Livro Cap1_EDP

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Capítulo 11 
Trabalhando com Equações Diferenciais Parciais 
 
Atualmente as equações diferenciais são muito importantes, principalmente na 
modelagem matemática. 
Durante os dois últimos séculos, diversos métodos foram desenvolvidos para resolver 
equações diferenciais parciais. O método da separação de variáveis é um método bastante 
antigo usado por D’Alembert, Daniel Bernoulli e Euler, nas investigações das ondas e das 
vibrações, por volta de 1750. Posteriormente novos estudos trouxeram refinamentos e 
generalizações, daí o fato de ser usado até os dias atuais. 
É importante destacar que estamos supondo do decorrer do estudo das equações 
diferenciais parciais que o estudante já domina os métodos de resolução de equações 
diferenciais ordinárias. 
Neste capítulo vamos discutir aspectos iniciais para o estudo das equações diferenciais 
parciais. 
 
Seção 1 
Objetos básicos iniciais 
 
As equações diferenciais parciais estão na maioria das vezes relacionadas com situações 
práticas oriundas da Física, das Engenharias e também de áreas mais específicas como o 
 
1 Capítulo 1 do livro didático de autoria de FLEMMING, D.M., Noções de Equações Diferenciais Parciais, 
2017, em fase de finalização e diagramação. 
contexto ambiental. Vamos procurar exemplificar os conceitos e características das 
equações diferenciais parciais e discutir, também algumas situações práticas. 
 
1.1 Conceituando equações diferenciais parciais 
 
Equação diferencial parcial é uma equação que envolve um ou mais derivadas parciais de 
uma função de uma ou mais variáveis independentes. 
A ordem de uma equação diferencial parcial é a da derivada de mais alta ordem que 
consta na equação. Assim como nas equações diferenciais ordinárias, podemos classificar 
as equações diferenciais parciais como linear, se ela for do primeiro grau na variável 
dependente e suas derivadas 
 
Exemplos: 
(1) A equação z
y
zy
x
zx =
∂
∂
+
∂
∂ é uma equação diferencial parcial de primeira ordem. 
Observe que temos uma função ),( yxfz = , de duas variáveis, envolvida, que representa 
uma solução da equação. 
(2) A equação 03 2
22
2
2
=
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
y
z
yx
z
x
z é uma equação diferencial parcial de segunda 
ordem. Observe a presença das derivadas de segunda ordem da função ),( yxfz = . 
 
1.2 Origem de uma equação diferencial parcial 
 
Uma equação diferencial parcial pode ter a sua origem em problemas da Física, da 
Engenharia e em problemas geométricos. Podemos visualizar a formação de uma equação 
diferencial parcial como resultado da eliminação de constantes arbitrárias de uma 
expressão que relaciona as variáveis. Temos também a possibilidade de estar no contexto 
da eliminação de funções arbitrárias. 
 
Exemplos: 
(1) Eliminar as constantes arbitrárias de abbyaxz 22 ++= . 
Para eliminar constantes, vamos fazer as derivadas parciais da função dada. Veja: 
y
z
y
bby
y
z
x
z
x
aax
x
z
abbyaxz
∂
∂
=⇒=
∂
∂
∂
∂
=⇒=
∂
∂
++=
2
12
2
12
22
 
Substituindo os valores de a e b encontrados da função dada vamos encontrar uma 
equação diferencial. 
y
z
x
z
y
zxy
x
zyxxyz
y
z
x
z
xyy
zy
x
zxz
y
z
yx
z
x
y
y
z
y
x
x
z
x
z
abbyaxz
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
+⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
=
++=
22
22
22
224
4
1
22
2
1
2
1
2
1
2
1
 
 
(2) Eliminar a função arbitrária de )yx(fz 22 += . 
Para eliminar a função arbitrária é importante visualizar a função dada )yx(fz 22 += 
como uma função composta, ou seja, )(ufz = e 22 yxu += . 
Vamos então fazer as derivadas parciais: 
y
u
f
y
u
u
f
y
z
x
u
f
x
u
u
f
x
z
2
2
⋅
∂
∂
=
∂
∂
⋅
∂
∂
=
∂
∂
⋅
∂
∂
=
∂
∂
⋅
∂
∂
=
∂
∂
 
A seguir dividimos as duas derivadas encontradas. Veja: 
.
2
2
y
x
y
u
f
x
u
f
y
z
x
z
=
⋅
∂
∂
⋅
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
 
Assim, obtemos a equação 0=
∂
∂
−
∂
∂
y
zx
x
zy que é uma equação diferencial parcial de 
primeira ordem. 
 
