Cálculo Vetorial e Geometrai Analítica

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UNIVERSIDADE VEIGA DE ALMEIDA 
GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
 
(CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA (IL10010) - EAD (IL10010) - 
2020.2.3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 
AVALIAÇÃO 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
RIO DE JANEIRO 
 
 
 
 
 
 
 
Produtos entre vetores 
Os produtos vetorial e misto entre vetores têm como interpretações geométricas de 
seus módulos a área de paralelogramo e o volume de paralelepípedo, 
respectivamente. Reconhecendo essas aplicações, podemos utilizá-las para resolver 
problemas. 
O torque é uma grandeza física vetorial (representada por τ) e está relacionado 
com a possibilidade de um corpo sofrer uma torção ou alterar seu movimento de 
rotação. 
O torque pode ser calculado pela equação τ → = r → X F →, sendo | r → |a 
distância do ponto de aplicação da força ao eixo de rotação ao qual o corpo está 
vinculado. 
A intensidade (módulo) do torque será calculada com a 
equação | τ | = | τ | x | F | . s e n θ 
 
O conceito de torque é usado frequentemente em nosso cotidiano. Veja alguns 
exemplos. 
 
1. Por que as maçanetas das portas ficam distantes das dobradiças? 
Imagine que você vá fechar uma porta. Se você aplicar uma força F no ponto médio 
da porta (veja imagem abaixo), obterá um efeito de rotação menor do que se aplicar 
a mesma força na extremidade da porta. 
 
A distância da força ao eixo de rotação é maior, portanto maior será o torque, ou 
seja, maior será o efeito de rotação que ela produz. 
 
2.Por que é mais fácil soltar as porcas que prendem a roda de um automóvel usando 
uma chave com braço mais comprido? 
A figura abaixo mostra um indivíduo usando uma chave de roda para soltar as 
porcas, e ele aumenta a distância do ponto de aplicação da força ao eixo de rotação 
para produzir um torque maior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considere que Ana trocou um pneu furado de seu carro e que, para apertar cada uma 
das porcas que prendem a roda, teve que pisar sobre a extremidade da chave de 
roda, usando todo o seu peso, que é de 55 kg. Como não sabe se realizou o 
procedimento de forma segura e utiliza seu carro diariamente para trabalhar, resolveu 
investigar sobre a adequação do que fez às indicações do fabricante e descobriu que 
a faixa de torque que deveria ter imprimido é de 90 Nm a 130 Nm (Nm = Newton 
metro, que é a unidade de medida padrão para torque no sistema internacional). 
 
Para verificar a adequação, mediu o comprimento da chave de roda, cuja medida é 
de 250 mm. 
 
a) Avalie se o torque aplicado por Ana, a cada uma das porcas que prendem a roda 
de seu carro, foi adequado e elabore um parecer sobre o procedimento realizado por 
ela, indicando alterações necessárias, se for o caso. 
 
b) Defina a grandeza vetorial torque de forma gráfica (no plano cartesiano). 
 
 Procedimentos para elaboração do TD 
 
1) Calcule a força aplicada por Ana. 
2) Calcule a intensidade do torque. 
3) Redija o parecer fundamentado nos resultados de seus cálculos, com 
sugestões de adequação, se forem necessárias. 
4) Faça um esboço da força aplicada, com comprimento da chave e ponto de 
rotação, atentando para a direção e sentido das forças. 
5) Faça todos os cálculos necessários para responder às questões a e b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A primeira etapa é calcular a força aplicada por Ana, através da fórmula: F = 
Massa x Gravidade 
 
Peso de Ana: 55Kg 
Gravidade: 9,81 m/s², nesse caso arredondarei para 10 m/s² 
F = 55 x 10 
F = 550N 
 
 
A próxima etapa é calcular a intensidade do torque aplicado por Ana, através da 
fórmula: T = F x D x SINθ 
 
F: 550N 
D: 250mm → braço de alavanca é 0,25m 
SINθ: 90° 
T = 550 x 0,25 x SIN90º 
T = 137,50Nm 
 
 
Resposta: O torque utilizado por Ana não foi adequado, pois excedeu o torque 
necessário indicado pelo fabricante, podendo danificar a rosca da roda, causar 
deformações no parafuso ou até mesmo quebrá-lo. 
 
 
Conforme indicações do fabricante a faixa de torque ideal é de 90 Nm até 130 Nm, 
sendo assim as forças aplicadas deveriam ser entre: 
 
Deve-se aplicar a fórmula do torque para se encontrar os valores das forças 
 
T = F.D 
 
Torque mínimo: 90Nm 
 
90 = F.0,25 
F= 90_ = 360N 
 
 0,25 
 
Torque médio: 110Nm 
 
T = F.D 
 
110 = F.0,25 
F= 110_ = 440N 
 0,25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Torque máximo: 130Nm 
 
T = F.D 
 
130 = F.0,25 
F= 130_ = 520N 
 0,25 
 
 
Esboço da Força aplicada por Ana 
 
 
 
 
 
 
 
A grandeza vetorial torque no plano cartesiano fica da seguinte forma: