Viga em meio elástico_folhas

Prévia do material em texto

Viga em meio elástico 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. VIGA EM MEIO ELÁSTICO 
 
1.1 INTRODUÇÃO...................................................................................................... 1.2 
1.2 MÉTODOS DE ANÁLISE ....................................................................................... 1.3 
1.3 VIGA EM MEIO ELÁSTICO DE WINKLER ............................................................ 1.3 
1.3.1 Soluções clássicas ....................................................................................... 1.3 
1.3.1.1 Viga infinita.............................................................................................. 1.9 
1.3.1.2 Viga semi-infinita ................................................................................... 1.12 
1.3.1.3 Viga finita ............................................................................................... 1.15 
1.3.2 Solução de Hetenyi para viga finita........................................................ 1.17 
1.3.3 Viga rígida ................................................................................................ 1.21 
1.3.4 Alguns comentários acerca do modelo de Winkler............................... 1.26 
1.4 VIGA EM MEIO ELÁSTICO CONTÍNUO............................................................... 1.27 
1.4.1 Introdução ................................................................................................ 1.27 
1.4.2 Solução de Biot /Vesic.............................................................................. 1.27 
1.5 MÉTODO SIMPLIFICADO .................................................................................. 1.30 
1.6 CARACTERIZAÇÃO DO TERRENO DE FUNDAÇÃO............................................. 1.34 
1.6.1 Introdução ................................................................................................ 1.34 
1.6.2 Avaliação dos parâmetros de deformabilidade..................................... 1.36 
 
 
Anexo 1A 
Anexo 1B 
Anexo 1C 
Anexo 1D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Paula Varatojo / 2008 1.1
Viga em meio elástico 
1. VIGA EM MEIO ELÁSTICO 
 
1.1 INTRODUÇÃO 
 
No âmbito deste capítulo a designação de viga em meio elástico refere-se ao caso da viga 
(fundação superficial ou directa) com dimensões transversais Bxh e comprimento l, 
assente à superfície de um terreno de fundação (espaço semi-infinito) com 
comportamento elástico e linear, homogéneo e isotrópico, a estudar bidimensionalmente 
no plano XZ, em que X corresponde ao eixo coordenado que coincide com o eixo axial 
da viga. 
 
No âmbito do volume Mecânica dos Solos II, foram apresentadas soluções relativas ao 
dimensionamento geotécnico de fundações directas, analisadas no plano YZ, 
nomeadamente o caso de sapatas contínuas (infinitas) de largura B e L = ∞, sujeitas a 
carregamentos estáticos uniformemente distribuídos ao longo do eixo X, e ainda o caso 
sapatas isoladas com dimensões finitas BxL, ambas no plano YZ, em que Y representa o 
eixo coordenado na direcção da menor dimensão da sapata em planta. 
 
No capítulo correspondente, foram apresentadas soluções baseadas na teoria da 
plasticidade e em análises de equilíbrio limite para avaliação da capacidade resistente de 
sapatas (estado limite último por insuficiente capacidade resistente do terreno de 
fundação) e soluções elásticas e lineares para avaliação dos deslocamentos verticais 
(estado limite de utilização). 
 
No presente capítulo deste volume apresentam-se abordagens que permitem avaliar os 
campos de tensão e deformação de vigas (sapatas contínuas), quando estas são solicitadas 
ao longo do eixo axial X por carregamentos estáticos quaisquer. Estas soluções vão 
permitir realizar o dimensionamento estrutural destes elementos de fundação, isto é, após 
seleccionado o tipo de betão e aço a utilizar, o conhecimento dos esforços permite 
realizar o dimensionamento das peças e a avaliação dos deslocamentos verticais permite 
verificar se estes são compatíveis com os valores aceitáveis para as estruturas que 
suportam. 
 
Como exemplos de obras onde este tipo de modelação pode ser necessário para o 
dimensionamento de vigas de fundação, pode indicar-se o caso de vigas de fundação de 
edifícios sujeitas a cargas estáticas ou móveis, Figura 1.1a e caminhos de rolamento 
sujeitos a cargas móveis, Figura 1.1b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Paula Varatojo / 2008 1.2
Viga em meio elástico 
 
 
Figura 1.1 – Casos de obras: (a) Ponte rolante; (b) Guindaste móvel 
 
 
 
 
1.2 MÉTODOS DE ANÁLISE 
 
Têm sido desenvolvidas inúmeras soluções para tratar o caso de vigas apoiadas em 
maciços terrosos, traduzindo cada uma delas uma idealização do problema. 
 
Neste capítulo é dado especial ênfase às soluções matemáticas baseadas na teoria elástica 
linear, por se considerar que as mesmas permitem uma adequada base para o 
entendimento do comportamento físico dos sistemas constituídos pelas vigas assentes no 
terreno, sendo óbvio que soluções numéricas baseadas nos métodos das diferenças finitas 
ou dos elementos finitos constituem, hoje em dia, a ferramenta habitual de análise, 
permitindo ainda a adopção de outras leis de comportamento para o terreno de fundação.. 
 
Por outro lado, e como se verá no âmbito do Capítulo 2 deste volume, este tipo de 
soluções pode ainda ser utilizado no que se refere ao comportamento de estacas em meio 
semi-infinito elástico e linear, sujeitas a carregamento horizontal. 
 
No âmbito deste volume são apenas apresentados o modelo de Winkler e as designadas 
soluções clássicas, a solução de Hetenyi para vigas finitas em meio de Winkler, soluções 
para vigas rígidas também em meio de Winkler, a solução de Biot/Vesic para meio 
elástico contínuo e o método simplificado. 
 
 
 
1.3 VIGA EM MEIO ELÁSTICO DE WINKLER 
 
1.3.1 Soluções clássicas 
 
O modelo de Winkler corresponde a substituir o solo (terreno de fundação) por um 
conjunto de molas ligadas a uma camada incompressível, Figura 1.2a, sendo que estas 
molas são independentes entre si e de tal modo que a deformação de cada uma delas não 
Paula Varatojo / 2008 1.3
Viga em meio elástico 
depende da que se verifica nas outras, mantendo-se indeformadas aquelas que se situam 
fora da área carregada, Figura 1.2c. 
 
 
 
Figura 1.2 – Fundação de Winkler: (a) viga assente no terreno; (b) modelo de molas equivalente; (c) 
zona deformada sob a viga sujeita a carga vertical concentrada Q 
 
 
Na fundação de Winkler, a pressão de contacto entre a base da viga e o solo num dado 
ponto é assim directamente proporcional ao deslocamento elástico do solo nesse ponto e 
pode ser expressa por 
 
 wkp 0= ( 1.1)
 
em que 
p - tensão transmitida ao solo, [FL-2] 
w – deslocamento vertical, [L] 
k0 – coeficiente de reacção do solo, [FL-3] 
 
Para análise do problema tem de admitir-se que o solo resiste a forças de tracção, 
correspondentes a levantamento da viga, e que as forças friccionais originada na interface 
entre a base da viga e o meio elástico, devido à deformação da viga, são desprezadas. 
 
Considere-se assim uma viga de secção rectangular com largura B assente ao longo de 
todo o seu comprimento num meio elástico de Winkler e sujeita a forças verticais q 
actuando no plano XZ, Figura 1.3, e um elemento representativo daquela com dimensões 
dx, Figura 1.4, para o qual a equação de equilíbrio das forças verticais, onde T representa 
o esforço transverso, toma a forma 
 
 ( ) 0=−−+− dxqdxpdTTT ( 1.2)
 
isto é 
 
Paula Varatojo / 2008 1.4
Viga em meio elástico 
 
 qpdx
dT
−= ( 1.3)
 
 
Figura 1.3 – Viga em meio elástico: (a) molas simulando o meio elástico; (b) deformada sob a acção 
da carga q(x) 
 
 
 
Figura 1.4 – Elemento representativo da viga em equilíbrio 
 
 
Da análise da flexão de vigas prismáticas de secção recta, sabe-se que e 
assim 
dx/dMT =
 
 
qp
dx
Md
dx
dT
−== 2
2
 
( 1.4)
 
Considerando que para efeito de análise é preferível usar o módulo de reacção do solo, K, 
com dimensões [FL-2], do que o coeficiente k0 com dimensões [FL-3], aquele é definidopor 
 
 BkK 0= ( 1.5)
Paula Varatojo / 2008 1.5
Viga em meio elástico 
 
a equação 1.1 transforma-se em 
 
 wKwBkp == 0 ( 1.6)
 
passando p a ter dimensões [FL-1]. A equação 1.4 pode agora se escrita na forma 
 
 
qwK
dx
Md
dx
dT
−== 2
2
 
( 1.7)
 
Usando a teoria das barras para definir o estado da viga em termos de deslocamentos, a 
relação momentos/curvatura é expressa pela equação ( ) MdxwdEI −=22 , em que E 
representa o módulo de elasticidade da viga e I o seu momento de inércia. Diferenciando 
esta equação duas vezes em ordem a x, considerando EI constante, e substituindo na 
equação anterior, obtém-se a equação da elástica da viga sujeita a carregamento q e 
apoiada em meio elástico de Winkler 
 
 
qwK
dx
wdEI +−=4
4
 
( 1.8)
 
Fora das zonas carregadas da viga, a equação 1.8 adquire a forma 
 
 
wK
dx
wdEI −=4
4
 
( 1.9)
 
Para resolver a equação 1.9, a forma mais simples consiste em considerar β4 = K/EI e 
obter a solução da equação homogénea 
 
 
044
4
=+ w
dx
wd β 
( 1.10)
 
sendo que as soluções particulares desta última equação para diferentes formas de q, são 
obtidas a partir da solução geral da equação 1.10, à qual é adicionado um integral 
correspondente a q. 
 
