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C le ve rs on A le ss an dr o Th oa ld o G eo m et ri a A na lít ic a Cleverson Alessandro Thoaldo Geometria Analítica Passo a passo Curitiba 2015 Cleverson Alessandro Thoaldo Geometria Analítica Passo a passo Ficha Catalográfica elaborada pela Fael. Bibliotecária – Cassiana Souza CRB9/1501 T449g Thoaldo, Cleverson Alessandro Geometria analítica / Cleverson Alessandro Thoaldo. – Curitiba: Fael, 2015. 186 p.: il. ISBN 978-85-60531-21-9 1. Geometria analítica I. Título CDD 516.3 Direitos desta edição reservados à Fael. É proibida a reprodução total ou parcial desta obra sem autorização expressa da Fael. FAEL Direção Acadêmica Francisco Carlos Sardo Coordenação Editorial Raquel Andrade Lorenz Projeto Gráfico Sandro Niemicz Imagem da Capa Shutterstock.com/ALEXANDER LEONOV Arte-Final Evelyn Caroline dos Santos Betim Apresentação Existe uma pergunta que os alunos geralmente fazem para os professores quando estudam conceitos matemáticos: ‘onde vou usar isso?’ A resposta a esta pergunta depende muito do entendimento do aluno em relação ao assunto. As aplicações da matemática em outras áreas do conhecimento são muitas, porém, aplicar os assun- tos matemáticos na prática requer conhecimento e entendimento da teoria matemática. Os conceitos de Geometria analítica têm muitas aplicação em Física, Engenharia, Arquitetura e áreas com- putacionais. Um caso simples que pode ser comentado é o sistema de GPS que se utiliza de coordenadas retangulares para localizar pontos no espaço. No estudo da Geometria analítica há uma interdependên- cia entre Álgebra, Geometria Plana e Geometria Espacial, possibi- – 4 – Geometria Analítica litando um estudo de figuras geométricas ou a interpretação geométrica das relações algébricas, assim, sempre que possível, pode-se fazer a construção de figuras para uma melhor visualização das possíveis soluções dos problemas. A Geometria Analítica que estudamos hoje teve início com as contribuições decisivas feitas no século XVII pelos matemáticos franceses René Descartes e Pierre de Fermat como a origem essencial do assunto, onde eram apresenta- das as ideias fundamentais sobre a resolução de problemas através de álgebra. A álgebra e geometria eram tratadas de maneira separada e Descartes em seu livro, o Discurso do Método, que foi publicado em 1637, uniu essas duas áreas do conhecimento matemático. Pierre de Fermat, com seus estudos no campo das equações, que representavam curvas no plano, também teve seus créditos na construção da Geometria Analítica. A Geometria Analítica não teve um único criador e sim várias pessoas que contribuíram ao longo dos anos e que também merecem crédito, respeito e admi- ração. Todas essas ideias somam-se e nos dão a descoberta da Geometria Analítica que torna algumas situações do nosso dia a dia mais facilmente representadas. Uma das maiores qualidades da Geometria Analítica é o desenvolvimento do raciocínio geométrico e a visão espacial. Para que isso ocorra, deve-se levar em conta que o aluno terá que dedicar tempo para as atividades e leitura, e quanto mais tempo disponível mais rápido será a compreensão dos temas. Este trabalho tem como objetivo ser um facilitador para o estudante onde ele possa se basear e estudar, reduzindo suas dificuldades. Os conceitos mate- máticos que são mostrados são seguidos de exemplos e, por vezes, de figuras para que o estudante possa entender e aprimorar com mais facilidade o tema. Bons Estudos! O autor. Sumário 1 Espaço Unidimensional | 7 2 Espaço bidimensional | 21 3 Espaço tridimensional | 35 4 Vetores | 43 5 Vetores no plano e no espaço | 63 6 Produto escalar | 79 7 Produto vetorial | 97 8 Produto Misto | 111 9 A Reta | 121 10 O Plano | 137 11 Distâncias | 153 12 Cônicas e Quádricas | 161 Referências | 185 1 Espaço Unidimensional No estudo da Geometria analítica há um entrelaçamento entre Álgebra, Geometria Plana e Geometria Espacial, possibili- tando um estudo de figuras geométricas ou a interpretação geomé- trica das relações algébricas. Assim, sempre que possível, pode-se fazer a construção de figuras para uma melhor visualização das pos- síveis soluções dos problemas. – 8 – Geometria Analítica Neste primeiro capítulo será abordado o sistema de coordenadas em uma dimensão, que é uma base para se estudar o sistema de coordenadas cartesianas retangulares de duas e três dimensões. Há, além destes, outros modelos de sis- temas, que por vezes, se necessita utilizar. 1.1 Ponto, reta e plano A geometria euclidiana utiliza-se de uma ideia intuitiva de ponto e a par- tir dele formam-se a ideia de retas e planos. Estes elementos são denominados elementos primitivos, e são aceitos sem definição: 2 Ponto: é um elemento que não tem partes, ou que não tem gran- deza. Pode-se imaginar um ponto como algo muito pequeno no espaço, uma estrela no céu, por exemplo. O ponto será represen- tado pelas letras maiúsculas do nosso alfabeto (A, B, C, ...). 2 Reta: é um conjuntos de infinitos pontos alinhados que tem com- primento nem largura. Uma corda esticada pode ser tratada como um pedaço de reta. Representa-se a reta usando as letras minúsculas do nosso alfabeto (a,b,c,...). 2 Plano: é um conjunto de infinitos pontos e retas. Três pontos não alinhados determinam plano. Se uma reta contém dois pontos de um plano, esta reta está totalmente contida neste plano. Uma superfície de uma parede pode ser vista como um plano, por exem- plo. Representa-se o plano por letras minúsculas do alfabeto grego (α, γ, θ,...). Neste capítulo serão estudados apenas os conceitos sobre pontos no espaço unidimensional. Nos próximos capítulos serão abordados os assuntos referentes a planos. 1.2 Reta orientada e ponto Como já foi mencionado, a reta é um conjunto infinito de pontos que estão alinhados em uma direção. Uma reta é dita orientada quando se esta- belece um sentido positivo. O sentido contrário é então o negativo. Normal- – 9 – Espaço Unidimensional mente adota-se o sentido positivo para a direita e o sentido negativo para a esquerda quando a reta está na direção horizontal, e o sentido positivo para cima e negativo para baixo, quando a reta está direção vertical. Figura 1.1. Reta orientada horizontal e vertical. + +– – r r r O sentido é representado por uma seta e a reta é referenciada por uma letra minúscula, como mostrada na (figura 1.1) em que foi referenciada por r. Esta reta orientada r também pode ser chamada de eixo. Se imaginarmos dois pontos A e B pertencem a uma reta r, ou ao eixo r, podem-se definir alguns atributos a estes dois pontos: direção, sentido e comprimento. Escolhendo primeiro o ponto A e depois o ponto B, obtém-se um segmento orientado AB , com origem em A e extremidade B (figura 1.2). Figura 1.2. Segmento de reta orientado. +– r BA Escolhendo primeiro o ponto B e depois o ponto A, obtém-se o seg- mento orientado BA , (figura 1.3). Figura 1.3. Segmento orientado BA. +– r BA – 10 – Geometria Analítica A partir da escolha de uma ordem dos pontos A e B, a direção do seg- mento de reta orientado é definida como a direção da própria reta r que contém os pontos. O sentido do segmento orientado depende da ordem de escolha dos pontos A e B, podendo ser um número real positivo ou negativo. O comprimento do segmento orientado é a distância entre A e B e é um número real positivo. A esta medida algébrica pode ser associada uma uni- dade de comprimento, como centímetro, metro, etc. Para não se preocupar com as medidas a serem usadas adota-se uma unidade de comprimento u. Os segmentos orientados AB e BA tem o mesmo comprimento, mas senti- dos opostos. Exemplo 1.1. Considerando os pontos A e B pertencentes a reta r con- forme a figura, determinar a direção, o sentido e o comprimento do seg- mento: +– r BA a) AB b) BA Solução: a) O segmento de reta AB tem origem em A e extremidade em B. b) A direção é a mesma da reta r, ou seja, neste caso é horizontal.O comprimento está associado à unidade de comprimento u que é a graduação utilizada na reta. O ponto A está a 6 espaços de B, ou seja, o comprimento é de 6u (seis unidades de medida). O sentido depende da escolha dos pontos, então é de A para B ou no sentido da esquerda para a direita, ou ainda no sentido posi- tivo. Também se determina o sentido utilizando o sinal positivo ou negativo associado ao comprimento, logo + 6u, que representa a medida algébrica do segmento. – 11 – Espaço Unidimensional c) O segmento de reta BA agora tem origem em B e extremidade em A. d) A direção continua sendo a mesma da reta r que também é hori- zontal. A distância do ponto B ao ponto A são de 6 espaços, então o com- primento é de 6u (seis unidades de medida). O sentido é de B para A e agora da direita para a esquerda ou no sentido negativo. Em termos das unidades o sentido é representado por –6u. Exemplo 1.2. Sejam três pontos A, B, C pertencentes a reta s conforme a figura, determinar a o comprimento e o sentido dos segmentos: +– s BCA a) BA b) BC c) CA Solução: a) O segmento orientado BA tem origem em B e extremidade em A, a distância entre os pontos B e A é de 9 unidades, seu comprimento é 9u, e o sentido é –9u. b) segmento orientado BC tem origem em B e extremidade em C e a distância entre os pontos B e C é de 3 unidades, seu comprimento é 3u, e o sentido é –3u. c) O segmento orientado CA tem origem em C e extremidade em A, a distância entre os pontos C e A é de 6 unidades, ou seja, seu comprimento é 6u, e o sentido é –6u. – 12 – Geometria Analítica 1.3 Razão simples de três pontos Sendo três pontos A, B e P pertencentes a uma reta r, denomina-se a razão simples entre eles, nesta ordem, o quociente entre AP por BP represen- tado por (ABP). ( ) APABP BP = (1) A razão simples (ABP) terá um valor