(Gabarito) Exercícios - Semana 3

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Universidade de Brasília
Departamento de Matemática
Cálculo 3 -D
Exercícios – Semana 3
Derivadas parciais, diferencial e plano tangente
Questão 1. Calcule as derivadas de primeira ordem das funções abaixo:
a) f(x, y) = arctan(y/x).
b) f(x, y) = ln(1 + cos2(xy3)).
c) f(x, y) = (x + (y/2))2/3.
d) f(x, y, z) = (x2 + y2 + z2)−1/2.
e) f(x, y, z) = xyz/(x2 + y2 + z2).
Questão 2. Determinar
∂f
∂x
(1, 0), onde
f(x, y) = x(x2 + y2)−3/2esin (x
2y).
Sugestão: use a definição.
Questão 3. Encontre as derivadas parciais de segunda ordem das funções abaixo
a) h(x, y) = xey + y + 1.
b) f(x, y, z) = xy + yz + xz
Questão 4. (Equação de Laplace) Dado um conjunto aberto D ⊂ Rn, a equação de
Laplace é definida por
(1) ∆f = 0,
onde ∆ denota o operador de Laplace (ou laplaciano) que é definido por
∆f =
n∑
i=1
∂2f
∂x2i
=
∂2f
∂x21
+ ... +
∂2f
∂x2n
.
Uma função f : D → R que verifica a equação (1) é chamada função harmônica.
No caso bidimensional, a equação de Laplace (1) tem a forma
∆f =
∂2f
∂x2
+
∂2f
∂y2
= 0.
Verifique que a função f(x, y) = ln
√
x2 + y2 é uma função harmônica em R2.
Cálculo 3 - D Exercícios - Semana 3 1.◦/2018 – 1/5
Questão 5. (Equação da onda) Se ficarmos em uma praia e tirarmos uma fotografia
das ondas, essa foto mostrará um padrão regular de picos e depressões em dado instante.
Veremos movimento vertical periódico no espaço em relação à distância. Se ficarmos na água,
poderemos sentir a subida e descida da água com o passar das ondas. Veremos movimento
periódico vertical no tempo. Na física, essa bela simetria é expressa pela equação de onda
unidimensional
∂2w
∂t2
= c2
∂2w
∂x2
,
onde w é a altura da onda, x é a distância, t é o tempo e c é a velocidade com a qual as
ondas se propagam.
Em nosso exemplo, x é a distância ao longo da superfície do mar, mas em outras aplicações
x pode ser a distância ao longo de uma corda vibrando, a distância no ar (ondas sonoras) ou
a distância no espaço (ondas luminosas). O número c varia de acordo com o meio e o tipo
de onda.
Sejam f, g : R→ R funções deriváveis até segunda ordem. Mostre que
u(x, t) = f(x + ct) + g(x− ct)
é uma solução da equação da onda.
Questão 6. Seja
f(x, y) =

xy2
x2 + y4
se (x, y) 6= (0, 0),
0, se (x, y) = (0, 0).
a) Mostre que as derivadas parciais ∂f/∂x e ∂f/∂y existem em todos os pontos.
b) f é continua em (0, 0)?
c) f é diferenciável em (0, 0)?
Questão 7. Seja
f(x, y) =