A solução da equação 1.10 apresenta-se na forma 
 
 ( ) ( )xsenCxcosCexsenCxcosCew xx λλλλ λλ 4321 +++= − ( 1.11)
 
em que C1, C2, C3 e C4 são constantes de integração a determinar e dependem do 
carregamento e das condições de fronteira do problema. 
 
Por diferenciação da equação 1.11 é possível obter as expressões relativas à inclinação da 
deformada, os momentos flectores e os esforços transversos na viga, tendo em conta que 
Paula Varatojo / 2008 1.6
Viga em meio elástico 
 
 
θtg
dx
dw
= ( 1.12)
 
 
M
dx
wdEI =− 2
2
 
( 1.13)
 
 
T
dx
wdEI =− 3
3
 
( 1.14)
 
A pressão de contacto entre a viga e o terreno, expressa por largura da viga (e com 
dimensões [FL-1], pode ser obtida a partir da equação 1.6. 
 
O parâmetro 
 
 
4
4EI
K
=λ 
( 1.15)
 
com dimensões [L-1], é habitualmente designado por factor ondulatório e traduz a rigidez 
relativa entre a viga e o terreno de fundação. 
 
A grandeza 1/λ é designada por comprimento característico do sistema solo/viga, 
comprimento característico ou comprimento elástico. 
 
A formulação que conduz à equação 1.8 torna-se adequada quando o coeficiente K varia 
ao longo do comprimento da viga, pois a função K aparece directamente naquela equação 
sem necessidade de derivação. 
 
Outro tipo de abordagem passa pela utilização, fora da área carregada, da equação 1.7, 
agora na forma 
 
 
wK
dx
Md
=2
2
 
( 1.16)
 
 e da equação 1.13. Efectuando a dupla diferenciação da equação 1.16 em relação a x 
obtém-se 
 
 
2
2
4
4
dx
wdK
dx
Md
= 
( 1.17)
 
pelo que substituindo a equação 1.13 na equação 1.17 resulta uma equação semelhante à 
equação 1.9, agora expressa em termos de momentos. 
 
Paula Varatojo / 2008 1.7
Viga em meio elástico 
 
M
EI
K
dx
Md
−=4
4
 
( 1.18)
 
Note-se que como o momento de inércia da viga aparece directamente na equação 1.18, 
esta torna-se de mais fácil utilização quando I varia ao longo do comprimento daquela. 
 
Por outro lado, a utilização da equação 1.9 adquire particular interesse quando as 
condições de fronteira são expressas em termos de deslocamentos e rotações, enquanto 
que a equação 1.18 é preferível quando aquelas são expressas em termos de momentos e 
esforços transversos. 
 
As constantes de integração dependem do modo como a vigas se encontram carregadas e 
têm valor constante ao longo de cada troço no qual a elástica e suas derivadas não 
variam. Os seus valores podem ser obtidos a partir das condições w, θ, M e T em cada 
uma das extremidades dos troços contínuos visto que, das quatro condições em cada 
extremidade, duas são geralmente conhecidas, o que permite a obtenção das constantes 
C1, C2, C3 e C4. 
 
Existem dois tipos de abordagens para obtenção das constantes de integração: a via 
puramente matemática e a via física, neste caso designado por método das condições 
iniciais. 
 
A primeira via é demasiado complexa e pouco adequada às utilizações práticas. O 
método das condições iniciais é também bastante trabalhoso para o caso de 
carregamentos genéricos, Figura 1.5, e consiste em definir a elástica por troços da viga a 
partir da origem do eixo X, adicionando-se um termo por cada carga encontrada ao longo 
deste eixo. 
 
 
Figura 1.5 – Viga sujeita a carregamento genérico 
 
 
Apenas a título de exemplo, indica-se abaixo a solução relativa à equação da elástica da 
viga representada na Figura 1.5. 
 
Paula Varatojo / 2008 1.8
Viga em meio elástico 
 ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) dxexqF
EI
bxMF
EI
axQF
EI
xFT
EI
xFM
EI
xFQxFww
d
c
x
∫ −+−−−+
+−−+=
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
433243
4033022010
111
111
 
( 1.19)
 
em que F1 a F4 são funções hiperbólicas de λx, w0, θ0, M0 e T0 correspondem aos valores 
que estas grandezas assumem na extremidade da viga coincidente com a abcissa x = 0 e 
w, θ, M e T aos valores correspondentes para qualquer valor 0< x ≤ l. 
 
Por simplicidade, interessa apenas estudar algumas soluções particulares, ou seja, a viga 
infinita (viga de comprimento infinito), a viga semi-infinita (viga com os extremos livres 
e sujeita a carga vertical numa das extremidades) e a viga finita (viga de comprimento 
finito em que é necessário atender às condições em ambas as extremidades). 
 
1.3.1.1 Viga infinita 
 
Considere-se a viga de comprimento infinito representada na Figura 1.6, sujeita à carga 
vertical Q com ponto de aplicação na origem do sistema de eixos coordenados. 
 
 
Figura 1.6 – Viga infinita sujeita a carga concentrada 
 
 
Devido à simetria do problema, apenas é necessário estudar metade da viga. Escolhendo 
a metade direita por facilidade e aplicando a solução geral correspondente à equação 1.11 
ao caso em apreço, há agora que determinar as constantes C1, C2, C3 e C4. 
 
Atendendo à geometria do problema, é hipótese aceitável admitir que em pontos 
infinitamente afastados da origem (x = 0), isto é, da carga Q, o deslocamento e a rotação 
são nulos. Note-se que o mesmo é dizer que o efeito da carga Q deixa de se fazer sentir 
nesses pontos. 
 
Esta hipótese só é satisfeita se, na equação 1.11, se considerar que C1 = C2 = 0, o que 
permite descrever a elástica para x > 0 através da equação 
 
 ( )xsenCxcosCew x λλλ 43 += − ( 1.20)
Paula Varatojo / 2008 1.9
Viga em meio elástico 
 
Atendendo às condições de simetria do problema e para x = 0, a inclinação da deformada 
é zero, isto é 
 
 
( )
0
0
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=xdx
dw 
( 1.21)
 
Diferenciando a equação 1.20 e igualando a zero, resulta 
 
 ( )xsenxcoseCw x λλλ += − ( 1.22)
 
em que C = C3 = C4. 
 
Através de considerações de equilíbrio vertical envolvendo a carga Q e a soma das forças 
de reacção na metade direita da viga, pode escrever-se 
 
 
20
QdxwK =∫
∞
 
( 1.23)
 
isto é 
 
 
( )
20
QKCdxxsenxcoseCK x ==+∫
∞
−
λ
λλλ
( 1.24)
 
em que 
 
 
K
QC
2
λ
= ( 1.25)
 
Substituindo C na equação 1.22, resulta 
 
 ( ) xx AK
Qxsenxcose
K
Qw λ
λ λλλλ
22
=+= −
( 1.26)
 
A partir da equação 1.26 é possível verificar que o deslocamento vertical é máximo para 
x = 0 e vale 
 
 
K
Qwmax 2
λ
= ( 1.27)
 
e que é nulo para valores de ( ) 0=+ xsenxcos λλ , isto é, para valores de 
,....,,x πππλ
4
11
4
7
4
3
= 
Paula Varatojo / 2008 1.10
Viga em meio elástico 
 
Por derivação sucessiva da equação 1.26, obtêm-se as expressões relativas à rotação, 
momento flector e esforço transverso 
 
 
x
x B
K
Qxsene
K
Q
dx
dw
λ
λ λλλθ
22
−=−== −
( 1.28)
 
 
( ) xx C
QxsenxcoseQ
dx
wdEIM λ
λ
λ
λλ
λ 442
2
=−=−= −
( 1.29)
 
 
x
x DQxcoseQ
dx
wdEIT λ
λ λ
223
3
−=−=−= −
( 1.30)
 
verificando-se que 
 
 
λ4
QM max = 
( 1.31)
 
 
2
QTmax −= 
( 1.32)
 
 
2
λQwKp maxmax == 
( 1.33)
 
para x = 0. 
 
A análise das equações 1.26 e 1.28 a 1.30 permite tirar algumas conclusões: 
 
 todas as variáveis têm um andamentosinusoidal, função de λ, sendo influenciadas 
de forma diferente pelo coeficiente k0 = K/B; 
 a influência de K diminui quando se avança na derivação, nomeadamente assume 
particular importância na avaliação dos deslocamentos e diminui essa importância 
quando se chega à expressão dos momentos flectores; 
 há um rápido decrescimento das funções sinusoidais à medida que aumenta o 
afastamento relativamente ao ponto de aplicação da carga vertical ( )0=xλ : para 
λπλ 51.x ≥ o valor de ( )xsenxcose x λλλ +− ou de qualquer das suas derivadas é 
inferior a 0.01. 
 