positivo se o ponto P for externo ao segmento AB, se o ponto P for interno a razão assumirá um valor negativo. Exemplo 1.3. Considerando três ponto A, B e P pertencentes a reta r, conforme a figura, determinar a razão (ABP) . +– r BPA Solução: O segmento orientado AP tem medida algébrica igual a +6u. O segmento orientado BP tem medida algébrica igual a – 3u. A razão simples (ABP) será então: ( ) AP 6ABP 2 3BP + = = = − − Exemplo 1.4. Determine a razão (ABC), conforme indica a figura: +– r CBA Solução: O segmento orientado AC tem medida algébrica igual a +6u. O segmento orientado BC tem medida algébrica igual a +3u. – 13 – Espaço Unidimensional A razão simples (ABC) é: ( ) AC 6ABC 2 3BC + = = = + + Como se pode observar no exemplo 1.3 o ponto P está interno ao seg- mento AB e o resultado encontrado para a razão simples foi um valor nega- tivo. Já no exemplo 1.4 o ponto está fora do segmento de reta orientado no qual foi determinado um valor positivo para a razão simples. Há ainda dois casos que merecem atenção. Quando o ponto que divide o segmento em uma razão simples coincidir com o ponto de origem do seg- mento ou quando for o ponto médio do segmento de reta. 2 Se três pontos A, B e P pertencem a reta r e o ponto P divide o segmento AB em uma razão (ABP), com P ≡ A (P idêntico a A), a razão simples é nula: ( ) AP 0ABP 0 BP BP = = = 2 Se três pontos A, B e P pertencem a reta r e o ponto P divide o seg- mento AB em uma razão (ABP), com P ≡ M (P idêntico ao ponto médio M), a razão simples é -1: ( ) AP APABP 1 BP -AP = = = − 1.4 Abscissas na reta Considerando uma reta r e um ponto O pertencente à reta. Este ponto divide a reta em duas semirretas, uma positiva e outra negativa. O ponto O é chamado de origem e a partir do ponto O se fixa uma unidade de comprimento. Figura 1.4. Reta r com origem O. +– r O – 14 – Geometria Analítica É definido como sendo a abscissa x de um ponto P pertencente à reta r, a medida algébrica do segmento orientado OP. A medida algébrica do seg- mento terá um valor positivo se pertencer à semirreta positiva e terá um valor negativo se pertencer à semirreta negativa. Figura 1.5. Valores positivos e negativos na reta r. +– r O –5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 Este eixo será referenciado como eixo das abscissas ou também eixo x. Os pontos que pertencem ao eixo podem ser representados, então, por uma coorde- nada, que determina a posição do ponto no eixo em relação à origem O do eixo. Se considerarmos um ponto P com abscissa x, pode-se representar o ponto por P(x). Exemplo 1.5. Dada a reta r, determinar o valor da abscissa correspon- dente aos pontos A, B e C. +– r O C AB –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 Solução: O ponto A tem o lugar geométrico na coordenada +6, logo a abscissa de A é +6, ou A(+6). A abscissa de B é –3, ou B(–3). A abscissa de C é +1, ou C(+1). Exemplo 1.6. Quais são os pontos que correspondem às abscissas –1, –9, +5, +7 , respectivamente? +– OC ABD H FE –4–8–9 –3–7 –2–6 –1–5 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 Solução: O ponto cuja abscissa é -1 é o ponto E. O ponto cuja abscissa é -9 é o ponto C. O ponto cuja abscissa é +5 é o ponto A. O ponto cuja abscissa é +7 é o ponto F. – 15 – Espaço Unidimensional 1.5 Distância entre dois pontos Considerando dois pontos A cuja abscissa xa e B cuja abscissa xb, ou em outra notação A (xa) e B (xb), a distância entre os pontos A e B pode ser tra- tado como o comprimento entre esses pontos, sendo então um número real positivo. Para garantir que o resultado seja um número positivo, calcula-se o valor absoluto ou o módulo da diferença entre as coordenadas, AB B Ad x x= − (2) Mesmo se o ponto de origem adotado for o ponto B e depois o A, o resultado que será encontrado também será um número positivo. Exemplo 1.7. Sejam dados dois pontos A (12) e B (18), calcular a dis- tância entre o ponto A e o ponto B, e a distância entre o ponto B e o ponto A. A B 151110 1612 1713 1814 19 20 Solução: Considerando a unidade uma unidade de medida u, calcula-se a distân- cia entre A e B aplicando a equação (2), logo: AB B Ad x x= − ABd 18 12= − ABd 6= + ABd 6= u De forma análoga, determina-se a distância entre B e A: BA A Bd x x= − BAd 12 18= − BAd 6= − BAd 6= u – 16 – Geometria Analítica Exemplo 1.8. Dadas as abscissas xA = –5, xB = –1 e xC = 0, determinar: a) A distância do ponto A ao ponto B b) A distância do ponto A ao ponto C c) A distância do ponto C ao ponto B CBA –5 –4 –3 –2 –1 0 1 Solução: Nestes exemplos deve-se ficar atento no momento dos cálculos, pois o fato da abscissa ser um número negativo pode levar a um erro no momento da substituição dos valores das abscissas na equação (2). a) A distância do ponto A ao ponto B é: AB B Ad x x= − ABd ( 1) ( 5)= − − − ABd 1 5= − + ABd 4= + ABd 4= u b) A distância do ponto A ao ponto C é: AC C Ad x x= − ACd 0 ( 5)= − − ACd 0 5= + ACd 5= + ACd 5= u – 17 – Espaço Unidimensional c) A distância do ponto C ao ponto B é: CB B Cd x x= − CBd ( 1) 0= − − CBd 1= − CBd 1= u 1.6 Ponto médio O ponto que divide um segmento de reta em dois segmentos de retas de mesmo comprimento é chamado de ponto médio. Sejam dois pontos A (xA) e B (xB), pertencentes ao eixo x e o ponto médio M (xM), então os segmentos orientados são iguais AM MB= (3) O segmento AM tem o seu valor numérico dado M – A, e o segmento MB tem o seu valor numérico dado por B – M. Substituindo em (3), M – A = B – M (4) Substituindo os pontos pelos valores das respectivas abscissas em (4), xM – xA = xB – xM (5) Isolando a variável xM xM + xM = xB + xA (6) 2 · xM = xB + xA (7) Portanto, determina-se o valor de x do ponto médio por B A M x x x 2 + = (8) – 18 – Geometria Analítica A equação (8) mostra que, para encontrar a coordenada do ponto médio de um segmento, basta somar as coordenadas das extremidades deste seg- mento e dividir por dois. Exemplo 1.9. Determinar o ponto médio dos pontos P e Q. QP 510 62 73 84 9 Solução: Primeiramente resolvendo de uma maneira intuitiva, percebe-se que do ponto P até o ponto Q existem seis espaços, ou seis unidades de comprimento. Logo,o ponto médio M deve dividir o segmento PQ em dois segmentos de mesmo comprimento, ficando assim três espaços para cada segmento. Cami- nhando três unidades a partir do ponto P para a direita, chega-se na abscissa +4. Caminhando três unidade a partir do ponto Q para a esquerda, chega-se também na abscissa +4. Resumindo, o ponto médio M tem abscissa +4. Resol- vendo o problema usando a definição do ponto médio, equação (8), obtém-se: Q P M x x x 2 + = Substituindo os valores das abscissas dos pontos P e Q e resolvendo a equação, M 7 1x 2 + = M 8x 2 = xM = 4 O ponto médio M tem abscissa +4, ou na outra notação, M(xM) = M(+4). QP 510 62 73 84 9 M Exemplo 1.10. Encontrar a abscissa do ponto médio do segmento AB, dado os pontos A (–14) e B (–3). – 19 – Espaço Unidimensional Solução: Aplicando a equação (8), substituem-se os valores das abscissas xA = –14 e xB = –3, não se esquecendo de manter o sinal negativo de cada abscissa, resolvendo para xM, B A M x x x 2 + = M ( 3) ( 14)x 2 − + − = M 3 14x 2 − − = M 17x 2 − = xM = –8,5 Exemplo 1.11. Seja um segmento de reta AB e um ponto C, que divide o segmento AB em dois segmentos de mesmo comprimento, pertencentes à reta r. Sendo a abscissa de A igual a +4 e a abscissa de C igual a +7, determinar o valor da abscissa de B. Solução: Para um melhor entendimento da questão representam-se os pontos, mencionados no exemplo, em uma reta r com suas coordenadas. Primeiro marcamos um ponto A sobre a reta r. r A Para se obter o segmento de reta AB marca-se o ponto B na reta, porém pode-se imaginar duas situações: o ponto B pode estar a esquerda de A ou a direita de A. Em qualquer uma destas situações a origem é o ponto A e a extremidade é o ponto B, determinando-se o segmento de reta AB . r AB B – 20 – Geometria Analítica Levado em consideração que o ponto C é o ponto médio e tem que estar entre os pontos A e B, comparam-se então as coordenadas de A e C, anali- sando se a abscissa do ponto C é um número maior ou menor que a abscissa do ponto A. Se maior então o ponto C deve estar a direita de A, se menor então o ponto C deve estar a esquerda de A. r A CB B xA xC > xA xC xB r ACB B xA xC < xA xCxB Neste exemplo xC = +7 e xA = +4, então +7 > +4, que significa que o ponto C, que tem coordenada maior, tem que estar à direita do ponto A. r BCA xB74 Substituindo as coordenadas dos pontos e resolvendo a equação (8), espera- se, então, encontrar uma coordenada que esteja a direita da coordenada +7. B A M x x x 2 + = Bx 47 2 + = Isolando a variável xB, 2 · 7 = xB + 4 14 = xB + 4 14 – 4= xB xB = 10 Como era de se esperar, a coordenada xB = 10 é maior que a coordenada xC. 2 Espaço bidimensional Na prática, utilizamos o sistema cartesiano bidimensional e tridimensional em várias situações do nosso dia a dia, tanto para posicionar ou localizar pontos, partículas, pessoas ou lugares. Um bom exemplo disso é o dispositivo muito sofisticado GPS, que é um sistema de posicionamento global. Outra aplicação desses sistemas é a determinação de posição de aeronaves em espaços aéreos, na qual há a necessidade de muita precisão. Neste capítulo serão abordados os conceitos já vistos no capítulo anterior, estendendo as ideias para o sistema bidimensional, junto com novos conceitos. – 22 – Geometria Analítica 2.1. Plano cartesiano O sistema cartesiano ortogonal bidimensional é formado por duas retas ortogonais, ou seja, duas retas que formam um ângulo de 90º, também cha- madas de retas perpendiculares. A uma das retas chamamos de x ou eixo x (eixo das abscissas), a outra reta de y, ou eixo y (eixo das ordenadas). A intersecção dos eixos x e y determina um ponto denominado de ori- gem. Por convenção adota-se como a parte positiva do eixo x a semirreta do lado direito da origem, sendo a semirreta do lado esquerdo da origem, a parte negativa do eixo x. Para o eixo y adota-se a semirreta acima do eixo x como positiva e abaixo negativa (figura 2.1). Então os valores das abscissas e das ordenadas devem ter o sinal positivo ou negativo, dependendo do eixo em que estiver contida a coordenada. Figura 2.1. Plano cartesiano ortogonal. x y + + – – Um ponto qualquer que pertence ao plano cartesiano é representado por um par ordenado (x, y), sendo que x e y são as coordenadas em seus respectivos eixos. Assim fica definido o ponto P por suas coordenadas cartesianas ou coordenadas retangulares, podendo ser representado por P = (x,y) ou P(x,y). – 23 – Espaço bidimensional Figura 2.2. Ponto no plano cartesiano ortogonal. xx y y P(x,y) Logo, dado um par de números reais, pode-se representar no plano um ponto correspondente. Há então uma correspondência bijetiva entre pontos do plano e par de números reais. Alguns casos merecem ser tratados com mais atenção: 2 Se o ponto está ou é a origem P = O = (0,0) 2 Se o ponto está contido no eixo das abscissas, terá ordenada nula P = (x,0) 2 Se o ponto está contido no eixo das ordenadas, terá abscissa nula P = (0,y) Figura 2.3. Ponto P pertencente aos eixos x e y. xx y P(x,0) x y P(0,y) – 24 – Geometria Analítica Exemplo 2.1. Marcar os pontos A (2,3), B (-3,1), C (-2,-2) e D (0,-4) no plano cartesiano. Solução: Em um plano cartesiano, com espaçamentos iguais de unidade u, marca-se o ponto A, determinado pelas coordenadas da abscissa xA = 2e da ordenada yA = 3, traçam-se retas perpendiculares sobre cada um dos eixos, determinando, na intersecção das retas, o ponto A. 0 –2 –2 –1 –1 –4 –4 –3 –3 2 2 1 1 4 y A 3 4 5 x 3 Para os pontos B e C segue-se de maneira análoga. Apenas para o ponto D não há necessidade de traçar as retas perpendiculares, pois o ponto tem uma das coordenadas nulas o que indica que já está sobre um dos eixos. – 25 – Espaço bidimensional y A B C D x0– 2 – 2 – 1 – 1 – 4 – 4 – 3 – 3 2 2 1 1 4 3 4 53 Exemplo 2.2. Determinar as coordenadas dos pontos P, Q, H, M e N na figura abaixo: P H Q N M y x0– 2 – 2 – 1 – 1 – 4 – 4 – 3 – 3 2 2 1 1 4 3 4 53 – 26 – Geometria Analítica Solução: De acordo com o plano cartesiano as coordenadas dos pontos são: O ponto P tem abscissa 1 e ordenada 4, P (1,4). 2 O ponto Q tem abscissa – 4 e ordenada – 3, Q(-4,-3). 2 O ponto H tem abscissa 4 e ordenada – 1, H(4,-1). 2 O ponto M tem abscissa – 3 e ordenada 3, M(-3,3). 2 O ponto N tem abscissa 2 e ordenada – 3, N(2,-3). 2.2. Operações com pares ordenados Os pares ordenados dos pontos em um plano cartesiano são números reais, logo as operações de soma, subtração, multiplicação e divisão, também podem ser aplicadas aos pares ordenados da mesma forma que se aplicam as regras em qualquer equação, apenas respeitando o eixo a que cada núme- ro pertence. Se considerarmos um ponto P1 de coordenadas (x1,y1) e um ponto P2 de coordenadas (x2,y2), define-se: Adição ( )1 2 1 1 2 2 1 2 1 2P P x ,y (x ,y ) (x x ,y y )+ = + = + + (9) Devem-se somar as coordenadas das abscissas e também somar as coordenadas das ordenadas. Nesta operação não se pode somar x com y. 2 Multiplicação por um número real k ( )1 1 1 1 1k P k x ,y (k x ,k y )⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ (10) Ao multiplicar as coordenadas por um número real, aplica-se a pro- priedade distributiva aos pares ordenados. 2 Igualdade de dois pares ordenados ( )1 2 1 1 2 2 1 2P P x ,y (x ,y ) x x= → = ⇔ = e 1 2y y= (11) – 27 – Espaço bidimensional Dois pares serão iguais se e somente se as suas coordenadas forem iguais, respectivamente. Exemplo 2.3. Qual a soma dos pares ordenados (5,6) e (4,12)? Solução: Fazendo a soma das coordenas das abscissas e a soma das coordenadas das ordenadas, respectivamente ( )1 1 2 2 1 2 1 2x ,y (x ,y ) (x x ,y y )+ = + + ( )1 1 2 2x ,y (x ,y ) (5 4,6 12)+ = + + ( )1 1 2 2x ,y (x ,y ) (9,18)+ = Exemplo 2.4. Sendo três pontos A(-2,5), B(2,-3) e C(-1,4), determinar a soma A+B+C: Solução: Apesar de se ter três pares de coordenadas, o método para a soma conti- nuasendo o mesmo, realizando a soma com os valores do eixo x e realizando a soma com os valores do eixo y. 1 1 2 2 3 3A B C (x ,y ) (x ,y ) (x ,y )+ + = + + A B C ( 2,5) (2, 3) ( 1,4)+ + = − + − + − A B C (( 2) 2 ( 1),5 ( 3) 4)+ + = − + + − + − + A B C ( 2 2 1,5 3 4)+ + = − + − − + A B C ( 1,6)+ + = − Exemplo 2.5. Seja um ponto P pertencente ao plano cartesiano, com abscissa igual a 8 e ordenada igual a -5, e um número real k igual a 6. Deter- minar o produto entre o par ordenado e o escalar k. – 28 – Geometria Analítica Solução: Considerando o par ordenado dado (8,-5) e escalar 6, aplica-se a pro- priedade distributiva ( )1 1 1 1 1k P k x ,y (k x ,k y )⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ 1k P 6 (8, 5)⋅ = ⋅ − 1k P (6 8,6 ( 5))⋅ = ⋅ ⋅ − 1k P (48, 30)⋅ = − Exemplo 2.6. Qual deve ser o escalar k para que o produto de k pelo par ordenado (2,8) resulte no par ordenado (10,40)? Solução: Primeiro multiplica-se o escalar k pelo par ordenado (2,8) ( )1 1 1 1k x ,y (k x ,k y )⋅ = ⋅ ⋅ ( )k 2, 8 (k 2, k 8)⋅ = ⋅ ⋅ Como o resultado desta multiplicação deve ser igual ao par ordenado (10, 40), aplica-se a igualdade de dois pares ordenados, ficando ( )1 1 2 2 1 2x ,y (x ,y ) x x= ⇔ = e 1 2y y= ( )k 2,k 8 (10,40) k 2 10⋅ ⋅ = ⇔ ⋅ = e k 8 40⋅ = k 5= 2.3. Distância entre dois pontos Consideremos dois pontos P1 e P2 no plano bidimensional com coor- denadas (x1,y1) e (x2,y2). Geometricamente marcam-se os pontos no plano utilizando-se de segmentos de retas auxiliares paralelas aos eixos x e y, e na interseção determinam-se os pontos P1 e P2. – 29 – Espaço bidimensional Figura 2.4. Pontos no plano cartesiano ortogonal. x y2 y1 P1 P2 x2x1 y Prolongam-se as semirretas paralelas aos eixos x e y, traça-se um segmento de reta ligando os pontos P1 e P2, e assim, forma-se um triângulo retângulo, com lados de comprimento igual a (x2 – x1), (y2 – y1) e hipotenusa igual a d. Figura 2.5. Distância d entre os pontos P1 e P2. x y2 y1 P1 P2 x2x1 x2 – x1 d y y2 – y1 Portanto, para se determinar a distância entre os dois pontos P1 e P2 aplica-se o teorema de Pitágoras, equação (12), ao triângulo retângulo, 2 2 2a b c= + (12) obtendo-se 2 2 2 2 1 2 1d (x x ) (y y )= − + − (13) ou ( ) ( )2 22 1 2 1d x x y y= − + − (14) – 30 – Geometria Analítica Exemplo 2.7. Sendo os pontos A(-3,4) e B(3,4) , determinar a distância entre os pontos A e B: Solução: Substituindo as coordenadas dos pontos A e B na equação (14), e resol- vendo para encontrar a variável d ( ) ( )2 22 1 2 1d x x y y= − + − ( ) ( )2 2d 3 ( 3) 4 4= − − + − ( ) ( )2 2d 6 0= + d 36 0= + d 36= d 6= A distância entre os pontos A e B é de 6u. Exemplo 2.8. Considerando dois pontos P e Q e a distância entre estes pontos de 5u. Determinar a coordenadas y do ponto P(1,y) se o ponto Q tem coordenadas x = 3 e y = 3. Solução: Primeiramente faremos uma analise gráfica do problema. Marca-se o ponto que tem a coordenada conhecida, o ponto Q. Em seguida marca-se a coordenada x do ponto P, que também é conhecida, e traça-se uma reta para- lela a y passando por esta coordenada. Isto significa que a coordenada y de P tem que pertencer a esta reta. A partir do ponto Q marca-se a distância d e na intersecção com a reta paralela a y determina-se o ponto P. Porém há duas maneiras de se traçar o segmento de reta, que representa a distância, para intersectar a reta paralela. Conclui-se assim que podem ter dois pontos possíveis para o ponto Q estar a uma distância d do ponto P. – 31 – Espaço bidimensional x 3 31 Q + + y P P d d x 3 31 Q + + y Pode-se resolver analiticamente. Sendo o ponto P formado pelas coor- denadas (1,y) e o ponto Q por (3,3), substituem-se estes valores na equação (14) com o valor da distância d = 5, ficando: ( ) ( )2 22 1 2 1d x x y y= − + − ( ) ( )22 15 3 1 3 y= − + − Elevando ao quadrado o primeiro membro e o segundo membro da equação, 2 2 2 15 (2) (3 y )= + − No segundo membro aplica-se o produto notável quadrado da diferença para o segundo termo, 2 1 125 4 9 6y y= + − + Igualando a equação a zero, determina-se uma equação do 2º grau completa, 2 1 1y 6y 4 9 25 0− + + − = 2 1 1y 6y 12 0− − = – 32 – Geometria Analítica Então, aplica-se a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes da equa- ção do 2º grau, 2 1 ( 6) ( 6) 4 1 ( 12)y 2 1 − − ± − − ⋅ ⋅ − = ⋅ 1 6 9.17y 2 ± = 6 9.17y 7,58 2 +′ = = 6 9.17y 1,58 2 −′′ = = − A coordenada y admite dois valores possíveis para este problema, então o ponto P pode ser escrito como P(1,7. 58) ou P(1,-1.58). Para não haver con- fusão entre a vírgula do par ordenado com a vírgula do número real, adota-se o ponto-e-vírgula para separar as coordenadas do par ordenado. 