Estruturas Algebricas-Avaliação 2

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Acadêmico: 
 
Disciplina: Estruturas Algébricas (MAD17) 
Avaliação: Avaliação II - 
Prova: 
 
Nota da Prova: 10,00 
 
Legenda: Resposta Certa Sua Resposta Errada 
1. Em matemática, na divisão de polinômios, utilizamos duas regras matemáticas 
fundamentais: realizar a divisão entre os coeficientes numéricos e divisão de 
potências de mesma base (conservar a base e subtrair os expoentes). Sendo assim, 
tomando as soluções da equação Q(x) = 0, em que Q(x) é o quociente do polinômio 
x^4 - 10x³ + 24x² + 10x - 24 por x² - 6x + 5, analise as opções a seguir que procuram 
apresentar a solução desta equação, e classifique V para as sentenças verdadeiras e F 
para as falsas: 
 
( ) -1 e 5 
( ) -1 e -5 
( ) 1 e -5 
( ) 1 e 5 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 a) V - F - F - F. 
 b) F - V - F - F. 
 c) F - F - F - V. 
 d) F - F - V - F. 
 
2. O conjunto dos polinômios de grau n possui estrutura de anel, ou seja, existem duas 
operações binárias definidas sobre ele que obedecem a certas propriedades. Neste 
contexto, analise as sentenças a seguir e assinale a alternativa que corresponde a P(x) 
+ Q(x), onde: 
 
 a) Somente a opção III está correta. 
 b) Somente a opção I está correta. 
 c) Somente a opção IV está correta. 
 d) Somente a opção II está correta. 
 
3. No estudo das estruturas algébricas, para verificar se um dado subconjunto de um 
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grupo é um subgrupo, precisamos mostrar que ele é fechado para a operação do 
grupo e provar as três condições da definição de grupo. Quanto às possíveis 
definições para SUBGRUPO, analise as sentenças a seguir e assinale a alternativa 
CORRETA: 
 
 a) Somente a sentença I está correta. 
 b) Somente a sentença III está correta. 
 c) Somente a sentença IV está correta. 
 d) Somente a sentença II está correta. 
 
4. A teoria do resto é uma proposição matemática que generaliza o resto, ou a quantia 
restante depois de um processo de divisão, apresentando uma relação entre os valores 
do divisor e do dividendo. Considerando o Teorema do Resto, quanto aos possíveis 
restos da divisão de P(x) por D(x), analise as sentenças a seguir e assinale a 
alternativa CORRETA: 
 
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 a) Somente a sentença III está correta. 
 b) Somente a sentença IV está correta. 
 c) Somente a sentença II está correta. 
 d) Somente a sentença I está correta. 
 
5. Polinômio é uma expressão algébrica composta por dois ou mais monômios. Na 
divisão de polinômios, utilizamos duas regras matemáticas fundamentais: realizar a 
divisão entre os coeficientes numéricos e divisão de potências de mesma base 
(conservar a base e subtrair os expoentes). Desta forma, assim como com os números 
reais, podemos dividir dois polinômios quaisquer, encontrando um quociente Q(x) e 
um resto R(x), nulo ou não. Neste contexto, assinale a alternativa CORRETA que 
apresenta o resto da divisão de: 
 
P(x) = x³ - 6x² - 5x + 7 
por 
D(x) = x + 2 
 a) R(x) = 15. 
 b) R(x) = 14. 
 c) R(x) = - 14. 
 d) R(x) = - 15. 
 
6. Podemos encontrar as raízes de uma determinada equação através da sua fatoração 
em equações de graus menores do que o grau da equação original. Aplicando este 
conceito na equação x³ - 4x² + 3x = 0, concluímos que o conjunto de suas raízes é: 
 a) S = {0, 1, 3}. 
 b) S = {-3, -1, 0}. 
 c) S = {-3, 0, 1}. 
 d) S = {-1, 0, 1}. 
 
7. O Teorema da Decomposição nos garante que qualquer polinômio pode ser reescrito 
como um produto de polinômios de grau 1, onde suas raízes ocupam um lugar de 
destaque. O polinômio P(x) = 2x³ - 6x² + 8x - 24, possui -2i, 2i e 3 como raízes. 
Então, pelo Teorema da Decomposição, podemos escrever P(x) como: 
 a) 2·(x² - 4)·(x + 3). 
 b) 2·(x² + 4)·(x + 3). 
 c) 2·(x² + 4)·(x - 3). 
 d) 2·(x² - 4)·(x - 3). 
 
8. Albert Girard (1590-1633) foi um matemático belga que estabeleceu relações de 
soma e produto entre as raízes de uma equação do 2º grau. Também criou uma 
estrutura que relacionava os coeficientes numéricos de uma equação de grau 3 com 
suas raízes. Baseado nisto, considerando as relações de Girard, analise as sentenças a 
seguir quanto à soma e ao produto das raízes da equação 5x³ + 10x² + 20x - 15 = 0: 
 
I) -2 e 3. 
II) 2 e -3. 
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III) -2 e -3. 
IV) 2 e 3. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 a) Somente a opção I está correta. 
 b) Somente a opção IV está correta. 
 c) Somente a opção III está correta. 
 d) Somente a opção II está correta. 
 
9. Em matemática, aritmética modular (chamada também de aritmética do relógio) é 
um sistema de aritmética para inteiros, onde os números "voltam pra trás" quando 
atingem um certo valor, o módulo. Devemos muito bem conhecer a classe dos 
possíveis restos da divisão de um número por um certo valor, para defini-la. Baseado 
nisto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas e assinale a 
alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 
 a) V - V - F - F. 
 b) F - F - V - V. 
 c) F - V - V - F. 
 d) V - F - F - V. 
 
10. Em matemática, muitas vezes nos deparamos com problemas envolvendo polinômios 
de grau 3. Uma das formas de resolvê-los é diminuindo o seu grau, fatorando-o por 
meio de divisões de polinômios. Baseado nisto, dividindo x³ - 4x² + 7x - 3 por um 
certo polinômio D(x), obtemos quociente Q(x) = x - 1 e resto R(x) = 2x - 1. Quanto 
ao valor do polinômio D(x), analise as opções a seguir: 
 
I) 2x² - 3x + 2 
II) x² - 3x + 2 
III) x² - x + 1 
IV) 3x² - 4x + 1 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 a) Somente a opção I está correta. 
 b) Somente a opção II está correta. 
 c) Somente a opção III está correta. 
 d) Somente a opção IV está correta. 
 
Prova finalizada com 10 acertos e 0 questões erradas. 
 
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