Isto significa que uma viga infinita sujeita a um carregamento tal que cargas 
concentradas iguais estejam espaçadas de um valor λπλ 51.x ≥ , a elástica 
corresponde a uma sucessão de curvas idênticas à primeira curva mostrada na 
figura abaixo. 
 
Paula Varatojo / 2008 1.11
Viga em meio elástico 
 
Figura 1.7 – Viga infinita sujeita a carga concentrada: diagramas de deslocamento vertical, rotações, 
momentos flectores e esforços transversos 
 
 
1.3.1.2 Viga semi-infinita 
 
No caso da viga semi-infinita sujeita a carga vertical com ponto de aplicação em x = 0, 
Figura 1.8, admite-se que, tal como no caso da viga infinita, o deslocamento e a rotação 
são nulos na extremidade não carregada. Em consequência, estas condições verificam-se 
apenas se C1 = C2 = 0. 
 
 
Figura 1.8 – Viga semi-infinita sujeita a carga concentrada na extremidade finita 
 
 
Paula Varatojo / 2008 1.12
Viga em meio elástico 
A determinação das constantes C3 e C4 passa pela verificação das equações M = 0 e T = -
Q em x = 0 pelo que, considerando a equação da deformada 
 
 ( )xsenCxcosCew x λλλ 43 += − ( 1.34)
 
e diferenciando sucessivamente resulta 
 
 ( ) ( )( )xsenxcosCxsenxcosCe x λλλλλθ λ −++−= − 43 ( 1.35)
 
 ( )xcosCxsenCeEIM x λλλ λ 4322 −−= − ( 1.36)
 
 ( ) ( )( )xsenxcosCxsenxcosCeEIT x λλλλλ λ ++−= − 4332 ( 1.37)
 
Considerando que M e T na origem são nulos, as equações 1.36 e 1.37 permitem verificar 
que C4 = 0 e 
 
 
K
Q
EI
QC λ
λ
2
2 33
== 
( 1.38)
 
pelo que substituindo nas equações 1.34 a 1.37 se obtém 
 
 
x
x D
K
Qxcose
K
Qw λ
λ λλλ 22 == −
( 1.39)
 
 
( ) xx AK
Qxsenxcose
K
Q
λ
λ λλλλθ
22 22
−=+−= −
( 1.40)
 
 
x
x BQxseneQM λ
λ
λ
λ
λ
−=−= −
( 1.41)
 
 ( ) xx QCxsenxcoseQT λλ λλ −=−−= − ( 1.42)
 
A equação 1.39 permite verificar que o deslocamento vertical é máximo para x = 0 e vale 
 
 
K
Qwmax
λ2
= 
 
sendo nulo para valores de λx = π/2, 3π/2, …. Por outro lado, a equação 1.41 permite 
verificar que o momento flector máximo ocorre para valores de λx = π/4, 3π/4, …. 
 
Paula Varatojo / 2008 1.13
Viga em meio elástico 
 
Figura 1.9 – Viga semi-infinita sujeita a carga concentrada na extremidade finita: variação das 
funções sinusoidais 
 
 
Verifica-se que, tal como no caso da viga infinita, as grandezas w, θ, M e T dependem do 
módulo de reacção K da mesma forma que anteriormente. Por outro lado, as funções λx 
que aparecem nas soluções são as mesmas que apareciam no caso da viga infinita, ainda 
que em ordem diferente. 
 
Outro caso que é igualmente simples de estudar diz respeito a momento flector, M0, 
aplicado na origem dos eixos coordenados, Figura 1.10. 
 
 
Figura 1.10 - Viga semi-infinita sujeita a momento flector aplicado na extremidade finita 
 
 
Através de uma análise do tipo da apresentada anteriormente, é possível agora obter 
 
Paula Varatojo / 2008 1.14
Viga em meio elástico 
 
( ) xx CK
M
xsenxcose
K
M
w λ
λ λλλ
λ 0
2
0
2 22
−=−−= −
( 1.43)
 
 
x
x D
K
M
xcose
K
M
λ
λ λλ
λ
θ 0
3
0
3 44
== −
( 1.44)
 
 ( ) xx AMxsenxcoseMM λλ λλ 00 =+= − ( 1.45)
 
 
x
x BMxseneMT λ
λ λλλ 00 22 −=−=
− ( 1.46)
 
Das equações 1.43 e 1.45 verifica-se que o deslocamento vertical é máximo para x = 0, 
valendo 
 
 
K
M
wmax
0
22λ
−= 
( 1.47)
 
sendo nulo para λx = π/4, 3π/4, …., enquanto que o momento flector máximo ocorre para 
λx = 0, π, 2π, …. 
 
Verifica-se que também neste caso há repetição das mesmas funções λx, continuando a 
haver alteração na forma como aparecem associadas às diferentes grandezas. Este facto 
permite tabelar ou tratar graficamente as funções sinusoidais, possibilitando o seu uso de 
modo indistinto para diferentes carregamentos em vigas infinitas ou semi-infinitas. 
 
Nos Anexos 1A e 1B apresentam-se gráfica e numericamente o andamentos das funções 
Aλx, BBλx, Cλx e Dλx. O Anexo 1C apresenta expressões para tratar os casos de vigas sujeitas 
a diferentes tipos de carregamentos. 
 
1.3.1.3 Viga finita 
 
Considere-se agora a viga finita representada na Figura 1.11 com extremidades livres e 
com carga vertical aplicada a meio vão. 
 
 
Figura 1.11 – Viga finita com carga concentrada simétrica 
Paula Varatojo / 2008 1.15
Viga em meio elástico 
 
 
Tal como anteriormente, a aplicação da solução geral expressa pela equação 1.11 obriga à 
determinação das constantes C1 a C4 a partir das condições de equilíbrio e de apoio da 
viga. 
 
Assim, a carga aplicada tem de ser equilibrada pela reacção do terreno de fundação, isto é 
 
 
( ) (( )) dxxsenCxcosCexsenCxcosCeKdxwKQ
l
l
xx
l
l
∫∫
−
−
−
+++==
2
2
4321
2
2
λλλλ λλ
( 1.48)
 
Por outro lado, e por condições de simetria, a rotação é nula no ponto de aplicação da 
carga, ou seja 
 
 ( ) ( )( )( ) 004322120 =−+−−= =− xxx xcosCxsenCexcosCxsenCe λλλλλλθ λλ 
( 1.49)
 
Nas extremidades da viga, M = 0 e T = 0, pelo que pode escrever-se 
 
 ( ) ( ) ( )( )( ) 024332132 =+−+−−= −=−− lxxxl xsenCxcosCexsenCxcosCeEIM λλλλλλ λλ 
( 1.50)
 
 
 ( ) ( ) ( )( )( ) 024342142 =+−+−−= −=−− lxxxl xcosCxsenCexcosCxsenCeEIT λλλλλλ λλ 
( 1.51)
 
 ( ) 02 =lM ( 1.52)
 
 ( ) 02 =lT ( 1.53)
 
Das quatro equações anteriores, equações 1.50 a 1.53, extraem-se duas equações, 
perfazendo, com as equações 1.48 e 1.49, um sistema de quatro equações a quatro 
incógnitas, que permite, ainda que de forma trabalhosa mas não tendo nenhum problema 
específico, a obtenção das constantes C1 a C4. 
 
Quando a carga aplicada não é simétrica, a situação complica-se, pois surgem oito 
incógnitas associadas à descrição da deformada da viga, quatro à esquerda e quatro à 
direita do ponto de aplicação da carga. A solução do problema pode ser obtida através das 
seguintes condições: 
- vão existir, em regra, duas condições de fronteira associadas a cada extremidade 
da viga, as quais vão dar origem a quatro equações; 
Paula Varatojo / 2008 1.16
Viga em meio elástico 
- no ponto de aplicação da carga, a igualdade de deslocamento, rotação e momento 
flector à esquerda e à direita da carga vertical dá origem a três equações 
adicionais; 
- a oitava equação obtém-se da equação geral de equilíbrio das forças verticais ou 
da condição que impõe que no ponto de aplicação da carga o valor relativo à 
descontinuidade do esforço transverso deve igualar o valor da carga aplicada. 
 
A solução analítica tendo por base a solução clássica é muito complexa. Contudo, 
Hetenyi apresentou uma abordagem sistemática para a resolução do problema da viga 
finita, baseando-se na solução geral da viga infinita, a qual veio a ser denominada por 
“método dos extremos condicionados” e que, em alguns casos, permite a obtenção de 
soluções de forma relativamente simples. 
 
 
 
1.3.2 Solução de Hetenyi para viga finita 
 
No método proposto por Hetenyi para tratar as vigas finitas, os deslocamentos, rotações, 
momentos flectores e esforços transversos nos pontos correspondentes às extremidades 
da viga finita são calculados usando as expressões relativas à viga infinita. 
 