2.4. Ponto Médio Conforme já estudado no capítulo um, o ponto médio divide um segmento de reta em dois segmentos de retas de mesmo comprimento. Tomando como base a equação (8), que determina o valor da coordenada do ponto médio para um plano unidimensional, estende-se a ideia para o plano bidimensional, levando em consideração que o ponto médio M agora tem duas coordenadas: M(xM,yM). Figura 2.6. Ponto médio de um segmento bidimensional. x y2 yM y1 P1 M P2 x2xMx1 y – 33 – Espaço bidimensional O par de coordenadas do ponto médio M é dado por 1 2 M x x x 2 + = (15) e 1 2 M y y y 2 + = (16) Exemplo 2.9. Determinar o ponto médio dos pontos A(1,5) e B(9,7): Solução: Aplicando (15) e (16), encontram-se as coordenadas do ponto médio M 1 9 10x 5 2 2 + = = = M 5 7 12y 6 2 2 + = = = O ponto médio é então M(5,6). Exemplo 2.10. Considerando um triângulo cujos vértices são os pontos A(1,0), B(2,5) e C(–3,6), determinar o ponto médio de cada lado do triângulo. Solução: Os lados do triângulo são dados pelos segmentos de retas AB, BC e AC. Para encontrar o ponto médio do segmento AB, utiliza-se as coordenadas do ponto A e do ponto B. M AB 1 2 3x 1.5 2 2 + = = = M AB 0 5 5y 2.5 2 2 + = = = O ponto médio de AB é MAB = (1.5,2,5) – 34 – Geometria Analítica Para encontrar o ponto médio do segmento BC, utiliza-se as coordena- das dos pontos B e C. M BC 2 ( 3) 1x 0.5 2 2 + − − = = = − M BC 5 6 11y 5.5 2 2 + = = = O ponto médio de BC é MBC = (–0.5,5.5) Para encontrar o ponto médio do segmento AC, utiliza-se as coordena- das dos pontos A e C. M AC 1 ( 3) 2x 1 2 2 + − − = = = − M AC 0 6 6y 3 2 2 + = = = O ponto médio de AC é MAC = (–1,3) 3 Espaço tridimensional Em grande maioria as máquinas operatrizes, sistemas auto- matizados e sistemas de robótica, em fábricas de automóveis, por exemplo, utilizam-se de um sistema de 3 eixos cartesianos para loca- lizar ou mover peças. A impressora 3D também é um exemplo de aplicação do sistema de coordenadas tridimensionais. – 36 – Geometria Analítica Também é possível trabalhar com sistemas de coordenadas com mais de 3 dimensões, entretanto a representação gráfica fica restrita a somente 3 dimensões. Desta forma, pode-se criar um espaço Rn, onde as várias coorde- nadas podem assumir outros valores de interesse. 3.1 Sistema cartesiano no espaço O sistema cartesiano ortogonal tridimensional é formado por três eixos ortogonais, ou seja, três retas x, y e z que formam um ângulo de 90º duas a duas. Um ponto que pertence ao plano tridimensional terá agora três coorde- nadas xP, yP e zP. Pelo ponto P traçam-se três planos paralelos aos planos coor- denados, formando um paralelepípedo retângulo, cujas faces interceptam os eixos x, y e z em xP, yP e zP, (figura 3.1). Como já estudado nos capítulos um e dois, o eixo x continua sendo referenciado como eixo das abscissas, o eixo y como eixo ordenadas. O novo eixo z será referenciado como o eixo das cotas. O ponto P será representado pela tripla de números reais P(x,y,z) ou P = (x,y,z). Então, para cada ponto do espaço, existe uma terna que está associada ao ponto, e para cada tripla de números reais existe um ponto associado. Estes pontos podem estar dispostos no plano em uma das 8 regiões subdivididas pelas coordenadas,que recebem o nome de oitantes ou octantes, (figura 3.2). Figura 3.1. Ponto P no plano cartesiano tridimensional. z P y ZP xP x yP – 37 – Espaço tridimensional Figura 3.2. Plano coordenado dividido em 8 regiões. z x y As operações de soma e multiplicação por escalar, já estudados nos capí- tulos anteriores, também são aplicadas para o sistema de três coordenadas. 3.2 Distância entre dois pontos no espaço Sejam dois pontos P1 = (x1,y1,z1) e P2 = (x2,y2,z2). A distância entre os pontos é determinada por ( ) ( ) ( )2 2 22 1 2 1 2 1d x x y y z z= − + − + − (17) Geometricamente, A distância d é a diagonal de um paralelepípedo de vértices opostos P1 e P2. A dedução da equação (17), também provém do teo- rema de Pitágoras, porém aplica-se o teorema no triângulo retângulo formado no plano x e y, e depois no triângulo retângulo que se forma com a diagonal do paralelepípedo, (figura 3.3). Figura 3.3. Distância entre dois pontos. Z z2 – z1 x2 – x1 y2 – y1 d y x P1 P2 – 38 – Geometria Analítica Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo que está no plano xy , tem-se 2 2 2 1 2 2 2 1d (x x ) (y y )= − + − 2 2 1 2 2 2 1d (x x ) (y y )= − + − Onde d1 representa a hipotenusa do triângulo retângulo que está no plano xy, que é equivalente ao lado da base do triângulo formado no espaço. Aplicando novamente o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo que está no espaço, obtém-se 2 2 2 1 2 1d d (z z )= + − ( )22 2 2 22 2 2 1 2 1d (x x ) (y y ) (z z )= − + − + − 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1d (x x ) (y y ) (z z )= − + − + − ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1d x x y y z z= − + − + − Que está na forma da equação (17) Exemplo 3.1. Dados os pontos A = (3,4,1) e B = (–1,0,5), determine a distância entre A e B. Solução: Substituindo as coordenadas dos pontos A e B na equação (17), deter- mina-se a distância d ( ) ( ) ( )2 2 22 1 2 1 2 1d x x y y z z= − + − + − ( ) ( ) ( )2 2 2d ( 1) 3 0 4 5 1= − − + − + − ( ) ( ) ( )2 2 2d 4 4 4= − + − + – 39 – Espaço tridimensional d 16 16 16= + + d 48= d = 6,92 A distância entre A e B é de 6,92u Exemplo 3.2. Considerando um cubo de aresta igual a 5 cm. Determi- nar a distância d entre os vértices opostos deste cubo. Solução: Z (cm) P (5,5,5) O (0,0,0) y (cm) 5 5 x (cm) 5 Para determinar a distância d entre os vértices opostos do cubo precisa-se das coordenadas dos dois pontos em questão. Para tal, pode-se considerar que um dos vértices coincide com a origem das posições O( 0,0,0). A partir da origem, então, marcam-se as coordenadas dos outros vértices. Como a figura trata-se de um cubo, todas as distâncias são iguais a 5 cm, marca-se o próximo vértice percorrendo 5 unidades, tanto para x, y ou z , conforme a figura. O ponto P tem, então, coordenadas (5,5,5). Substituindo as coordena- das dos pontos O e P na a equação (17) e resolvendo para d, tem-se ( ) ( ) ( )2 2 22 1 2 1 2 1d x x y y z z= − + − + − ( ) ( ) ( )2 2 2d 5 0 5 0 5 0= − + − + − ( ) ( ) ( )2 2 2d 5 5 5= + + – 40 – Geometria Analítica d 25 25 25= + + d 75= d = 8,66 cm A distância entre os vértices opostos do cubo é de 8,66 cm. Exemplo 3.3. Mostrar se o triângulo que se forma com os pontos A(1,2,0), B(4,0,–1) e C(2,–1,2) é equilátero. Solução: A característica de um triângulo equilátero é ter os três lados com mesmo comprimento e três ângulos internos iguais. Assim, se seus lados têm o mesmo comprimento, à distância d entre os vértices do triângulo tem que ser a mesma. Calculando as três distâncias dAB, dBC e dCA: ( ) ( ) ( )2 2 2AB B A B A B Ad x x y y z z= − + − + − ( ) ( ) ( )2 2 2ABd 4 1 0 2 1 0= − + − + − − ABd 9 4 1= + + ABd 14= e ( ) ( ) ( )2 2 2BC C B C B C Bd x x y y z z= − + − + − ( ) ( ) ( )2 2 2BCd 2 4 1 0 2 ( 1)= − + − − + − − BCd 4 1 9= + + BCd 14= – 41 – Espaço tridimensional e ( ) ( ) ( )2 2 2CA A C A C A Cd x x y y z z= − + − + − ( ) ( ) ( )2 2 2CAd 1 2 2 ( 1) 0 2= − + − − + − CAd 1 9 4= + + CAd 14= Então, se dAB = dBC = dCA, o triângulo é equilátero. 3.3 Ponto Médio O ponto médio, que divide um segmento de reta em dois segmentos iguais, no espaço tridimensional é determinado de forma análoga ao espaço bidimensional, levando apenas em consideração a coordenada do eixo z. Considerando dois pontos P1 = (x1,y1z1) e P2 = (x2,y2z2) determinando o segmento de reta 1 2P P e um ponto M que divide o segmento de reta em dois segmentos de mesmo comprimento, então as coordenadas do ponto M são: 1 2 M x x x 2 + = (18) 1 2 M y y y 2 + = (19) 1 2 M z z z 2 + = (20) sendo o ponto médio dado por M = (xM,yM,zM) (21) Como se pode observar o par de coordenadas xM e yM são as coordenadas do ponto médio em um sistema bidimensional, apenas sendo incorporada a coordenada zM. – 42 – Geometria Analítica Exemplo 3.4. Considere dois pontos A(1,2,1) e B(7,6,9). Determinar as coordenadas do ponto que divide o segmento AB em dois segmentos de mesmo comprimento. Solução: Substituindo as coordenadas de A e B nas equações (18), (19) e (20), obtém-se: 1 2 M x x 1 7 8x 4 2 2 2 + + = = = = 1 2 M y y 2 6 8y 4 2 2 2 + + = = = = 1 2 M z z 1 9 10z 5 2 2 2 + + = = = = O ponto é M(4,4,5). Exemplo 3.5. Determine o ponto médio do segmento de reta que é a diagonal de um paralelepípedo de vértices opostos P(–2,–3,–1) e H(4,7,9). Solução: Substituindo as coordenadas dos pontos P e H nas equações (18), (19) e (20), determinam-se as coordenadas do ponto médio 1 2 M x x 2 4 2x 1 2 2 2 + − + = = = = 1 2 M y y 3 7 4y 2 2 2 2 + − + = = = = 1 2 M z z 1 9 8z 4 2 2 2 + − + = = = = O ponto médio é M(1,2,4). 4 Vetores Ao longo dos anos a ciência tem passado por muitas transfor- mações, mudanças e evoluções. São vários os motivos e difícil citar apenas uma causa, mas com o surgimento da física moderna, por exemplo, a matemática começou a receber, com mais intensidade, um tratamento vetorial e matricial. Com o surgimento de novas áreas do conhecimento, como computação gráfica e visão compu- tacional, onde já estamos acostumados a ver imagens que se defor- mam ou giram segundo vários eixos, há a necessidade de conhecer e operar a geometria analítica no plano e no espaço. Neste capítulo abordaremos o estudo de vetores e conti- nuaremos a fazer este estudo utilizando o tratamento geométrico e algébrico, para uma melhor compreensão do assunto. – 44 – Geometria Analítica 4.1 Definição Em um sistema de coordenadas bidimensional ou tridimensional, podem-se traçar diversas retas, sendo elas paralelas, perpendiculares, ou em qualquer direção e sentido que se possa imaginar. Em principio imaginemos um conjunto de retas que são paralelas entre si, ou seja, em todos os pontos as retas têm a mesma distância uma da outra. Em cada uma destas retas, podem-se marcar dois ou mais pontos e dar uma orientação a estes segmentos de reta. Assim se definirmos um segmento de reta AB com um comprimento qualquer na reta r, é de se imaginar a possibilidade de existir outro segmento de DE na reta s que tenha o mesmo comprimento e a mesma orientação do segmento AB . Figura 4.1. Retas paralelas no espaço. y r s t n x Figura 4.2. Segmentos orientados em retas distintas. y r s B A E D x – 45 – Vetores Então, em todas as retas paralelas a r podem existir uma infinidade de segmentos de retas que sejam iguais em comprimento e orientação ao seg- mento AB . Figura 4.3. Segmentos de retas com mesma direção e orientação. y B A x Todos os segmentos de retas orientados paralelos de mesmo sentido e de mesmo comprimento