1.3 Soluções das equações diferenciais parciais 
 
Uma solução de uma equação diferencial parcial em uma região R do espaço em que as 
variáveis independentes estão definidas é uma função que possui todas as derivadas 
parciais que configuram a equação e satisfaz a esta em todos os pontos de R. É usual 
obtermos um grande número de soluções para uma equação diferencial parcial que são 
diferentes não apenas por particularização de constantes arbitrárias ou funções arbitrárias. 
Observe o exemplo a seguir: 
Exemplo: 
A equação diferencial parcial conhecida como Equação de Laplace no contexto 
bidimensional 02
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
y
u
x
u tem como soluções as funções: 
 22 yxu −= ; 
 yeu x cos= ; 
 )ln( 22 yxu += . 
De fato, podemos fazer a verificação: 
(1) Fazendo as derivadas parciais de 22 yxu −= temos: 
22 2
2
=
∂
∂
⇒=
∂
∂
x
ux
x
u e 22 2
2
−=
∂
∂
⇒−=
∂
∂
y
uy
x
u . 
Portanto temos 02
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
y
u
x
u . 
 
(2) Fazendo as derivadas parciais de yeu x cos= temos: 
ye
x
uye
x
u xx coscos 2
2
=
∂
∂
⇒=
∂
∂ e ye
y
uysene
y
u xx cos2
2
−=
∂
∂
⇒−=
∂
∂ . 
Portanto temos 02
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
y
u
x
u . 
 
(3) Fazendo as derivadas parciais de )ln( 22 yxu += temos: 
222
22
2
2
22 )(
222
yx
yx
x
u
yx
x
x
u
+
+−
=
∂
∂
⇒
+
=
∂
∂ e 
222
22
2
2
22 )(
222
yx
xy
y
u
yx
y
y
u
+
+−
=
∂
∂
⇒
+
=
∂
∂ . 
Portanto temos 02
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
y
u
x
u . 
As equações diferenciais parciais podem ter soluções: geral; completa e singular. 
A solução geral contém funções arbitrárias. Geometricamente representa um conjunto de 
superfícies que são obtidas particularizando-se as funções arbitrárias. 
A solução completa é caracterizada por conter constantes arbitrárias. Geometricamente 
a solução completa representa uma família de superfícies dependentes de dois parâmetros, 
sendo que cada uma das superfícies é solução da equação e se denomina superfície 
integral. 
A solução singular representa a envoltória da família de superfícies correspondente à 
solução completa. Dessa forma não resulta da solução geral nem da completa, mas 
quando existe, em alguns casos pode ser deduzida da solução completa a partir da 
eliminação das constantes a e b do sistema 









=
∂
∂
=
∂
∂
=
0
b
F
0
a
F
0)b,a,z,y,x(F
 
Observe que a ordem de uma equação diferencial parcial não está relacionada com o 
número de funções arbitrárias ou com o número de constantes arbitrárias. 
No decorrer dos estudos vamos discutir que a solução única de uma equação diferencial 
parcial vai ocorrer quando diante de uma situação problema temos informações 
decorrente de problema. Por exemplo, temos duas situações que podem ser consideradas: 
 Condições de Contorno: A solução encontrada está sobre o contorno de um 
domínio dado; 
 Condições Iniciais: Quando o tempo ou variável (t) tem valores para t=0. 
Há situações em problemas da Física que impomos condições iniciais no instante t=0 e 
condições de contorno nas variáveis x, y e z (ou outra denominação que seja dada para as 
variáveis envolvidas). 
Ainda no contexto das soluções temos um Teorema Fundamental, também conhecido 
como Princípio da Superposição para o caso de equações diferenciais parciais lineares 
homogêneas que é similar ao das equações ordinárias. 
 
Teorema Fundamental (Princípio da Superposição): 
Se kuuu ,,, 21 L são soluções de uma equação diferencial parcial homogênea linear em 
uma dada região, então a combinação linear kkuCuCuCu ,,, 2211 L= , sendo que 
kCCC ,,, 21 L são constantes quaisquer, também é uma solução da equação dada. 
 
