Livro - Geometria Analitica

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Cleverson Alessandro Thoaldo
Geometria 
Analítica
Passo a passo
Curitiba
2015
Cleverson Alessandro Thoaldo
Geometria 
Analítica
Passo a passo
Ficha Catalográfica elaborada pela Fael. Bibliotecária – Cassiana Souza CRB9/1501
T449g Thoaldo, Cleverson Alessandro 
Geometria analítica / Cleverson Alessandro Thoaldo. – 
Curitiba: Fael, 2015.
186 p.: il.
ISBN 978-85-60531-21-9
1. Geometria analítica I. Título
 CDD 516.3
Direitos desta edição reservados à Fael.
É proibida a reprodução total ou parcial desta obra sem autorização expressa da Fael.
FAEL
Direção Acadêmica Francisco Carlos Sardo
Coordenação Editorial Raquel Andrade Lorenz
Projeto Gráfico Sandro Niemicz
Imagem da Capa Shutterstock.com/ALEXANDER LEONOV
Arte-Final Evelyn Caroline dos Santos Betim
Apresentação
Existe uma pergunta que os alunos geralmente fazem para os 
professores quando estudam conceitos matemáticos: ‘onde vou usar 
isso?’ A resposta a esta pergunta depende muito do entendimento 
do aluno em relação ao assunto. As aplicações da matemática em 
outras áreas do conhecimento são muitas, porém, aplicar os assun-
tos matemáticos na prática requer conhecimento e entendimento 
da teoria matemática. Os conceitos de Geometria analítica têm 
muitas aplicação em Física, Engenharia, Arquitetura e áreas com-
putacionais. Um caso simples que pode ser comentado é o sistema 
de GPS que se utiliza de coordenadas retangulares para localizar 
pontos no espaço.
No estudo da Geometria analítica há uma interdependên-
cia entre Álgebra, Geometria Plana e Geometria Espacial, possibi-
– 4 –
Geometria Analítica
litando um estudo de figuras geométricas ou a interpretação geométrica das 
relações algébricas, assim, sempre que possível, pode-se fazer a construção de 
figuras para uma melhor visualização das possíveis soluções dos problemas. 
A Geometria Analítica que estudamos hoje teve início com as contribuições 
decisivas feitas no século XVII pelos matemáticos franceses René Descartes e 
Pierre de Fermat como a origem essencial do assunto, onde eram apresenta-
das as ideias fundamentais sobre a resolução de problemas através de álgebra.
A álgebra e geometria eram tratadas de maneira separada e Descartes em 
seu livro, o Discurso do Método, que foi publicado em 1637, uniu essas duas 
áreas do conhecimento matemático. Pierre de Fermat, com seus estudos no 
campo das equações, que representavam curvas no plano, também teve seus 
créditos na construção da Geometria Analítica.
A Geometria Analítica não teve um único criador e sim várias pessoas que 
contribuíram ao longo dos anos e que também merecem crédito, respeito e admi-
ração. Todas essas ideias somam-se e nos dão a descoberta da Geometria Analítica 
que torna algumas situações do nosso dia a dia mais facilmente representadas.
Uma das maiores qualidades da Geometria Analítica é o desenvolvimento 
do raciocínio geométrico e a visão espacial. Para que isso ocorra, deve-se levar 
em conta que o aluno terá que dedicar tempo para as atividades e leitura, e 
quanto mais tempo disponível mais rápido será a compreensão dos temas.
Este trabalho tem como objetivo ser um facilitador para o estudante onde 
ele possa se basear e estudar, reduzindo suas dificuldades. Os conceitos mate-
máticos que são mostrados são seguidos de exemplos e, por vezes, de figuras 
para que o estudante possa entender e aprimorar com mais facilidade o tema.
Bons Estudos!
O autor.
Sumário
1 Espaço Unidimensional | 7
2 Espaço bidimensional | 21
3 Espaço tridimensional | 35
4 Vetores | 43
5 Vetores no plano e no espaço | 63
6 Produto escalar | 79
7 Produto vetorial | 97
8 Produto Misto | 111
9 A Reta | 121
10 O Plano | 137
11 Distâncias | 153
12 Cônicas e Quádricas | 161
 Referências | 185
1
Espaço Unidimensional
No estudo da Geometria analítica há um entrelaçamento 
entre Álgebra, Geometria Plana e Geometria Espacial, possibili-
tando um estudo de figuras geométricas ou a interpretação geomé-
trica das relações algébricas. Assim, sempre que possível, pode-se 
fazer a construção de figuras para uma melhor visualização das pos-
síveis soluções dos problemas.
– 8 –
Geometria Analítica
Neste primeiro capítulo será abordado o sistema de coordenadas em uma 
dimensão, que é uma base para se estudar o sistema de coordenadas cartesianas 
retangulares de duas e três dimensões. Há, além destes, outros modelos de sis-
temas, que por vezes, se necessita utilizar.
1.1 Ponto, reta e plano
A geometria euclidiana utiliza-se de uma ideia intuitiva de ponto e a par-
tir dele formam-se a ideia de retas e planos. Estes elementos são denominados 
elementos primitivos, e são aceitos sem definição:
 2 Ponto: é um elemento que não tem partes, ou que não tem gran-
deza. Pode-se imaginar um ponto como algo muito pequeno no 
espaço, uma estrela no céu, por exemplo. O ponto será represen-
tado pelas letras maiúsculas do nosso alfabeto (A, B, C, ...).
 2 Reta: é um conjuntos de infinitos pontos alinhados que tem com-
primento nem largura. Uma corda esticada pode ser tratada como 
um pedaço de reta. Representa-se a reta usando as letras minúsculas 
do nosso alfabeto (a,b,c,...).
 2 Plano: é um conjunto de infinitos pontos e retas. Três pontos não 
alinhados determinam plano. Se uma reta contém dois pontos 
de um plano, esta reta está totalmente contida neste plano. Uma 
superfície de uma parede pode ser vista como um plano, por exem-
plo. Representa-se o plano por letras minúsculas do alfabeto grego 
(α, γ, θ,...).
Neste capítulo serão estudados apenas os conceitos sobre pontos no 
espaço unidimensional. Nos próximos capítulos serão abordados os assuntos 
referentes a planos.
1.2 Reta orientada e ponto
Como já foi mencionado, a reta é um conjunto infinito de pontos que 
estão alinhados em uma direção. Uma reta é dita orientada quando se esta-
belece um sentido positivo. O sentido contrário é então o negativo. Normal-
– 9 –
Espaço Unidimensional
mente adota-se o sentido positivo para a direita e o sentido negativo para a 
esquerda quando a reta está na direção horizontal, e o sentido positivo para 
cima e negativo para baixo, quando a reta está direção vertical.
Figura 1.1. Reta orientada horizontal e vertical.
+
+–
–
r
r
r
O sentido é representado por uma seta e a reta é referenciada por uma 
letra minúscula, como mostrada na (figura 1.1) em que foi referenciada por r. 
Esta reta orientada r também pode ser chamada de eixo.
Se imaginarmos dois pontos A e B pertencem a uma reta r, ou ao eixo 
r, podem-se definir alguns atributos a estes dois pontos: direção, sentido e 
comprimento. Escolhendo primeiro o ponto A e depois o ponto B, obtém-se 
um segmento orientado AB , com origem em A e extremidade B (figura 1.2).
Figura 1.2. Segmento de reta orientado.
+–
r
BA
Escolhendo primeiro o ponto B e depois o ponto A, obtém-se o seg-
mento orientado BA , (figura 1.3).
Figura 1.3. Segmento orientado BA.
+–
r
BA
– 10 –
Geometria Analítica
A partir da escolha de uma ordem dos pontos A e B, a direção do seg-
mento de reta orientado é definida como a direção da própria reta r que 
contém os pontos.
O sentido do segmento orientado depende da ordem de escolha dos 
pontos A e B, podendo ser um número real positivo ou negativo.
O comprimento do segmento orientado é a distância entre A e B e é um 
número real positivo. A esta medida algébrica pode ser associada uma uni-
dade de comprimento, como centímetro, metro, etc. Para não se preocupar 
com as medidas a serem usadas adota-se uma unidade de comprimento u. 
Os segmentos orientados AB e BA tem o mesmo comprimento, mas senti- 
dos opostos.
Exemplo 1.1. Considerando os pontos A e B pertencentes a reta r con-
forme a figura, determinar a direção, o sentido e o comprimento do seg-
mento:
+–
r
BA
a) AB
b) BA
Solução:
a) O segmento de reta AB tem origem em A e extremidade em B.
b) A direção é a mesma da reta r, ou seja, neste caso é horizontal.O comprimento está associado à unidade de comprimento u que é 
a graduação utilizada na reta. O ponto A está a 6 espaços de B, ou 
seja, o comprimento é de 6u (seis unidades de medida).
O sentido depende da escolha dos pontos, então é de A para B ou 
no sentido da esquerda para a direita, ou ainda no sentido posi-
tivo. Também se determina o sentido utilizando o sinal positivo ou 
negativo associado ao comprimento, logo + 6u, que representa a 
medida algébrica do segmento.
– 11 –
Espaço Unidimensional
c) O segmento de reta BA agora tem origem em B e extremidade em A.
d) A direção continua sendo a mesma da reta r que também é hori-
zontal.
A distância do ponto B ao ponto A são de 6 espaços, então o com-
primento é de 6u (seis unidades de medida).
O sentido é de B para A e agora da direita para a esquerda ou no 
sentido negativo. Em termos das unidades o sentido é representado 
por –6u.
Exemplo 1.2. Sejam três pontos A, B, C pertencentes a reta s 
conforme a figura, determinar a o comprimento e o sentido dos 
segmentos:
+–
s
BCA
a) BA
b) BC
c) CA
Solução:
a) O segmento orientado BA tem origem em B e extremidade em A, 
a distância entre os pontos B e A é de 9 unidades, seu comprimento 
é 9u, e o sentido é –9u.
b) segmento orientado BC tem origem em B e extremidade em C e a 
distância entre os pontos B e C é de 3 unidades, seu comprimento 
é 3u, e o sentido é –3u.
c) O segmento orientado CA tem origem em C e extremidade em 
A, a distância entre os pontos C e A é de 6 unidades, ou seja, seu 
comprimento é 6u, e o sentido é –6u.
– 12 –
Geometria Analítica
1.3 Razão simples de três pontos
Sendo três pontos A, B e P pertencentes a uma reta r, denomina-se a 
razão simples entre eles, nesta ordem, o quociente entre AP por BP represen-
tado por (ABP).
 ( ) APABP
BP
= (1)
A razão simples (ABP) terá um valor positivo se o ponto P for externo ao 
segmento AB, se o ponto P for interno a razão assumirá um valor negativo.
Exemplo 1.3. Considerando três ponto A, B e P pertencentes a reta r, 
conforme a figura, determinar a razão (ABP) .
+–
r
BPA
Solução:
O segmento orientado AP tem medida algébrica igual a +6u.
O segmento orientado BP tem medida algébrica igual a – 3u.
A razão simples (ABP) será então:
( ) AP 6ABP 2
3BP
+
= = = −
−
Exemplo 1.4. Determine a razão (ABC), conforme indica a figura:
+–
r
CBA
Solução:
O segmento orientado AC tem medida algébrica igual a +6u.
O segmento orientado BC tem medida algébrica igual a +3u.
– 13 –
Espaço Unidimensional
A razão simples (ABC) é:
( ) AC 6ABC 2
3BC
+
= = = +
+
Como se pode observar no exemplo 1.3 o ponto P está interno ao seg-
mento AB e o resultado encontrado para a razão simples foi um valor nega-
tivo. Já no exemplo 1.4 o ponto está fora do segmento de reta orientado no 
qual foi determinado um valor positivo para a razão simples.
Há ainda dois casos que merecem atenção. Quando o ponto que divide 
o segmento em uma razão simples coincidir com o ponto de origem do seg-
mento ou quando for o ponto médio do segmento de reta.
 2 Se três pontos A, B e P pertencem a reta r e o ponto P divide o 
segmento AB em uma razão (ABP), com P ≡ A (P idêntico a A), a 
razão simples é nula:
( ) AP 0ABP 0
BP BP
= = =
 2 Se três pontos A, B e P pertencem a reta r e o ponto P divide o seg-
mento AB em uma razão (ABP), com P ≡ M (P idêntico ao ponto 
médio M), a razão simples é -1:
( ) AP APABP 1
BP -AP
= = = −
1.4 Abscissas na reta
Considerando uma reta r e um ponto O pertencente à reta. Este ponto 
divide a reta em duas semirretas, uma positiva e outra negativa. O ponto O é 
chamado de origem e a partir do ponto O se fixa uma unidade de comprimento.
Figura 1.4. Reta r com origem O.
+–
r
O
– 14 –
Geometria Analítica
É definido como sendo a abscissa x de um ponto P pertencente à reta r, 
a medida algébrica do segmento orientado OP. A medida algébrica do seg-
mento terá um valor positivo se pertencer à semirreta positiva e terá um valor 
negativo se pertencer à semirreta negativa.
Figura 1.5. Valores positivos e negativos na reta r.
+–
r
O
–5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5
Este eixo será referenciado como eixo das abscissas ou também eixo x. Os 
pontos que pertencem ao eixo podem ser representados, então, por uma coorde-
nada, que determina a posição do ponto no eixo em relação à origem O do eixo. Se 
considerarmos um ponto P com abscissa x, pode-se representar o ponto por P(x).
Exemplo 1.5. Dada a reta r, determinar o valor da abscissa correspon-
dente aos pontos A, B e C.
+–
r
O C AB
–4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7
Solução:
O ponto A tem o lugar geométrico na coordenada +6, logo a abscissa de 
A é +6, ou A(+6).
A abscissa de B é –3, ou B(–3).
A abscissa de C é +1, ou C(+1).
Exemplo 1.6. Quais são os pontos que correspondem às abscissas –1, 
–9, +5, +7 , respectivamente?
+–
OC ABD H FE
–4–8–9 –3–7 –2–6 –1–5 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7
Solução:
O ponto cuja abscissa é -1 é o ponto E.
O ponto cuja abscissa é -9 é o ponto C.
O ponto cuja abscissa é +5 é o ponto A.
O ponto cuja abscissa é +7 é o ponto F.
– 15 –
Espaço Unidimensional
1.5 Distância entre dois pontos
Considerando dois pontos A cuja abscissa xa e B cuja abscissa xb, ou em 
outra notação A (xa) e B (xb), a distância entre os pontos A e B pode ser tra-
tado como o comprimento entre esses pontos, sendo então um número real 
positivo. Para garantir que o resultado seja um número positivo, calcula-se o 
valor absoluto ou o módulo da diferença entre as coordenadas,
AB B Ad x x= − (2)
Mesmo se o ponto de origem adotado for o ponto B e depois o A, o 
resultado que será encontrado também será um número positivo.
Exemplo 1.7. Sejam dados dois pontos A (12) e B (18), calcular a dis-
tância entre o ponto A e o ponto B, e a distância entre o ponto B e o ponto A.
A B
151110 1612 1713 1814 19 20
Solução:
Considerando a unidade uma unidade de medida u, calcula-se a distân-
cia entre A e B aplicando a equação (2), logo:
AB B Ad x x= −
ABd 18 12= −
ABd 6= +
ABd 6= u
De forma análoga, determina-se a distância entre B e A:
BA A Bd x x= −
BAd 12 18= −
BAd 6= −
BAd 6= u
– 16 –
Geometria Analítica
Exemplo 1.8. Dadas as abscissas xA = –5, xB = –1 e xC = 0, determinar:
a) A distância do ponto A ao ponto B
b) A distância do ponto A ao ponto C
c) A distância do ponto C ao ponto B
CBA
–5 –4 –3 –2 –1 0 1
Solução:
Nestes exemplos deve-se ficar atento no momento dos cálculos, pois o 
fato da abscissa ser um número negativo pode levar a um erro no momento 
da substituição dos valores das abscissas na equação (2).
a) A distância do ponto A ao ponto B é:
AB B Ad x x= −
ABd ( 1) ( 5)= − − −
ABd 1 5= − +
ABd 4= +
ABd 4= u
b) A distância do ponto A ao ponto C é:
AC C Ad x x= −
ACd 0 ( 5)= − −
ACd 0 5= +
ACd 5= +
ACd 5= u
– 17 –
Espaço Unidimensional
c) A distância do ponto C ao ponto B é:
CB B Cd x x= −
CBd ( 1) 0= − −
CBd 1= −
CBd 1= u
1.6 Ponto médio
O ponto que divide um segmento de reta em dois segmentos de retas de 
mesmo comprimento é chamado de ponto médio. Sejam dois pontos A (xA) 
e B (xB), pertencentes ao eixo x e o ponto médio M (xM), então os segmentos 
orientados são iguais
AM MB= (3)
O segmento AM tem o seu valor numérico dado M – A, e o segmento 
MB tem o seu valor numérico dado por B – M. Substituindo em (3),
M – A = B – M (4)
Substituindo os pontos pelos valores das respectivas abscissas em (4),
xM – xA = xB – xM (5)
Isolando a variável xM
xM + xM = xB + xA (6)
2 · xM = xB + xA (7)
Portanto, determina-se o valor de x do ponto médio por
B A
M
x x
x
2
+
= (8)
– 18 –
Geometria Analítica
A equação (8) mostra que, para encontrar a coordenada do ponto médio 
de um segmento, basta somar as coordenadas das extremidades deste seg-
mento e dividir por dois.
Exemplo 1.9. Determinar o ponto médio dos pontos P e Q.
QP
510 62 73 84 9
Solução:
Primeiramente resolvendo de uma maneira intuitiva, percebe-se que do 
ponto P até o ponto Q existem seis espaços, ou seis unidades de comprimento. 
Logo,o ponto médio M deve dividir o segmento PQ em dois segmentos de 
mesmo comprimento, ficando assim três espaços para cada segmento. Cami-
nhando três unidades a partir do ponto P para a direita, chega-se na abscissa 
+4. Caminhando três unidade a partir do ponto Q para a esquerda, chega-se 
também na abscissa +4. Resumindo, o ponto médio M tem abscissa +4. Resol-
vendo o problema usando a definição do ponto médio, equação (8), obtém-se:
Q P
M
x x
x
2
+
=
Substituindo os valores das abscissas dos pontos P e Q e resolvendo a 
equação,
M
7 1x
2
+
=
M
8x
2
=
xM = 4
O ponto médio M tem abscissa +4, ou na outra notação, M(xM) = M(+4).
QP
510 62 73 84 9
M
Exemplo 1.10. Encontrar a abscissa do ponto médio do segmento AB, 
dado os pontos A (–14) e B (–3).
– 19 –
Espaço Unidimensional
Solução:
Aplicando a equação (8), substituem-se os valores das abscissas xA = –14 
e xB = –3, não se esquecendo de manter o sinal negativo de cada abscissa, 
resolvendo para xM,
B A
M
x x
x
2
+
=
M
( 3) ( 14)x
2
− + −
=
M
3 14x
2
− −
=
M
17x
2
−
=
xM = –8,5
Exemplo 1.11. Seja um segmento de reta AB e um ponto C, que divide 
o segmento AB em dois segmentos de mesmo comprimento, pertencentes à 
reta r. Sendo a abscissa de A igual a +4 e a abscissa de C igual a +7, determinar 
o valor da abscissa de B.
Solução:
Para um melhor entendimento da questão representam-se os pontos, 
mencionados no exemplo, em uma reta r com suas coordenadas. Primeiro 
marcamos um ponto A sobre a reta r.
r
A
Para se obter o segmento de reta AB marca-se o ponto B na reta, porém 
pode-se imaginar duas situações: o ponto B pode estar a esquerda de A ou 
a direita de A. Em qualquer uma destas situações a origem é o ponto A e a 
extremidade é o ponto B, determinando-se o segmento de reta AB .
r
AB B
– 20 –
Geometria Analítica
Levado em consideração que o ponto C é o ponto médio e tem que estar 
entre os pontos A e B, comparam-se então as coordenadas de A e C, anali-
sando se a abscissa do ponto C é um número maior ou menor que a abscissa 
do ponto A. Se maior então o ponto C deve estar a direita de A, se menor 
então o ponto C deve estar a esquerda de A.
r
A CB B
xA
xC > xA
xC xB
r
ACB B
xA
xC < xA
xCxB
Neste exemplo xC = +7 e xA = +4, então +7 > +4, que significa que o 
ponto C, que tem coordenada maior, tem que estar à direita do ponto A.
r
BCA
xB74
Substituindo as coordenadas dos pontos e resolvendo a equação (8), espera- 
se, então, encontrar uma coordenada que esteja a direita da coordenada +7.
B A
M
x x
x
2
+
=
Bx 47
2
+
=
Isolando a variável xB,
2 · 7 = xB + 4
14 = xB + 4
14 – 4= xB
xB = 10
Como era de se esperar, a coordenada xB = 10 é maior que a coordenada xC.
2
Espaço bidimensional
Na prática, utilizamos o sistema cartesiano bidimensional 
e tridimensional em várias situações do nosso dia a dia, tanto para 
posicionar ou localizar pontos, partículas, pessoas ou lugares. Um 
bom exemplo disso é o dispositivo muito sofisticado GPS, que é um 
sistema de posicionamento global. Outra aplicação desses sistemas é 
a determinação de posição de aeronaves em espaços aéreos, na qual 
há a necessidade de muita precisão. Neste capítulo serão abordados 
os conceitos já vistos no capítulo anterior, estendendo as ideias para 
o sistema bidimensional, junto com novos conceitos.
– 22 –
Geometria Analítica
2.1. Plano cartesiano
O sistema cartesiano ortogonal bidimensional é formado por duas retas 
ortogonais, ou seja, duas retas que formam um ângulo de 90º, também cha-
madas de retas perpendiculares. A uma das retas chamamos de x ou eixo x 
(eixo das abscissas), a outra reta de y, ou eixo y (eixo das ordenadas).
A intersecção dos eixos x e y determina um ponto denominado de ori-
gem. Por convenção adota-se como a parte positiva do eixo x a semirreta do 
lado direito da origem, sendo a semirreta do lado esquerdo da origem, a parte 
negativa do eixo x. Para o eixo y adota-se a semirreta acima do eixo x como 
positiva e abaixo negativa (figura 2.1). Então os valores das abscissas e das 
ordenadas devem ter o sinal positivo ou negativo, dependendo do eixo em 
que estiver contida a coordenada.
Figura 2.1. Plano cartesiano ortogonal.
x
y
+
+
–
–
Um ponto qualquer que pertence ao plano cartesiano é representado 
por um par ordenado (x, y), sendo que x e y são as coordenadas em seus 
respectivos eixos. Assim fica definido o ponto P por suas coordenadas 
cartesianas ou coordenadas retangulares, podendo ser representado por 
P = (x,y) ou P(x,y).
– 23 –
Espaço bidimensional
Figura 2.2. Ponto no plano cartesiano ortogonal.
xx
y
y
P(x,y)
Logo, dado um par de números reais, pode-se representar no plano um 
ponto correspondente. Há então uma correspondência bijetiva entre pontos 
do plano e par de números reais.
Alguns casos merecem ser tratados com mais atenção:
 2 Se o ponto está ou é a origem
P = O = (0,0)
 2 Se o ponto está contido no eixo das abscissas, terá ordenada nula
P = (x,0)
 2 Se o ponto está contido no eixo das ordenadas, terá abscissa nula
P = (0,y)
Figura 2.3. Ponto P pertencente aos eixos x e y.
 
