; MATHIAS; GOMES, 2011). 
 MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS | UIA 2 | 
Copyright © 2018 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados. 
36 
 
Acesse o link a seguir e leia sobre algumas noções de utilização de uma 
calculadora financeira. 
http://tinyurl.com/nclahlq 
 
Exemplo: Suponha a aplicação de um capital de R$ 1.000,00 a uma taxa de juros de 20% a.a. 
No quadro abaixo, podemos constatar a diferença em valores na evolução de uma capitalização de juros 
simples em relação a uma capitalização de juros compostos. 
Período Juros Simples Montante – 
Juros Simples 
Juros 
Compostos 
Montante – Juros 
Compostos 
1 R$ 200,00 R$ 1.200,00 R$ 200,00 R$ 1.200,00 
2 R$ 200,00 R$ 1.400,00 R$240,00 R$ 1.440,00 
3 R$ 200,00 R$ 1.600,00 R$ 288,00 R$ 1.728,00 
4 R$ 200,00 R$ 1.800,00 R$ 346,00 R$ 2.074,00 
Quadro 2. Capitalização de juros simples e compostos 
 
Pode-se perceber, a partir do segundo período, a diferença na evolução dos juros. O 
regime de capitalização dos juros compostos cresce de forma exponencial. Veja a 
diferença considerável de valores apresentada no quarto período, o valor apurado dos 
juros simples foi de R$ 200,00, já o valor dos juros compostos foi de R$ 346,00. 
 
12.2.!MONTANTE 
 
O valor do montante ou valor futuro é obtido pela soma do valor do capital 
principal aplicado, somados aos juros apurados no período do investimento. 
Veja a fórmula utilizada para calcular o montante no regime de capitalização de juros compostos: 
M ' (E" F )IQ 
Onde: 
M = montante 
( = capital 
) = taxa de juros 
 MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS | UIA 2 | 
Copyright © 2018 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados. 
37 
* = número de períodos 
No regime de juros compostos, multiplicamos o capital inicial pelo fator de correção, 
que é composto pela a taxa de juros aplicada no período da aplicação, esse 
montante crescerá de forma exponencial. Não podemos esquecer essa fórmula 
coringa que é muito útil: 
M ' ( F & 
Exemplo: Um determinado investidor fará uma aplicação de R$ 25.000,00 visando 
comprar um bem daqui a 3 anos. A aplicação foi feita em uma caderneta de poupança a 
uma taxa média de juros compostos de 1% a.m. Qual seria o valor do montante que esse 
investidor receberá ao final dessa aplicação? 
Passo 1: A primeira coisa a se fazer é saber do que se trata a questão. No exercício acima 
não resta dúvida de que estamos diante de uma operação de juros, pois temos um valor 
conhecido hoje e desejamos projetá-lo para uma data futura. 
Passo 2: Agora precisamos saber qual é o regime da operação. Vimos que a matemática 
financeira está dividida em dois regimes: o simples e o composto. No caso acima o 
enunciado da questão revelou explicitamente que se trata de uma operação de juros 
compostos. Caso não houvesse essa informação, procuraríamos por uma taxa nominal. 
Nada dito e o enunciado da questão apresentou uma taxa de juros nominal10, então 
estamos diante de uma operação no regime composto. 
Não se esqueça: taxa nominal indica que estamos no regime composto. 
Passo 3: Taxa e tempo estão em unidades diferentes. A taxa de juros é mensal e o tempo é 
anual. O que faremos agora? Transformaremos a taxa mensal em taxa anual. Mas que 
conceito utilizaremos para fazer essa transformação? Usaremos o conceito das taxas 
equivalentes, por meio da seguinte fórmula: 
f 'N 
) ' #4#",-O,JmB 
h ' "$ 
" F f ' E" F #4#"I/0 i f ' E"4#"I/0 [ " i f ' "4"$!D [ " i ) ' #4"$!D 
Ou seja, ) ' "$4!D+ ao ano. 
Passo 4: Devemos agora resolver o problema de forma organizada e estruturada, 
substituindo as informações na fórmula e, em seguida, fazer uma análise dos resultados 
encontrados. 
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
10 Representa a taxa de juros contratada (ou declarada) numa operação financeira. Normalmente essa taxa é expressa para um período 
superior ao da incidência de capitalização dos juros (ASSAF NETO, 2009). 
 MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS | UIA 2 | 
Copyright © 2018 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados. 
38 
Aplicação da fórmula: M ' (E" F )IQ 
M ' $?.###E" F #4"$!DI9 
 
Vamos ver se você aprendeu? Convido-o a testar o seu conhecimento resolvendo o 
exemplo abaixo. 
 