1.4 Resolução de tipos especiais de equações diferenciais parciais 
(EDP) 
 
Vamos considerar a resolução de EDP consideradas especiais pela forma como estas se 
apresentam e pelas adaptações para a resolução. Inicialmente vamos exemplificar uma 
situação em que vamos trabalhar como em um sistema de equações na forma simétrica e 
em uma segunda situaçãoquando as EDP se apresentam em relação à uma única variável. 
 
1.4.1 EDP na forma de um sistema de equações diferenciais 
Vamos considerar que a EDP se apresente como uma das seguintes formas: 
(1) RQqPp =+ sendo 
x
zp
∂
∂
= ; 
y
zq
∂
∂
= e P, Q e R são funções de x, y e z. 
(2) 
R
dz
Q
dy
P
dx
== sendo )y,x(fz = . 
 
Observe que no caso (2) temos um sistema de equações diferenciais ordinárias na forma 
simétrica e as equações são chamadas de equações auxiliares. 
Para resolver esse tipo de equação parcial, vamos usar o Método de Lagrange. Neste 
método vamos considerar o sistema 
R
dz
Q
dy
P
dx
== e as equações auxiliares. A solução 
encontrada é uma solução da equação parcial desde que se tenha a suposição inicial que: 
b)z,y,x(v
a)z,y,x(u
=
=
 
sejam as soluções do sistema sendo que a e b são constantes arbitrárias. Neste caso vamos 
considerar que (u)ou v )( ϕϕ == ab é a solução geral procurada. 
Podemos ainda ter )(vu φ= ou 0)v,u(F = , sendo que φ e F são funções arbitrárias. 
 
Exemplo: 
(1) Resolver a equação 0=
∂
∂
−
∂
∂
y
zx
x
zy . 
Esta equação pode ser reescrita como um sistema na forma simétrica. Temos: 
0
dz
x
dy
y
dx
=
−
= . 
Observe que o zero no denominador neste caso é simbólico para efetivar a forma simétrica 
do sistema. 
Vamos então estabelecer as duas equações para serem resolvidas, usando duas relações 
extraídas do sistema: 
Usando as duas primeiras frações temos: 
)2 (Usamos
22
22
22
Caayx
Cyx
Cydyxdx
ydyxdx
x
dy
y
dx
==+
=+
=+
=−
−
=
∫ ∫ 
Usando a segunda e terceira fração: 
bz
dz
xdz
dz
x
dy
=
=
=−
=
−
0
0
0
 
Observe que estamos usando a e b como constantes arbitrárias. 
Vamos considerar que )(ab ϕ= , assim temos a solução geral dada por )( 22 yxz +=ϕ . 
 
1.4.2 EDP que podem ser resolvidas como uma EDO 
Algumas equações são tratadas como se fossem equações diferenciais ordinárias, pois são 
equações parciais cujas derivadas parciais descritas na equação são apenas em relação a 
uma das variáveis. 
Nestes casos podemos usar todos os métodos de resolução já discutidos nas Unidades de 
Aprendizagem trabalhadas no Curso de Matemática e substituir a constante de integração 
por uma função arbitrária da variável não visível na equação. 
Exemplo: 
Resolver a equação diferencial parcial zyx
x
zx 22 ++=
∂
∂ . 
Considerando-se que a derivada parcial visível é em relação a x, vamos trabalhar inicial 
com esta equação como se fosse a equação diferencial ordinária 
x
yz
xdx
dz
x
z
x
y
dx
dz
zyx
dx
dzx
zyx
x
zx
212
221
22
22
+=−
++=
++=
++=
∂
∂
 
A expressão encontrada é uma equação diferencial linear de primeira ordem não 
homogênea. Podemos resolver usando os métodos apresentados na unidade 3. Por 
exemplo, pelo método da variação dos parâmetros. 
Vamos escrever a equação homogênea associada e resolvê-la. 
∫ ∫ =−
=−
=−′
C
x
dx
u
du
x
dx
u
du
u
x
u
ln2
02
02
 