xx
y
P(x,0)
 
x
y
P(0,y)
– 24 –
Geometria Analítica
Exemplo 2.1. Marcar os pontos A (2,3), B (-3,1), C (-2,-2) e D (0,-4) 
no plano cartesiano.
Solução:
Em um plano cartesiano, com espaçamentos iguais de unidade u, 
 marca-se o ponto A, determinado pelas coordenadas da abscissa xA = 2e da 
ordenada yA = 3, traçam-se retas perpendiculares sobre cada um dos eixos, 
determinando, na intersecção das retas, o ponto A.
0
–2
–2
–1
–1
–4
–4
–3
–3
2
2
1
1
4
y
A
3
4 5
x
3
Para os pontos B e C segue-se de maneira análoga. Apenas para o ponto 
D não há necessidade de traçar as retas perpendiculares, pois o ponto tem 
uma das coordenadas nulas o que indica que já está sobre um dos eixos.
– 25 –
Espaço bidimensional
y
A
B
C
D
x0– 2
– 2
– 1
– 1
– 4
– 4
– 3
– 3
2
2
1
1
4
3
4 53
Exemplo 2.2. Determinar as coordenadas dos pontos P, Q, H, M e N 
na figura abaixo:
P
H
Q N
M
y
x0– 2
– 2
– 1
– 1
– 4
– 4
– 3
– 3
2
2
1
1
4
3
4 53
– 26 –
Geometria Analítica
Solução:
De acordo com o plano cartesiano as coordenadas dos pontos são:
O ponto P tem abscissa 1 e ordenada 4, P (1,4).
 2 O ponto Q tem abscissa – 4 e ordenada – 3, Q(-4,-3).
 2 O ponto H tem abscissa 4 e ordenada – 1, H(4,-1).
 2 O ponto M tem abscissa – 3 e ordenada 3, M(-3,3).
 2 O ponto N tem abscissa 2 e ordenada – 3, N(2,-3).
2.2. Operações com pares ordenados
Os pares ordenados dos pontos em um plano cartesiano são números 
reais, logo as operações de soma, subtração, multiplicação e divisão, também 
podem ser aplicadas aos pares ordenados da mesma forma que se aplicam 
as regras em qualquer equação, apenas respeitando o eixo a que cada núme- 
ro pertence.
Se considerarmos um ponto P1 de coordenadas (x1,y1) e um ponto P2 de 
coordenadas (x2,y2), define-se:
Adição
( )1 2 1 1 2 2 1 2 1 2P P x ,y (x ,y ) (x x ,y y )+ = + = + + (9)
Devem-se somar as coordenadas das abscissas e também somar as 
coordenadas das ordenadas. Nesta operação não se pode somar x com y.
 2 Multiplicação por um número real k
( )1 1 1 1 1k P k x ,y (k x ,k y )⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ (10)
Ao multiplicar as coordenadas por um número real, aplica-se a pro-
priedade distributiva aos pares ordenados.
 2 Igualdade de dois pares ordenados
( )1 2 1 1 2 2 1 2P P x ,y (x ,y ) x x= → = ⇔ = e 1 2y y= (11)
– 27 –
Espaço bidimensional
Dois pares serão iguais se e somente se as suas coordenadas forem iguais, 
respectivamente.
Exemplo 2.3. Qual a soma dos pares ordenados (5,6) e (4,12)?
Solução:
Fazendo a soma das coordenas das abscissas e a soma das coordenadas 
das ordenadas, respectivamente
( )1 1 2 2 1 2 1 2x ,y (x ,y ) (x x ,y y )+ = + +
( )1 1 2 2x ,y (x ,y ) (5 4,6 12)+ = + +
( )1 1 2 2x ,y (x ,y ) (9,18)+ =
Exemplo 2.4. Sendo três pontos A(-2,5), B(2,-3) e C(-1,4), determinar 
a soma A+B+C:
Solução:
Apesar de se ter três pares de coordenadas, o método para a soma conti-
nuasendo o mesmo, realizando a soma com os valores do eixo x e realizando 
a soma com os valores do eixo y.
1 1 2 2 3 3A B C (x ,y ) (x ,y ) (x ,y )+ + = + +
A B C ( 2,5) (2, 3) ( 1,4)+ + = − + − + −
A B C (( 2) 2 ( 1),5 ( 3) 4)+ + = − + + − + − +
A B C ( 2 2 1,5 3 4)+ + = − + − − +
A B C ( 1,6)+ + = −
Exemplo 2.5. Seja um ponto P pertencente ao plano cartesiano, com 
abscissa igual a 8 e ordenada igual a -5, e um número real k igual a 6. Deter-
minar o produto entre o par ordenado e o escalar k.
– 28 –
Geometria Analítica
Solução:
Considerando o par ordenado dado (8,-5) e escalar 6, aplica-se a pro-
priedade distributiva
( )1 1 1 1 1k P k x ,y (k x ,k y )⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅
1k P 6 (8, 5)⋅ = ⋅ −
1k P (6 8,6 ( 5))⋅ = ⋅ ⋅ −
1k P (48, 30)⋅ = −
Exemplo 2.6. Qual deve ser o escalar k para que o produto de k pelo par 
ordenado (2,8) resulte no par ordenado (10,40)?
Solução:
Primeiro multiplica-se o escalar k pelo par ordenado (2,8)
( )1 1 1 1k x ,y (k x ,k y )⋅ = ⋅ ⋅
( )k 2, 8 (k 2, k 8)⋅ = ⋅ ⋅
Como o resultado desta multiplicação deve ser igual ao par ordenado 
(10, 40), aplica-se a igualdade de dois pares ordenados, ficando
( )1 1 2 2 1 2x ,y (x ,y ) x x= ⇔ = e 1 2y y=
( )k 2,k 8 (10,40) k 2 10⋅ ⋅ = ⇔ ⋅ = e k 8 40⋅ =
k 5=
2.3. Distância entre dois pontos
Consideremos dois pontos P1 e P2 no plano bidimensional com coor-
denadas (x1,y1) e (x2,y2). Geometricamente marcam-se os pontos no plano 
utilizando-se de segmentos de retas auxiliares paralelas aos eixos x e y, e na 
interseção determinam-se os pontos P1 e P2.
– 29 –
Espaço bidimensional
Figura 2.4. Pontos no plano cartesiano ortogonal.
x
y2
y1
P1
P2
x2x1
y
Prolongam-se as semirretas paralelas aos eixos x e y, traça-se um segmento 
de reta ligando os pontos P1 e P2, e assim, forma-se um triângulo retângulo, 
com lados de comprimento igual a (x2 – x1), (y2 – y1) e hipotenusa igual a d.
Figura 2.5. Distância d entre os pontos P1 e P2.
x
y2
y1
P1
P2
x2x1
x2 – x1
d
y
y2 – y1
Portanto, para se determinar a distância entre os dois pontos P1 e P2 
aplica-se o teorema de Pitágoras, equação (12), ao triângulo retângulo,
2 2 2a b c= + (12)
obtendo-se
2 2 2
2 1 2 1d (x x ) (y y )= − + − (13)
ou
( ) ( )2 22 1 2 1d x x y y= − + − (14)
– 30 –
Geometria Analítica
Exemplo 2.7. Sendo os pontos A(-3,4) e B(3,4) , determinar a distância 
entre os pontos A e B:
Solução:
Substituindo as coordenadas dos pontos A e B na equação (14), e resol-
vendo para encontrar a variável d
( ) ( )2 22 1 2 1d x x y y= − + −
( ) ( )2 2d 3 ( 3) 4 4= − − + −
( ) ( )2 2d 6 0= +
d 36 0= +
d 36=
d 6=
A distância entre os pontos A e B é de 6u.
Exemplo 2.8. Considerando dois pontos P e Q e a distância entre estes 
pontos de 5u. Determinar a coordenadas y do ponto P(1,y) se o ponto Q tem 
coordenadas x = 3 e y = 3.
Solução:
Primeiramente faremos uma analise gráfica do problema. Marca-se o 
ponto que tem a coordenada conhecida, o ponto Q. Em seguida marca-se a 
coordenada x do ponto P, que também é conhecida, e traça-se uma reta para-
lela a y passando por esta coordenada. Isto significa que a coordenada y de P 
tem que pertencer a esta reta.
A partir do ponto Q marca-se a distância d e na intersecção com a reta 
paralela a y determina-se o ponto P. Porém há duas maneiras de se traçar o 
segmento de reta, que representa a distância, para intersectar a reta paralela. 
Conclui-se assim que podem ter dois pontos possíveis para o ponto Q estar a 
uma distância d do ponto P.
– 31 –
Espaço bidimensional
x
3
31
Q
+
+
y
 
P
P
d
d
x
3
31
Q
+
+
y
Pode-se resolver analiticamente. Sendo o ponto P formado pelas coor-
denadas (1,y) e o ponto Q por (3,3), substituem-se estes valores na equação 
(14) com o valor da distância d = 5, ficando:
( ) ( )2 22 1 2 1d x x y y= − + −
( ) ( )22 15 3 1 3 y= − + −
Elevando ao quadrado o primeiro membro e o segundo membro da 
equação,
2 2 2
15 (2) (3 y )= + −
No segundo membro aplica-se o produto notável quadrado da diferença 
para o segundo termo,
2
1 125 4 9 6y y= + − +
Igualando a equação a zero, determina-se uma equação do 2º 
grau completa,
2
1 1y 6y 4 9 25 0− + + − =
2
1 1y 6y 12 0− − =
– 32 –
Geometria Analítica
Então, aplica-se a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes da equa-
ção do 2º grau,
2
1
( 6) ( 6) 4 1 ( 12)y
2 1
− − ± − − ⋅ ⋅ −
=
⋅
1
6 9.17y
2
±
=
6 9.17y 7,58
2
+′ = =
6 9.17y 1,58
2
−′′ = = −
A coordenada y admite dois valores possíveis para este problema, então o 
ponto P pode ser escrito como P(1,7. 58) ou P(1,-1.58). Para não haver con-
fusão entre a vírgula do par ordenado com a vírgula do número real, adota-se 
o ponto-e-vírgula para separar as coordenadas do par ordenado.
2.4. Ponto Médio
Conforme já estudado no capítulo um, o ponto médio divide um segmento 
de reta em dois segmentos de retas de mesmo comprimento. Tomando como 
base a equação (8), que determina o valor da coordenada do ponto médio para 
um plano unidimensional, estende-se a ideia para o plano bidimensional, levando 
em consideração que o ponto médio M agora tem duas coordenadas: M(xM,yM).
Figura 2.6. Ponto médio de um segmento bidimensional.
x
y2
yM
y1
P1
M
P2
x2xMx1
y
– 33 –
Espaço bidimensional
O par de coordenadas do ponto médio M é dado por
1 2
M
x x
x
2
+
= (15)
e
1 2
M
y y
y
2
+
= (16)
Exemplo 2.9. Determinar o ponto médio dos pontos A(1,5) e B(9,7):
Solução:
Aplicando (15) e (16), encontram-se as coordenadas do ponto médio
M
1 9 10x 5
2 2
+
= = =
M
5 7 12y 6
2 2
+
= = =
O ponto médio é então M(5,6).
Exemplo 2.10. Considerando um triângulo cujos vértices são os 
pontos A(1,0), B(2,5) e C(–3,6), determinar o ponto médio de cada lado 
do triângulo.
Solução:
Os lados do triângulo são dados pelos segmentos de retas AB, BC e AC. 
Para encontrar o ponto médio do segmento AB, utiliza-se as coordenadas do 
ponto A e do ponto B.
M AB
1 2 3x 1.5
2 2
+
= = =
M AB
0 5 5y 2.5
2 2
+
= = =
O ponto médio de AB é MAB = (1.5,2,5)
– 34 –
Geometria Analítica
Para encontrar o ponto médio do segmento BC, utiliza-se as coordena-
das dos pontos B e C.
M BC
2 ( 3) 1x 0.5
2 2
+ − −
= = = −
M BC
5 6 11y 5.5
2 2
+
= = =
O ponto médio de BC é MBC = (–0.5,5.5)
Para encontrar o ponto médio do segmento AC, utiliza-se as coordena-
das dos pontos A e C.
M AC
1 ( 3) 2x 1
2 2
+ − −
= = = −
M AC
0 6 6y 3
2 2
+
= = =
O ponto médio de AC é MAC = (–1,3)
3
Espaço tridimensional
Em grande maioria as máquinas operatrizes, sistemas auto-
matizados e sistemas de robótica, em fábricas de automóveis, por 
exemplo, utilizam-se de um sistema de 3 eixos cartesianos para loca-
lizar ou mover peças. A impressora 3D também é um exemplo de 
aplicação do sistema de coordenadas tridimensionais.
– 36 –
Geometria Analítica
Também é possível trabalhar com sistemas de coordenadas com mais 
de 3 dimensões, entretanto a representação gráfica fica restrita a somente 3 
dimensões. Desta forma, pode-se criar um espaço Rn, onde as várias coorde-
nadas podem assumir outros valores de interesse.
3.1 Sistema cartesiano no espaço
O sistema cartesiano ortogonal tridimensional é formado por três eixos 
ortogonais, ou seja, três retas x, y e z que formam um ângulo de 90º duas a 
duas. Um ponto que pertence ao plano tridimensional terá agora três coorde-
nadas xP, yP e zP. Pelo ponto P traçam-se três planos paralelos aos planos coor-
denados, formando um paralelepípedo retângulo, cujas faces interceptam os 
eixos x, y e z em xP, yP e zP, (figura 3.1).
Como já estudado nos capítulos um e dois, o eixo x continua sendo 
referenciado como eixo das abscissas, o eixo y como eixo ordenadas. O novo 
eixo z será referenciado como o eixo das cotas. O ponto P será representado 
pela tripla de números reais P(x,y,z) ou P = (x,y,z). Então, para cada ponto 
do espaço, existe uma terna que está associada ao ponto, e para cada tripla de 
números reais existe um ponto associado. Estes pontos podem estar dispostos 
no plano em uma das 8 regiões subdivididas pelas coordenadas,que recebem 
o nome de oitantes ou octantes, (figura 3.2).
Figura 3.1. Ponto P no plano cartesiano tridimensional.
z
P
y
ZP
xP
x
yP
– 37 –
Espaço tridimensional
Figura 3.2. Plano coordenado dividido em 8 regiões.
z
x y
 