de AB formam um conjunto de segmentos de retas eqüipolentes entre si, e podem ser representados por um único elemento que se chama vetor. O vetor é representado geometricamente por uma flecha que tem seu início no ponto de origem (o ponto A) e fim na extremidade (o ponto B) do segmento orientado AB . O vetor será indicado pelo segmento com uma fle- cha em cima AB ���� ou por B – A ou ainda por uma letra minúscula com uma flecha sobre a letra,ex: v → , u → , a → . Figura 4.4. Representação de um vetor. B A y x v → – 46 – Geometria Analítica Então uma das definições de vetor: é o conjunto de todos os segmentos de retas orientados eqüipolentes entre si. Outra maneira de enunciar um vetor: é uma tripla constituído de módulo, direção e sentido. Ao se escrever o vetor v AB= � está se afirmando que o vetor v → é deter- minado pelo segmento de reta orientado AB e como qualquer outro seg- mento de reta com a mesma direção, sentido e comprimento também é representado pelo vetor v → , então cada ponto do espaço pode ser considerado como o início de um vetor. Por essa razão o vetor também é chamado de vetor livre, pois pode ter origem em qualquer ponto no espaço, sendo transportado da maneira que se achar conveniente. Se considerarmos dois pontos A e B, então existe um vetor v → que repre- senta o segmento de reta orientado AB : v AB → = (22) Fazendo o processo contrário, tendo o ponto A como origem e somando o vetor v → obtém-se o ponto B. A v B → + = (23) ou v B A → = − (24) e sendo B – A o próprio segmento de reta orientado AB , tem-se que v AB → = . Se o ponto de origem for A(0,0), no plano bidimensional, ou A(0,0,0) se o sistema for tridimensional, por exemplo, então A coincide com a origem do sistema de coordenadas O, e da equação (24), fica v B A v B O v B → → → = − → = − → = ou seja, um ponto no espaço pode ser considerado como as coordenadas de um vetor cuja origem coincide com a origem do sistema de coordenadas. – 47 – Vetores Figura 4.5. Vetor com origem em O. B A O v → z y zP xP x yP Exemplo 4.1. Considere os pontos A (1,3) e B (3,2) · Determine o vetor v AB → = . Solução: O vetor v → é determinado por B – A, então substituindo as coordenadas dos pontos A e B na equação (24), encontra-se v B A → = − v (3,2) (1,3) v (3 1,2 3) v (2, 1) → → → = − → = − − → = − O vetor encontrado é um par ordenado que representa um ponto no espaço, mas ligado à origem determina o vetor v → geometricamente. B A 3 3 2 1 v → y x – 48 – Geometria Analítica Exemplo 4.2. Sendo o ponto A(–51) e um vetor ( )v 3,4 → = , determinar o ponto B tal que, v AB → = . Solução: Considerando que o vetor é v AB → = , então tem origem em A, direção e sentido de v → e extremidade em B. Substituindo as coordenadas do ponto A e do vetor na equação (24) e resolvendo para B, v B A → = − ( ) ( ) ( )B A3,4 x ,y 5,1= − − ( ) ( ) ( )B A3,4 5,1 x ,y+ − = ( ) ( )B A2,5 x ,y− = B = (–2,5) 4.2 Casos particulares de vetores Serão apresentados alguns casos particulares e definições sobre veto- res sem se preocupar com a parte matemática em princípio. O trata- mento algébrico dará complemento aos exemplos e as discussões que se apresentarão. 2 Vetores paralelos Dois vetores são paralelos se os seus representantes tiverem a mesma direção. Sejam os vetores u → e v → , indica-se o paralelismo por u / / v → → . Se houver mais de dois vetores com mesma direção, indica-se u / / v / / w / / a ... → → → → – 49 – Vetores Figura 4.6. Vetores paralelos. u → v → w → 2 Igualdade de vetores Dois vetores são iguais se tiverem o mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido. Considerando os vetores u → e v → , indica-se a igualdade por u v → → = . Figura 4.7. Vetores com mesmo comprimento, direção e sentido. u → v → 2 Vetor nulo O vetor nulo é aquele que a origem coincide com a extremidade, podendo ser representado por um ponto. O vetor nulo não tem direção e nem sentido definidos, então se considera paralelo a qual- quer vetor. O vetor nulo é indicado por 0 → ou AA . 2 Vetor oposto Seja um vetor qualquer no espaço, então um vetor oposto será aquele que tiver o mesmo comprimento, mesma direção, mas sen- tido contrário. Seja o vetor v → , indica-se o vetor opostos por v → − . Se o vetor é v AB → = , o vetor opostos será então BA . – 50 – Geometria Analítica Figura 4.8. Vetores opostos. v → – v → 2 Módulo de um vetor O módulo de um vetor é um número não negativo e indica o com- primento desse vetor. Considerando um vetor u → , representa-se o módulo de u → por u → ou AB . 2 Vetor unitário É um vetor que tem seu comprimento igual a 1, ou seja, o módulo é 1. Se o vetor u → é unitário, então u 1 → = . 2 Versor O versor de um vetor qualquer é um vetor unitário que tem a mesma direção e o mesmo sentido deste vetor. Se o vetor a ser con- siderado é v → , então o seu versor é vers v → . Figura 4.9. Versor de um vetor. v → vers v → 2 Vetores ortogonais Consideram-se dois vetores ortogonais se formam um ângulo reto, 90° entre si. Indicam-se dois vetores ortogonais por u v → → ⊥ . Considera-se o vetor nulo ortogonal a qualquer vetor. – 51 – Vetores Figura 4.10. Vetores ortogonais. v → v → u → u → 2 Vetores coplanares Dois ou mais vetores são ditos coplanares se estiverem em um mesmo plano. Para o caso de dois vetores apenas, sempre serão coplanares e para o caso de três vetores, poderão ou não ser coplanares. Figura 4.11. Vetores coplanares. π u → v → Exemplo 4.3. Considerando o paralelepípedo conforme figura a seguir, determine: a) Um vetor igual ao vetor a AB → = . b) Um vetor paralelo a b CG → = . c) Um vetor ortogonal a c BF → = . d) Um vetor coplanar a d DA → = . – 52 – Geometria Analítica H A E D C F B G Solução: a) O paralelepípedo tem seus lados paralelos de mesmo comprimento, assim um segmento orientado igual a AB é qualquer segmento paralelo e com a mesma orientação, podendo ser uma das respostas o segmento orientado EF . AB EF= . b) vetor paralelo a b → tem que ter a mesma direção e uma das possíveis soluções é o segmento orientado BF ou FB . CG / /FB c) O segmento ortogonal ao vetor c → tem que ter um representante, ou pode-se imaginar um prolongamento do segmento, formando um ângulo de 90º. Uma das possíveis soluções é o segmento FE . BF FE⊥ d) Os vetores coplanares estão no mesmo plano e um dos segmentos orientado que está no mesmo plano que o vetor d → é o segmento BC . – 53 – Vetores 4.3 Operações com vetores 2 Adição de vetores Sejam dois vetores 1 1u (x ,y ) → = e 2 2v (x ,y ) → = . A soma dos vetores u → e v → será um terceiro vetor w → que é determinado somando as coordenadas das abscissas e somando a coordenadas das ordena- das, assim 1 1 2 2u v (x ,y ) (x ,y ) → → + = + (25) 1 2 1 2u v (x x ,y y ) → → + = + + (26) Onde a soma x1 + x2 é igual a x3 e soma y1 + y2 é igual a y3, que são as coordenadas do vetor w → , então da equação (26), tem-se 1 2 1 2u v (x x ,y y ) → → + = + + 3 3u v (x ,y ) → → + = (27) u v w → → → + = (28) Geometricamente a soma de dois vetores é determinada fazendo o vetor v → ter o seu início na extremidade do vetor u → , onde a soma que é o vetor w → tem seu início coincidindo com o início do vetor u → e sua extremidade coincidindo com o vetor v → , que é conhecido como método do polígono, com mostra a figura 4.12. Pode-se considerar ainda o caso de dois vetores com mesma direção ou paralelos, onde o processo geométrico de adição destes dois ou mais vetores paralelos também é análoga a descrita acima, porém torna-se mais fácil a solução sendo que há apenas uma direção. – 54 – Geometria Analítica Figura 4.12. Soma de dois vetores. v → v → u → u → w → = u → + v → Figura 4.13. Adição de vetores paralelos. v → v → u → u → w → Para o caso de vetores com direções diferentes ou não paralelos há o método geométrico para adição de vetores denominada de Método do Paralelogramo. Fazendo dois vetores terem a origem comum, traçam-se linhas auxiliares paralelas a esses vetores em cada uma das suas extremidades, for- mando um paralelogramo. O vetor soma terá sua origem comum aos vetores somados e sua extremidade será a intersecção das linhas auxiliares. O vetor soma será a diagonal do paralelogramo (figura 4.14). Figura 4.14. Método do paralelogramo.v → v → u → u → u → v → w → Para somar mais que dois vetores, geometricamente, utiliza-se o método do polígono (figura 4.15). – 55 – Vetores Figura 4.15. Adição de três ou mais vetores pelo método do polígono. a) três vetores no plano v → u → k � b) somando os vetores pelo método do polígono v → u → k � c) resultado da soma dos vetores v → u → k � w → Como o vetor é considerado livre, podem-se manipular geométrica- mente estes vetores transferindo-os para posições diferentes, onde melhor se achar for conveniente para a soma vetorial. – 56 – Geometria Analítica Existem algumas propriedades que são aplicadas para o caso de soma vetorial. Considerando os vetores u → , v → e w → , admite-se: I. Comutativa: u v v u → → → → + = + II. Associativa: (u v ) w v (u w) → → → → → → + + = + + III. Elemento neutro: u 0 u → → → + = IV. Elemento oposto: u ( u) 0 → → → + − = A propriedade I (comutativa) afirma que a ordem da soma não vai alte- rar o resultado desta soma, ou seja, trocando de posição os vetores o resultado continua sendo o mesmo. A propriedade II (comutativa) estabelece que não há necessidade de seguir uma ordem para somar os vetores, podendo ser asso- ciados de modos diferentes, tendo o mesmo resultados. A propriedade III (elemento neutro) estabelece um vetor nulo, do qual se somado a qualquer vetor terá como resultado o próprio vetor. E a propriedade IV afirma que há um vetor oposto de tal modo que se somado ao próprio vetor terá como resultado o vetor nulo. Exemplo 4.4. Considerando os vetores u (2,5) → = , v ( 3, 6) → = − − e w ( 