.
ln)ln(
ln||ln2||ln
2
2
2
Cx
x
Cu
Cxu
Cxu
==
=×
=−
−
− 
Vamos agora particularizar a solução encontrada fazendo 1=C . Temos: 
2
1 xu = . 
Agora vamos encontrar a função )(xvv = usando a fórmula ( )∫= dxu
xhv
1
. Veja: 
( )
.1
)2(
2
21
2
32
3
2
1
C
x
y
x
v
dxyxxv
dx
x
yxv
dx
x
x
y
v
dx
u
xhv
+−
−
=
+=
+
=
+
=
=
∫
∫
∫
∫
−−
 
Observe que já colocamos a constante arbitrária que vai ser convertida em uma função 
arbitrária. Temos a solução geral: 
).(
)(1
2
2
2
1
yCxyxz
yC
x
y
x
xz
vuz
+−−=





 +−
−
=
=
 
 
1.5 Equações famosas na literatura 
 
Para finalizar, observe alguns tipos de equações diferenciais consideradas famosas, pois 
servem de modelos para vários fenômenos da Física e das Engenharias. Observar que 
vamos apresentar exemplos, e vamos aproveitar para salientar a importância de ficar 
atento às notações que cada autor utiliza, pois estamos no contexto de n variáveis. Por 
exemplo, Iório R. e Iório V. (2013) utilizam as notações: 
 Derivada parcial de u em relação a t: 
t
u
∂
∂ , tu ou ut∂ ; 
 Operador Laplaciano: 2
2
2
2
2
2
1
2
nxxx ∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂
=∆ L ; 
 Uma n-upla ou um ponto no espaço de dimensão n: nn Rxxx ∈),,,( 21 L . 
 
Exemplos de equações famosas: 
(1) Equação de Poisson 
Trata-se de uma equação relacionada com fenômenos estacionários, independente da 
variável “tempo”. Por exemplo, temos os potenciais eletrostáticos da Física gerados por 
distribuições fixas de cargas. 
hu =∆ ou ),,,( 212
2
2
2
2
2
1
2
n
n
xxxh
x
u
x
u
x
u LL =
∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂ . 
 
(2) Equação de Laplace 
É um caso particular da Equação de Poisson, quando temos que ),,,( 21 nxxxh L é 
identicamente nulo. 
0=∆u ou 02
2
2
2
2
2
1
2
=
∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂
nx
u
x
u
x
u L . 
Na maioria das vezes vamos trabalhar no 2R , Assim temos que a Equação de Laplace 
pode ser escrita como: 
02
2
2
2
1
2
=
∂
∂
+
∂
∂
x
u
x
u sendo que 221 ),( Rxx ∈ . 
Também podemos usar outra notação: 
02
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
y
u
x
u sendo que 2),( Ryx ∈ . 
Esta equação pode representar a modelagem da distribuição de temperatura em uma placa 
delgada bidimensional, considerada de estado estacionário, ou seja, não depende do 
tempo. 
Quando estamos trabalhando com campos eletrostáticos, a função potencial elétrico em 
um meio dielétrico, tem que satisfazer a equação 
02
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
y
u
x
u ou 02
2
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
u
y
u
x
u . 
Que é a equação de Laplace em duas ou três dimensões. No contexto dessa aplicação é 
usual denominar a equação como Equação Potencial. 
 
(3) Equação de Calor 
Esta equação está associada a fenômenos de difusão, como por exemplo, a transmissão 
de calor em sólidos. Temos a equação do calor não homogênea: 
hu
t
u
+∆=
∂
∂ 2α , sendo que: ),( xtuu = e nn Rxxxx ∈= ),,,( 21 L . Temos ainda que 
2α é 
uma constante denominada por difusividade térmica. 
O estudo matemático de condução de calor inicia com a investigação feita por Joseph 
Fourier com artigos apresentados em 1807 e 1811. Posteriormente esse mesmo autor 
apresenta em 1822 a sua Théorie analytique de la chaleur. 
Essa equação é atraente para a tecnologia, por exemplo, no estudo da dissipação e 
transferência do calor produzido por máquinas de alta velocidade para longe de sua fonte. 
A equação do Calor homogênea no contexto de 2R , pode ser escrita com a seguinte 
notação: 2
2
2
x
u
t
u
∂
∂
=
∂
∂ α . Esta equação aparece na teoria do fluxo de calor, ou seja, o calor 
transferido por condução em uma haste ou fio delgado. A função ),( txuu = é 
temperatura. 
 
