Técnicas Algébricas

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Cálculo I
Técnicas Algébricas
Prof. Dr. Márcio Leandro Gonçalves
marcio@pucpcaldas.br
Conteúdo
 Fatoração de polinômios
 Produtos Notáveis
 Divisão de polinômios
 Frações algébricas
 Racionalização
 Exercícios
 Respostas dos exercícios
2 Cálculo I – Revisão de Matemática Elementar
Fatoração de polinômios
3 Cálculo I – Revisão de Matemática Elementar
 Fatorar um polinômio significa escrevê-lo como uma 
multiplicação de dois ou mais polinômios.
Fator comum em evidência
 ax + bx = x(a + b)
Exemplos: 
a-) 4x + 20 = 4(x + 5)
b-) 3xy + 9xz + 6x = 3x(y + 3z + 2)
c-) -4yx + 2xyz = 2y(-2x + xz)
Fatoração de polinômios
4 Cálculo I – Revisão de Matemática Elementar
Fatoração por agrupamento
 Podemos separar a expressão em dois grupos e colocar em 
evidência o fator comum de cada grupo:
ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (x + y).(a + b)
Exemplos: 
a-) x2– ax + xy – ay = x(x – a) + y(x – a) = (x – a)(x + y)
b-) 8ax + bx + 8ay + by = x (8a + b) + y (8a + b) = (8a + b)(x + y)
Fatoração de polinômios
5 Cálculo I – Revisão de Matemática Elementar
Fatoração utilizando as raízes do polinômio
 Dado um polinômio de grau n, determina-se as raízes do 
mesmo para fatorá-lo.
A regra prática para um polinômio de grau 2 diz o seguinte: 
sendo “r1” e “r2” as raízes do polinômio p(x) que queremos 
fatorá-lo, basta escrevê-lo como:
P(x) = a.(x – r1)(x – r2)
onde a é coeficiente do termo x2.
Fatoração de polinômios
6 Cálculo I – Revisão de Matemática Elementar
Exemplos:
a-) Para fatorar 3x2 + 24x + 36 encontra-se as raízes, que são e 
-6 e -2, portanto:
3x2 + 24x + 36 = 3(x + 6)(x + 2)
b-) Para fatorar 2x2 - 6x - 20 encontra-se as raízes, que são 5 e 
-2 e, portanto:
2x2 - 6x - 20 = 2(x -5)(x + 2)
Produtos Notáveis
7 Cálculo I – Revisão de Matemática Elementar
222 2)( bababa ++=+
222 2)( bababa +−=−
))(()( 22 bababa −+=−
32233 33)( babbaaba +++=+
32233 33)( babbaaba −+−=−
(𝑎 + 𝑏)3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2)
(𝑎 − 𝑏)3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2)
Divisão de polinômios
8 Cálculo I – Revisão de Matemática Elementar
Divisão de polinômios
9 Cálculo I – Revisão de Matemática Elementar
Exemplo 1:
Divisão de polinômios
10 Cálculo I – Revisão de Matemática Elementar
Exemplo 2:
𝑥3 − 3𝑥 + 2 = (𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 − 2)
Frações algébricas
11 Cálculo I – Revisão de Matemática Elementar
Exemplos:
a-) 
2𝑦
(𝑥−5)
+
𝑥
(𝑦−7)
=
2𝑦 𝑦−7 +𝑥(𝑥−5)
(𝑥−5)(𝑦−7)
=
2𝑦2−14𝑦+𝑥2−5𝑥
(𝑥−5)(𝑦−7)
b-) 
5
𝑥2
−
7𝑦
2𝑦3
=
10𝑦3−7𝑥2𝑦
2𝑥2𝑦3
mmc
mmc
Frações algébricas
12 Cálculo I – Revisão de Matemática Elementar
c-) 
3+𝑥
𝑦
2𝑥
5
=
3+𝑥
𝑦
∙
5
2𝑥
=
5 3+𝑥
2𝑥𝑦
=
15+5𝑥
2𝑥𝑦
d-) 
2𝑥𝑦
𝑦−1
3𝑦
=
2𝑥𝑦
𝑦−1
∙
1
3𝑦
=
2𝑥𝑦
3𝑦 𝑦−1
=
2𝑥𝑦
3𝑦2−3𝑦
=
2𝑥
3𝑦−3
(multiplicar pelo inverso)
(multiplicar pelo inverso)
Racionalização
13 Cálculo I – Revisão de Matemática Elementar
Exemplos:
a-) 
2
3
=
2
3
∙
𝟑
𝟑
=
2 3
3
b-) 
7
3 5
=
7
3 5
∙
𝟓
𝟓
=
35
3 25
=
35
15
Quando o denominador é composto por uma adição ou uma subtração envolvendo alguma raiz
quadrada, o processo é diferente. Nesses casos é mais prático utilizar as propriedades do
produto da soma pela diferença dos mesmos termos. Multiplica-se pelo “conjugado” do termo.
c-) 7
5−3
=
7
5−3
∙
𝟓+𝟑
𝟓+𝟑
=
7 𝟓+𝟑
5−3 𝟓+𝟑
=
7 5+21
5
2
−32
=
7 5+21
5−9
=
7 5+21
−4
= −
7 5+21
4
d-) 𝑥
2+ 𝑦
=
𝑥
2+ 𝑦
∙
2− 𝑦
2− 𝑦
=
𝒙 𝟐− 𝒚
2+ 𝑦 𝟐− 𝒚
=
2𝑥−𝑥 𝑦
22− 𝑦 2
=
2𝑥−𝑥 𝑦
4−𝑦
Simplifique as expressões abaixo utilizando técnicas algébricas
(produtos notáveis, fatoração, divisão de polinômios,
racionalização, etc)
14 Cálculo I – Revisão de Matemática Elementar
4
107
)i 
3
81
) 
4
1
4
1
-) g
7
32
) 
3
9
) 
8
2
)d
16)4(
 c-) 
372
9
)b 
2
6
)
2
22
3
2
2
22
−
+−
−
−
−
−
+
+
−
−+
−
−
−
−
+
+
−
−+
++
−
−
−
−+
−
x
xx
x
x
h
x
x
x
x
f
t
t
e
x
x
h
h
tt
t
x
xx
a
Exercícios
15 Cálculo I – Revisão de Matemática Elementar
j−)
5 − x
25 − x
k−)
x2 + x − 2
x2 − 1
𝑙−)
(x + 3)3 − 27
x
𝑚−)
x2
x2 + 12 − 12
𝑛−)
3
x
1
5 + x
−
1
5 − x
o−)
𝑥3+1
𝑥2−1
p−)
4x2−1
2x −1
Exercícios
Respostas dos exercícios
16 Cálculo I – Revisão de Matemática Elementar
a-) x+3
b-) 
𝑡−3
2𝑡+1
c-) 8+h
d-) 
1
𝑥2
− 2𝑥 + 4
e-) 3+ 𝑡
f-) 
1
𝑥+2+3
g-)
1
4𝑥
h-) 𝑥 + 9 𝑥 + 3
i-)
𝑥−5
𝑥+2
Respostas dos exercícios
17 Cálculo I – Revisão de Matemática Elementar
j-) 
1
5+ 𝑥
k-) 
𝑥+2
𝑥+1
l-) 𝑥2 + 9𝑥 + 27
m-) 𝑥2 + 12 + 12
n-)−
6
5+𝑥 5−𝑥
o-) 
𝑥2−𝑥+1
𝑥−1
p-) 2x+1