 
Exemplo: Joãozinho aplicou um capital no valor de R$ 1.000,00 a uma taxa de juros 
compostos de 42% ao quadrimestre, com capitalização bimestral durante 5 meses. Calcule 
o valor do montante desta operação. 
Resposta: O montante é igual a R$ 1.610,51. 
 
12.3.!JUROS 
Os juros compostos são mais utilizados em operações em longo prazo. 
Portanto, no mercado financeiro as operações financeiras que compõem 
montantes com juros capitalizados exponencialmente são mais frequentes 
(ASSAF NETO, 2009). O valor dos juros é calculado da seguinte forma: 
[1 ) 1]nJ C i= + ! 
Onde: 
J = juros 
C = capital 
i = taxa de juros 
n = número de períodos 
 
 
Exemplo: Uma determinada pessoa pretende aplicar R$ 10.000,00, pois pretende utilizar 
esse dinheiro em um negócio daqui a 6 meses. Ele depositou esse valor em conta 
poupança a uma taxa de juros compostos de 12% ao ano. Determine o valor recebido de 
juros no final dessa aplicação: 
Resolução: 
Passo 1: A primeira coisa que temos que fazer é saber do que se trata a questão. No 
exercício acima não resta dúvida de que estamos diante de uma operação de juros, pois 
temos um valor conhecido hoje e desejamos projetá-lo para uma data futura. 
Passo 2: Agora precisamos saber qual é o regime da operação. Vimos que a matemática 
financeira está dividida em dois regimes: o simples e o composto. No caso acima o 
 MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS | UIA 2 | 
Copyright © 2018 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados. 
39 
enunciado da questão revelou explicitamente que se trata de uma operação de juros 
compostos. Caso não houvesse essa informação, procuraríamos por uma taxa nominal. 
Nada dito e o enunciado da questão apresentaram uma taxa de juros nominal, então 
estamos diante de uma operação no regime composto. Combinado!? Portanto, não se 
esqueça: taxa nominal indica que estamos no regime composto. 
Passo 3: Taxa e tempo estão em unidades diferentes. A taxa de juros é anual e o tempo da 
aplicação é mensal. O que faremos agora? Transformaremos a taxa mensal em taxa anual. 
Mas que conceito utilizaremos para fazer essa transformação? Usaremos o conceito das 
taxas equivalentes. Então utilizaremos a seguinte fórmula: 
I = 12% ao ano 
i= ? % ao mês 
k = 12 
12)1(12,01 i+=+ ! ( ) 112,1 12
1
!=I ! 10095,1 !=i ! 9485,0=i 
Ou seja, %9485,0=i ao mês. 
Passo 4: Devemos agora resolver o problema de forma organizada e estruturada, 
substituindo as informações na fórmula e em seguida, fazer uma análise dos resultados 
encontrados. 
Aplicação da fórmula: 
[(1 ) 1]nJ C i= + ! 
610.000,00[(1 0,009489) 1] $583,01J J R= + ! " = 
 
Note que nós poderíamos resolver essa questão de outra maneira 
fazendo o ajuste do tempo ao invés da taxa. Sempre que for mais fácil 
alterar o tempo ao invés da taxa, o faça. Observe a seguir. 
?
$10.000,00
12%
66 . 0,5 .
12
. .
n m
J
C R
i a a
a
=
= =
=
=
=
!
Aplicação da fórmula: 
[(1 ) 1]nJ C i= + ! 
0,510.000,00[(1 0,12)] 1] $583,01J J R= + ! " = !
Resposta: Ele receberá de juros ao final desse período R$ 583,01. Perceba que, utilizando 
as unidades em meses ou em anos, o resultado foi o mesmo. 
 MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS | UIA 2 | 
Copyright © 2018 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados. 
40 
Atenção: Ao recorrer ao tempo (n) com o intuito de alterá-lo para cumprirmos a exigência de que taxa e 
tempo estejam na mesma unidade, vale lembrar que essa alternativa só funcionará se encontrarmos um 
valor redondo para n. 
 