(4) Equação de Onda 
Esta equação está associada à propagação de ondas. Temos: 
huc
t
u
+∆=
∂
∂ 2
2
2
. 
Para o espaço 2R , podemos escrever: 2
2
2
2
2
t
u
x
uc
∂
∂
=
∂
∂ . Esta equação modela, por exemplo, 
problemas de vibrações mecânicas. Podemos de forma simples dizer que a função 
),( txuu = neste caso significa o deslocamento de uma corda ideal. 
 
(5) Equações diferenciais Parciais Lineares de segunda ordem 
É usual apresentarmos uma expressão geral que pode gerar Equações Diferenciais 
Parciais Lineares de segunda ordem. Temos: 
GFu
y
uE
x
uD
y
uC
yx
uB
x
uA =+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
2
22
2
2
 
Os valores A, B, C, D, E, F e G podem ser constantes reais ou funções reais nas variáveis 
x e y. Conforme os seus valores temos classificações para a equação, ou seja: 
• Se 042 >− ACB , temos a Equação Hiperbólica; 
• Se 042 =− ACB , temos a Equação Parabólica; 
• Se 042 <− ACB , temos a Equação Elíptica. 
Quando G=0 temos uma equação homogênea e quando 0),( ≠yxG , temos uma equação 
não homogênea 
A resolução dessas equações envolve um método denotado como método de separação 
das variáveis que será discutido nos capítulos seguintes. 
 
1.6 Atividades de autoavaliação 
 
(1) Resolver os seguintes sistemas de equações diferenciais: 
a. 222 z
dz
y
dy
x
dx
== ; 
b. 222 zxxyz
dz
y
dy
xy
dx
−
== .(2) Eliminar as constantes arbitrárias a, b, c de cxybyaxz ++= para encontrar uma 
equação diferencial parcial. Procure investigar várias opções. 
(3) Eliminar a função arbitrária de )( 22 yxfz += para encontrar uma equação 
diferencial parcial. 
(4) Resolver as seguintes equações parciais: 
a. 222 z
y
zy
x
zx =
∂
∂
+
∂
∂ ; 
b. xz
x
z
x
z 12652
2
=+
∂
∂
−
∂
∂ ; 
c. 222
2
yx
x
z
+=
∂
∂ . 
(5) Classifique as seguintes equações diferenciais: 
a. 02
22
2
2
=
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
y
u
yx
u
x
u 
b. 096 2
22
2
2
=
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
y
u
yx
u
x
u 
c. 03 2
22
2
2
=
∂
∂
−
∂∂
∂
−
∂
∂
y
u
yx
u
x
u 
d. u
y
u
x
u
=
∂
∂
+
∂
∂
2
2
2
2
 
 
Seção 2 
Problemas de valores de contorno e Condições Iniciais 
Iório (2012, p. 9) apresenta muito bem a diferença no contexto das condições iniciais e 
condições de contorno entre uma equação diferencial ordinária (EDO) e uma equação 
diferencial parcial (EDP). 
No contexto das EDO, diante de uma solução geral, podemos aplicar condições iniciais e 
encontrar uma solução particular que dá respostas concretas par situações problemas. Para 
tal basta fixar os valores dados da solução e de suas derivadas até uma certa ordem em 
um ponto. A unicidade da solução também pode ser obtida em um intervalo finito, 
impondo condições nos extremos dos intervalos, neste caso dizemos que são as condições 
de contorno. 
Para as EDP a situação fica um pouco mais genérica, pois as soluções gerais contêm 
funções arbitrárias das variáveis independentes. Vamos discutir alguns aspectos nesta 
seção. Quando as condições impostas são no bordo da região de definição da solução 
temos um problema de contorno. Se as condições são dadas em uma subvariedade inicial 
temos um problema de Cauchy ou também denotado como de valor inicial. 
Há ainda situações denotadas como problemas mistos, que surgem, bastante na Física, 
nos fenômenos difusivos, onde podemos impor condições iniciais para t=0 e condições 
de contorno nas variáveis x, y, z. 
É usual ermos problemas de contorno nas equações do EDP do tipo elíticas e problemas 
de valor inicial nas EDP do tipo hiperbólicas e parabólicas. 
O objetivo dessa seção não é apresentar aqui todos os processos e métodos de resolução, 
mas ter uma visão dos diversos caminhos que são trilhados no contexto das equações 
diferenciais parciais e a análise de problemas de contorno e condições iniciais. 
 
