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Introdução à matemática �nanceira Estela Mara de Oliveira 1 e Sônia Regina Leite Garcia (Orientadora)2 1 Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo (IME-USP), Brazil estelaime@hotmail.com 2 Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo (IME-USP), Brazil sonia@ime.usp.br �Saiba que são suas decisões e não suas condições que determinam seu destino� Anthony Robbins do livro Desperte o gigante interior 1. Introdução Neste trabalho vamos discutir alguns pontos de ma- temática �nanceira, tais como a diferença entre juros simples e juros compostos (inclusive contínuos), des- contos e �uxo de caixa. Em particular, apresentamos aqui dicas de como fazer um �uxo de caixa para uma pessoa física. Foram consultados [5], [1], [2], [3] e [4]. 2. Juros De�nição 1. Juro É o ganho que obtemos ao fazermos uma aplicação de modo produtivo, e seu cálculo é feito através da diferença entre o valor futuro e o valor presente do capital aplicado. Valor presente = capital inicial (quantia que será aplicada) Valor futuro = valor a ser resgatado após o pe- ríodo de tempo em que o valor presente foi aplicado (chamado período da aplicação). De�nição 2. Taxa de Juros É a relação entre juros e capital aplicado numa unidade de tempo (por exemplo, num dia, ou num mês, ou num ano). Exemplo 1. Se ao aplicarmos uma quantia x por um ano obtivermos 0, 12x de juros após esse período de tempo, a taxa de juros correspondente por ano é de (0, 12x)/x = 0, 12 = 12/100, ou seja, é de 12% ao ano. De�nição 3. Regime de Juros Simples É o regime em que o ganho (juros) que obtemos sobre um capital inicial (V P ) aplicado num deter- minado período de tempo �xado com uma taxa de juros também �xada é capitalizado (isto é, incorpo- rado ao capital inicial) ao �nal do referido período de tempo. No regime de juros simples, se i é a taxa de juros por unidade de tempo (por exemplo, por dia, ou por mês, ou por ano) e t é o número de unidades de tempo que durou a aplicação, então: J = V P.i.t (Juros) V F = V P + J (Valor Final). Exemplo 2. Aplicou-se R$ 200, 00 a juros simples por um período de 3 meses, com taxa de juros de 2% as mês. Qual o valor que foi resgatado no �nal do período de aplicação? Solução: V P = 200, 00 Período de aplicação = t = 3 meses Taxa de juros = i = 2% ao mês 2% = 2/100 = 0, 02 J = V P.t.i J = 200, 00 · 3 · 0, 02 = 12, 00. V F = V P + J V F = 200 + 12 = 212, 00. 3. Juros compostos Em certas aplicações, como por exemplo, na cader- neta de poupança, os juros não são calculados da forma anterior. Nesse caso, há uma frequência de conversão (capitalização dos juros), no caso, mensal, predeterminada, que independe do período total de aplicação do capital inicial. Nesse caso, diz-se que o período de conversão é de um mês. De�nição 4. Frequência de Conversão Os juros de uma aplicação podem ser capitaliza- dos (incorporados ao capital) anualmente, semestral- mente, mensalmente, diariamente, etc. Nesse caso diz-se que o período de conversão é de um ano, um semestre, um mês ou um dia respectivamente, e que a frequência de conversão é anual, semestral, mensal ou diária respectivamente. Assim, o período de conversão, é o período de tempo necessário para que o dinheiro aplicado seja corrigido conforme a taxa de juros estipulada. Exemplo 3. Exemplo Hipotético Suponha que você �zesse uma aplicação de R$ 150, 00 numa caderneta de poupança por 3 meses, e que a frequência de conversão fosse anual. Então ao 243 resgatar o valor em três meses, não receberia nenhu- ma correção sobre o valor aplicado, enquanto que se resgatasse após um ano, receberia o valor corrigido. De�nição 5. Regime de Juros Compostos É o regime em que o ganho que se tem sobre um capital investido por um determinado período de tempo é incorporado ao capital ao �nal de cada período de conversão, de forma que os juros ao �- nal do período de conversão seguinte incidem não só sobre o capital inicial, mas também sobre os juros anteriores que foram capitalizados. Resulta que o crescimento do ganho é obtido como uma sequência geométrica, isto é, o valor atual depende do valor anterior corrigido pelo juros. Se V P é o valor do capital inicial aplicado em re- gime de juros compostos, i é a taxa de juros por período de conversão e V Fn é o valor futuro depois de n períodos de conversão, então V F1 = V P (1 + i) V F2 = V F1.