A título de exemplo, considere-se a viga de comprimento infinito representada 
esquematicamente na Figura 1.12, sujeita a uma carga concentrada vertical Q. Esta viga 
apresenta, por exemplo num ponto A, um momento flector MA e um esforço transverso 
TA. Os esforços instalados na secção A garantem a continuidade da viga pelo que o seu 
anulamento tem, sobre a parte direita da viga, o mesmo efeito que a remoção da sua parte 
esquerda, isto é, é possível transformar a viga infinitanuma viga semi-infinita com ambas 
as extremidades livres. O objectivo do método dos extremos condicionados traduz-se 
assim na necessidade de impor no ponto A (e B) da viga infinita valores de MA e TA (MB e 
T
B
BB em B) iguais a zero. 
 
Figura 1.12 – Viga infinita com carga concentrada 
 
 
Neste método aplicam-se então momentos flectores e forças fictícias em pontos 
adjacentes aos correspondentes às extremidades da viga finita, mas fora das suas 
dimensões reais, de forma a obterem-se as desejadas condições de fronteira na viga real 
finita. 
Paula Varatojo / 2008 1.17
Viga em meio elástico 
 
A distância infinitesimal considerada para além das extremidades reais da viga finita 
evita as discontinuidades nas respectivas funções e as inerentes dificuldades de 
tratamento analítico. 
 
O estudo analítico das vigas finitas torna-se mais complexo do que o das vigas semi-
infinitas, pois há ainda a considerar o efeito da aplicação de forças numa extremidade 
sobre a outra extremidade. 
 
Voltando à Figura 1.12, admita-se que a viga finita tem extremidades livres nos pontos A 
e B e está sujeita a carga vertical Q aplicada a meio vão. A carga Q dá origem a 
momentos flectores e esforços transversos nos pontos A e B da viga infinita, 
pretendendo-se que nesses mesmos pontos, correspondentes às extremidades da viga 
finita, M e T sejam nulos. 
 
Para o efeito há assim que aplicar nos pontos A e B as forças fictícias M0A, T0A, M0B e T0B, 
também designadas por forças iniciais, com os sentidos positivos indicados na Figura 
1.13, de tal forma que anulem os momentos flectores, MA e MB, e os esforços transversos, 
T
B
A e TBB, em A e B, respectivamente. 
 
 
 
Figura 1.13 – Forças fictícias nas extremidades da viga finita 
 
 
Aquelas forças fictícias vão gerar esforços -MA, -TA, -MB e -TB BB, pelo que resultam quatro 
incógnitas e duas equações em cada extremidade, isto é, o sistema de equações é 
resolúvel. Contudo, das condições de simetria, sabe-se que M0A = M0B e T0A = T0B, 
resultando duas equações a duas incógnitas. Recorrendo às equações da viga infinita, 
quando sujeita a carga concentrada e a momento flector, o princípio da sobreposição dos 
efeitos permite escrever 
 
 
( ) ( ) 02424
0000 =+−+++= −− lcose
M
lsenlcose
TMT
MM lBxBAAAA λλλ
λλ 
( 1.54)
 
 
( ) ( 02222
0000 =+++−−= −− lsenlcose
M
lcose
TMT
TT lBxBAAAA λλλ
λλ ) ( 1.55)
 
 
( ) ( ) 02424
0000 =+++−+= −− BBlAlABB
MT
lcose
M
lsenlcose
T
MM λλλ λλ 
( 1.56)
 
Paula Varatojo / 2008 1.18
Viga em meio elástico 
 
( ) ( ) 02222
0000 =−−+++= −− BBlAlABB
MT
lsenlcose
M
lcose
T
TT λλλ λλ 
( 1.57)
 
Os valores de MA, TA, MB e TB BB são obtidos das equações 1.29 e 1.30, deduzidas para viga 
infinita quando sujeita a carga vertical, pelo que 
 
 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −= −
224
22 lsenlcoseQM A
λλλ ( 1.58)
 
 
22
22 lcoseQTA
λλ−= ( 1.59)
 
 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −= −
224
22 lsenlcoseQM B
λλλ ( 1.60)
 
 
22
22 lcoseQTB
λλ−−= ( 1.61)
 
em que o valor positivo de TA se deve ao facto de esta força se situar à esquerda da carga 
aplicada. 
 
Substituindo os valores de MA, TA, MB e TB BB expressos pelas equações 1.58 a 1.61 nas 
equações 1.54 a 1.57 obtém-se um complexo sistema de equações que permitem 
determinar as forças fictícias M0A, T0A, M0B e T0B. Note-se que, caso alguma destas forças 
apresente sinal negativo, tal significa que o seu sentido é contrário ao que foi admitido na 
equação de equilíbrio. 
 
Para a viga representada na Figura 1.12, a expressão dos deslocamentos verticais é 
expressa por 
 
 
( ) ( ) ( )
( ) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−+
+−−−+−
×
+
=
xcosxcoshxlsenhxsen
xlsenxsenhxlcoshxcosxlcosxcosh
lsenlsenhA
Qw
λλλλ
λλλλλλ
λλ
2
1
 
( 1.62)
 
sendo o deslocamento a meio vão dado por 
 
 
lsenlsenh
lcoslcosh
K
QwC λλ
λλλ
+
++
−=
2
2
( 1.63)
 
e nas extremidades por 
 
Paula Varatojo / 2008 1.19
Viga em meio elástico 
 
lsenlsenh
lcoslcosh
K
Qww BA λλ
λλ
λ
+
= 222
( 1.64)
 
A análise da equação 1.64 permite verificar que o deslocamento na extremidade da viga é 
nulo quando ( 02 =lcos )λ , isto é, wA = wB = 0 quando λl = π, 3π, 5π…. B
 
Por outro lado, quando o comprimento da viga for igual a l = π/λ, o deslocamento vertical 
nas extremidades é nulo, sendo positivo ao longo de todo o comprimento. O 
comprimento λl = π é designado por comprimento efectivo da viga sujeita a carga 
concentrada e tem um significado particular: representa o comprimento para o qual uma 
viga sem peso e carregada a meio vão por uma carga concentrada se mantém em contacto 
com o terreno em toda a sua extensão. De outra maneira e pelo teorema da reciprocidade, 
pode ainda dizer-se que é o comprimento para o qual uma viga sob a acção de uma carga 
vertical concentrada em cada extremidade não apresenta deslocamento vertical a meio 
vão. 
 
No caso mais geral em que a força Q se situa à distância a da origem do sistema de eixos 
coordenados (a≠0, l = a+b), as expressões para o deslocamento vertical, momento flector 
e esforço transverso correspondem a 
 
( )
( )
( )
( ) ([ ]⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−+−×
++
−
−
=
bsenacoshbcosasenhlsenbsenhacosbcoshasenlsenh
xcosxsenhxsenxcosh
bcosacoshlsenbcoshacoslsenhxcosxcosh
lsenlsenhK
Qw
λλλλλλλλλλ
λλλλ
λλλλλλλλ
λλ
)
λ
2
22
 
( 1.65)
 
 
( )
( )
( )
( ) ( )[ ]⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−+−×
−+
−
−
=
bsenacoshbcosasenhlsenbsenhacosbcoshasenlsenh
xcosxsenhxsenxcosh
bcosacoshlsenbcoshacoslsenhxsenxsenh
lsenlsenh
QM
λλλλλλλλλλ
λλλλ
λλλλλλλλ
λλλ
2
2 22
 
( 1.66)
 
 
 
Paula Varatojo / 2008 1.20
Viga em meio elástico 
( )
( ) (
( ) ( )[ ]⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−+−×
+
−×+
−
=
bsenacoshbcosasenhlsenbsenhacosbcoshasenlsenh
xsenxsenh
bcosacoshlsenbcoshacoslsenhxcosxsenhxsenxcosh
lsenlsenh
QT
λλλλλλλλλλ
λλ
λλλλλλλλλλ
λλ 22
) 
( 1.67)
 
Apesar da dificuldade que apresenta no que diz respeito à resolução do sistema de 
equações conducentes à determinação das forças iniciais, este método tem a vantagem de 
possibilitar a resolução de qualquer tipo de problemas, principalmente devido à aplicação 
do princípio da sobreposição dos efeitos. 
 
 
 
1.3.3 Viga rígida 
 
Muitas vezes, é possível admitir que a viga assente à superfície do terreno é, 
teoricamente, infinitamente rígida, relativamente ao terreno em que se apoia. Nesta 
situação, e continuando a admitir-se que o terreno pode ser modelado através de um 
comportamento de Winkler, resulta que a viga apenas sofre deslocamentos de corpo 
rígido, havendo uma relação linear entre o deslocamento vertical e a pressão de contacto, 
para cada valor de x. 
 
Nesta situação, considere-se o caso de terreno em que se pode admitir um módulo de 
reacção K = constante no comprimento l da viga finita sujeita à acção de uma carga 
vertical concentrada Q aplicada à distância a da origem dos eixos coordenados, (x = 0), 
Figura 1.14. 
 