x3
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0),
0, se (x, y) = (0, 0).
a) Mostre que f é contínua em (0, 0).
b) Calcule ∂f/∂x e ∂f/∂y em (0, 0).
c) f é diferenciável em (0, 0)?
d) ∂f/∂x e ∂f/∂y são contínuas em (0, 0)?
Questão 8. Seja
f(x, y) =
 (x2 + y2) sin
(
1
x2 + y2
)
se (x, y) 6= (0, 0),
0, se (x, y) = (0, 0).
a) Calcule ∂f/∂x e ∂f/∂y em (0, 0)
b) Mostre que ∂f/∂x e ∂f/∂y não são contínuas em (0, 0).
c) f é diferenciável em (0, 0)?
d) f é diferenciável?
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Questão 9. Seja
f(x, y) =
 xy
x2 − y2
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0),
0, se (x, y) = (0, 0).
a) Mostre que
∂f
∂x
(0, y) = −y e ∂f
∂y
(x, 0) = x.
b) Verifique que
∂2f
∂y∂x
(0, 0) = −1 e ∂
2f
∂x∂y
(0, 0) = 1
Questão 10. Determinar a equação do plano tangente ao gráfico da função dada no
ponto dado
a) f(x, y) = 3x3y − xy em (1,−1, f(1,−1)).
b) f(x, y) = xex2−y2 em (2, 2, f(2, 2)).
Questão 11. Determine o plano que seja paralelo ao plano z = 2x + y e tangente ao
gráfico de f(x, y) = x2 + y2.
Questão 12. Considere a função f(x, y) = x3/(x2 +y2). Mostre que os planos tangentes
ao gráfico de f passam pela origem.
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Gabarito
Questão 1.
a)
∂f
∂x
= − y
x2 + y2
,
∂f
∂y
=
x
x2 + y2
.
b)
∂f
∂x
= − 2y
3 sin (2xy3)
cos (2xy3) + 3
,
∂f
∂y
= −6xy
2 sin (xy3) cos (xy3)
cos2 (xy3) + 1
.
c)
∂f
∂x
=
2
3(x + y/2)1/3
,
∂f
∂x
=
1
3(x + y/2)1/3
.
d)
∂f
∂x
= − x
(x2 + y2 + z2)3/2
,
∂f
∂y
= − y
(x2 + y2 + z2)3/2
,
∂f
∂z
= − z
(x2 + y2 + z2)3/2
.
e)
∂f
∂x
=
yz(−x2 + y2 + z2)
(x2 + y2 + z2)2
,
∂f
∂y
=
xz(x2 − y2 + z2)
(x2 + y2 + z2)2
,
∂f
∂z
=
zy(x2 + y2 − z2)
(x2 + y2 + z2)2
,
Questão 2. -2
Questão 3.
a)
∂2h
∂x2
= 0,
∂2h
∂y2
= xey,
∂2h
∂x∂y
=
∂2h
∂y∂x
= ey.
b)
∂2f
∂x2
=
∂2f
∂y2
=
∂2f
∂z2
= 0,
∂2f
∂x∂y
=
∂2f
∂y∂x
=
∂2f
∂x∂z
=
∂2f
∂z∂x
=
∂2f
∂y∂z
=
∂2f
∂z∂y
= 1
Questão 6. b) f não é contínua em (0, 0). c) f não é diferenciável em (0, 0).
Questão 7.
b)
∂f
∂x
(0, 0) = 1 e
∂f
∂y
(0, 0) = 0.
c) f não é diferenciável em (0, 0).
d) Nenhuma das derivadas parciais é continua em (0, 0).
Questão 8.
a)
∂f
∂x
=
 2x sin
(
1
x2 + y2
)
− 2x
x2 + y2
cos
(
1
x2 + y2
)
se (x, y) 6= (0, 0),
0, se (x, y) = (0, 0).
∂f
∂y
=
 2y sin
(
1
x2 + y2
)
− 2y
x2 + y2
cos
(
1
x2 + y2
)
se (x, y) 6= (0, 0),
0, se (x, y) = (0, 0).
b) Os limites
lim
(x,y)→(0,0)
∂f
∂x
(x, y) e lim
(x,y)→(0,0)
∂f
∂y
(x, y)
não existem. Logo ∂f/∂x e ∂f/∂y não são contínuas em (0, 0).
c) f é diferenciável em (0, 0).
d) f é diferenciável.
Cálculo 3 - D Exercícios - Semana 3 1.◦/2018 – 4/5
Questão 10. a) z = −8x + 2y + 5. b) z = 9x− 9y.
Questão 11. z = 2x+ y− 5/4: plano tangente gráfico de f no ponto (1, 1/2, f(1, 1/2)).
Questão 12. Deve-se verificar que
f(x0, y0) = x0
∂f
∂x
(x0, y0) + y0
∂f
∂y
(x0, y0),
para todo (x0, y0) ∈ Df .
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