(1 + i) = V P (1 + i)2 V F3 = V F2.(1 + i) = V P (1 + i)3 ... ... ... V F = V Fn = V P (1 + i)n. Exemplo 4. Qual o valor futuro da aplicação de R$ 280, 00 durante 4 meses a taxa de 3% ao mês: a. em regime de juros simples? b. em regime de juros compostos com frequência de conversão mensal? Resolução: a. Em regime de juros simples: V F = V P.(1 + i.n) V F = 280, 00 · (1 + 0, 03 · 4) = 313, 60. b. Em regime de juros composto com frequência de conversão mensal: V F = V P.(1 + i)n V F = 280, 00 · (1 + 0, 03)4 = 315, 14. Exemplo 5. Um investimento de R$ 200, 00 foi feito em uma caderneta de poupança onde a taxa de juros é de (aproximadamente) 0, 5% ao mês. Qual o valor futuro apos 7 meses de aplicação? Resolução: V F = V P.(1 + i)n V F = 200, 00 · (1 + 0, 005)7 = 208, 14. Exemplo 6. Suponha que foi feita uma aplicação de R$ 200, 00 na caderneta de poupança no dia 11 de maio de 2008. Responda: a) Qual seria o valor futuro após 2 meses e 20 dias de aplicação à taxa de 0, 5% ao mês se a frequência de conversão fosse anual? b) Qual é o valor futuro após 2 meses e 20 dias de aplicação à taxa de 0, 5% ao mês com a frequên- cia de conversão sendo mensal? c) Qual seria o valor futuro após 2 meses e 20 dias de aplicação à taxa de 0, 5% ao mês se a frequência de conversão fosse diária? Resposta: a) Como a frequência de conversão é anual o valor futuro (após 2 meses e 20 dias) será de 200, 00. b) Como a frequência é mensal a cada 1 mês com- pleto temos o valor inicial (principal) modi�cado a juros compostos: V F = 200, 00 · (1, 05)2 = 220, 50. Portanto o valor futuro será de R$ 220, 50. c) Neste caso, como a frequência de conversão é diá- ria e a taxa de juros dada é mensal, convertemos a duração da aplicação (dada em dias) em meses (2 + 2/3) e temos V F = 200, 00 · (1, 05)2+2/3 V F = 220, 50 · (1, 05)2/3 V F =̃ 220, 50 · (1, 05)0,6667=̃227, 79. Exemplo 7. Suponha que foi feita uma aplicação de R$ 200, 00 na caderneta de poupança no dia 11 de maio de 2008, e que essa quantia �cou aplicada por 3 anos à taxa de 6% ao ano. Construir um grá- �co do valor futuro em função do tempo no caso da frequência de conversão ser mensal (como é no Bra- sil) e um grá�co do valor futuro em função do tempo se a frequência de conversão fosse anual. Observação: São também importantes os conceitos de taxa nominal, taxa efetiva e taxas equivalentes. 4. Juros compostos contínuos Para introduzir o conceito de juros compostos contí- nuos observe a tabela abaixo, onde o capital inicial é V P e a taxa de juros anual é r: 244 A B V F após V F após 1 t ano anos 1 ano 1 V P (1 + r)1 V P (1 + r)1t 6 meses 2 V P (1 + r 2 )2 V P (1 + r 2 )2t = 1 2 ano 4 meses 3 V P (1 + r 3 )3 V P (1 + r 3 )3t = 1 3 ano 3 meses 4 V P (1 + r 4 )4 V P (1 + r 4 )4t = 1 4 ano 2 meses 6 V P (1 + r 6 )6 V P (1 + r 6 )6t = 1 6 ano 1 mês 12 V P (1 + r 12 )12 V P (1 + r 12 )12t = 1 12 ano 1 n ano n V P (1 + r n )n V P (1 + r n )nt ↓ ↓ ↓ ↓ 0 ∞ V Per V Pert A: Período de conversão B: Número de períodos de conversão por ano (frequência de conversão por ano) De�nição 6. Juros Compostos Contínuos Na situação limite dada na tabela acima, dizemos que o regime é de juros compostos contínuos com taxa de r%, e a fórmula que fornece o valor futuro neste caso é V F = V P · ert. (São juros compostos com frequência de conversão in�nitesimal.) Exemplo 8. Que valor deve ser aplicado com taxa de 6, 5% ao ano a juros compostos contínuos para que no �nal de 8 anos se resgate R$ 25000, 00? Resolução: V F = V P · ert 25000, 00 = V P · e0,065·8 V P = 14863, 01. 