1,3) → = − , determinar: a) u v → → + b) v u → → + c) w v → → + d) u v w → → → + + Solução: Para somar vetores devem-se somar as coordenadas que estão no mesmo eixo, então, a) u v (2,5) ( 3, 6) (2 ( 3),5 ( 6)) (2 3,5 6) ( 1, 1) → → + = + − − = + − + − = − − = − − b) v u ( 3, 6) (2,5) ( 3 2, 6 5) ( 1, 1) → → + = − − + = − + − + = − − – 57 – Vetores c) w v ( 1,3) ( 3, 6) (( 1) ( 3),3 ( 6)) ( 1 3,3 6) ( 4, 3) → → + = − + − − = − + − + − = − − − = − − d) u v w (2,5) ( 3, 6) ( 1,3) (2 ( 3) ( 1),5 ( 6) 3) ( 2,2) → → → + + = + − − + − = + − + − + − + = − Exemplo 4.5. Considerando a figura, determine geometricamente a soma h u v w m z → → → → → → = + + + + : u → z � v → w → m ��� y x Solução: Como a figura apresenta mais de dois vetores utiliza-se o método do polígono para determinar a soma vetorial. Tomando como base o vetor u → , tem-se v → u → w → z � m ��� y x v → u → w → z � m ��� y x h � – 58 – Geometria Analítica 2 Subtração de vetores A subtração de vetores, também conhecida como diferença de veto- res, é um processo análogo a soma de vetores, tanto o desenvolvi- mento analítico quanto o desenvolvimento geométrico. Então se considerarmos dois vetores u → e v → , a diferença será: u v u ( v ) → → → → − = + − (29) que é a soma do vetor u → com o vetor oposto de v → , que na inter- pretação geométrica é de grande ajuda. Para a diferença de vetores não é aplicado a propriedade comutativa, ou seja, u v v u → → → → − ≠ − . Exemplo 4.6. Seja dois vetores dado por u (7,4) → = , v (5,1) → = , deter- mine a diferença de u → e v → e a diferença de v → e u → . Solução: Aplicando as coordenadas dos vetores na equação (29), tem-se ( ) ( ) ( ) ( )u v 7,4 5,1 7 5,4 1 2,3 → → − = − = − − = e ( ) ( ) ( )v u 5,1 7,4 2, 3 → → − = − = − − Como pode se observar o resultado da subtração de u → e v → é diferente do resultado da subtração de v → e u → , ou seja, não é comutativa. Grafica- mente, a diferença entre esses vetores u → e v → resolve-se primeiramente mar- cando os vetores no plano tendo a origem em (0,0), – 59 – Vetores u → v → y x5 1 7 4 então se determina o vetor oposto de v → , u → v → y x–1 – –5 7 4 e aplica-se a regra do polígono ou do paralelogramo. – u → v → y x – 60 – Geometria Analítica A ideia da soma e da subtração de vetores pode ser estendida para o espaço tridimensional, sendo um pouco mais difícil visualizar graficamente as operações, porém o procedimento é o mesmo. 2 Multiplicação de um vetor por um escalar Esta operação consiste em realizar uma multiplicação de um número real por um vetor, tendo como resultado outro vetor, que será maior, menor, igual, oposto ou não, ao vetor dado, tendo uma dependência apenas do escalar escolhido. Seja o vetor ( )u x,y → = , e um número real k, chame-se de produto por um escalar o vetor k u → ⋅ , tal que ( ) ( )k u k x,y k x,k y → ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ (30) A direção do novo vetor k u → ⋅ será o mesmo do vetor dado u → , mas o sentido do vetor resultante k u → ⋅ depende do sinal de k: se k > 0 (positivo) o vetor k u → ⋅ terá o mesmo sentido de u → , se k < 0 (nega- tivo) o vetor k u → ⋅ terá sentido contrário. Exemplo 4.7. Sejam os vetores ( )u 2,5 → = e ( )v 5,6 → = determinar 2 u 3 v → → ⋅ + : Solução: Na expressão 2 u 3 v → → ⋅ + deve-se primeiramente realizar os produtos escalares e então somar esses resultados. ( ) ( )2 u 3 v 2 2,5 3 5,6 → → ⋅ + = ⋅ + ⋅ ( ) ( )2 u 3 v 4,10 15,18 → → ⋅ + = + ( )2 u 3 v 19,28 → → ⋅ + = – 61 – Vetores Exemplo 4.8. Representar graficamente o vetor: a) ( )u 2,3 → = e k u → ⋅ sendo k = 3: b) ( )v 1,4 → = − e k v → ⋅ sendo k = –2: Solução: a) u → y x2 3 6 9 u → k b) v → y 2 4 –8 –1 u → k Pode-se observar que no exemplo a ao multiplicar o vetor pelo escalar 3, o vetor triplicou seu tamanho e manteve a mesma direção e sentido. No exemplo b ao multiplicar o vetor pelo escalar -2 teve seu tamanho dobrado, manteve a mesma direção, mas o sentido do vetor mudou. 5 Vetores no plano e no espaço Será feita uma abordagem sobre os vetores nos planos bidi- mensional e tridimensional simultaneamente, dando continuidade ao já visto até o momento e continuaremos a fazer este estudo uti- lizando-se o tratamento geométrico e algébrico, para uma melhor compreensão do assunto. – 64 – Geometria Analítica 5.1 Vetores no plano Pode-se escrever qualquer vetor como função de outros vetores não para- lelos. A isto se dá o nome de combinação linear, ou seja, uma combinação de dois vetores pode gerar um terceiro vetor. De modo geral dado dois veto- res quaisquer 1v → e 2v → , existe apenas uma dupla de números reais tal que 1 1 2 2v a v a v → → → = + (31) onde a1 e a2 são escalares que pertencem aos reais. Figura 5.1. Combinação linear de dois vetores. 1v → 2v → 2v → a2 1v → a1 v → Se o vetor v → é expresso como na equação (31), diz-se que v → é combina- ção linear de 1 1a v → e 2 2a v → . O conjunto de vetores { }1 2B v ,v→ →= é denomina- mos de base do plano, onde qualquer conjunto de dois vetores não paralelos forma uma base no plano. Os números a1 e a2 são chamamos de componentes ou coordenadas de v → na base B. Uma base e dita ortonormal se os seus vetores forem ortogonais (perpen- diculares) e unitários. Na prática as bases mais utilizadas são as ortonormais e cada par de vetores perpendiculares forma uma base ortonormal, porém entre as infinitas bases ortonormais existentes, uma é particularmente importante; a base que determina o sistema cartesiano ortogonal xOy. – 65 – Vetores no plano e no espaço 5.2 Base canônica O sistema cartesiano ortogonal xOy é determinado pela base dita canônica. Os vetores ortogonais e unitários que representam os eixos dos x e y são respec- tivamente denotados por i e j, cuja origem se encontra em O e as extremida- des em (1,0) e (0,1) respectivamente. Então a base canônica é { }B i , j→ →= , onde i = (1,0) e j = (1,0). Figura 5.2. Base canônica do sistema x e y. y (0,1) (0,1) x 2v → j 2v → i Pode-se escrever qualquer vetor no plano através da combinação linear dos versores i e j, ou seja, o vetor no plano é representado por um par orde- nado (x,y) de números reais, que é a expressão analítica do vetor, ( )v x,y v x i y j → → → → = → = + (32) Figura 5.3. Vetor no plano.y x 2v → j 2v → y j 2v → i 2v → x i v → A equação (32) representa duas formas de escrever um vetor: usando os pares ordenados (expressão analítica) ou como combinação linear de i e j (expressão cartesiana). – 66 – Geometria Analítica Exemplo 5.1. Sendo o vetor ( )v 3,5 → = , escrever na expressão cartesiana. Solução: Sendo as coordenadas do vetor x = 3 e y = 5, e aplicando a equação (32) v x i y j → → → = + v 3 i 5 j → → → = + 5.3 Operações com vetores no plano Os vetores podem ser representados e operados em suas formas geomé- tricas, o que ajuda consideravelmente na interpretação, no entanto se estas operações forem realizadas algebricamente, obtém-se uma maior precisão nos resultados e maior quantidade de informações (módulo, direção e sentido). 2 Módulo de um vetor O módulo de um vetor expressa o comprimento ou a magnitude desse vetor. Para calcular o módulo de um vetor a partir de suas coor- denadas, considera-se um vetor qualquer dado por v x i y j → → → = + , que geométricamente forma um triângulo retângulo de lados x, y e v → . Utilizando o teorema de Pitágoras, tem 2 2v x y → = + (33) Figura 5.4. Módulo do vetor. y y y xx x v → v → – 67 – Vetores no plano e no espaço Como o módulo determina o valor absoluto do vetor podem-se ter veto- res diferentes, no entanto apresentando o mesmo módulo. Exemplo 5.2. Determinar o módulo do vetor v 3 i 4 j → → → = − + . Solução: Aplicando as coordenadas do vetor na equação (33), 2 2v x y → = + 2 2v ( 3) 4 → = − + v 9 16 → = + v 25 → = v 5 → = O comprimento do vetor é de 5u. Exemplo 5.3. Dado os vetores v 5 i 2 j → → → = + e u 3 i 3 j → → → = − − ,determi- nar o módulo de 2 v 3u → → − . Solução: Substituindo as coordenadas dos vetores na expressão e resolvendo a operação do produto do vetor por uma escalar e somando as coordenadas que estão na direção i, e também somando as coordenadas que estão na direção j 2 v 3u 2 (5 i 2 j ) 3 ( 3 i 3 j ) → → → → → → − = ⋅ + − ⋅ − − 2 v 3u 10 i 4 j 9 i 9 j → → → → → → − = + + + 2 v 3u 19 i 13 j → → → → − = + – 68 – Geometria Analítica Aplicando a equação (33) para determinar o módulo do vetor resultante 2 22 v 3u 19 13 → → − = + 2 v 3u 361 169 → → − = + 2 v 3u 530 → → − = 2 v 3u 23,021 → → − = O comprimento do vetor resultante é de aproximadamente 23u. 2 Vetor unitário Um vetor é dito unitário quando seu módulo for igual a 1. Consi- derando o vetor v x i y j → → → = + , então dizer que esse vetor é unitário implica em 2 2 2 2 2 yv x y 1 x y 1 x y → = + → = + → = + As coordenadas de qualquer vetor unitário fazem parte do intervalo –1 < x,y < 1. Se por exemplo uma das coordenadas do vetor unitá- rio for igual a 1, a outra obrigatoriamente tem que ser zero. 2 Versor de um vetor Sendo um vetor v 0 → ≠ , define-se versor de v → o vetor unitário de mesma direção e sentido de v → . Pode-se determinar o versor de qualquer vetor, utilizando a expressão vvers v v → → →= (34) Este versor vers v → é versor de todos os vetores múltiplos de v → e que tiverem o mesmo sentido. – 69 – Vetores no plano e no espaço Figura 5.5. Versor de v → . y y xx v → vers v → Exemplo 5.4. Determinar o versor do vetor v 2 i 4 j → → → = + : Solução: Como o cálculo do versor depende do módulo do vetor v → , então pri- meiro calcula-se o módulo. 