As operações de soma e multiplicação por escalar, já estudados nos capí-
tulos anteriores, também são aplicadas para o sistema de três coordenadas.
3.2 Distância entre dois pontos no espaço
Sejam dois pontos P1 = (x1,y1,z1) e P2 = (x2,y2,z2). A distância entre os 
pontos é determinada por
( ) ( ) ( )2 2 22 1 2 1 2 1d x x y y z z= − + − + − (17)
Geometricamente, A distância d é a diagonal de um paralelepípedo de 
vértices opostos P1 e P2. A dedução da equação (17), também provém do teo-
rema de Pitágoras, porém aplica-se o teorema no triângulo retângulo formado 
no plano x e y, e depois no triângulo retângulo que se forma com a diagonal 
do paralelepípedo, (figura 3.3).
Figura 3.3. Distância entre dois pontos.
Z
z2 – z1
x2 – x1
y2 – y1
d
y
x
P1
P2
– 38 –
Geometria Analítica
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo que está no 
plano xy , tem-se
2 2 2
1 2 2 2 1d (x x ) (y y )= − + − 
 
2 2
1 2 2 2 1d (x x ) (y y )= − + −
Onde d1 representa a hipotenusa do triângulo retângulo que está no 
plano xy, que é equivalente ao lado da base do triângulo formado no espaço. 
Aplicando novamente o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo que está 
no espaço, obtém-se
 
2 2 2
1 2 1d d (z z )= + −
 
( )22 2 2 22 2 2 1 2 1d (x x ) (y y ) (z z )= − + − + −
 
2 2 2 2
2 2 2 1 2 1d (x x ) (y y ) (z z )= − + − + −
 ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 1 2 1 2 1d x x y y z z= − + − + −
Que está na forma da equação (17)
Exemplo 3.1. Dados os pontos A = (3,4,1) e B = (–1,0,5), determine a 
distância entre A e B.
Solução:
Substituindo as coordenadas dos pontos A e B na equação (17), deter-
mina-se a distância d
( ) ( ) ( )2 2 22 1 2 1 2 1d x x y y z z= − + − + −
( ) ( ) ( )2 2 2d ( 1) 3 0 4 5 1= − − + − + −
( ) ( ) ( )2 2 2d 4 4 4= − + − +
– 39 –
Espaço tridimensional
d 16 16 16= + +
d 48=
d = 6,92
A distância entre A e B é de 6,92u
Exemplo 3.2. Considerando um cubo de aresta igual a 5 cm. Determi-
nar a distância d entre os vértices opostos deste cubo.
Solução:
Z (cm)
P (5,5,5)
O (0,0,0) y (cm)
5
5
x (cm)
5
Para determinar a distância d entre os vértices opostos do cubo precisa-se 
das coordenadas dos dois pontos em questão. Para tal, pode-se considerar que 
um dos vértices coincide com a origem das posições O( 0,0,0). A partir da 
origem, então, marcam-se as coordenadas dos outros vértices. Como a figura 
trata-se de um cubo, todas as distâncias são iguais a 5 cm, marca-se o próximo 
vértice percorrendo 5 unidades, tanto para x, y ou z , conforme a figura.
O ponto P tem, então, coordenadas (5,5,5). Substituindo as coordena-
das dos pontos O e P na a equação (17) e resolvendo para d, tem-se
( ) ( ) ( )2 2 22 1 2 1 2 1d x x y y z z= − + − + −
( ) ( ) ( )2 2 2d 5 0 5 0 5 0= − + − + −
( ) ( ) ( )2 2 2d 5 5 5= + +
– 40 –
Geometria Analítica
d 25 25 25= + +
d 75=
d = 8,66 cm
A distância entre os vértices opostos do cubo é de 8,66 cm.
Exemplo 3.3. Mostrar se o triângulo que se forma com os pontos 
A(1,2,0), B(4,0,–1) e C(2,–1,2) é equilátero.
Solução:
A característica de um triângulo equilátero é ter os três lados com 
mesmo comprimento e três ângulos internos iguais. Assim, se seus lados têm 
o mesmo comprimento, à distância d entre os vértices do triângulo tem que 
ser a mesma.
Calculando as três distâncias dAB, dBC e dCA:
( ) ( ) ( )2 2 2AB B A B A B Ad x x y y z z= − + − + −
( ) ( ) ( )2 2 2ABd 4 1 0 2 1 0= − + − + − −
ABd 9 4 1= + +
ABd 14=
e
( ) ( ) ( )2 2 2BC C B C B C Bd x x y y z z= − + − + −
( ) ( ) ( )2 2 2BCd 2 4 1 0 2 ( 1)= − + − − + − −
BCd 4 1 9= + +
BCd 14=
– 41 –
Espaço tridimensional
e
( ) ( ) ( )2 2 2CA A C A C A Cd x x y y z z= − + − + −
( ) ( ) ( )2 2 2CAd 1 2 2 ( 1) 0 2= − + − − + −
CAd 1 9 4= + +
CAd 14=
Então, se dAB = dBC = dCA, o triângulo é equilátero.
3.3 Ponto Médio
O ponto médio, que divide um segmento de reta em dois segmentos 
iguais, no espaço tridimensional é determinado de forma análoga ao espaço 
bidimensional, levando apenas em consideração a coordenada do eixo z.
Considerando dois pontos P1 = (x1,y1z1) e P2 = (x2,y2z2) determinando o 
segmento de reta 1 2P P e um ponto M que divide o segmento de reta em dois 
segmentos de mesmo comprimento, então as coordenadas do ponto M são:
1 2
M
x x
x
2
+
=
 (18)
1 2
M
y y
y
2
+
=
 (19)
1 2
M
z z
z
2
+
=
 (20)
sendo o ponto médio dado por
M = (xM,yM,zM) (21)
Como se pode observar o par de coordenadas xM e yM são as coordenadas 
do ponto médio em um sistema bidimensional, apenas sendo incorporada a 
coordenada zM.
– 42 –
Geometria Analítica
Exemplo 3.4. Considere dois pontos A(1,2,1) e B(7,6,9). Determinar 
as coordenadas do ponto que divide o segmento AB em dois segmentos de 
mesmo comprimento.
Solução:
Substituindo as coordenadas de A e B nas equações (18), (19) e (20), 
obtém-se:
1 2
M
x x 1 7 8x 4
2 2 2
+ +
= = = =
1 2
M
y y 2 6 8y 4
2 2 2
+ +
= = = =
1 2
M
z z 1 9 10z 5
2 2 2
+ +
= = = =
O ponto é M(4,4,5).
Exemplo 3.5. Determine o ponto médio do segmento de reta que é a 
diagonal de um paralelepípedo de vértices opostos P(–2,–3,–1) e H(4,7,9).
Solução:
Substituindo as coordenadas dos pontos P e H nas equações (18), (19) e 
(20), determinam-se as coordenadas do ponto médio
1 2
M
x x 2 4 2x 1
2 2 2
+ − +
= = = =
1 2
M
y y 3 7 4y 2
2 2 2
+ − +
= = = =
1 2
M
z z 1 9 8z 4
2 2 2
+ − +
= = = =
O ponto médio é M(1,2,4).
4
Vetores
Ao longo dos anos a ciência tem passado por muitas transfor-
mações, mudanças e evoluções. São vários os motivos e difícil citar 
apenas uma causa, mas com o surgimento da física moderna, por 
exemplo, a matemática começou a receber, com mais intensidade, 
um tratamento vetorial e matricial. Com o surgimento de novas 
áreas do conhecimento, como computação gráfica e visão compu-
tacional, onde já estamos acostumados a ver imagens que se defor-
mam ou giram segundo vários eixos, há a necessidade de conhecer e 
operar a geometria analítica no plano e no espaço.
Neste capítulo abordaremos o estudo de vetores e conti-
nuaremos a fazer este estudo utilizando o tratamento geométrico e 
algébrico, para uma melhor compreensão do assunto.
– 44 –
Geometria Analítica
4.1 Definição
Em um sistema de coordenadas bidimensional ou tridimensional, 
podem-se traçar diversas retas, sendo elas paralelas, perpendiculares, ou em 
qualquer direção e sentido que se possa imaginar. Em principio imaginemos 
um conjunto de retas que são paralelas entre si, ou seja, em todos os pontos 
as retas têm a mesma distância uma da outra.
Em cada uma destas retas, podem-se marcar dois ou mais pontos e dar 
uma orientação a estes segmentos de reta. Assim se definirmos um segmento 
de reta AB com um comprimento qualquer na reta r, é de se imaginar a 
possibilidade de existir outro segmento de DE na reta s que tenha o mesmo 
comprimento e a mesma orientação do segmento AB .
Figura 4.1. Retas paralelas no espaço.
y r s
t
n
x
Figura 4.2. Segmentos orientados em retas distintas.
y r
s
B
A
E
D
x
– 45 –
Vetores
Então, em todas as retas paralelas a r podem existir uma infinidade de 
segmentos de retas que sejam iguais em comprimento e orientação ao seg-
mento AB .
Figura 4.3. Segmentos de retas com mesma direção e orientação.
y
B
A
x
Todos os segmentos de retas orientados paralelos de mesmo sentido e 
de mesmo comprimento de AB formam um conjunto de segmentos de retas 
eqüipolentes entre si, e podem ser representados por um único elemento que 
se chama vetor.
O vetor é representado geometricamente por uma flecha que tem seu 
início no ponto de origem (o ponto A) e fim na extremidade (o ponto B) do 
segmento orientado AB . O vetor será indicado pelo segmento com uma fle-
cha em cima AB
����
 ou por B – A ou ainda por uma letra minúscula com uma 
flecha sobre a letra,ex: v
→
, u
→
, a
→
 .
Figura 4.4. Representação de um vetor.
B
A
y
x
v
→
– 46 –
Geometria Analítica
Então uma das definições de vetor: é o conjunto de todos os segmentos 
de retas orientados eqüipolentes entre si.
Outra maneira de enunciar um vetor: é uma tripla constituído de 
módulo, direção e sentido.
Ao se escrever o vetor v AB=
�
 está se afirmando que o vetor v
→
 é deter-
minado pelo segmento de reta orientado AB e como qualquer outro seg-
mento de reta com a mesma direção, sentido e comprimento também é 
representado pelo vetor v
→
, então cada ponto do espaço pode ser considerado 
como o início de um vetor. Por essa razão o vetor também é chamado de vetor 
livre, pois pode ter origem em qualquer ponto no espaço, sendo transportado 
da maneira que se achar conveniente.
Se considerarmos dois pontos A e B, então existe um vetor v
→
 que repre-
senta o segmento de reta orientado AB :
v AB
→
= (22)
Fazendo o processo contrário, tendo o ponto A como origem e somando 
o vetor v
→
 obtém-se o ponto B.
A v B
→
+ = (23)
ou
v B A
→
= − (24)
e sendo B – A o próprio segmento de reta orientado AB , tem-se que 
v AB
→
= .
Se o ponto de origem for A(0,0), no plano bidimensional, ou A(0,0,0) 
se o sistema for tridimensional, por exemplo, então A coincide com a origem 
do sistema de coordenadas O, e da equação (24), fica
v B A v B O v B
→ → →
= − → = − → =
ou seja, um ponto no espaço pode ser considerado como as coordenadas de 
um vetor cuja origem coincide com a origem do sistema de coordenadas.
– 47 –
Vetores
Figura 4.5. Vetor com origem em O.
B
A
O
v
→
z
y
zP
xP
x
yP
Exemplo 4.1. Considere os pontos A (1,3) e B (3,2) · Determine o vetor 
v AB
→
= .
Solução:
O vetor v
→
 é determinado por B – A, então substituindo as coordenadas 
dos pontos A e B na equação (24), encontra-se
v B A
→
= −
v (3,2) (1,3) v (3 1,2 3) v (2, 1)
→ → →
= − → = − − → = −
O vetor encontrado é um par ordenado que representa um ponto no 
espaço, mas ligado à origem determina o vetor v
→
 geometricamente.
B
A
3
3
2
1
v
→
y
x
– 48 –
Geometria Analítica
Exemplo 4.2. Sendo o ponto A(–51) e um vetor ( )v 3,4
→
= , determinar 
o ponto B tal que, v AB
→
= .
Solução:
Considerando que o vetor é v AB
→
= , então tem origem em A, direção 
e sentido de v
→
 e extremidade em B. Substituindo as coordenadas do ponto A 
e do vetor na equação (24) e resolvendo para B,
v B A
→
= −
( ) ( ) ( )B A3,4 x ,y 5,1= − −
( ) ( ) ( )B A3,4 5,1 x ,y+ − =
( ) ( )B A2,5 x ,y− =
B = (–2,5)
4.2 Casos particulares de vetores
Serão apresentados alguns casos particulares e definições sobre veto-
res sem se preocupar com a parte matemática em princípio. O trata-
mento algébrico dará complemento aos exemplos e as discussões que se 
 apresentarão.
 2 Vetores paralelos
Dois vetores são paralelos se os seus representantes tiverem a 
mesma direção. Sejam os vetores u
→
 e v
→
, indica-se o paralelismo 
por u / / v
→ →
. Se houver mais de dois vetores com mesma direção, 
indica-se u / / v / / w / / a ...
→ → → →
– 49 –
Vetores
Figura 4.6. Vetores paralelos.
u
→
v
→
w
→
 2 Igualdade de vetores
Dois vetores são iguais se tiverem o mesmo comprimento, 
mesma direção e mesmo sentido. Considerando os vetores u
→
 