5. Aplicação: comparação de investimentos Vamos veri�car agoraatravés de um exemplo que juros compostos contínuos fornecem um valor futuro maior que o mesmo investimento feito a juros com- postos discretos. Exemplo 9. Quanto a mais você deve receber se in- vestir R$ 1000, 00 por 5 anos com taxa de juros de 8% ao ano a juros compostos contínuos em relação ao mesmo investimento com a mesma taxa e período de aplicação, mas a juros compostos com frequência de conversão trimestral? Resolução: No caso de juros compostos contínuos: V F = V P · ert V F = 1000, 00 · e0,08·5 = 1491, 82. No caso de juros compostos com frequência de con- versão trimestral: n = 20 = no. de trimestres, 0, 08/4 = 0, 02 = taxa de juros por trimestre V F = V P · (1 + 0, 08/4)n V F = 1000, 00 · (1 + 0, 02)20 V F = 1000, 00 · (1, 02)20 = 1485, 95. Observe que a diferença entre os resultados foi de R$ 5, 87, ou seja, você receberá R$ 5, 87 a mais se investir o valor presente de R$ 1000, 00 a juros com- postos contínuos. 6. Descontos De�nição 7. Desconto (Simples) De�nimos desconto (d) como o valor a ser retirado de uma dívida (de valor V P ) para que devedor a quite pagando um valor menor (A). Muitas vezes, o desconto é oferecido ao devedor pelo credor para que o devedor pague a dívida antes de seu vencimento, por exemplo. Exemplo 10. Quanto foi pago de IPTU cujo valor era de R$ 314, 42, com vencimento em 18/01/2008, se a taxa de desconto simples foi de %10 para quem pagasse antes da data de vencimento: a) no caso de ter sido saldado 2 dias antes do ven- cimento? b) no caso de ter sido saldado 15 dias antes do ven- cimento? Resolução: Em ambos os casos o desconto e o valor pago foi o mesmo: Valor pago: 314, 42 − (10% · 314, 42) = 282, 98. Desconto: 314, 42 − 282, 98 = 31, 44. Foi pago de IPTU o valor de R$ 282, 98 e a eco- nomia foi de R$ 31, 44. Vamos, analisar dois aspectos do desconto simples: o desconto comercial e o racional. De�nição 8. Desconto Comercial Simples ou `por fora' Quando um valor V P a ser pago (devido a venci- mentos de contas como impostos, cartões de crédito, empréstimos ou compra de algum produto) em uma determinada data, é quitado antes desta data, às ve- zes ele quitado com um valor Ac inferior a V P , isto é, o valor pode receber um desconto dc, conhecido como desconto comercial simples, cujo cálculo é feito através da formula dc = V P · it, 245 onde dc é o desconto comercial simples, i é a taxa de desconto comercial simples (por unidade de tempo) e t é periodo que falta para a data de vencimento do título. Observação: No caso de desconto comercial simples, o valor Ac para quitar a dívida antes do prazo é calculado como Ac = V P − dc = V P (1 − it). De�nição 9. Desconto Racional Simples ou `por den- tro' O desconto racional simples (ao contrário do des- conto comercial simples) é calculado sobre o valor atualizado ou de resgate, isto é, para calcular o des- conto usamos a fórmula: dr = Ar · it, onde dr é o desconto racional simples, i é a taxa de desconto racional simples (por unidade de tempo) e t é o período que falta para a data de vencimento do título e Ar é o valor com desconto correspondente. Observação: No caso de desconto racional simples, como Ar = V P − dr, o valor do desconto é dado por dr = V P · it 1 + it . Exemplo 11. Suponha que eu tenha uma dívida de R$ 20000, 00 para pagar daqui a dois meses. Qual é a taxa de desconto que devo ter para, hoje, pagar R$ 18000, 00 pela dívida a) no caso de desconto comercial simples? b) No caso de desconto racional simples? Resolução: a) no caso de desconto comercial simples: 18000, 00 = 20000, 00(1 − 2i) 40000, 00i = 2000, 00 i = 0.05 = 5% A taxa de desconto deve ser de 5% ao mês. b) No caso de desconto racional simples: 20000, 00 = 18000, 00 · (1 + 2i) 2000, 00 = 36000, 00i i =̃ 0.0556 = 5.56% A taxa de desconto deve ser de aproximada- mente 5, 56% ao mês. 7. Fluxo de caixa De�nição 10. Fluxo de caixa Fluxo de caixa (de uma empresa, ou de uma pes- soa física) é um diagrama geométrico representando um conjunto de entradas e saidas de valores, dis- postos ao longo do tempo. Para a construção deste diagrama é necessário um levantamento geral do or- çamento da empresa, ou da pessoa física. Este orça- mento deve conter pagamentos, recebimentos, com- pras de matérias-prima, compras de materias secun- dários, salários e outros. Abaixo estão apresentado exemplos de orçamento de pessoas físicas, e correspondentes �uxos de caixa. Exemplo 12. Fluxo de caixa para uma pessoa física com um salário de R$ 1381, 00. 