 
2.1 Condições de contorno 
 
Nas equações diferenciais parciais o espaço das variáveis independentes não é mais 
unidimensional, pois vamos ter duas ou mais variáveis independentes envolvidas. As 
soluções estão em um conjunto aberto Ω do espaço nR . Quando impomos condições 
sobre a solução e de suas derivadas no bordo do conjunto Ω , essas condições são 
denotadas como Condições de Contorno e em geral dizemos que estamos diante de um 
problema de valores de contorno ou simplesmente um problema de contorno. 
As condições de contorno aparecem em várias situações práticas atuais, entretanto, 
sempre iniciamos com problemas que envolvem a Física, pois temos os exemplos 
clássicos, construídos historicamente no decorrer nos tempos. 
Vamos exemplificar com as condições de contorno de Dirichlet e Condições de Contorno 
de Neumann. 
 
2.1.1 Condições de Contorno de Dirichlet 
As condições de contorno aparecem muitas vezes na descrição de fenômenos físicos 
estacionários, ou seja, fenômenos que são independentes do tempo. Em muitos casos 
vamos encontrar uma condição genérica dada por: 
)()()( xfx
n
uxu =
∂
∂
+ βα , com Ω∂∈x , 
sendo que: 
 α e β são constantes dadas; 
 )(xf é uma função dada na borda de Ω , denotada por ( Ω∂ ); 
 
n
u
∂
∂ é a derivada direcional de u na direção normal à borda de Ω ; 
Quando temos o valor 0=β , vamos ter um caso particular, conhecido como Condição 
de Dirichlet. 
Podemos aqui lembrar que Dirichlet (1805-1859) é referenciado em muitas áreas da 
matemática. É responsável por apresentar condições suficientes para garantir a 
convergência das Séries de Fourier, que vamos usar nos desenvolvimentos das EDP. 
 
2.1.2 Condições de contorno de Neumann 
Quando na condição genérica )()()( xfx
n
uxu =
∂
∂
+ βα temos 0=α , estamos diante da 
Condição de Neumann. 
Neumann (1832-1925) tem seu nome relacionado com as equações diferenciais, pelo seu 
intenso trabalho para o desenvolvimento desse conhecimento matemático. 
 
2.1.3 Exemplo 
Podemos aqui citar a equação da Laplace 02
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
x
u
x
u , no retângulo A dado por: 



<<
<<
by
ax
0
0
, 
com as condições de contorno 
ayyfyauyu
axbxuxu
≤≤=
<<=
0),(),(),,0(
0,0),(),0,(
 
sendo que )(yf é uma função dada. 
Esse problema é resolvido, partindo-se da suposição que )()(),( yYxXyxu = e podemos 
mostrar que a solução da equação de Laplace dada com as condições dadas é: 











=∑
∞
= b
ynsen
b
xnsenhCyxu
n
n
ππ
1
),( 
sendo que os coeficientes nC são dados pela condição de contorno 
)(),( yfyau = ou 
)(),(
1
yf
b
ynsen
b
ansenhCyau
n
n =










=∑
∞
=
ππ . 
As quantidades 





b
ansenhCn
π são coeficientes da Série de Fourier em senos da função 
)(yf de período 2b e podem ser calculados com: 
dy
b
ynsenyf
bb
ansenhC
b
n ∫=




0
)(2 ππ . 
 
2.2 Condições Iniciais: Problema de Cauchy 
 
Ao analisar as condições iniciais no contexto das equações diferenciais parciais, vamos 
considerar que temos mais de uma variável dependente, por exemplo, x e t. 
Podemos fixar uma das variáveis, por exemplo, 0=t e impor o valor da solução e de suas 
derivadas parciais em relação a variável fixada. Por exemplo, )()0,( xfxu = e 
)()0,( xgx
t
u
=
∂
∂ , sendo que )(xf e )(xg são funções dadas. 
Podemos generalizar o conceito de condições iniciais impondo o valor da solução e suas 
derivadas normais ao longo de uma curva, quando n=2, ou ao longo de uma superfície, 
quando n=3. Esse problema inicial é conhecido como Problema de Cauchy. 
 