e v
→
, indica-se a igualdade por u v
→ →
= .
Figura 4.7. Vetores com mesmo comprimento, direção e sentido.
u
→
v
→
 2 Vetor nulo
O vetor nulo é aquele que a origem coincide com a extremidade, 
podendo ser representado por um ponto. O vetor nulo não tem 
direção e nem sentido definidos, então se considera paralelo a qual-
quer vetor. O vetor nulo é indicado por 0
→
 ou AA .
 2 Vetor oposto
Seja um vetor qualquer no espaço, então um vetor oposto será 
aquele que tiver o mesmo comprimento, mesma direção, mas sen-
tido contrário. Seja o vetor v
→
, indica-se o vetor opostos por v
→
− . 
Se o vetor é v AB
→
= , o vetor opostos será então BA .
– 50 –
Geometria Analítica
Figura 4.8. Vetores opostos.
v
→
– v
→
 2 Módulo de um vetor
O módulo de um vetor é um número não negativo e indica o com-
primento desse vetor. Considerando um vetor u
→
, representa-se o 
módulo de u
→
 por u
→
 ou AB .
 2 Vetor unitário
É um vetor que tem seu comprimento igual a 1, ou seja, o módulo 
é 1. Se o vetor u
→
 é unitário, então u 1
→
= .
 2 Versor
O versor de um vetor qualquer é um vetor unitário que tem a 
mesma direção e o mesmo sentido deste vetor. Se o vetor a ser con-
siderado é v
→
, então o seu versor é vers v
→
.
Figura 4.9. Versor de um vetor.
v
→
vers v
→
 2 Vetores ortogonais
Consideram-se dois vetores ortogonais se formam um ângulo 
reto, 90° entre si. Indicam-se dois vetores ortogonais por 
u v
→ →
⊥ . 
Considera-se o vetor nulo ortogonal a qualquer vetor.
– 51 –
Vetores
Figura 4.10. Vetores ortogonais.
v
→
v
→
u
→
u
→
 2 Vetores coplanares
Dois ou mais vetores são ditos coplanares se estiverem em um mesmo 
plano. Para o caso de dois vetores apenas, sempre serão coplanares e 
para o caso de três vetores, poderão ou não ser coplanares.
Figura 4.11. Vetores coplanares.
π
u
→
v
→
Exemplo 4.3. Considerando o paralelepípedo conforme figura a seguir, 
determine:
a) Um vetor igual ao vetor a AB
→
= .
b) Um vetor paralelo a b CG
→
= .
c) Um vetor ortogonal a c BF
→
= .
d) Um vetor coplanar a d DA
→
= .
– 52 –
Geometria Analítica
H
A
E
D C
F
B
G
Solução:
a) O paralelepípedo tem seus lados paralelos de mesmo comprimento, 
assim um segmento orientado igual a AB é qualquer segmento 
paralelo e com a mesma orientação, podendo ser uma das respostas 
o segmento orientado EF .
AB EF= .
b) vetor paralelo a b
→
 tem que ter a mesma direção e uma das possíveis 
soluções é o segmento orientado BF ou FB .
CG / /FB
c) O segmento ortogonal ao vetor c
→
 tem que ter um representante, 
ou pode-se imaginar um prolongamento do segmento, formando 
um ângulo de 90º. Uma das possíveis soluções é o segmento FE .
BF FE⊥
d) Os vetores coplanares estão no mesmo plano e um dos segmentos 
orientado que está no mesmo plano que o vetor d
→
 é o segmento BC .
– 53 –
Vetores
4.3 Operações com vetores
 2 Adição de vetores
Sejam dois vetores 1 1u (x ,y )
→
= e 2 2v (x ,y )
→
= . A soma dos vetores 
u
→
 e v
→
 será um terceiro vetor w
→
 que é determinado somando as 
coordenadas das abscissas e somando a coordenadas das ordena-
das, assim
1 1 2 2u v (x ,y ) (x ,y )
→ →
+ = + (25)
1 2 1 2u v (x x ,y y )
→ →
+ = + + (26)
Onde a soma x1 + x2 é igual a x3 e soma y1 + y2 é igual a y3, que são 
as coordenadas do vetor w
→
, então da equação (26), tem-se
1 2 1 2u v (x x ,y y )
→ →
+ = + +
3 3u v (x ,y )
→ →
+ = (27)
u v w
→ → →
+ = (28)
Geometricamente a soma de dois vetores é determinada fazendo o vetor 
v
→
 ter o seu início na extremidade do vetor u
→
, onde a soma que é o vetor 
w
→
 tem seu início coincidindo com o início do vetor u
→
 e sua extremidade 
coincidindo com o vetor v
→
, que é conhecido como método do polígono, com 
mostra a figura 4.12.
Pode-se considerar ainda o caso de dois vetores com mesma direção ou 
paralelos, onde o processo geométrico de adição destes dois ou mais vetores 
paralelos também é análoga a descrita acima, porém torna-se mais fácil a 
solução sendo que há apenas uma direção.
– 54 –
Geometria Analítica
Figura 4.12. Soma de dois vetores.
v
→
v
→
u
→
u
→
w
→
 = u
→
 + v
→
Figura 4.13. Adição de vetores paralelos.
v
→
v
→
u
→
u
→
w
→
Para o caso de vetores com direções diferentes ou não paralelos há o 
método geométrico para adição de vetores denominada de Método do 
 Paralelogramo. Fazendo dois vetores terem a origem comum, traçam-se linhas 
auxiliares paralelas a esses vetores em cada uma das suas extremidades, for-
mando um paralelogramo. O vetor soma terá sua origem comum aos vetores 
somados e sua extremidade será a intersecção das linhas auxiliares. O vetor 
soma será a diagonal do paralelogramo (figura 4.14).
Figura 4.14. Método do paralelogramo.v
→
v
→
u
→
u
→ u
→
v
→
w
→
Para somar mais que dois vetores, geometricamente, utiliza-se o método 
do polígono (figura 4.15).
– 55 –
Vetores
Figura 4.15. Adição de três ou mais vetores pelo método do polígono.
a) três vetores no plano
v
→
u
→
k
�
b) somando os vetores pelo método do polígono
v
→
u
→
k
�
c) resultado da soma dos vetores
v
→
u
→
k
�
w
→
Como o vetor é considerado livre, podem-se manipular geométrica-
mente estes vetores transferindo-os para posições diferentes, onde melhor se 
achar for conveniente para a soma vetorial.
– 56 –
Geometria Analítica
Existem algumas propriedades que são aplicadas para o caso de soma 
vetorial. Considerando os vetores u
→
, v
→
 e w
→
 , admite-se:
I. Comutativa: u v v u
→ → → →
+ = +
II. Associativa: (u v ) w v (u w)
→ → → → → →
+ + = + +
III. Elemento neutro: u 0 u
→ → →
+ =
IV. Elemento oposto: u ( u) 0
→ → →
+ − =
A propriedade I (comutativa) afirma que a ordem da soma não vai alte-
rar o resultado desta soma, ou seja, trocando de posição os vetores o resultado 
continua sendo o mesmo. A propriedade II (comutativa) estabelece que não 
há necessidade de seguir uma ordem para somar os vetores, podendo ser asso-
ciados de modos diferentes, tendo o mesmo resultados. A propriedade III 
(elemento neutro) estabelece um vetor nulo, do qual se somado a qualquer 
vetor terá como resultado o próprio vetor. E a propriedade IV afirma que 
há um vetor oposto de tal modo que se somado ao próprio vetor terá como 
resultado o vetor nulo.
Exemplo 4.4. Considerando os vetores u (2,5)
→
= , v ( 3, 6)
→
= − − e 
w ( 1,3)
→
= − , determinar:
a) u v
→ →
+ b) v u
→ →
+ c) w v
→ →
+ d) u v w
→ → →
+ +
Solução:
Para somar vetores devem-se somar as coordenadas que estão no 
mesmo eixo, então,
a) u v (2,5) ( 3, 6) (2 ( 3),5 ( 6)) (2 3,5 6) ( 1, 1)
→ →
+ = + − − = + − + − = − − = − −
b) v u ( 3, 6) (2,5) ( 3 2, 6 5) ( 1, 1)
→ →
+ = − − + = − + − + = − −
– 57 –
Vetores
c) w v ( 1,3) ( 3, 6) (( 1) ( 3),3 ( 6)) ( 1 3,3 6) ( 4, 3)
→ →
+ = − + − − = − + − + − = − − − = − −
d) u v w (2,5) ( 3, 6) ( 1,3) (2 ( 3) ( 1),5 ( 6) 3) ( 2,2)
→ → →
+ + = + − − + − = + − + − + − + = −
Exemplo 4.5. Considerando a figura, determine geometricamente a 
soma h u v w m z
→ → → → → →
= + + + + :
u
→
z
�
v
→
w
→
m
���
y
x
Solução:
Como a figura apresenta mais de dois vetores utiliza-se o método do 
polígono para determinar a soma vetorial. Tomando como base o vetor u
→
, tem-se 
v
→
u
→
w
→
z
�
m
���
y
x 
v
→
u
→
w
→
z
�
m
���
y
x
h
�
– 58 –
Geometria Analítica
 2 Subtração de vetores
A subtração de vetores, também conhecida como diferença de veto-
res, é um processo análogo a soma de vetores, tanto o desenvolvi-
mento analítico quanto o desenvolvimento geométrico. Então se 
considerarmos dois vetores u
→
 e v
→
, a diferença será:
u v u ( v )
→ → → →
− = + − (29)
que é a soma do vetor u
→
 com o vetor oposto de v
→
, que na inter-
pretação geométrica é de grande ajuda. Para a diferença de vetores 
não é aplicado a propriedade comutativa, ou seja, u v v u
→ → → →
− ≠ − .
Exemplo 4.6. Seja dois vetores dado por u (7,4)
→
= , v (5,1)
→
= , deter-
mine a diferença de u
→
 e v
→
 e a diferença de v
→
 e u
→
.
Solução:
Aplicando as coordenadas dos vetores na equação (29), tem-se
( ) ( ) ( ) ( )u v 7,4 5,1 7 5,4 1 2,3
→ →
− = − = − − =
e
( ) ( ) ( )v u 5,1 7,4 2, 3
→ →
− = − = − −
Como pode se observar o resultado da subtração de u
→
 e v
→
 é diferente 
do resultado da subtração de v
→
 e u
→
, ou seja, não é comutativa. Grafica-