1381 ↑ 152 414 180 207 152 276 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ Diagrama geométrico As setas para cima indicam entrada de capital, isto é, salário 100%. As setas para baixo indicam saída de capital. Neste exemplo temos: 11% do salário a ser aplicado em caderneta de pou- pança (dia 1), 30% gastos com prestações (aluguel, por exemplo) e plano de saúde (dia 1), 13% gastos com supermercado (dia 2), 15% gastos com transporte (dia 2), 11% gastos com luz, água, telefones (dias 5 a 10), 20% gastos pessoais (dias 5 a 10), totalizando 89% do salário que, somando com os 11% considerados como entrada (pois são depositados di- reto na poupança do próprio trabalhador), obtemos então o total de 100%. Exemplo 13. Fluxo de caixa para uma pessoa física com um salário de R$ 5000, 00. 5000 ↑ 550 1000 850 850 1000 750 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ Diagrama geométrico As setas para cima indicam entrada de capital, isto é, salário 100%. As setas para baixo indicam saída de capital. Neste exemplo temos: 11% do salário a ser aplicado em caderneta de pou- pança (dia 1), 246 20% gastos com prestações (aluguel, por exemplo) e plano de saúde (dia 1), 17% gastos com supermercado (dia 2), 17% gastos com transporte (dias 5 a 10), 20% gastos pessoais (dias 5 a 10), 15% gastos com luz, água, telefones (dias 20 a 25), totalizando 89% do salário usado com despesas que, somando com os 11% depositados na caderneta de poupança, obtemos então o total de 100%. Exemplo 14. Fluxo de caixa para uma pessoa física com um salário de R$ 850, 00. 850 ↑ 93,50 212,50 153 127,50 127,50 136 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ Diagrama geométrico As setas para cima indicam entrada de capital, isto é, salário 100%. As setas para baixo indicam saída de capital. Neste exemplo temos: 11% do salário a ser aplicado em caderneta de pou- pança (dia 1), 25% gastos com prestações (aluguel, por exemplo) e plano de saúde (dia 2), 18% gastos com supermercado (dia 2), 15% gastos com transporte (dia 2), 15% gastos com luz, água, telefones (dias 5 a 10), 16% gastos pessoais (dias 5 a 10), totalizando 89% do salário usado com despesas que, somando com os 11% depositados na caderneta de poupança, obtemos então o total de 100%. 8. Conclusão Este trabalho foi elaborado visando apresentar pon- tos da matemática �nanceira que possam orientar uma pessoa a fazer negociações. Atualmente têm ocorrido grandes facilidades para compra de produ- tos considerados de alto preço para a classe média da sociedade e também a oferta de empréstimos, e conhecendo como se calcula juros, a população pode analisar qual é a melhor proposta oferecida e se ela cabe em seu orçamento, isto é, se está coerente com seu �uxo de caixa. Referências [1] Frank Ayres Jr, Matemática Financeira, Mc Graw- Hill, São Paulo, 1971. [2] Dorival Bonora Jr, Matemática �nanceira: análise de in- vestimentos, amortização de empréstimos, capitalização, utilização de calculadoras �nanceiras, Icone LTDA, São Paulo, 1997. [3] Ronald J. Harshbager and James J. Reynolds, Mathema- tical applications for the management. Life and social sciences, Houghton Mi�in Company, New York, USA, 2004. [4] J. Muccillo Netto, Matemática Aplicada a Finanças (Apostila), São Paulo, 2003. [5] www.wikipedia.com.br, ago a out/2008. 247 Introdução à matemática financeira Introdução Juros Juros compostos Juros compostos contínuos Aplicação: comparação de investimentos Descontos Fluxo de caixa Conclusão
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