As incógnitas do problema são duas: w0 e w1. Sabendo-se que p = k0 B w, é possível 
conhecer o diagrama de pressões através dos valores de p0 e p1. 
 
A resolução do problema passa pelo estabelecimento de duas equações, uma de equilíbrio 
de forças verticais e outra de momentos em relação a x = 0, obtendo-se 
 
 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −=
l
a
l
x
l
a
Kl
Qw 321232
( 1.68)
 
Paula Varatojo / 2008 1.21
Viga em meio elástico 
 
Figura 1.14 – Viga rígida em fundação de Winkler 
 
 
Multiplicando por K os valores da função anterior para cada valor de x considerado, é 
possível obter a distribuição de p, a qual, conjuntamente com Q, permite a obtenção de 
valores de M e T no ponto considerado. 
 
Se à distância a da extremidade esquerda da viga se considerar um momento M0, resulta, 
por equilíbrio de forças verticais e de momentos que 
 
 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −= 12
6
2
0
l
x
Kl
M
w 
( 1.69)
 
ou seja, para cada valor de x, o deslocamento é independente do ponto de aplicação do 
momento. 
 
Os momentos flectores e os esforços transversos podem também ser calculados em 
função de x. Quanto aos momentos flectores, a sua distribuição no comprimentoda viga é 
expressa por 
 
 33
0
31 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−=
l
x
l
x
M
M 
( 1.70)
 
Substituindo sucessivamente x = 0 e x = l na equação 1.69 obtém-se 
 
 
( ) 2
0
0
6
Kl
M
w x −== 
( 1.71)
 
 
( ) 2
06
Kl
M
w lx == 
( 1.72)
 
e, multiplicando por K, obtêm-se os valores de p. 
Paula Varatojo / 2008 1.22
Viga em meio elástico 
Interessa ainda ponderar sobre o problema do aparecimento de tensões de tracção na 
interface viga/terreno de fundação. 
 
Voltando ao caso da viga rígida sujeita a carga vertical concentrada aplicada no ponto a = 
0 assente num solo com K = constante no comprimento da viga, Figura 1.15, verifica-se 
que o deslocamento vertical w na extremidade oposta é negativo, isto é, instalam-se 
tensões de tracção na interface. 
 
 
Figura 1.15 – Viga rígida em fundação de Winkler com carga aplicada numa extremidade e com 
instalação de tracções no solo 
 
 
Sendo habitual considerar-se a não resistência à tracção dos solos, torna-se necessário 
outro tipo de abordagem que admita a hipótese de não resistência à tracção do terreno de 
fundação. 
 
Assim, considerando para efeitos da análise pretendida apenas o troço da viga que 
comprime o solo no comprimento s, deve ter-se em conta o peso próprio da viga por 
metro linear de viga, γ (dimensões [FL-1]). 
 
Considere-se o caso mais geral em que a ≠ 0, Figura 1.16. 
 
 
Figura 1.16 – Viga rígida sobre fundação de Winkler com carga aplicada vertical concentrada 
aplicada no vão e com instalação de tracções no solo 
 
Paula Varatojo / 2008 1.23
Viga em meio elástico 
O equilíbrio de forças verticais e uma equação de momentos constituem um sistema de 
duas equações a duas incógnitas, w0 e s, o qual, depois de resolvido, permite escrever a 
equação geral dos deslocamentos verticais 
 
 ( )
( )
( )
( ) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
+
−
+
+
= 1
23
2
23
4
22
2
x
lQa
lQ
lQaK
lQw
γ
γ
γ
γ ( 1.73)
 
e a expressão que define a extensão da zona de solo comprimida sob a viga 
 
 
lQ
lQas
γ
γ
+
+
=
22
2
3 
( 1.74)
 
A análise das equações dos momentos flectores relativas aos casos atrás apresentados 
permite verificar a sua independência relativamente ao módulo de reacção do solo, o que 
resulta do facto de o deslocamento vertical ser inversamente proporcional a K e os 
momentos flectores serem proporcionais a Kw. 
 
No caso em que a = 0 e a força Q é suficiente para levantar a extremidade direita da viga, 
mantendo-se apenas contacto no comprimento s, este pode ser expresso pela equação 
 
 
( )lQ
ls
γ
γ
+
=
2
3 2 
( 1.75)
 
com 
 
 ( ) ( )
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
−
+
= 1
3
2
3
4
2
2
l
x
l
lQ
lK
lQw
γ
γ
γ
γ ( 1.76)
 
Quando não há levantamento da viga e para a = 0 obtém-se da equação 1.68 
 
 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −=
l
x
Kl
Qw 322 
( 1.77)
 
e 
 
 
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−=
l
x
l
x
l
xlQM
23
2
( 1.78)
 
com 
 
 lQM max 27
4
−= ( 1.79)
Paula Varatojo / 2008 1.24
Viga em meio elástico 
 
para x = l/3 
 
De um ponto das aplicações práticas é relevante estabelecer a distinção entre vigas 
rígidas e vigas flexíveis. 
 
As vigas rígidas estão associadas a valores de λl pequenos, com λ obtido através da 
equação 1.15, sendo tanto mais flexíveis quanto maiores os valores de λl. 
 
De um ponto de vista prático, numa viga com λl pequeno, uma carga aplicada à viga 
provoca deslocamentos na viga e no solo até uma distância considerável relativamente ao 
seu ponto de aplicação, acontecendo o oposto no caso da viga flexível, isto é, a carga tem 
um efeito localizado no campo de tensões e deslocamentos que induz na viga e no solo. 
 
A título de exemplo compare-se o andamento dos diagramas de momentos flectores 
correspondente a uma viga rígida, com valores de λl = 1, e a outras com diferentes 
valores de λl, Figura 1.17, considerando a hipótese de carga concentrada actuando à 
distância a = 0 da origem do sistema de eixos coordenados XZ. 
 
 
 
Figura 1.17 – Distribuição do momento flector para viga rígida e para viga flexível sobre fundação de 
Winkler 
 
 
No Anexo D apresentam-se soluções para vigas finitas sujeitas a carga vertical 
concentrada e para diferentes valores de λl. 
 
 
 
 
 
Paula Varatojo / 2008 1.25
Viga em meio elástico 
1.3.4 Alguns comentários acerca do modelo de Winkler 
 
No modelo de Winkler o comportamento do solo é descrito por um único parâmetro, o 
coeficiente de reacção do solo, o qual estabelece uma relação linear entre o deslocamento 
vertical e a tensão de contacto na mesma direcção. 
 
Evidentemente que este tipo de modelo tem condições de aplicabilidade que dependem 
das características do próprio solo, além de um conjunto de outras condições 
relacionadas, entre outras, com o tipo de carregamentos e os campos de tensão e 
deformação envolvidos. 
 
Gibson efectuou um estudo baseado na teoria elástica linear, considerando condições de 
axisimetria e deformação plana, admitindo que os módulos Es e Gs, módulos de 
deformabilidade e distorcional do solo, variam linearmente em profundidade, com valor 
nulo à superfície, e que o coeficiente de Poisson valia 50.s =υ . As leis de variação 
correspondiam a Es = 3mz e Gs = mz, onde z mede a distância vertical até à superfície do 
terreno e m é uma constante. 
 
O autor verificou que o deslocamento vertical para z = 0 sob uma área carregada com 
qualquer geometria e uniformemente carregada por uma carga p por unidade de 
superfície é dado por w = p/2m e w = 0, respectivamente no interior da área carregada a 
fora desta. 
 
Esta resposta na superfície do terreno sob uma carga uniforme é parecida com a postulada 
por Winkler, ainda que esta seja obtida por via diferente. Assim, substituindo p = k0w na 
equação w = p/2m obtém-se k0 = 2m. 
 
Os estudos de Gibson permitiram ao autor concluir que soluções baseadas no modelo de 
Winkler e na hipótese de coeficiente de reacção constante são exactas se o terreno de 
fundação apresentar comportamento de meio elástico contínuo e grande espessura 
comparada com a área de carregamento, se fôr radialmente incompressível e o seu 
módulo de deformabilidade, Es, apresentar uma lei de variação em profundidade expressa 
por Es = 3mz. 
 
Quando às condições de aplicabilidade das soluções clássicas baseadas no modelo de 
Winkler, verifica-se que para vigas infinitas e desde que k0 seja devidamente avaliado, o 
resultados são aceitáveis. 
 
No entanto, no caso das vigas finitas, este modelo pode fornecer resultados que se 
afastam muito de uma solução exacta, função da rigidez relativa viga/solo. 
 
Hetenyi e Vesic apresentaram critérios muito idênticos baseados no parâmetro λl para 
classificar as vigas quanto à sua rigidez relativa. 
 