mente, a diferença entre esses vetores u
→
 e v
→
 resolve-se primeiramente mar-
cando os vetores no plano tendo a origem em (0,0),
– 59 –
Vetores
u
→
v
→
y
x5
1
7
4
então se determina o vetor oposto de v
→
,
u
→
v
→
y
x–1
–
–5
7
4
e aplica-se a regra do polígono ou do paralelogramo.
–
u
→
v
→
y
x
– 60 –
Geometria Analítica
A ideia da soma e da subtração de vetores pode ser estendida para o 
espaço tridimensional, sendo um pouco mais difícil visualizar graficamente 
as operações, porém o procedimento é o mesmo.
 2 Multiplicação de um vetor por um escalar
Esta operação consiste em realizar uma multiplicação de um 
número real por um vetor, tendo como resultado outro vetor, que 
será maior, menor, igual, oposto ou não, ao vetor dado, tendo uma 
dependência apenas do escalar escolhido. Seja o vetor ( )u x,y
→
= , 
e um número real k, chame-se de produto por um escalar o vetor 
k u
→
⋅ , tal que
( ) ( )k u k x,y k x,k y
→
⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ (30)
A direção do novo vetor k u
→
⋅ será o mesmo do vetor dado u
→
, mas 
o sentido do vetor resultante k u
→
⋅ depende do sinal de k: se k > 0 
(positivo) o vetor k u
→
⋅ terá o mesmo sentido de u
→
, se k < 0 (nega-
tivo) o vetor k u
→
⋅ terá sentido contrário.
Exemplo 4.7. Sejam os vetores ( )u 2,5
→
= e ( )v 5,6
→
= determinar 2 u 3 v
→ →
⋅ + :
Solução:
Na expressão 2 u 3 v
→ →
⋅ + deve-se primeiramente realizar os produtos 
escalares e então somar esses resultados.
( ) ( )2 u 3 v 2 2,5 3 5,6
→ →
⋅ + = ⋅ + ⋅
( ) ( )2 u 3 v 4,10 15,18
→ →
⋅ + = +
( )2 u 3 v 19,28
→ →
⋅ + =
– 61 –
Vetores
Exemplo 4.8. Representar graficamente o vetor:
a) ( )u 2,3
→
= e k u
→
⋅ sendo k = 3:
b) ( )v 1,4
→
= − e k v
→
⋅ sendo k = –2:
Solução:
a) 
u
→
y
x2
3
6
9 u
→
k
b) 
v
→
y
2
4
–8
–1
u
→
k
Pode-se observar que no exemplo a ao multiplicar o vetor pelo escalar 
3, o vetor triplicou seu tamanho e manteve a mesma direção e sentido. No 
exemplo b ao multiplicar o vetor pelo escalar -2 teve seu tamanho dobrado, 
manteve a mesma direção, mas o sentido do vetor mudou.
5
Vetores no plano 
e no espaço
Será feita uma abordagem sobre os vetores nos planos bidi-
mensional e tridimensional simultaneamente, dando continuidade 
ao já visto até o momento e continuaremos a fazer este estudo uti-
lizando-se o tratamento geométrico e algébrico, para uma melhor 
compreensão do assunto.
– 64 –
Geometria Analítica
5.1 Vetores no plano
Pode-se escrever qualquer vetor como função de outros vetores não para-
lelos. A isto se dá o nome de combinação linear, ou seja, uma combinação de 
dois vetores pode gerar um terceiro vetor. De modo geral dado dois veto-
res quaisquer 1v
→
 e 2v
→
, existe apenas uma dupla de números reais tal que
1 1 2 2v a v a v
→ → →
= + (31)
onde a1 e a2 são escalares que pertencem aos reais.
Figura 5.1. Combinação linear de dois vetores.
1v
→
2v
→
2v
→
a2
1v
→
a1
v
→
Se o vetor v
→
 é expresso como na equação (31), diz-se que v
→
 é combina-
ção linear de 1 1a v
→
 e 2 2a v
→
. O conjunto de vetores { }1 2B v ,v→ →= é denomina-
mos de base do plano, onde qualquer conjunto de dois vetores não paralelos 
forma uma base no plano. Os números a1 e a2 são chamamos de componentes 
ou coordenadas de v
→
 na base B.
Uma base e dita ortonormal se os seus vetores forem ortogonais (perpen-
diculares) e unitários. Na prática as bases mais utilizadas são as ortonormais e 
cada par de vetores perpendiculares forma uma base ortonormal, porém entre 
as infinitas bases ortonormais existentes, uma é particularmente importante; 
a base que determina o sistema cartesiano ortogonal xOy.
– 65 –
Vetores no plano e no espaço
5.2 Base canônica
O sistema cartesiano ortogonal xOy é determinado pela base dita canônica. 
Os vetores ortogonais e unitários que representam os eixos dos x e y são respec-
tivamente denotados por i e j, cuja origem se encontra em O e as extremida-
des em (1,0) e (0,1) respectivamente. Então a base canônica é { }B i , j→ →= , onde 
i = (1,0) e j = (1,0).
Figura 5.2. Base canônica do sistema x e y.
y
(0,1)
(0,1)
x
2v
→
j
2v
→
i
Pode-se escrever qualquer vetor no plano através da combinação linear 
dos versores i e j, ou seja, o vetor no plano é representado por um par orde-
nado (x,y) de números reais, que é a expressão analítica do vetor,
( )v x,y v x i y j
→ → → →
= → = + (32)
Figura 5.3. Vetor no plano.y
x
2v
→
j
2v
→
y j
2v
→
i 2v
→
x i
v
→
A equação (32) representa duas formas de escrever um vetor: usando 
os pares ordenados (expressão analítica) ou como combinação linear de i e j 
(expressão cartesiana).
– 66 –
Geometria Analítica
Exemplo 5.1. Sendo o vetor ( )v 3,5
→
= , escrever na expressão cartesiana.
Solução:
Sendo as coordenadas do vetor x = 3 e y = 5, e aplicando a equação (32)
v x i y j
→ → →
= +
v 3 i 5 j
→ → →
= +
5.3 Operações com vetores no plano
Os vetores podem ser representados e operados em suas formas geomé-
tricas, o que ajuda consideravelmente na interpretação, no entanto se estas 
operações forem realizadas algebricamente, obtém-se uma maior precisão nos 
resultados e maior quantidade de informações (módulo, direção e sentido).
 2 Módulo de um vetor
O módulo de um vetor expressa o comprimento ou a magnitude 
desse vetor. Para calcular o módulo de um vetor a partir de suas coor-
denadas, considera-se um vetor qualquer dado por v x i y j
→ → →
= + , 
que geométricamente forma um triângulo retângulo de lados x, y e 
v
→
. Utilizando o teorema de Pitágoras, tem
2 2v x y
→
= + (33)
Figura 5.4. Módulo do vetor.
y
y
y
xx
x
v
→
v
→
– 67 –
Vetores no plano e no espaço
Como o módulo determina o valor absoluto do vetor podem-se ter veto-
res diferentes, no entanto apresentando o mesmo módulo.
Exemplo 5.2. Determinar o módulo do vetor v 3 i 4 j
→ → →
= − + .
Solução:
Aplicando as coordenadas do vetor na equação (33),
2 2v x y
→
= +
2 2v ( 3) 4
→
= − +
v 9 16
→
= +
v 25
→
=
v 5
→
=
O comprimento do vetor é de 5u.
Exemplo 5.3. Dado os vetores v 5 i 2 j
→ → →
= + e u 3 i 3 j
→ → →
= − − ,determi-
nar o módulo de 2 v 3u
→ →
− .
Solução:
Substituindo as coordenadas dos vetores na expressão e resolvendo a 
operação do produto do vetor por uma escalar e somando as coordenadas que 
estão na direção i, e também somando as coordenadas que estão na direção j
2 v 3u 2 (5 i 2 j ) 3 ( 3 i 3 j )
→ → → → → →
− = ⋅ + − ⋅ − −
2 v 3u 10 i 4 j 9 i 9 j
→ → → → → →
− = + + +
2 v 3u 19 i 13 j
→ → → →
− = +
– 68 –
Geometria Analítica
Aplicando a equação (33) para determinar o módulo do vetor resultante
2 22 v 3u 19 13
→ →
− = +
2 v 3u 361 169
→ →
− = +
2 v 3u 530
→ →
− =
2 v 3u 23,021
→ →
− =
O comprimento do vetor resultante é de aproximadamente 23u.
 2 Vetor unitário
Um vetor é dito unitário quando seu módulo for igual a 1. Consi-
derando o vetor v x i y j
→ → →
= + , então dizer que esse vetor é unitário 
implica em
2 2 2 2 2 yv x y 1 x y 1 x y
→
= + → = + → = +
As coordenadas de qualquer vetor unitário fazem parte do intervalo 
–1 < x,y < 1. Se por exemplo uma das coordenadas do vetor unitá-
rio for igual a 1, a outra obrigatoriamente tem que ser zero.
 2 Versor de um vetor
Sendo um vetor v 0
→
≠ , define-se versor de v
→
 o vetor unitário de 
mesma direção e sentido de v
→
. Pode-se determinar o versor de 
qualquer vetor, utilizando a expressão
vvers v
v
→
→
→= (34)
Este versor vers v
→
é versor de todos os vetores múltiplos de v
→
 e que 
tiverem o mesmo sentido.
– 69 –
Vetores no plano e no espaço
Figura 5.5. Versor de v
→
.
y
y
xx
v
→
vers v
→
Exemplo 5.4. Determinar o versor do vetor v 2 i 4 j
→ → →
= + :
Solução:
Como o cálculo do versor depende do módulo do vetor v
→
, então pri-
meiro calcula-se o módulo.
2 2 2 2v x y 2 4 4 16 20 4,47
→
= + = + = + = ≈
Aplica-se esse resultado na equação (34) para a determinação do versor
vvers v
v
→
→
→=
2 i 4 j 4 j2 ivers v 0,45 i 0,89 j
4,47 4,47 4,47
→ → →→
→ → →+
= = + ≈ +
vers v 0,45 i 0,89 j
→ → →
≈ +
– 70 –
Geometria Analítica
Graficamente fica
y
4
x2
0,89
0,45
v
→
vers v
→
Exemplo 5.5. Determinar o versor da soma a b
→ →
+ , sendo a 2 i 4 j
→ → →
= − + 
e b 3 i 5 j
→ → →
= + .
Solução:
Resolvendo a soma dos vetores a e b, tem
a b 2 i 4 j 3 i 5 j
→ → → → → →   + = − + + +   
   
