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C le ve rs on A le ss an dr o Th oa ld o G eo m et ri a A na lít ic a Cleverson Alessandro Thoaldo Geometria Analítica Passo a passo Curitiba 2015 Cleverson Alessandro Thoaldo Geometria Analítica Passo a passo Ficha Catalográfica elaborada pela Fael. Bibliotecária – Cassiana Souza CRB9/1501 T449g Thoaldo, Cleverson Alessandro Geometria analítica / Cleverson Alessandro Thoaldo. – Curitiba: Fael, 2015. 186 p.: il. ISBN 978-85-60531-21-9 1. Geometria analítica I. Título CDD 516.3 Direitos desta edição reservados à Fael. É proibida a reprodução total ou parcial desta obra sem autorização expressa da Fael. FAEL Direção Acadêmica Francisco Carlos Sardo Coordenação Editorial Raquel Andrade Lorenz Projeto Gráfico Sandro Niemicz Imagem da Capa Shutterstock.com/ALEXANDER LEONOV Arte-Final Evelyn Caroline dos Santos Betim Apresentação Existe uma pergunta que os alunos geralmente fazem para os professores quando estudam conceitos matemáticos: ‘onde vou usar isso?’ A resposta a esta pergunta depende muito do entendimento do aluno em relação ao assunto. As aplicações da matemática em outras áreas do conhecimento são muitas, porém, aplicar os assun- tos matemáticos na prática requer conhecimento e entendimento da teoria matemática. Os conceitos de Geometria analítica têm muitas aplicação em Física, Engenharia, Arquitetura e áreas com- putacionais. Um caso simples que pode ser comentado é o sistema de GPS que se utiliza de coordenadas retangulares para localizar pontos no espaço. No estudo da Geometria analítica há uma interdependên- cia entre Álgebra, Geometria Plana e Geometria Espacial, possibi- – 4 – Geometria Analítica litando um estudo de figuras geométricas ou a interpretação geométrica das relações algébricas, assim, sempre que possível, pode-se fazer a construção de figuras para uma melhor visualização das possíveis soluções dos problemas. A Geometria Analítica que estudamos hoje teve início com as contribuições decisivas feitas no século XVII pelos matemáticos franceses René Descartes e Pierre de Fermat como a origem essencial do assunto, onde eram apresenta- das as ideias fundamentais sobre a resolução de problemas através de álgebra. A álgebra e geometria eram tratadas de maneira separada e Descartes em seu livro, o Discurso do Método, que foi publicado em 1637, uniu essas duas áreas do conhecimento matemático. Pierre de Fermat, com seus estudos no campo das equações, que representavam curvas no plano, também teve seus créditos na construção da Geometria Analítica. A Geometria Analítica não teve um único criador e sim várias pessoas que contribuíram ao longo dos anos e que também merecem crédito, respeito e admi- ração. Todas essas ideias somam-se e nos dão a descoberta da Geometria Analítica que torna algumas situações do nosso dia a dia mais facilmente representadas. Uma das maiores qualidades da Geometria Analítica é o desenvolvimento do raciocínio geométrico e a visão espacial. Para que isso ocorra, deve-se levar em conta que o aluno terá que dedicar tempo para as atividades e leitura, e quanto mais tempo disponível mais rápido será a compreensão dos temas. Este trabalho tem como objetivo ser um facilitador para o estudante onde ele possa se basear e estudar, reduzindo suas dificuldades. Os conceitos mate- máticos que são mostrados são seguidos de exemplos e, por vezes, de figuras para que o estudante possa entender e aprimorar com mais facilidade o tema. Bons Estudos! O autor. Sumário 1 Espaço Unidimensional | 7 2 Espaço bidimensional | 21 3 Espaço tridimensional | 35 4 Vetores | 43 5 Vetores no plano e no espaço | 63 6 Produto escalar | 79 7 Produto vetorial | 97 8 Produto Misto | 111 9 A Reta | 121 10 O Plano | 137 11 Distâncias | 153 12 Cônicas e Quádricas | 161 Referências | 185 1 Espaço Unidimensional No estudo da Geometria analítica há um entrelaçamento entre Álgebra, Geometria Plana e Geometria Espacial, possibili- tando um estudo de figuras geométricas ou a interpretação geomé- trica das relações algébricas. Assim, sempre que possível, pode-se fazer a construção de figuras para uma melhor visualização das pos- síveis soluções dos problemas. – 8 – Geometria Analítica Neste primeiro capítulo será abordado o sistema de coordenadas em uma dimensão, que é uma base para se estudar o sistema de coordenadas cartesianas retangulares de duas e três dimensões. Há, além destes, outros modelos de sis- temas, que por vezes, se necessita utilizar. 