Hetenyi propôs 
 
Paula Varatojo / 2008 1.26
Viga em meio elástico 
 Vigas longas → 143.l 〉λ 
 Vigas médias → 143790 .l. 〈〈 λ 
 Vigas curtas → 790.l 〈λ 
 
e Vesic 
 
 Vigas longas → 005.l 〉λ 
 Vigas médias → 005800 .l. 〈〈 λ 
 Vigas curtas → 80.l 〈λ 
 
Posteriormente, e depois de realizar um estudo acerca do erro introduzido por análises 
convencionais, Vesic acabou por propor 
 
 252.l 〉λ → as vigas devem ser tratadas como vigas infinitas 
 252800 .l. 〈〈 λ → as vigas não devem ser analisadas através do 
modelo de Winkler 
 80.l 〈λ → as vigas devem ser tratadas como vigas rígidas 
 
De um ponto de vista conservativo e para efeitos de pré-dimensionamentos, tem também 
sido sugerida a possibilidade de analisar vigas intermédias utilizando soluções de viga 
flexível para avaliar esforços de flexão e de viga rígida para estimar deslocamentos 
verticais. 
 
 
 
1.4 VIGA EM MEIO ELÁSTICO CONTÍNUO 
 
1.4.1 Introdução 
 
A aproximação de meio contínuo para descrever o comportamento dos solos permite um 
mais adequado tratamento das características físicas dos maciços terrosos. Contudo, do 
ponto de vista matemático, as análises são muito complexas e há apenas soluções 
matemáticas disponíveis para um número muito limitado de problemas. 
 
 
1.4.2 Solução de Biot /Vesic 
 
A solução matemática de Biotdiz respeito à viga de comprimento infinito assente sobre 
um meio semi-infinito sólido, elástico, homogéneo e isotrópico, sob a acção de uma carga 
vertical concentrada, Figura 1.18. 
 
Paula Varatojo / 2008 1.27
Viga em meio elástico 
 
Figura 1.18 – Viga infinita sujeita a carga concentrada 
 
 
A solução matemática exacta para os momentos flectores em qualquer ponto x é expressa 
pela equação 
 
 
( ) ( )∫
∞
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
0
3 βψα
ααα
π
d
c
xcos
cQxM
( 1.80)
 
em que 
α – parâmetro adimensional 
c – comprimento fundamental da viga (com [F] em kN e [L] em cm) 
 
 
( ) 3
1
21
542
1
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−=
s
s E
EI
.
c υ 
( 1.81)
 
b – metade da largura da viga (B = 2b) 
E, I – módulo de Young e momento de inércia da viga 
Es, ν – módulo de deformabilidade e módulo de coeficiente de Poisson do solo 
Β – parâmetro adimensional = b/C 
C – função com dimensões [L-1] que traduz a rigidez transversal da viga, tomando 
valores C = 1.00 se a distribuição de pressões na largura da viga é uniforme e 
1.00 < C < 1.13 se o deslocamento vertical é uniforme 
ψ (β) – função tabelada para β > 0.1 e dada por uma função assintótica para β < 
0.1. 
 
O autor apresentou ainda a expressão relativa ao momento flector máximo, não tendo 
apresentado soluções no que diz respeito aos deslocamentos verticais, esforços 
transversos e pressões de contacto. 
 
 
( )
2770
4
213320
.
s
smax bE
EIcbQ.M ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−= ν
( 1.82)
 
Foi Vesic que, partindo da solução de Biot, conseguiu obter a totalidade das grandezas 
pretendidas para o caso da viga infinita sujeita a carga vertical concentrada. 
Paula Varatojo / 2008 1.28
Viga em meio elástico 
 
No entanto, só existe compatibilidade entre a equação exacta de Biot para o momento 
flector máximo, equação 1.82, e as soluções de Vesic, se as expressões deste último autor 
forem afectadas do factor expresso pela equação 
 
 2770542 .
b
.
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ 
( 1.83)
 
o que está considerado nas equações 1.84 a 1.85 abaixo indicadas. 
 
 
( ) ( )( ) ( )xJ
cQ
b
.
EI
dx
c
xcos
cQ
EI
xw
.
0
3
32770
0
3
3 54211
πβψαα
α
π ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= ∫
∞
 
( 1.84)
 
 
 
( ) ( ) ( )xJ
cQ
b
.
EI
dx
c
xsen
cQ
EI
x
.
1
2
22770
0
3
2 54211
πβψα
α
π
θ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−=
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−= ∫
∞
 
( 1.85)
 
 
( ) ( ) ( )xJ
cQ
b
.
dx
c
xcos
cQxM
.
2
2770
0
3
542
πβψα
αα
π
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= ∫
∞
( 1.86)
 
 
( ) ( ) ( )xJ
Q
dx
c
xsen
QxT 3
0
2
2
πβψα
αα
π
−=
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−= ∫
∞
( 1.87) 
 
 
( )
( )
( ) ( )xJc
Q
b
.
dx
c
xcos
c
Qxp
.
4
2770
0
2
542
πβψα
αβψ
π
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= ∫
∞
 
( 1.88)
 
Nas equações 1.84 a 1.88 a dimensão comprimento deve ser expressa em centímetros. 
 
A obtenção das constantes de integração J1 a J4 é muito complexa. Contudo, Vesic 
efectuou o estudo relativo ao integral J2(x) adoptando algumas simplificações e 
apresentou a seguinte solução 
 
 ( ) ( ) ( )xsenxcoseJxJ x λλλ ′−′= −022 ( 1.89)
 
em que J2(0) representa o valor do integral J2 para x= 0, λ’ é um parâmetro denominado 
facto ondulatório com dimensões [L-1], função da abcissa do primeiro zero do integral, x0. 
Paula Varatojo / 2008 1.29
Viga em meio elástico 
 
De acordo com o autor a expressão de J2(0) é expressa por 
 
 
( )
1690
2 03310
.
c
b.J ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛= 
( 1.90)
 
e 
 
 81306890 .
c
b
b
.
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=′λ 
( 1.91)
 
Caso se pretenda comparar a solução de Vesic com a solução clássica, deve usar-se a 
equação 1.91 e não a equação 1.15. 
 
As expressões dos restantes integrais correspondem às expressões abaixo indicadas. 
 
 
( ) ( )xsenxcose
c
b.xJ x
.
λλλ ′−′⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛= ′−
5870
0 3701
( 1.92)
 
 
( ) xsene
c
b.xJ x
.
λλ ′⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛= ′−
3330
1 2440
( 1.93)
 
 ( ) xcosexJ x λπ λ ′= ′−
23
 ( 1.94)
 
 
 
( ) ( )xsenxcose
c
b.xJ x
.
λλλ ′+′⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛= ′−
− 1550
4 2851
( 1.95)
 
 
 
1.5 MÉTODO SIMPLIFICADO 
 
O método simplificado pode ser utilizado com alguma facilidade através da 
implementação de programas de cálculo automático relativamente simples, e consiste na 
discretização da viga e do solo num número reduzido de troços, sendo estabelecidas 
condições de compatibilidade de deslocamentos, entre a viga e o solo, nos pontos médios 
de cada troço considerado, e uma condição de equilíbrio de forças, que garante a 
igualdade da acção e da reacção. 
 
A necessidade de discretização advém do facto de os deslocamentos da viga e do solo 
serem descritos por equações diferentes. 
 
Paula Varatojo / 2008 1.30
Viga em meio elástico 
Considere-se o exemplo da Figura 1.19, onde se representa uma viga sujeita a carga 
vertical, Q, aplicada a meio vão e o solo com comportamento elástico e linear, isotrópico, 
homogéneo e em que as tensões de corte e os deslocamentos horizontais gerados na 
interface viga/solo podem ser desprezados. Note-se que o método pode ser utilizado em 
problemas de maior complexidade. 
 
 
 
Figura 1.19 – Viga finita sujeita a carga concentrada: (a) alçado; (b) planta; (c) definição dos troços; 
(d) distribuição do carregamento sobre a viga; (e) distribuição de pressões no solo 
 
 
A viga está sujeita à carga Q e à reacção do solo. O solo está sujeito à distribuição de 
pressões na interface viga/solo, de valor igual mas de sinal contrário à reacção. É esta 
distribuição de pressões na interface viga/solo que se pretende conhecer, assim como das 
restantes grandezas associadas, as quais permitem depois efectuar o dimensionamento 
Paula Varatojo / 2008 1.31
Viga em meio elástico 
estrutural da viga. Note-se que a solução a obter vai depender do tipo de distribuição 
adoptada para a distribuição de pressões na interface viga/solo. 
 
Admita-se que a distribuição de pressões na interface tem o andamento representado na 
Figura 1.19, que a viga é flexível e que a distribuição de pressões na largura da viga é 
uniforme. 
Por questões de simetria basta analisar apenas metade da viga e, por esta mesma razão, a 
rotação no ponto A é nula e a viga pode ser estudada como viga encastrada em A e com 
metade do seu comprimento real. 
 
Admitindo a distribuição de pressões indicada na Figura 1.19, vão existir duas incógnitas, 
p1 e p2, e basta assim definir duas equações, ou seja, considerar apenas dois pontos para 
análise dos deslocamentos. 
 