a b 1 i 9 j
→ → → →
+ = +
Determinando o módulo da soma
2 2a b 1 9 1 81 82 9,05
→ →
+ = + = + = ≈
Aplicando a equação (34), determina-se o versor da soma
a bvers a b
a b
→ →
→ →
→ →
+ + = 
 
+
– 71 –
Vetores no plano e no espaço
1 i 9 j
vers a b
9,05
→ →
→ → + + = 
 
vers a b 0,11 i 0,94 j
→ → → → + ≈ + 
 
 2 Paralelismo de dois vetores
 A condição para que dois vetores sejam paralelos é de que suas 
componentes sejam proporcionais, ou seja, considerando dois 
vetores 1 1u (x ,y )
→
= e 2 2v (x ,y )
→
= , dever existir um número real k 
tal que
u k v
→ →
= ⋅ (35)
substituindo as coordenadas dos vetores em (35), chega-se
1 2 2 2 1 2 2 2u k v (x ,y ) k (x ,y ) (x ,y ) (k x ,k y )
→ →
= ⋅ → = ⋅ → = ⋅ ⋅
e pela igualdade de vetores tem-se
x1 = k · x2 e y1 = k · y2
isolando a variável k em cada uma das expressões determinas-se 
uma razão entre as coordenadas, sendo igual ao número real k. 
Como o valor de k é igual para as duas expressões, obtém-se então 
a condição de paralelismo de dois vetores
1 1
2 2
x y
k
x y
= = (36)
ou seja, a razão entre 1
2
x
x
 é igual a razão 1
2
y
y
 que é igual a uma 
constante k.
Exemplo 5.6. Dados os vetores u 10 i 6 j
→ → →
= − e v 20 i 12 j
→ → →
= − verifi-
car se os mesmos são paralelos.
– 72 –
Geometria Analítica
Solução:
Se os vetores forem paralelos, então a razão entre as coordenadas do eixo 
x e a razão entre as coordenadas do eixo y devem ter o mesmo resultado.
1
2
x 10 1
x 20 2
= = e 1
2
y 6 1
y 12 2
−
= =
−
Então
1 1
2 2
x y
k
x y
= =
1 1 k
2 2
= =
Logo os vetores u
→
 e v
→
 são paralelos
5.4 Vetores no espaço
De forma semelhante ao estudado no plano, em que a base canônica 
{ }i , j→ → determina o plano cartesiano xOy, no espaço há existência de uma 
terceira coordenada para efetivar a base canônica { }i , j , k→ → → , onde os conjuntos 
desses três vetores ortogonais dois a dois determinam o espaço tridimensional.
Figura 5.6. Sistema cartesiano ortogonal.
2v
→
j
2v
→
k
2v
→
i
y
z
x
– 73 –
Vetores no plano e no espaço
Qualquer vetor no espaço pode ser, então, representado como com-
binação linear dos vetores unitários i, j e k, e um determinado vetor 
v x i y j z k
→ → → →
= + + também pode ser expresso por ( )v x,y,z
→
= que e a 
expressão analítica de v
→
. Assim cada ponto P = (x,y,z) no espaço corresponde 
a um vetor OP de origem em O e extremidade P onde as próprias coordena-
das do ponto são as coordenadas do vetor v
→
: v OP (x,y,z)
→
= = .
Figura 5.7. Ponto P no espaço.
2v
→
y j
2v
→
x i
2v
→
z k
2v
→
j
2v
→
k
2v
→
i
P
z
y
x
v
→
Para melhor exemplificar, se o ponto P tem coordenadas (3,1,2), então o 
vetor pode ser escrito como v OP (3,2,1) 3 i 2 j 1k
→ → → →
= = = + +
Cada dupla de vetores da base e cada dupla de eixos determina um plano 
coordenado, assim formam-se três planos coordenados: o plano xOy ou xy, o 
plano xOz ou xz, o plano yOz ou yz. Considerando a figura 5.8 que mostra 
um paralelepípedo formado por pontos no espaço, é feita algumas considera-
ções a estes pontos e como referenciá-las aos vetores:
– 74 –
Geometria Analítica
Figura 5.8. Pontos no espaço que formam um paralelepípedo.
O
A
E D
C
F
B
G
z
y
x
I. O ponto A tem coordenadas A = (x,0,0).
II. O ponto B tem coordenadas B = (x,y,0).
III. O ponto C tem coordenadas C = (0,y,0).
IV. O ponto D tem coordenadas D = (0,y,z).
V. O ponto E tem coordenadas E = (0,0,z).
VI. O ponto F tem coordenadas F = (x,0,z).
VII. O ponto G tem coordenadas G = (x,y,z).
Pode-se observar que os pontos A,C e E são pontos que pertencem aos 
eixos x, y e z respectivamente, ou seja, um ponto que pertença somente ao 
eixo y, por exemplo, terá suas coordenadas dadas por uma tripla (0,y,0).
Os pontos B, D e F, são pontos que pertencem aos planos xy, yz e xz 
respectivamente. Então o ponto que está no plano xz terá suas coordenadas 
dadas por uma tripla (x,0,z).
Conclui-se então que, se uma das coordenadas é zero, o ponto pertence 
a um plano e que se duas coordenadas forem zero o ponto pertence a um eixo.– 75 –
Vetores no plano e no espaço
5.5 Operações com vetores no espaço
As definições das operações com vetores no espaço são análogas as feitas 
no plano, diferenciando apenas pela inclusão de mais uma coordenada.
Seja dois vetores ( )1 1 1u x ,y ,z
→
= e ( )2 2 2v x ,y ,z
→
= , e k,α ∈ R, então 
são definidas as operações:
 2 Igualdade de vetores:
u v
→ →
= se, e somente se 1 2 1 2 1 2x x ,y y ,z z= = = .
 2 Soma de vetores:
( )1 2 1 2 1 2u v x x ,y y ,z z
→ →
+ = + + +
 2 Multiplicação de um vetor por um escalar:
( )1 1 1k u k x ,k y ,k z
→
⋅ = ⋅ ⋅ ⋅
 2 Módulo de um vetor:
2 2 2
1 1 1u x y z
→
= + +
 2 Vetores paralelos:
u / / v
→ →
 então u v
→ →
= α ⋅ ou 
1 1 1
2 2 2
x y z
x y z
= =
Exemplo 5.7. Determinar o módulo do vetor v 2 i 3 j 6 k
→ → → →
= + + .
Solução:
2 2 2 2 2 2v x y z 2 3 6 4 9 36 49 7
→
= + + = + + = + + = =
– 76 –
Geometria Analítica
Exemplo 5.8. Dados os vetores ( )a 2,3,5
→
= , ( )b 1,4,3
→
= − e ( )c 0,1,0
→
=  , 
determine:
a) a b c
→ → →
+ +
b) a b c
→ → →
− − −
c) 12 a 3 b c
2
→ → →
− +
Solução:
a) ( ) ( ) ( )a b c 2,3,5 1,4,3 0,1,0
→ → →
+ + = + − +
( )a b c 2 1 0,3 4 1,5 3 0
→ → →
+ + = − + + + + +
( )a b c 1,8,8
→ → →
+ + =
b) ( ) ( ) ( )a b c 2,3,5 1,4,3 0,1,0
→ → →
− − − = − − − −
( )a b c 2 1 0, 3 4 1, 5 3 0
→ → →
− − − = − + − − − − − − −
( )a b c 1, 8, 8
→ → →
− − − = − − −
c) ( ) ( ) ( )1 12 a 3 b c 2 2,3,5 3 1,4,3 0,1,0
2 2
→ → →
− + = ⋅ − ⋅ − +
( ) ( )1 12 a 3 b c 4,6,10 3,12,9 0, ,0
2 2
→ → →  − + = − − +  
 
1 12 a 3 b c 4 3 0,6 12 ,10 9 0
2 2
→ → →  − + = + + + + − + 
 
1 372 a 3 b c 7, ,1
2 2
→ → →  − + =  
 
– 77 –
Vetores no plano e no espaço
Exemplo 5.9. Sendo o vetor ( )v 3,7,1
→
= e ( )w 6,10,4
→
= , determinar o 
vetor u
→
 , sabendo que: v 2 u w u
→ → → →
+ = − .
Solução:
Como o vetor a ser determinado é o vetor u
→
, então se isola este vetor 
e substituem-se as coordenadas dos outros vetores na equação, realizando as 
operações necessárias.
v 2 u w u
→ → → →
+ = −
v 2 u u w u u
→ → → → → →
+ + = − +
v 3u w
→ → →
+ =
v 3u v w v
→ → → → →
+ − = −
3u w v
→ → →
= −
w vu
3
→ →
→ −
=
( ) ( )6,10,4 3,7,1
u
3
→ −
=
( )6 3,10 7,4 1
u
3
→ − − −
=
( )3,3,3
u
3
→
=
( )u 1,1,1
→
=
6
Produto escalar
Neste capítulo será abordado o produto escalar que traba-
lha questões pertinentes ao ângulo de vetores, projeções de vetores. 
Estes conteúdos serão utilizados posteriormente em produto veto-
rial e misto, que possuem várias interpretações geométricas.
Para um melhor entendimento sobre produto escalar devem-
-se conhecer os conceitos iniciais de vetores. Tais conceitos são apli-
cados na determinação de ângulos entre vetores, no estudo da reta e 
do plano, projeções além de aplicações em outras áreas.
– 80 –
Geometria Analítica
6.1 Definição algébrica do produto escalar
Denomina-se produto escalar de dois vetores 1 1 1u x i y j z k
→ → → →
= + + e 
2 2 2v x i y j z k
→ → → →
= + + , ao número real
1 2 1 2 1 2u v x x y y z z
→ →
⋅ = + + (37)
O produto escalar de u
→
 por v
→
 é representado por u v
→ →
⋅ ou u, v
→ →
 e 
se lê u
→
 escalar v
→
.
Exemplo 6.1. Dados os vetores u 2 i 3 j 5k
→ → → →
= + + e v 4 i 3 j 1k
→ → → →
= − −  , 
determinar o produto escalar entre os vetores u
→
 e v
→
.
Solução:
Substituindo-se as coordenadas dos vetores na equação (37), tem-se
1 2 1 2 1 2u v x x y y z z
→ →
⋅ = + +
u v 2 4 3 ( 3) 5 ( 1)
→ →
⋅ = ⋅ + ⋅ − + ⋅ −
u v 8 9 5
→ →
⋅ = − −
u v 6
→ →
⋅ = −
Exemplo 6.2. Sejam os vetores u 3 i 5 j k
→ → → →
= − + + e v 3 i 2 j 2 k
→ → → →
= − +  , 
determinar:
a) u v u v
→ → → →   + ⋅ −   
   
b) v v
→ →
⋅
c) u u
→ →
⋅
– 81 –
Produto escalar
Solução:
a) Primeiramente resolve-se a soma entre os vetores e em seguida 
aplica-se a definição do produto escalar com as novas coordenadas 
encontradas
u v 3 i 5 j k 3 i 2 j 2 k 0 i 2 j 3 k 2 j 3 k
→ → → → → → → → → → → → →     + = − + + + − + = + + = +     
     
u v 3 i 5 j k 3 i 2 j 2 k 0 i 2 j 3 k 2 j 3 k
→ → → → → → → → → → → → →     + = − + + + − + = + + = +     
     
u v 3 i 5 j k 3 i 2 j 2 k 6 i 7 j k 6 i 7 j k
→ → → → → → → → → → → → → →     − = − + + − − + = − + − = − + −     
     
u v 3 i 5 j k 3 i 2 j 2 k 6 i 7 j k 6 i 7 j k
→ → → → → → → → → → → → → →     − = − + + − − + = − + − = − + −     
     
u v u v 0 ( 6) 2 7 3 ( 1) 0 14 3 11
→ → → →   + ⋅ − = ⋅ − + ⋅ + ⋅ − = + − =   
   
b) Substituindo as coordenadas do vetor v 3 i 2 j 2 k
→ → → →
= − + na equa-
ção (37), obtém-se
v v x x y y z z 3 3 ( 2) ( 2) 2 2 9 4 4 17
→ →
⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + − ⋅ − + ⋅ = + + =
c) Substituindo as coordenadas do vetor u 3 i 5 j k
→ → → →
= − + + na equa-
ção (37), obtém-se
u u x x y y z z ( 3) ( 3) 5 5 1 1 9 25 1 35
→ →
⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ = − ⋅ − + ⋅ + ⋅ = + + =
6.2 Propriedades do produto escalar
Considerando-se os vetores u
→
, v
→
e w
→
 e um número real k, verifica-se que:
– 82 –
Geometria Analítica
 2 u v v u
→ → → →
⋅ = ⋅
O produto escalar não se altera ao se inverter a ordem dos 
vetores.
 2 u v w u v u w
→ → → → → → → ⋅ + = ⋅ + ⋅ 
 
No produto escalar de um vetor por uma soma vetorial, pode-se 
aplicar a propriedade distributiva e resolver o produto escalar de 
cada termo, somando seus resultados.
 2 k u v k u v u k v
→ → → → → →     ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅     
     
Na multiplicação de um escalar (número real) pelo produto escalar 
de dois vetores, pode-se multiplicar somente um dos vetores pelo 
escalar antes e depois resolver o produto escalar.
 2 u u 0 ,se u (0,0,0)
→ → →
⋅ > ≠
O produto de um vetor por ele mesmo será sempre um número 
positivo, se o vetor for não nulo.
 2 u u 0 ,se u (0,0,0)
→ → →
⋅ = =
Se o produto de um vetor por ele mesmo é zero, implica que o 
vetor é nulo.
 2
2u u u
→ → →
⋅ =
O produto de um vetor por ele mesmo é o quadrado do módulo 
do vetor.
– 83 –
Produto escalar
Exemplo 6.3. Sendo u 3
→
= , v 5
→
= e u v 10
→ →
⋅ = , determinar 
2 u 6 v 5u 4 v
→ → → →   + ⋅ −   
   
:
Solução:
Aplica-se a propriedade distributiva
2 u 6 v 5u 4 v 2 u 5u 2 u ( 4 v ) 6 v 5u 6 v ( 4 v )
→ → → → → → → → → → → →   + ⋅ − = ⋅ + ⋅ − + ⋅ + ⋅ −   
   
2 u 6 v 5u 4 v 10u u 8u v 30 v u 24 v v
→ → → → → → → → → → → →   + ⋅ − = ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅   
   
2 22 u 6 v 5u 4 v 10 u 8u v 30 v u 24 v
→ → → → → → → → → →   + ⋅ − = − ⋅ + ⋅ −   
   
2 22 u 6 v 5u 4 v 10 3 8 10 30 10 24 5
→ → → →   + ⋅ − = ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅   
   