1.1 Ponto, reta e plano A geometria euclidiana utiliza-se de uma ideia intuitiva de ponto e a par- tir dele formam-se a ideia de retas e planos. Estes elementos são denominados elementos primitivos, e são aceitos sem definição: 2 Ponto: é um elemento que não tem partes, ou que não tem gran- deza. Pode-se imaginar um ponto como algo muito pequeno no espaço, uma estrela no céu, por exemplo. O ponto será represen- tado pelas letras maiúsculas do nosso alfabeto (A, B, C, ...). 2 Reta: é um conjuntos de infinitos pontos alinhados que tem com- primento nem largura. Uma corda esticada pode ser tratada como um pedaço de reta. Representa-se a reta usando as letras minúsculas do nosso alfabeto (a,b,c,...). 2 Plano: é um conjunto de infinitos pontos e retas. Três pontos não alinhados determinam plano. Se uma reta contém dois pontos de um plano, esta reta está totalmente contida neste plano. Uma superfície de uma parede pode ser vista como um plano, por exem- plo. Representa-se o plano por letras minúsculas do alfabeto grego (α, γ, θ,...). Neste capítulo serão estudados apenas os conceitos sobre pontos no espaço unidimensional. Nos próximos capítulos serão abordados os assuntos referentes a planos. 1.2 Reta orientada e ponto Como já foi mencionado, a reta é um conjunto infinito de pontos que estão alinhados em uma direção. Uma reta é dita orientada quando se esta- belece um sentido positivo. O sentido contrário é então o negativo. Normal- – 9 – Espaço Unidimensional mente adota-se o sentido positivo para a direita e o sentido negativo para a esquerda quando a reta está na direção horizontal, e o sentido positivo para cima e negativo para baixo, quando a reta está direção vertical. Figura 1.1. Reta orientada horizontal e vertical. + +– – r r r O sentido é representado por uma seta e a reta é referenciada por uma letra minúscula, como mostrada na (figura 1.1) em que foi referenciada por r. Esta reta orientada r também pode ser chamada de eixo. Se imaginarmos dois pontos A e B pertencem a uma reta r, ou ao eixo r, podem-se definir alguns atributos a estes dois pontos: direção, sentido e comprimento. Escolhendo primeiro o ponto A e depois o ponto B, obtém-se um segmento orientado AB , com origem em A e extremidade B (figura 1.2). Figura 1.2. Segmento de reta orientado. +– r BA Escolhendo primeiro o ponto B e depois o ponto A, obtém-se o seg- mento orientado BA , (figura 1.3). Figura 1.3. Segmento orientado BA. +– r BA – 10 – Geometria Analítica A partir da escolha de uma ordem dos pontos A e B, a direção do seg- mento de reta orientado é definida como a direção da própria reta r que contém os pontos. O sentido do segmento orientado depende da ordem de escolha dos pontos A e B, podendo ser um número real positivo ou negativo. O comprimento do segmento orientado é a distância entre A e B e é um número real positivo. A esta medida algébrica pode ser associada uma uni- dade de comprimento, como centímetro, metro, etc. Para não se preocupar com as medidas a serem usadas adota-se uma unidade de comprimento u. Os segmentos orientados AB e BA tem o mesmo comprimento, mas senti- dos opostos. Exemplo 1.1. Considerando os pontos A e B pertencentes a reta r con- forme a figura, determinar a direção, o sentido e o comprimento do seg- mento: +– r BA a) AB b) BA Solução: a) O segmento de reta AB tem origem em A e extremidade em B. b) A direção é a mesma da reta r, ou seja, neste caso é horizontal.