Exemplo: Ainda com base no exemplo anterior, calcule os juros aplicando a fórmula do 
montante. 
?
$10.000,00
12% . .
66 . 0,5 .
12
J
C R
i a a
n m a
=
=
=
= = =
 
Aplicação da fórmula: 
0,5
(1 )
10.000(1 0,12)
$10.583,01
nM C i
M
M R
= +
= +
=
!
Você lembra da fórmula coringa!? 
M C J= + , ou seja, J M C= ! 
Logo, $10.583,01 $10.000,00 $583,01J R R J R= ! " = 
Resposta: quando aplicamos a fórmula do montante, chegamos ao mesmo resultado do 
exemplo anterior. 
 
Caro(a) estudante, vamos testar nosso conhecimento agora? Então, eu convido 
vocês a resolverem outro exemplo a seguir. 
 
 
Exemplo: Determinada pessoa pretende aplicar R$ 10.000,00, pois pretende utilizar esse 
dinheiro em um negócio daqui a 6 meses. A pessoa depositou esse valor em conta 
poupança. Após uma simulação, o agente bancário afirmou que o rendimento dessa 
aplicação seria de R$ 600,00. Calcule a taxa de juros compostos dessa aplicação. 
"#$%&$'(6!>;?@A!0=5= 
 
 MATEMÁTICAPARA NEGÓCIOS | UIA 2 | 
Copyright © 2018 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados. 
41 
 
Diversifique seu conhecimento e acesse o texto sobre juros compostos 
disponível no link a seguir. 
http://tinyurl.com/hqf6jek 
 
Estamos na metade do caminho para adquirir as competências e habilidades proporcionadas por este 
curso. 
 
 
Você terminou o estudo desta unidade. Chegou o momento de verificar sua aprendizagem. 
Ficou com alguma dúvida? Retome a leitura. 
Quando se sentir preparado, acesse a Verificação de Aprendizagem da unidade no menu 
lateral das aulas ou na sala de aula da disciplina. Fique atento, essas questões valem nota! 
Você terá uma única tentativa antes de receber o feedback das suas respostas, com 
comentários das questões que você acertou e errou. 
Vamos lá?! 
 
! 
 MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS | UIA 2 | 
Copyright © 2018 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados. 
42 
REFERÊNCIAS 
 
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 11. ed. São Paulo: Atlas, 2009. 
 
CRESPO, A. A. Matemática Comercial e Financeira Fácil. São Paulo: Saraiva, 2002. 
 
MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática Financeira. 6. ed. São Paulo: Atlas, 2011. 
 
PENIDO, Eduardo. Matemática financeira para concurso público. 1. ed. São Paulo: Atlas, 2007. 
 
GLOSSÁRIO 
 
Desconto racional ou desconto “por dentro”: É o desconto obtido pela diferença entre o valor nominal 
de um título e o valor de um determinado compromisso que deve ser resgatado (ou saldado) n períodos 
antes do seu vencimento (MATHIAS; GOMES, 2011). 
Juro comercial: Quando se utiliza o ano comercial para o cálculo dos juros, o denominamos de juro 
comercial. 
Juro exato: Quando se utiliza o ano civil para o cálculo dos juros, o denominamos de juro exato. 
Juros compostos: Incorporam ao capital o capital do período mais os juros sobre os juros acumulados. 
Juros simples: Incidem apenas sobre o capital inicial. 
Juros: Os juros são a alavanca que possibilita o adiamento do consumo, permitindo a formação de 
poupanças e de novos investimentos. Trata-se do custo de crédito ou da remuneração de um capital 
aplicado por um determinado tempo. Ele é determinado através de um fator ou coeficiente que 
corresponde num dado intervalo de tempo, à remuneração obtida. 
Montante: É a soma dos juros apurados num determinado período mais o capital inicial aplicado. 
Taxa equivalente*: Duas taxas são equivalentes se, aplicando-se o mesmo capital às duas taxas num 
mesmo período, ambas produzem os mesmos juros (MATHIAS; GOMES, 2011). 
Valor atual ou valor presente: É quanto vale o seu compromisso numa data anterior à data do vencimento. 
Valor futuro: O valor futuro do título é qualquer data posterior à data a que estamos 
considerando no momento. 
Valor nominal: Significa quanto vale o seu compromisso na data do vencimento, numa data futura. 
*termo não é citado no texto 
 
!