2 u 6 v 5u 4 v 90 80 300 240
→ → → →   + ⋅ − = − + −   
   
2 u 6 v 5u 4 v 70
→ → → →   + ⋅ − =   
   
6.3 Definição geométrica de produto escalar
Sejam dois vetores no espaço u
→
 e v
→
 que formam um ângulo q entre si, 
conforme a figura 6.1. Para fechar um triângulo deve-se criar um vetor dado 
por u v
→ →
− .
– 84 –
Geometria Analítica
Figura 6.1. Triângulo formado por três vetores.
u
→
u
→
v
→
v
→
qq
u v
→ →
−
A lei dos cossenos a2 = b2 + c2 – 2 · b · c · cos q · é uma fórmula para se 
calcular o lado a que é oposto ao ângulo de referência. Como o triângulo da 
figura 6.1 é formado por vetores, usa-se o módulo dos vetores para represen-
tarem os lados. Aplica-se a então a lei dos cossenos ao triângulo,
2 2 2u v u v 2 u v cos
→ → → → → →
− = + − ⋅ ⋅ ⋅ θ (38)
Desenvolvendo o produto notável no primeiro membro
2 2 2 2u 2 u v v u v 2 u v cos
→ → → → → → → →
− ⋅ ⋅ + = + − ⋅ ⋅ ⋅ θ (39)
Que resulta em
u v u v cos
→ → → →
⋅ = ⋅ ⋅ θ (40)
A equação (40) é também a definição do produto escalar, com o ângulo 
estando entre 0 e 180°, ou seja, 0º ≤ q ≤ 180º.
Exemplo 6.4. Sendo u 4
→
= , v 3
→
= e o ângulo entre os vetores 
120º, determinar:
a) u v
→ →
⋅
b) u v
→ →
+
c) u v
→ →
−
– 85 –
Produto escalar
Solução:
a) Como os valores dos módulos dos vetores e o ângulo entre os veto-
res são conhecidos, substitui-se na equação (40).
1u v u v cos 4 3 cos120 4 36
2
→ → → →  ⋅ = ⋅ ⋅ θ = ⋅ ⋅ ° = ⋅ ⋅ − = − 
 
b) Aplica-se o produto notável quadrado da soma, substituindo então 
os valores que são conhecidos
2 2 2u v u 2 u v v
→ → → → → →
+ = + ⋅ ⋅ +
2 2 2u v 4 2 ( 6) 3
→ →
+ = + ⋅ − +
2u v 16 12 9
→ →
+ = − +
2u v 13
→ →
+ =
u v 13
→ →
+ =
c) De forma análoga resolve-se pelo quadrado da diferença
2 2 2u v u 2 u v v
→ → → → → →
− = − ⋅ ⋅ +
2 2 2u v 4 2 ( 6) 3
→ →
− = − ⋅ − +
2u v 16 12 9
→ →
− = + +
2u v 37
→ →
− =
– 86 –
Geometria Analítica
u v 37
→ →
− =
Uma observação que vale a pena ressaltar é em relação ao sinal do pro-
duto escalar: quando o resultado for positivo, negativo ou nulo.
I. u v 0 (positivo) cos 0 (positivo) 0 90
→ →
⋅ > ⇔ θ > ⇔ ° ≤ θ < °
O produto escalar será um número positivo, se e somente se, o 
ângulo entre os vetores for maior ou igual a zero e menor que 
noventa graus.
II. u v 0 (negativo) cos 0 (negativo) 90 180
→ →
⋅ < ⇔ θ < ⇔ ° < θ ≤ °
O produto escalar será um número negativo, se e somente se, o 
ângulo entre os vetores for maior que noventa graus e menor ou 
igual a cento e oitenta graus.
III. u v 0 (nulo) cos 0 (nulo) 90
→ →
⋅ = ⇔ θ = ⇔ θ = °
O produto escalar será nulo, se e somente se, o ângulo entre os 
vetores for igual a noventa graus.
Das afirmações apresentadas, a última determina a condição de ortogo-
nalidade de dois vetores, ou seja, dois vetores são ortogonais se e somente se 
o produto escalar entre eles for zero.
Exemplo 6.5. Mostrar se os vetores u 1 i 2 j 3 k
→ → → →
= − + e v 4 i 5 j 2 k
→ → → →
= + + 
são ortogonais:
Solução:
A forma de mostrar que dois vetores são ortogonais é aplicando a 
 DEFINIÇÃO do produto escalar para os dois vetores e verificando se o resul-
tado é zero, pois se for zero implica em ter o ângulo igual a 90°. Aplicando a 
equação (37) para as coordenadas dos vetores
1 2 1 2 1 2u v x x y y z z
→ →
⋅ = + +
– 87 –
Produto escalar
u v 1 4 ( 2) 5 3 2
→ →
⋅ = ⋅ + − ⋅ + ⋅
u v 4 10 6
→ →
⋅ = − +
u v 0
→ →
⋅ =
Desta forma, conclui-se que os vetores são ortogonais.
6.4 Ângulo entre dois vetores
Para se calcular o ângulo entre dois vetores utiliza-se a definição do pro-
duto escalar isolando o fator cos q. Sejam dois vetores, não nulos, no espaço 
u
→
 e v
→
 que formam um ângulo q entre si, e da definição do produto escalar 
dada pela equação u v u v cos
→ → → →
⋅ = ⋅ ⋅ θ , isola-se cos q, obtendo-se
u vcos
u v
→ →
→ →
⋅
θ =
⋅
 (41)
Exemplo 6.6. Sejam os vetores u 2 i 2 j 8k
→ → → →
= + + e 
v 2 i 4 j 4 k
→ → → →
= − + +  , determinar o ângulo entre u
→
 e v
→
.
Solução:
Determina-se o produto escalar entre os vetores pela equação (37), o 
módulo de cada vetor e aplicam-se os resultados na equação (41).
Cálculo do módulo dos vetores u
→
 e v
→
2 2 2 2 2 2u x y z 2 2 8 4 4 64 72 6 2
→
= + + = + + = + + = =
2 2 2 2 2 2v x y z ( 2) 4 4 4 16 16 36 6
→
= + + = − + + = + + = =
Cálculo do produto escalar entre u
→
 e v
→
– 88 –
Geometria Analítica
u v 2 ( 2) 2 4 8 4 4 8 32 36
→ →
⋅ = ⋅ − + ⋅ + ⋅ = − + + =
Cálculo do ângulo entre u
→
 e v
→
u v 36 36 1 2cos
26 2 6 36 2 2u v
→ →
→ →
⋅
θ = = = = =
⋅⋅
Para se determinar o ângulo q entre dois vetores, é necessário consultar 
uma tabela trigonométrica ou fazer uso de uma calculadora científica. Logo
2arc cos 45
2
 
θ = = ° 
 
Exemplo 6.7. Sendo os vetores u (m, 5,0)
→
= − , v (1,2,3)
→
= e o ângulo 
entre os vetores igual a 90°, determinar o valor de m.
Solução:
Substituindo as coordenadas dos vetores e o ângulo na equação (41)
u vcos
u v
→ →
→ →
⋅
θ =
⋅
( ) ( )m, 5,0 1,2,3
cos90
u v
→ →
− ⋅
° =
⋅
m 1 ( 5) 2 0 30
u v
→ →
⋅ + − ⋅ + ⋅
=
⋅
0 u v m 10 0
→ →
⋅ ⋅ = − +
0 = m – 10
m = 10
– 89 –
Produto escalar
6.5 Ângulos diretores e cossenos diretores de um vetor
Os ângulos diretores de um vetor v
→
 são as menores medidas dos ângu-
los α, β e λ que o vetor forma com os eixos cartesianos x, y e z, respectiva-
mente. São ângulos que estão compreendidos de 0 a 180°, ou seja, 0º ≤ α, β, 
λ ≤ 180°, como se pode observar na figura 6.2.
Figura 6.2 Ângulos diretores de um vetor v
→
.
iv
→
jv
→
kv
→
α
β
λ
y
x
z
v
→
Os cossenos diretores do vetor são os cossenos de seus ângulos direto-
res, ou seja, cos α, cos β e cos λ. Para determinar os ângulos e os cossenos 
diretores, utiliza-se a equação (41) que calcula o ângulo entre dois vetores 
não-nulos.
Sendo o vetor v x i y j z k
→ → → →
= + + , então a projeção do vetor sobre cada 
um dos eixos são os vetores 1v x i
→ →
= na direção x, 2v y j
→ →
= na direção 
y e 3v z k
→ →
= na direção z (combinação linear de um vetor). Aplicando a 
equação (41) para os pares de vetores v
→
 e 1v
→
, v
→
 e 2v
→
, v
→
 e 3v
→
, encontra-se
1
1
v v x x xcos cos cos
v v v x v
→ →
→ → → →
⋅ ⋅
α = → α = → α =
⋅ ⋅
– 90 –
Geometria Analítica
2
2
v v y y y
cos cos cos
v v v y v
→ →
→ → → →
⋅ ⋅
β = → β = → β =
⋅ ⋅
3
3
v v z z zcos cos cos
v v v z v
→ →
→ → → →
⋅ ⋅
λ = → λ = → λ =
⋅ ⋅
Então os cossenos diretores do vetor são determinados por:
xcos a
v
→α =
 (42)
y
cos
v
→β =
 (43)
zcos
v
→λ =
 (44)
Comparando estes resultados com a definição do versor de um vetor v
→
 
que é determinado por 
vvers v
v
→
→
→= , pode-se dizer então que os cossenos 
diretores do vetor v
→
 são as componentes do versor de v
→
, ou seja,
( ) ( )x,y,z yv x zvers v , , cos ,cos ,cos
v v v v v
→
→
→ → → → →
 
 = = = = α β λ
 
 
Como o versor é um vetor unitário, obtém-se: 
cos2 α +cos2 β + cos2 λ = 1 (45)
– 91 –
Produto escalar
Exemplo 6.8. Determinar os ângulos diretores do vetor v 1 i 1 j
→ → →
= − .
Solução:
Determinando o módulo do vetor v
→
2 2 2 2 2 2v x y z 1 ( 1) 0 1 1 0 2
→
= + + = + − + = + + =
Utilizando as equações (42), (43) e (44), tem-se
x 1 1cos arc cos 45
2 2v
→α = = → α = = °
y 1 1cos arc cos 135
2 2v
→
− −
β = = → β = = °
z 0cos 0 arc cos0 90
2v
→λ = = = → λ = = °
Exemplo 6.9. Os ângulos diretores de um vetor são 45º, 60º, λ. Deter-
minar o valor de λ.
Solução:
Aplicando a equação (45), utilizando os valores dos ângulos fornecidos 
no enunciado e resolvendo para λ, encontra-se o valor do ângulo pedido
cos2 α +cos2 β + cos2 λ = 1
cos2 45º +cos2 60º + cos2 λ = 1
Usando o recurso de uma calculadora científica ou uma tabela trigono-
métrica, fica,
2 2
22 1 cos 1
2 2
   + + λ =   
   
22 1 cos 1
4 4
+ + λ =
– 92 –
Geometria Analítica
Isolando o fator cos2 λ,
2 2 1cos 1
4 4
λ = − −
2 4 2 1cos
4
− −
λ =
2 1cos
4
λ =
Extraímos a raiz quadrada dos dois membros da equação. Deve-se adi-
cionar o sinal de ±, pois o resultado da potência admite dois valores como 
resposta: um positivo e um negativo.
1cos
4
λ = ±
1cos
2
λ = ±
Logo o ângulo pode ser λ = 60º para o resultado positivo do cosseno e 
λ – 120º para o valor negativo do cosseno.
Exemplo 6.10. Determinar as coordenadas do vetor v
→
 conforme indica 
a figura.
jv
→
λ
y60º
45º
x
z
| v
→
 | = 2
– 93 –
Produto escalar
Solução:
Sendo ( )v x,y,z
→
= o vetor procurado e de acordo com a figura os 
ângulos diretores α = 60º, α = 45º, utiliza-se a equação (42) e (43) determi-
nando as coordenadas x e y.
x x 1 xcos cos60 x 1
2 2 2v
→α = → ° = → = → =
y y y2cos cos 45 y 2
2 2 2v
→β = → ° = → = → =
Aplicando a definição do módulo do vetor determina-se a coordenada z.
2 2 2v x y z
→
= + +
( )22 22 1 2 z= + +
22 1 2 z= + +
( )22 22 3 z= +
4 = 3 + z2
z2 = 4 – 3
z2 = 1
z 1= ±
z – ± 1
– 94 –
Geometria Analítica
Portanto, o vetor v
→
 poderia ter sua coordenada z igual a +1 ou –1, mas 
como de acordo com a figura o vetor está no primeiro octante usa-se o valor 
positivo: ( )v 1, 2,1→ = .
6.6 Projeção de um vetor sobre outro
Considerando os vetores u
→
 e v
→
 não nulos e um ângulo q entre eles. 
Decompondo o v
→
 vetor sobre o vetor u
→
, de tal modo que 1v / / u
→ →
 e 2v u
→ →
⊥ .
Figura 6.3. Projeção de um vetor sobre outro.
u
→u
→
v
→
v
→
1v
→
1v
→
2
qq
O vetor 1v
→
 definido como projeção ortogonal de v
→