2 2 2 2v x y 2 4 4 16 20 4,47 → = + = + = + = ≈ Aplica-se esse resultado na equação (34) para a determinação do versor vvers v v → → →= 2 i 4 j 4 j2 ivers v 0,45 i 0,89 j 4,47 4,47 4,47 → → →→ → → →+ = = + ≈ + vers v 0,45 i 0,89 j → → → ≈ + – 70 – Geometria Analítica Graficamente fica y 4 x2 0,89 0,45 v → vers v → Exemplo 5.5. Determinar o versor da soma a b → → + , sendo a 2 i 4 j → → → = − + e b 3 i 5 j → → → = + . Solução: Resolvendo a soma dos vetores a e b, tem a b 2 i 4 j 3 i 5 j → → → → → → + = − + + + a b 1 i 9 j → → → → + = + Determinando o módulo da soma 2 2a b 1 9 1 81 82 9,05 → → + = + = + = ≈ Aplicando a equação (34), determina-se o versor da soma a bvers a b a b → → → → → → + + = + – 71 – Vetores no plano e no espaço 1 i 9 j vers a b 9,05 → → → → + + = vers a b 0,11 i 0,94 j → → → → + ≈ + 2 Paralelismo de dois vetores A condição para que dois vetores sejam paralelos é de que suas componentes sejam proporcionais, ou seja, considerando dois vetores 1 1u (x ,y ) → = e 2 2v (x ,y ) → = , dever existir um número real k tal que u k v → → = ⋅ (35) substituindo as coordenadas dos vetores em (35), chega-se 1 2 2 2 1 2 2 2u k v (x ,y ) k (x ,y ) (x ,y ) (k x ,k y ) → → = ⋅ → = ⋅ → = ⋅ ⋅ e pela igualdade de vetores tem-se x1 = k · x2 e y1 = k · y2 isolando a variável k em cada uma das expressões determinas-se uma razão entre as coordenadas, sendo igual ao número real k. Como o valor de k é igual para as duas expressões, obtém-se então a condição de paralelismo de dois vetores 1 1 2 2 x y k x y = = (36) ou seja, a razão entre 1 2 x x é igual a razão 1 2 y y que é igual a uma constante k. Exemplo 5.6. Dados os vetores u 10 i 6 j → → → = − e v 20 i 12 j → → → = − verifi- car se os mesmos são paralelos. – 72 – Geometria Analítica Solução: Se os vetores forem paralelos, então a razão entre as coordenadas do eixo x e a razão entre as coordenadas do eixo y devem ter o mesmo resultado. 1 2 x 10 1 x 20 2 = = e 1 2 y 6 1 y 12 2 − = = − Então 1 1 2 2 x y k x y = = 1 1 k 2 2 = = Logo os vetores u → e v → são paralelos 5.4 Vetores no espaço De forma semelhante ao estudado no plano, em que a base canônica { }i , j→ → determina o plano cartesiano xOy, no espaço há existência de uma terceira coordenada para efetivar a base canônica { }i , j , k→ → → , onde os conjuntos desses três vetores ortogonais dois a dois determinam o espaço tridimensional. Figura 5.6. Sistema cartesiano ortogonal. 2v → j 2v → k 2v → i y z x – 73 – Vetores no plano e no espaço Qualquer vetor no espaço pode ser, então, representado como com- binação linear dos vetores unitários i, j e k, e um determinado vetor v x i y j z k → → → → = + + também pode ser expresso por ( )v x,y,z → = que e a expressão analítica de v → . Assim cada ponto P = (x,y,z) no espaço corresponde a um vetor OP de origem em O e extremidade P onde as próprias coordena- das do ponto são as coordenadas do vetor v → : v OP (x,y,z) → = = . Figura 5.7. Ponto P no espaço. 2v → y j 2v → x i 2v → z k 2v → j 2v → k 2v → i P z y x v → Para melhor exemplificar, se o ponto P tem coordenadas (3,1,2), então o vetor pode ser escrito como v OP (3,2,1) 3 i 2 j 1k → → → → = = = + + Cada dupla de vetores da base e cada dupla de eixos determina um plano coordenado, assim formam-se três planos coordenados: o plano xOy ou xy, o plano xOz ou xz, o plano yOz ou yz. Considerando a figura 5.8 que mostra um paralelepípedo formado por pontos no espaço, é feita algumas considera- ções a estes pontos e como referenciá-las aos vetores: – 74 – Geometria Analítica Figura 5.8. Pontos no espaço que formam um paralelepípedo. O A E D C F B G z y x I. O ponto A tem coordenadas A = (x,0,0). II. O ponto B tem coordenadas B = (x,y,0). III. O ponto C tem coordenadas C = (0,y,0). IV. O ponto D tem coordenadas D = (0,y,z). V. O ponto E tem coordenadas E = (0,0,z). VI. O ponto F tem coordenadas F = (x,0,z). VII. O ponto G tem coordenadas G = (x,y,z). Pode-se observar que os pontos A,C e E são pontos que pertencem aos eixos x, y e z respectivamente, ou seja, um ponto que pertença somente ao eixo y, por exemplo, terá suas coordenadas dadas por uma tripla (0,y,0). Os pontos B, D e F, são pontos que pertencem aos planos xy, yz e xz respectivamente. Então o ponto que está no plano xz terá suas coordenadas dadas por uma tripla (x,0,z). Conclui-se então que, se uma das coordenadas é zero, o ponto pertence a um plano e que se duas coordenadas forem zero o ponto pertence a um eixo.– 75 – Vetores no plano e no espaço 5.5 Operações com vetores no espaço As definições das operações com vetores no espaço são análogas as feitas no plano, diferenciando apenas pela inclusão de mais uma coordenada. Seja dois vetores ( )1 1 1u x ,y ,z → = e ( )2 2 2v x ,y ,z → = , e k,α ∈ R, então são definidas as operações: 2 Igualdade de vetores: u v → → = se, e somente se 1 2 1 2 1 2x x ,y y ,z z= = = . 2 Soma de vetores: ( )1 2 1 2 1 2u v x x ,y y ,z z → → + = + + + 2 Multiplicação de um vetor por um escalar: ( )1 1 1k u k x ,k y ,k z → ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ 2 Módulo de um vetor: 2 2 2 1 1 1u x y z → = + + 2 Vetores paralelos: u / / v → → então u v → → = α ⋅ ou 1 1 1 2 2 2 x y z x y z = = Exemplo 5.7. Determinar o módulo do vetor v 2 i 3 j 6 k → → → → = + + . Solução: 2 2 2 2 2 2v x y z 2 3 6 4 9 36 49 7 → = + + = + + = + + = = – 76 – Geometria Analítica Exemplo 5.8. Dados os vetores ( )a 2,3,5 → = , ( )b 1,4,3 → = − e ( )c 0,1,0 → = , determine: a) a b c → → → + + b) a b c → → → − − − c) 12 a 3 b c 2 → → → − + Solução: a) ( ) ( ) ( )a b c 2,3,5 1,4,3 0,1,0 → → → + + = + − + ( )a b c 2 1 0,3 4 1,5 3 0 → → → + + = − + + + + + ( )a b c 1,8,8 → → → + + = b) ( ) ( ) ( )a b c 2,3,5 1,4,3 0,1,0 → → → − − − = − − − − ( )a b c 2 1 0, 3 4 1, 5 3 0 → → → − − − = − + − − − − − − − ( )a b c 1, 8, 8 → → → − − − = − − − c) ( ) ( ) ( )1 12 a 3 b c 2 2,3,5 3 1,4,3 0,1,0 2 2 → → → − + = ⋅ − ⋅ − + ( ) ( )1 12 a 3 b c 4,6,10 3,12,9 0, ,0 2 2 → → → − + = − − + 1 12 a 3 b c 4 3 0,6 12 ,10 9 0 2 2 → → → − + = + + + + − + 1 372 a 3 b c 7, ,1 2 2 → → → − + = – 77 – Vetores no plano e no espaço Exemplo 5.9. Sendo o vetor ( )v 3,7,1 → = e ( )w 6,10,4 → = , determinar o vetor u → , sabendo que: v 2 u w u → → → → + = − . Solução: Como o vetor a ser determinado é o vetor u → , então se isola este vetor e substituem-se as coordenadas dos outros vetores na equação, realizando as operações necessárias. v 2 u w u → → → → + = − v 2 u u w u u → → → → → → + + = − + v 3u w → → → + = v 3u v w v → → → → → + − = − 3u w v → → → = − w vu 3 → → → − = ( ) ( )6,10,4 3,7,1 u 3 → − = ( )6 3,10 7,4 1 u 3 → − − − = ( )3,3,3 u 3 → = ( )u 1,1,1 → = 6 Produto escalar Neste capítulo será abordado o produto escalar que traba- lha questões pertinentes ao ângulo de vetores, projeções de vetores. Estes conteúdos serão utilizados posteriormente em produto veto- rial e misto, que possuem várias interpretações geométricas. Para um melhor entendimento sobre produto escalar devem- -se conhecer os conceitos iniciais de vetores. Tais conceitos são apli- cados na determinação de ângulos entre vetores, no estudo da reta e do plano, projeções além de aplicações em outras áreas. – 80 – Geometria Analítica 6.1 Definição algébrica do produto escalar Denomina-se produto escalar de dois vetores 1 1 1u x i y j z k → → → → = + + e 2 2 2v x i y j z k → → → → = + + , ao número real 1 2 1 2 1 2u v x x y y z z → → ⋅ = + + (37) O produto escalar de u → por v → é representado por u v → → ⋅ ou u, v → → e se lê u → escalar v → . Exemplo 6.1. Dados os vetores u 2 i 3 j 5k → → → → = + + e v 4 i 3 j 1k → → → → = − − , determinar o produto escalar entre os vetores u → e v → . Solução: Substituindo-se as coordenadas dos vetores na equação (37), tem-se 1 2 1 2 1 2u v x x y y z z → → ⋅ = + + u v 2 4 3 ( 3) 5 ( 1) → → ⋅ = ⋅ + ⋅ − + ⋅ − u v 8 9 5 → → ⋅ = − − u v 6 → → ⋅ = − Exemplo 6.2. Sejam os vetores u 3 i 5 j k → → → → = − + + e v 3 i 2 j 2 k → → → → = − + , determinar: a) u v u v → → → → + ⋅ − b) v v → → ⋅ c) u u → → ⋅ – 81 – Produto escalar Solução: a) Primeiramente resolve-se a soma entre os vetores e em seguida aplica-se a definição do produto escalar com as novas coordenadas encontradas u v 3 i 5 j k 3 i 2 j 2 k 0 i 2 j 3 k 2 j 3 k → → → → → → → → → → → → → + = − + + + − + = + + = + u v 3 i 5 j k 3 i 2 j 2 k 0 i 2 j 3 k 2 j 3 k → → → → → → → → → → → → → + = − + + + − + = + + = + u v 3 i 5 j k 3 i 2 j 2 k 6 i 7 j k 6 i 7 j k → → → → → → → → → → → → → → − = − + + − − + = − + − = − + − u v 3 i 5 j k 3 i 2 j 2 k 6 i 7 j k 6 i 7 j k → → → → → → → → → → → → → → − = − + + − − + = − + − = − + − u v u v 0 ( 6) 2 7 3 ( 1) 0 14 3 11 → → → → + ⋅ − = ⋅ − + ⋅ + ⋅ − = + − = b) Substituindo as coordenadas do vetor v 3 i 2 j 2 k → → → → = − + na equa- ção (37), obtém-se v v x x y y z z 3 3 ( 2) ( 2) 2 2 9 4 4 17 → → ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + − ⋅ − + ⋅ = + + = c) Substituindo as coordenadas do vetor u 3 i 5 j k → → → → = − + + na equa- ção (37), obtém-se u u x x y y z z ( 3) ( 3) 5 5 1 1 9 25 1 35 → → ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ = − ⋅ − + ⋅ + ⋅ = + + = 6.2 Propriedades do produto escalar Considerando-se os vetores u → , v → e w → e um número real k, verifica-se que: – 82 – Geometria Analítica 2 u v v u → → → → ⋅ = ⋅ O produto escalar não se altera ao se inverter a ordem dos vetores. 2 u v w u v u w → → → → → → → ⋅ + = ⋅ + ⋅ No produto escalar de um vetor por uma soma vetorial, pode-se aplicar a propriedade distributiva e resolver o produto escalar de cada termo, somando seus resultados. 2 k u v k u v u k v → → → → → → ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ Na multiplicação de um escalar (número real) pelo produto escalar de dois vetores, pode-se multiplicar somente um dos vetores pelo escalar antes e depois resolver o produto escalar. 