2.2.1 Problema de Cauchy 
O problema de Cauchy pode aparecer sob diferentes formas. Por exemplo, podemos ter a 
equação diferencial parcial de primeira ordem linear homogênea dada por: 
0),(),( =
∂
∂
+
∂
∂
y
uyxb
x
uyxa com Ω∈),( yx e 2R⊂Ω é um conjunto aberto do plano e 
)())(),(( sfssu =βα com Is∈ e I é um intervalo aberto. 
Podemos também ter o Problema de Cauchy para o caso não homogêneo, ou seja, 
),(),(),( yxc
y
uyxb
x
uyxa =
∂
∂
+
∂
∂ com 2),( Ryx ∈ . 
A partir de situações específicas para as funções ),( yxa , ),( yxb e ),( yxc , podemos ficar 
diante de diversos problemas simples ou mais complexos. 
Antes de analisarmos alguns exemplos, vamos apresentar algumas definições e 
proposições que nos permitem criar um roteiro para a resolução dessas equações. 
 
2.2.1 Definições e proposições 
 
Curva característica plana: No caso das equações diferenciais parciais as curvas 
características planas são curvas ao longo das quais a EDP é uma derivada total. Dessa 
forma integrando ao longo de tais curvas podemos resolver a equação. 
Para o caso da EDP de primeira ordem linear homogênea 0),(),( =
∂
∂
+
∂
∂
y
uyxb
x
uyxa , 
com ),( yxa e ),( yxb pertencentes à )(1 ΩC (lembre-se da notação )(ΩkC que representa 
o conjunto das funções Ru →Ω: , k vezes continuamente diferenciáveis), as curvas 
características são dadas pelas curvas ))(),(()( tytxtC = , que são as soluções do sistema 
de equações diferenciais ordinárias equivalente à EDP dada, ou seja, o sistema: 



=′
=′
))(),(()(
))(),(()(
tytxbty
tytxatx
 
Curva inicial: ))(),(()( sysxsC = - uma parametrização de uma curva qualquer em 
2R⊂Ω . 
Proposição 1: Uma solução ),( yxu da equação 0),(),( =
∂
∂
+
∂
∂
y
uyxb
x
uyxa é constante 
ao longo de uma curva se e somente se ela é uma curva característica da equação. 
 
É importante lembrar que o comportamento das curvas características longe da curva 
inicial pode sercomplexo, dessa forma, não é simples a discussão de uma solução global, 
mas podemos estabelecer a existência de uma solução localmente. Veja o teorema a seguir 
que nos apresenta a existência e unicidade locais para o Problema de Cauchy. 
Teorema1: Sejam 2R⊂Ω um aberto e Ω⊂Γ uma curva de classe 1C . Seja 
))(),(( ss βαγ uma parametrização de Γ de classe 1C definida em um intervalo aberto 
RI ⊂ . Suponha que )(1 ICf ∈ e que )(, 1 Ω∈Cba não se anulam simultaneamente em 
nenhum ponto Ω∈),( yx e satisfazem 
0
))(),(()(
))(),(()(
det ≠





′
′
ssbs
ssas
βαβ
βαα
 para todo Is∈ . 
Então, o problema de Cauchy 




∈=
Ω∈=
∂
∂
+
∂
∂
 se )())(),((
),(se0),(),(
Issfssu
yx
y
uyxb
x
uyxa
βα
 
tem uma única solução de classe 1C em uma vizinhança de Γ . 
 
A Proposição e o Teorema 1, tem enunciados similares para o caso em que a EDP é não 
homogênea. Observe apenas que na proposição 2, a seguir, não vamos a recíproca como 
verdadeira. 
Proposição 2: Dada a equação ),(),(),( yxc
y
uyxb
x
uyxa =
∂
∂
+
∂
∂ em Ω , se ),( yxu é uma 
solução desta equação, então ao longo das curvas características da correspondente 
equação homogênea, ),( yxu satisfaz a equação diferencial ordinária (EDO) 
)).(),(())(),(( tytxctytxu
dt
d
= 
 
Teorema 2: Sejam 2R⊂Ω um aberto e Ω⊂Γ uma curva de classe 1C . Seja 
))(),(( ss βαγ uma parametrização de Γ de classe 1C definida em um intervalo aberto 
RI ⊂ . Suponha que )(1 ICf ∈ e que )(, 1 Ω∈Cba não se anulam simultaneamente em 
nenhum ponto Ω∈),( yx e satisfazem 
0
))(),(()(
))(),(()(
det ≠





′
′
ssbs
ssas
βαβ
βαα
 para todo Is∈ . 
Então, o problema de Cauchy 




∈=
Ω∈=
∂
∂
+
∂
∂
 se )())(),((
),( se),(),(),(
Issfssu
yxyxc
y
uyxb
x
uyxa
βα
 
tem uma única solução de classe 1C em uma vizinhança de Γ . 
 