Os deslocamentos verticais no solo, medidos relativamente a um ponto situado no plano 
de interface viga/solo, podem ser obtidos da solução elástica e linear de Harr, válida para 
meio elástico semi-infinito e homogéneo, Figura 1.20. Esta solução permite quantificar o 
deslocamento vertical no canto de uma área uniformemente carregada, q, e é expressa por 
 
 ( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
−−= 21
2
1
21
1 AA
E
qBw
s
s
s
s
z υ
υ
υ
 
 
onde 
 
 
11
11
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
1
−++
+++
+
−++
+++
=
nm
nm
lnm
mnm
mnm
lnA
π
 
 
 
 
 
2
1
2
11
111
2
12 nmn
mtgnA
++
= −
π
 
 
e blm =1 e bzn =1 . 
 
Relativamente ao exemplo apresentado e fazendo uso do princípio da sobreposição, os 
deslocamentos nos pontos 1 e 2 são, em cada caso, o resultado da soma de quatro 
contribuições de deslocamento. Tomando, por exemplo, o ponto 1 e considerando que wij 
é o deslocamento no ponto i devido à carga distribuída com centro de gravidade em j, o 
deslocamento total em 1 resulta igual a w1 = w11+w12+w11’+w12’. 
 
 
 
 
 
Paula Varatojo / 2008 1.32
Viga em meio elástico 
 
 
 
Figura 1.20 – Representação esquemática de apoio à solução de Harr 
 
 
Os deslocamentos nos pontos B e D, situados no eixo da viga encastrada em A, calculam-
se a partir da equação da elástica, tendo em conta o carregamento a que a viga está 
sujeita. Relativamente ao caso apresentado, Figuras 1.21 e 1.22, as soluções necessárias 
correspondem às expressões indicadas nas figuras, devendo notar-se que as mesmas 
dizem respeito a cargas p com dimensões [FL-1] . 
 
 
 
ax〈 ( )22
2
46
24
xaxa
EI
pxwz +−=→ 
ax〉 ( )axEI
pawz −=→ 424
3
 
Figura 1.21 – Consola sujeita a carregamento uniformemente distribuído no troço a 
 
 
 
Paula Varatojo / 2008 1.33
Viga em meio elástico 
 
ax〈 ( )[ ]xla
EI
pbxwz 2312
2
−+=→ 
ax〉 ( ) ( )[ ]xaaxlxlx
EI
pwz 44624
3222 −−+−=→ 
Figura 1.22 - Consola sujeita a carregamento uniformemente distribuído no troço b 
 
 
A compatibilização dos deslocamentos é imposta através da hipótese de que a diferença 
dos deslocamentos entre os pontos 1 e 2, na superfície do solo, e a diferença entre os 
pontos B e D, no eixo da viga, tem de ser igual. Daqui resulta uma equação. 
A equação em falta é estabelecida a partir de uma equação de equilíbrio, ou seja, a força 
Q aplicada à viga origina, na área de contacto viga/solo, uma distribuição de pressões 
cuja resultante iguala Q. 
 
Do sistema de duas equações a duas incógnitas, p1 e p2, facilmente se determinam os 
deslocamentos e se estabelece o respectivo diagrama de momentos flectores na viga, 
permitindo a sua análise estrutural. 
 
 
 
1.6 CARACTERIZAÇÃO DO TERRENO DE FUNDAÇÃO 
 
1.6.1 Introdução 
 
A caracterização mecânica dos maciços terrosos, tendo por objectivo a análise do seu 
comportamento quando solicitados por cargas exteriores aplicadas através de uma viga 
apoiada na sua superfície, envolve a necessidade de corresponder à quantificação dos 
parâmetros mecânicos envolvidos no modelo de cálculo adoptado. 
 
Tendo por base os modelos atrás apresentados, modelo de Winkler e modelo contínuo, 
ambos na versão elástica e linear e envolvendo análises bidimensionais, apenas interessa 
no contexto do presente texto considerar a avaliação dos parâmetros k0 (ou K), coeficiente 
de reacção (ou módulo de reacção), no primeiro caso, e de Es e νs, módulo de 
deformabilidade e do coeficiente de Poisson, no segundo, ambos relativos ao 
comportamento do solo na direcção vertical. 
 
A avaliação do módulo de deformabilidade é complexa pois este depende de um conjunto 
vasto de factores onde se deve realçar o estado de tensão inicial dos maciços, a trajectória 
Paula Varatojo / 2008 1.34
Viga em meio elástico 
de tensões imposta pelas obras e as condições de drenagem e carregamento. O coeficiente 
de Poisson, por outro lado, tem reduzida importância nos valores finais dos 
deslocamentos e esforços na viga. Assim, é habitual utilizar valores correntes para os 
diferentes tipos de solos, não se justificando a realização de ensaios (laboratoriais) tendo 
em vista a sua avaliação (ver Capítulo 1 do volume II). 
 
Quanto ao coeficiente de reacção, este depende dos mesmos factores que o módulo de 
deformabilidade do solo e ainda da largura da viga. Na bibliografia, é habitualmente 
recomendada a realização de ensaios de placa como um modo rápido de obter a ordem de 
grandeza daquele parâmetro. Contudo, deve atender-se às limitações deste tipo de 
ensaios, nomeadamente no que se refere às condições de apoio da superfície onde assenta 
a placa de ensaio, ao reduzido volume do maciço envolvido e à necessidade de extrapolar 
o valor do coeficiente para atender à largura da viga, ainda que os mesmos permitam 
avaliar a influência da profundidade a que se realiza o ensaio e o efeito de acções de 
melhoramento do terreno de fundação da viga. 
 
Na bibliografia existem numerosas propostas relativas à quantificação dos parâmetros 
referidos. No entanto, há que realçar que, sendo prática habitual dividir os solos em dois 
grandes grupos, areias e argilas, a generalidade das propostas refere-se ao trabalho de 
determinado(s) investigador(es) sobre determinado tipo de solo, fazendo-se a 
generalização para todos os solos do mesmo grupo. Esta generalização carece de 
fundamentação. 
 
De facto, no estudo de um terreno de fundação há que atender a um conjunto de factores 
não extrapoláveis para outros: heterogeneidade e anisotropia do maciço, orientação das 
tensões principais, tipo de carregamentos e níveis de tensão ou de deformação 
introduzidos no maciço pela obra, posição do nível freático, etc. Por outro lado, a 
importância das condições de drenagem e do tipo de carregamentos envolvendo respostas 
diferentes no que se refere a comportamentos drenado e não drenado dos maciços, a que 
pode ainda associar-se o efeito do tempo através do fenómeno da consolidação, torna, a 
generalidade dos valores propostos na bibliografia, apenas eventuais indicadores da 
ordem de grandeza que aqueles parâmetros podem atingir. 
 
Para concluir, deve dizer-se que uma adequada caracterização mecânica deve incluir uma 
campanha de ensaios, tendo em conta a informação disponível sobre o local e a obra e os 
seus objectivos, traduzindo-se em acções que envolvam genericamente reconhecimento, 
sondagens e amostragem, ensaios laboratoriais e análise de resultados. No caso particular 
da viga em meio elástico e dos modelos de cálculo aqui apresentados, é geralmente aceite 
que a determinação dos parâmetros do solo pode ser efectuada a partir da realização de 
ensaios laboratoriais e in situ convencionais. 
 
Entre os ensaios laboratoriais destacam-se os ensaios triaxiais para avaliação do módulo 
de deformabilidade do solo e entre os ensaios in situ devem apontar-se os ensaios com 
pressiómetro autoperfurador (SBP), os ensaios com placa dilatométrica de Marcheti 
(DMT), os ensaios de penetração estática (CPT) e os ensaios de placa (PLT). No contexto 
das aplicações práticas em Portugal são estes dois últimos tipos de ensaios os mais 
Paula Varatojo / 2008 1.35
Viga em meio elástico 
utilizados no que se refere ao assunto em estudo. No que se segue, são referidos estes 
dois ensaios, apresentando-se depois algumas correlações também habituais, pelo menos 
ao nível do pré-dimensionamento de vigas assentes em meio elástico. 
 
 
 
1.6.2 Avaliação dos parâmetros de deformabilidade 
 
Ensaios CPT 
 
O ensaio CPT é geralmente realizado para avaliar a resistência dos solos, mas pode 
também ser usado para avaliar as suas características de deformabilidade. Como 
vantagens pode apontar-se a obtenção de um registo contínuo em profundidade e a 
possibilidade de permitir a medição das tensões intersticiais quando utilizado na versão 
CPTU, Figura 1.23. 
 
As suas características recomendam apenas a sua utilização em solos incoerentes, onde a 
penetração ocorre em condições drenadas. 
 
Entre outras correlações da bibliografia, Jamiolkowski et al. propõem, com base em 
ensaios realizados sobre areias quartzíticas, para areias normalmente consolidadas 
 
 
6281 25 .
r
E
.
p
≤
′
≤ 
( 1.96)
 
e para areias sobreconsolidadas 
 
 
01906 25 .
r
E
.
p
≤
′
≤ 
( 1.97)
 
em que representa o módulo de Young secante correspondente a um quarto da 
máxima tensão deviatórica obtida em ensaios triaxiais de compressão CK
25E′
0D e rp a 
resistência de ponta medida pelo penetrómetro. 
 