2 u u 0 ,se u (0,0,0) → → → ⋅ > ≠ O produto de um vetor por ele mesmo será sempre um número positivo, se o vetor for não nulo. 2 u u 0 ,se u (0,0,0) → → → ⋅ = = Se o produto de um vetor por ele mesmo é zero, implica que o vetor é nulo. 2 2u u u → → → ⋅ = O produto de um vetor por ele mesmo é o quadrado do módulo do vetor. – 83 – Produto escalar Exemplo 6.3. Sendo u 3 → = , v 5 → = e u v 10 → → ⋅ = , determinar 2 u 6 v 5u 4 v → → → → + ⋅ − : Solução: Aplica-se a propriedade distributiva 2 u 6 v 5u 4 v 2 u 5u 2 u ( 4 v ) 6 v 5u 6 v ( 4 v ) → → → → → → → → → → → → + ⋅ − = ⋅ + ⋅ − + ⋅ + ⋅ − 2 u 6 v 5u 4 v 10u u 8u v 30 v u 24 v v → → → → → → → → → → → → + ⋅ − = ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ 2 22 u 6 v 5u 4 v 10 u 8u v 30 v u 24 v → → → → → → → → → → + ⋅ − = − ⋅ + ⋅ − 2 22 u 6 v 5u 4 v 10 3 8 10 30 10 24 5 → → → → + ⋅ − = ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ 2 u 6 v 5u 4 v 90 80 300 240 → → → → + ⋅ − = − + − 2 u 6 v 5u 4 v 70 → → → → + ⋅ − = 6.3 Definição geométrica de produto escalar Sejam dois vetores no espaço u → e v → que formam um ângulo q entre si, conforme a figura 6.1. Para fechar um triângulo deve-se criar um vetor dado por u v → → − . – 84 – Geometria Analítica Figura 6.1. Triângulo formado por três vetores. u → u → v → v → qq u v → → − A lei dos cossenos a2 = b2 + c2 – 2 · b · c · cos q · é uma fórmula para se calcular o lado a que é oposto ao ângulo de referência. Como o triângulo da figura 6.1 é formado por vetores, usa-se o módulo dos vetores para represen- tarem os lados. Aplica-se a então a lei dos cossenos ao triângulo, 2 2 2u v u v 2 u v cos → → → → → → − = + − ⋅ ⋅ ⋅ θ (38) Desenvolvendo o produto notável no primeiro membro 2 2 2 2u 2 u v v u v 2 u v cos → → → → → → → → − ⋅ ⋅ + = + − ⋅ ⋅ ⋅ θ (39) Que resulta em u v u v cos → → → → ⋅ = ⋅ ⋅ θ (40) A equação (40) é também a definição do produto escalar, com o ângulo estando entre 0 e 180°, ou seja, 0º ≤ q ≤ 180º. Exemplo 6.4. Sendo u 4 → = , v 3 → = e o ângulo entre os vetores 120º, determinar: a) u v → → ⋅ b) u v → → + c) u v → → − – 85 – Produto escalar Solução: a) Como os valores dos módulos dos vetores e o ângulo entre os veto- res são conhecidos, substitui-se na equação (40). 1u v u v cos 4 3 cos120 4 36 2 → → → → ⋅ = ⋅ ⋅ θ = ⋅ ⋅ ° = ⋅ ⋅ − = − b) Aplica-se o produto notável quadrado da soma, substituindo então os valores que são conhecidos 2 2 2u v u 2 u v v → → → → → → + = + ⋅ ⋅ + 2 2 2u v 4 2 ( 6) 3 → → + = + ⋅ − + 2u v 16 12 9 → → + = − + 2u v 13 → → + = u v 13 → → + = c) De forma análoga resolve-se pelo quadrado da diferença 2 2 2u v u 2 u v v → → → → → → − = − ⋅ ⋅ + 2 2 2u v 4 2 ( 6) 3 → → − = − ⋅ − + 2u v 16 12 9 → → − = + + 2u v 37 → → − = – 86 – Geometria Analítica u v 37 → → − = Uma observação que vale a pena ressaltar é em relação ao sinal do pro- duto escalar: quando o resultado for positivo, negativo ou nulo. I. u v 0 (positivo) cos 0 (positivo) 0 90 → → ⋅ > ⇔ θ > ⇔ ° ≤ θ < ° O produto escalar será um número positivo, se e somente se, o ângulo entre os vetores for maior ou igual a zero e menor que noventa graus. II. u v 0 (negativo) cos 0 (negativo) 90 180 → → ⋅ < ⇔ θ < ⇔ ° < θ ≤ ° O produto escalar será um número negativo, se e somente se, o ângulo entre os vetores for maior que noventa graus e menor ou igual a cento e oitenta graus. III. u v 0 (nulo) cos 0 (nulo) 90 → → ⋅ = ⇔ θ = ⇔ θ = ° O produto escalar será nulo, se e somente se, o ângulo entre os vetores for igual a noventa graus. Das afirmações apresentadas, a última determina a condição de ortogo- nalidade de dois vetores, ou seja, dois vetores são ortogonais se e somente se o produto escalar entre eles for zero. Exemplo 6.5. Mostrar se os vetores u 1 i 2 j 3 k → → → → = − + e v 4 i 5 j 2 k → → → → = + + são ortogonais: Solução: A forma de mostrar que dois vetores são ortogonais é aplicando a DEFINIÇÃO do produto escalar para os dois vetores e verificando se o resul- tado é zero, pois se for zero implica em ter o ângulo igual a 90°. Aplicando a equação (37) para as coordenadas dos vetores 1 2 1 2 1 2u v x x y y z z → → ⋅ = + + – 87 – Produto escalar u v 1 4 ( 2) 5 3 2 → → ⋅ = ⋅ + − ⋅ + ⋅ u v 4 10 6 → → ⋅ = − + u v 0 → → ⋅ = Desta forma, conclui-se que os vetores são ortogonais. 6.4 Ângulo entre dois vetores Para se calcular o ângulo entre dois vetores utiliza-se a definição do pro- duto escalar isolando o fator cos q. Sejam dois vetores, não nulos, no espaço u → e v → que formam um ângulo q entre si, e da definição do produto escalar dada pela equação u v u v cos → → → → ⋅ = ⋅ ⋅ θ , isola-se cos q, obtendo-se u vcos u v → → → → ⋅ θ = ⋅ (41) Exemplo 6.6. Sejam os vetores u 2 i 2 j 8k → → → → = + + e v 2 i 4 j 4 k → → → → = − + + , determinar o ângulo entre u → e v → . Solução: Determina-se o produto escalar entre os vetores pela equação (37), o módulo de cada vetor e aplicam-se os resultados na equação (41). Cálculo do módulo dos vetores u → e v → 2 2 2 2 2 2u x y z 2 2 8 4 4 64 72 6 2 → = + + = + + = + + = = 2 2 2 2 2 2v x y z ( 2) 4 4 4 16 16 36 6 → = + + = − + + = + + = = Cálculo do produto escalar entre u → e v → – 88 – Geometria Analítica u v 2 ( 2) 2 4 8 4 4 8 32 36 → → ⋅ = ⋅ − + ⋅ + ⋅ = − + + = Cálculo do ângulo entre u → e v → u v 36 36 1 2cos 26 2 6 36 2 2u v → → → → ⋅ θ = = = = = ⋅⋅ Para se determinar o ângulo q entre dois vetores, é necessário consultar uma tabela trigonométrica ou fazer uso de uma calculadora científica. Logo 2arc cos 45 2 θ = = ° Exemplo 6.7. Sendo os vetores u (m, 5,0) → = − , v (1,2,3) → = e o ângulo entre os vetores igual a 90°, determinar o valor de m. Solução: Substituindo as coordenadas dos vetores e o ângulo na equação (41) u vcos u v → → → → ⋅ θ = ⋅ ( ) ( )m, 5,0 1,2,3 cos90 u v → → − ⋅ ° = ⋅ m 1 ( 5) 2 0 30 u v → → ⋅ + − ⋅ + ⋅ = ⋅ 0 u v m 10 0 → → ⋅ ⋅ = − + 0 = m – 10 m = 10 – 89 – Produto escalar 6.5 Ângulos diretores e cossenos diretores de um vetor Os ângulos diretores de um vetor v → são as menores medidas dos ângu- los α, β e λ que o vetor forma com os eixos cartesianos x, y e z, respectiva- mente. São ângulos que estão compreendidos de 0 a 180°, ou seja, 0º ≤ α, β, λ ≤ 180°, como se pode observar na figura 6.2. Figura 6.2 Ângulos diretores de um vetor v → . iv → jv → kv → α β λ y x z v → Os cossenos diretores do vetor são os cossenos de seus ângulos direto- res, ou seja, cos α, cos β e cos λ. Para determinar os ângulos e os cossenos diretores, utiliza-se a equação (41) que calcula o ângulo entre dois vetores não-nulos. Sendo o vetor v x i y j z k → → → → = + + , então a projeção do vetor sobre cada um dos eixos são os vetores 1v x i → → = na direção x, 2v y j → → = na direção y e 3v z k → → = na direção z (combinação linear de um vetor). Aplicando a equação (41) para os pares de vetores v → e 1v → , v → e 2v → , v → e 3v → , encontra-se 1 1 v v x x xcos cos cos v v v x v → → → → → → ⋅ ⋅ α = → α = → α = ⋅ ⋅ – 90 – Geometria Analítica 2 2 v v y y y cos cos cos v v v y v → → → → → → ⋅ ⋅ β = → β = → β = ⋅ ⋅ 3 3 v v z z zcos cos cos v v v z v → → → → → → ⋅ ⋅ λ = → λ = → λ = ⋅ ⋅ Então os cossenos diretores do vetor são determinados por: xcos a v →α = (42) y cos v →β = (43) zcos v →λ = (44) Comparando estes resultados com a definição do versor de um vetor v → que é determinado por vvers v v → → →= , pode-se dizer então que os cossenos diretores do vetor v → são as componentes do versor de v → , ou seja, ( ) ( )x,y,z yv x zvers v , , cos ,cos ,cos v v v v v → → → → → → → = = = = α β λ Como o versor é um vetor unitário, obtém-se: cos2 α +cos2 β + cos2 λ = 1 (45) – 91 – Produto escalar Exemplo 6.8. Determinar os ângulos diretores do vetor v 1 i 1 j → → → = − . Solução: Determinando o módulo do vetor v → 2 2 2 2 2 2v x y z 1 ( 1) 0 1 1 0 2 → = + + = + − + = + + = Utilizando as equações (42), (43) e (44), tem-se x 1 1cos arc cos 45 2 2v →α = = → α = = ° y 1 1cos arc cos 135 2 2v → − − β = = → β = = ° z 0cos 0 arc cos0 90 2v →λ = = = → λ = = ° Exemplo 6.9. Os ângulos diretores de um vetor são 45º, 60º, λ. Deter- minar o valor de λ. Solução: Aplicando a equação (45), utilizando os valores dos ângulos fornecidos no enunciado e resolvendo para λ, encontra-se o valor do ângulo pedido cos2 α +cos2 β + cos2 λ = 1 cos2 45º +cos2 60º + cos2 λ = 1 Usando o recurso de uma calculadora científica ou uma tabela trigono- métrica, fica, 2 2 22 1 cos 1 2 2 + + λ = 22 1 cos 1 4 4 + + λ = – 92 – Geometria Analítica Isolando o fator cos2 λ, 2 2 1cos 1 4 4 λ = − − 2 4 2 1cos 4 − − λ = 2 1cos 4 λ = Extraímos a raiz quadrada dos dois membros da equação. Deve-se adi- cionar o sinal de ±, pois o resultado da potência admite dois valores como resposta: um positivo e um negativo. 1cos 4 λ = ± 1cos 2 λ = ± Logo o ângulo pode ser λ = 60º para o resultado positivo do cosseno e λ – 120º para o valor negativo do cosseno. Exemplo 6.10. Determinar as coordenadas do vetor v → conforme indica a figura. jv → λ y60º 45º x z | v → | = 2 – 93 – Produto escalar Solução: Sendo ( )v x,y,z → = o vetor procurado e de acordo com a figura os ângulos diretores α = 60º, α = 45º, utiliza-se a equação (42) e (43) determi- nando as coordenadas x e y. x x 1 xcos cos60 x 1 2 2 2v →α = → ° = → = → = y y y2cos cos 45 y 2 2 2 2v →β = → ° = → = → = Aplicando a definição do módulo do vetor determina-se a coordenada z. 2 2 2v x y z → = + + ( )22 22 1 2 z= + + 22 1 2 z= + + ( )22 22 3 z= + 4 = 3 + z2 z2 = 4 – 3 z2 = 1 z 1= ± z – ± 1 – 94 – Geometria Analítica Portanto, o vetor v → poderia ter sua coordenada z igual a +1 ou –1, mas como de acordo com a figura o vetor está no primeiro octante usa-se o valor positivo: ( )v 1, 2,1→ = . 6.6 Projeção de um vetor sobre outro Considerando os vetores u → e v → não nulos e um ângulo q entre eles. Decompondo o v → vetor sobre o vetor u → , de tal modo que 1v / / u → → e 2v u → → ⊥ . Figura 6.3. Projeção de um vetor sobre outro. u →u → v → v → 1v → 1v → 2 qq O vetor 1v → definido como projeção ortogonal de v →
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