2.2.2 Exemplo 
 
Vamos considerar o seguinte problema de Cauchy: 




>=
=
∂
∂
+
∂
∂
−
0,)()0,(
4
xxfxu
xy
y
ux
x
uy
 
Inicialmente vamos buscar as curvas características já parametrizadas como: 
))(),(( sss βα→ . 
Considerando-se a definição de curvas características temos: 
))(),(()(
))(),(()(
ssbs
ssas
βαβ
βαα
=′
=′
 
Para o exemplo dado temos que ya −= e xb = , assim: 
)()(
)()(
ss
ss
αβ
βα
=′
−=′
 
Trabalhando algebricamente este resultado podemos multiplicar a primeira expressão por 
)(sα e a segunda por )(sβ e somamos as duas expressões. Veja: 
0)().()().(
)().()().(
)().()().(
=′+′
=′
−=′
ssss
ssss
ssss
ββαα
βαββ
αβαα
 
Observando o termo obtido é possível perceber que estamos diante da diferencial de 
222 )()( kss =+ βα , sendo que k é uma constante qualquer, ou seja, 
[ ] 0)()( 22 =+ ss
ds
d βα . 
Assim, as curvas características são circunferências centradas em )0,0( com raio igual a 
k. 
Vamos agora analisar a condição inicial dada. 
Temos, no exemplo dado que )()0,( xfxu = , assim, 0=y com 0>x . Se olhamos a 
Figura 1.1 vamos perceber que essa condição inicial caracteriza a curva inicial que 
intercepta ortogonalmente todas as curvas características em um ponto e todos os pontos 
estão em { }02 −R . 
 
 
 
 
Figura 1.1 – Curvas características e Curva Inicial do exemplo 2.2.2 
 
Fonte: Elaboração da autora, 2017. 
Para esse exemplo, o ideal é usarmos coordenadas polares e a equação dada poderá ser 
representada na forma polar. Veja: 
xy
y
ux
x
uy 4=
∂
∂
+
∂
∂
− 
[ ] θθθθ
θ
cos4),cos( 2senrrsenru
d
d
= 
Resolvendo em coordenadas polares temos: 
)(2
)(cos4),cos(
22
),(
0
2
rfsenr
rfdsenrrsenru
yx
+=
+= ∫
θ
θθθθθ
θ
 
ou ainda, 
( ) { })0,0(),(2),( 2222 −∈++= Ryxcomyxfyyxu 
 
2.3 Atividades de Autoavaliação 
Resolver os seguintes Problema de Cauchy. Apresente o esboço das curvas característica 
e da curva inicial: 
(1) 





=
+=
∂
∂
+
∂
∂
−− )(cos),(
em)2()2(2
222
22
xx xeexu
Rxysenxy
y
u
x
uy
 
(2) 




=
=
∂
∂
+
∂
∂
−
)()0,(
2
xfxu
xy
y
ux
x
uy
 
 
	Trabalhando com Equações Diferenciais Parciais
	Seção 1
	Objetos básicos iniciais
	1.1 Conceituando equações diferenciais parciais
	1.2 Origem de uma equação diferencial parcial
	1.3 Soluções das equações diferenciais parciais
	1.4 Resolução de tipos especiais de equações diferenciais parciais (EDP)
	1.4.1 EDP na forma de um sistema de equações diferenciais
	1.4.2 EDP que podem ser resolvidas como uma EDO
	1.5 Equações famosas na literatura
	1.6 Atividades de autoavaliação
	Seção 2
	Problemas de valores de contorno e Condições Iniciais
	2.1 Condições de contorno
	2.1.1 Condições de Contorno de Dirichlet
	2.1.2 Condições de contorno de Neumann
	2.1.3 Exemplo
	2.2 Condições Iniciais: Problema de Cauchy
	2.2.1 Problema de Cauchy
	2.2.1 Definições e proposições
	2.2.2 Exemplo
	2.3 Atividades de Autoavaliação