Existem ainda muitas outras propostas na bibliografia que permitem correlacionar 0vσ ′ e 
rp com Dr, densidade relativa da areia, e outras que depois possibilitam a correlação entre 
esta última grandeza e E’ (ver Capítulo1 do volume II). 
 
Paula Varatojo / 2008 1.36
Viga em meio elástico 
 
 
Figura 1.23 – Ensaio CPT/CPTU 
 
Ensaios de placa 
 
Os ensaios de placa são os ensaios mais utilizados para avaliar as características dos 
terrenos no âmbito do comportamento de vigas assentes no terreno e, tal como em 
qualquer outro tipo de ensaios, os parâmetros de deformabilidade devem ser idealmente 
obtidos atendendo ao nível de tensões ou deformações que as obras introduzem nos 
terrenos, Figura 1.24. 
 
Paula Varatojo / 2008 1.37
Viga em meio elástico 
 
 
Figura 1.24 – Ensaios de placa 
 
 
Contudo, é habitual realizar os ensaios em argilas rijas e fortemente consolidadas para um 
intervalo de carga entre a tensão vertical efectiva de repouso, 0vσ ′ , e 50% da carga de 
rotura prevista e, em areias, para um intervalo entre 0vσ ′ e 25% daquela carga. 
 
Os resultados obtidos traduzem a resposta de uma massa de solo relativamente grande, 
onde podem estar reflectidas fissuras,descontinuidades, etc., atingindo profundidades da 
ordem de 1.5B a 2B em solos densos e rijos (B é a largura da placa quadrada), e de 2B a 
3B em solos soltos e moles. 
 
A interpretação dos resultados é realizada com base na teoria da elasticidade, domínio em 
que se pode admitir, muitas vezes, o comportamento de fundações superficiais correntes. 
 
Segundo Burland, o módulo distorcional Gs, obtido com este ensaio é calculado 
admitindo a placa como rígida e assente num meio semi-infinito elástico, homogéneo e 
isotrópico através da equação 
 
 ( ) B
w
qG ss 018
μνπ −= ( 1.98)
 
em que 
q – intervalo de pressão para o qual se calcula Gs 
w – deslocamento vertical medido 
μ0 – factor redutor que reflecte a profundidade a que é colocada a placa 
B – diâmetro da placa 
 
A Figura 1.25 apresenta a proposta de Burland relativamente ao factor μ0, válida para o 
caso em que a placa é flexível e tem uma área em planta igual à área escavada. 
 
Quando tal não acontece, não existe solução exacta, apresentando-se na Figura 1.26 uma 
proposta de Pells para tratar esta situação. 
 
Paula Varatojo / 2008 1.38
Viga em meio elástico 
Em solos incoerentes o ensaio de placa é realizado em condições drenadas, podendo a 
obter-se também um módulo distorcional nestas mesmas condições em solos coerentes 
sobreconsolidados desde que pvq σσ ′≤′+ 0 , em que pσ ′ é a tensão de pré-consolidação da 
argila. Em argilas, e desde que o ensaio seja realizado de forma suficientemente rápida, é 
possível obter condições não drenadas. 
 
Com o ensaio de placa é possível avaliar directamente o coeficiente de reacção. 
 
Em areias, onde se verifica um aumento do módulo de deformabilidade do solo em 
profundidade, Terzaghi propôs a seguinte expressão 
 
 
( ) ( )
2
00 2
3030 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +=
B
.B.kBk 
( 1.99)
 
onde 
k0 (B) – coeficiente de reacção de uma placa, sapata ou viga 
k0 (0.3) – coeficiente de reacção de uma placa quadrada com 0.3m (1 ft) de lado 
B – largura da fundação em metros 
 
Estudos efectuados por Rowe mostraram que, no caso de sapatas de grandes dimensões, 
os assentamentos obtidos através da equação 1.99 são maiores do que os resultantes da 
utilização da expressão anterior. 
 
Em argilas rijas, pode considerar-se que o módulo de deformabilidade do terreno é 
constante em profundidade. Neste caso, o coeficiente de reacção varia na razão inversa de 
B, pois o assentamento sob a acção de uma dada carga varia directamente com a largura 
da área carregada, ou seja 
 
 ( ) ( )301 00 .kBBk = 
( 1.100)
 
Nestes solos, admitindo uma fundação com comprimento L = nB, Terzaghi propõe para 
avaliação do coeficiente de reacção a expressão abaixo indicada, conhecido o valor de 
k0(0.3) 
 
 ( ) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +=
n.
.n.kk
51
503000 
( 1.101)
 
 
Paula Varatojo / 2008 1.39
Viga em meio elástico 
 
 
Figura 1.25 – Factores redutores de Burland para placas rígidas em que a superfície escavada 
corresponde à área da placa 
 
 
 
 
Figura 1.26 – Factores redutores de Pells para placas rígidas 
 
Paula Varatojo / 2008 1.40
Viga em meio elástico 
Avaliação do módulo de reacção através de correlações com o módulo de 
deformabilidade do solo 
 
A simplicidade do modelo de Winkler para representar a resposta do terreno de fundação 
sob a acção de uma estrutura tem justificado a sua utilização, ainda que se reconheça que 
a utilização de modelos contínuos seja mais satisfatória. Assim, vários investigadores têm 
comparado resultados obtidos com este modelo e com outros, atribuindo ao coeficiente 
de reacção um determinado valor, de tal forma que este seja um factor corrector do 
próprio modelo. 
 
Neste sentido, aparecem propostas em que o coeficiente de reacção surge relacionado 
com outras grandezas, nomeadamente as características de deformabilidade do solo, Es e 
νs, a geometria da viga, B e h, e o módulo de Young do material que constitui a própria 
viga, E. 
 
Entre outras da bibliografia, apresentam-se as seguintes: 
 
 Biot 
 
 
( ) ⎟⎟⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
= 2
110
2
4
11
231
s
s
.
s
s E
EIC
BE
.K
νν
( 1.102)
 
em que C foi definido no parágrafo 1.4.2. 
 
 Vesic 
 
 
12
4
21
650
EI
BEE.
K s
s
s
ν−
= 
( 1.103)
 
 Barden 
 
 
L
B
J
E.
K s
450
= 
( 1.104)
 
em que J é um factor adimensional relacionado com o tipo de terreno de fundação e que 
em meio isotrópico é dado por 
 
 
π
ν 21 sJ
−
= 
( 1.105)
 
Tendo por base a realização de ensaios de placas quadradas com o.30 cm de lado (1ft), 
aparecem propostas na bibliografia do tipo da indicada no Quadro 1.1, que podem servir 
de orientação quanto à ordem de grandeza do coeficiente de reacção. 
 
Paula Varatojo / 2008 1.41
Viga em meio elástico 
Quadro 1.1 – Gama de variação do coeficiente de reacção k0 (0.3) em MN/m3
Densidade relativa 
(Solos incoerentes) 
Solto Medianamente 
denso 
Denso 
Emersos 6 - 18 18 - 90 90 - 180 
Imersos 8 24 90 
Consistência 
(Solos coerentes) 
Rijo Muito rijo Duro 
 9 - 18 18 - 38 > 38 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Paula Varatojo / 2008 1.42
Viga em meio elástico 
ANEXO 1A 
 
xAλη = xBλη =3 xCλη =1 xDλη =2 
Paula Varatojo / 2008 1.43
Viga em meio elástico 
ANEXO 1B 
 
xx Aλλφ = xx Bλλβ = xx Cλλψ = xx Dλλθ = 
Paula Varatojo / 2008 1.44
Viga em meio elástico 
ANEXO 1C 
 
 
xx Aλλφ = xx Bλλβ = xx Cλλψ = xx Dλλθ = 
Paula Varatojo / 2008 1.45
Viga em meio elástico 
ANEXO 1D 
 
 
Paula Varatojo / 2008 1.46
Viga em meio elástico 
 
 
 
 
Paula Varatojo / 2008 1.47
Viga em meio elástico 
 
 
 
Paula Varatojo / 2008 1.48
Viga em meio elástico 
 
 
 
 
 
Paula Varatojo / 2008 1.49
Viga em meio elástico 
 
 
 
Paula Varatojo / 2008 1.50
Viga em meio elástico 
 
Paula Varatojo / 2008 1.51
	1. VIGA EM MEIO ELÁSTICO
	1.1 INTRODUÇÃO
	1.2 MÉTODOS DE ANÁLISE
	1.3 VIGA EM MEIO ELÁSTICO DE WINKLER
	1.3.1 Soluções clássicas
	1.3.1.1 Viga infinita
	1.3.1.2 Viga semi-infinita
	1.3.1.3 Viga finita
	1.3.2 Solução de Hetenyi para viga finita
	1.3.3 Viga rígida
	1.3.4 Alguns comentários acerca do modelo de Winkler
	1.4 VIGA EM MEIO ELÁSTICO CONTÍNUO
	1.4.1 Introdução
	1.4.2 Solução de Biot /Vesic
	1.5 MÉTODO SIMPLIFICADO
	1.6 CARACTERIZAÇÃO DO TERRENO DE FUNDAÇÃO
	1.6.1 Introdução
	1.6.2 Avaliação dos parâmetros de deformabilidade