exame1aepoca_14jun11

Prévia do material em texto

Nome: ___________________________________________________________ Nº: _________ 
NOVA School of Business and Economics (b) 1 
 
Estatística para Economia e Gestão 
Licenciatura em Economia e Licenciatura em Gestão 
 
NOVA School of Business and Economics 
 
Prof. Luís Catela Nunes 
 
Exame Final – 1ª Época 
 
14 de Junho de 2011 
 
Duração: 2 horas 
 
 
INSTRUÇÕES 
 
Material autorizado: Caneta e este enunciado. 
 
Escreva o seu nome e número de aluno na primeira página deste enunciado. 
 
Este enunciado deve permanecer sempre agrafado. 
 
As respostas às questões devem ser escritas neste enunciado nos locais indicados. 
 
Pode utilizar o verso de cada folha como rascunho. 
 
Qualquer situação de plágio (como sejam a utilização de material não autorizado, 
comunicação com colegas, etc.) terá como consequência imediata a reprovação à disciplina 
neste semestre. 
 
Não é permitido tirar dúvidas durante o exame. 
 
Antes de iniciar o exame confirme que este enunciado tem 15 folhas numeradas de 1 a 15. 
 
Na folha 12 aparece um formulário com algumas fórmulas estatísticas. 
 
Nas folhas 13 e 14 são incluídas tabelas estatísticas que podem ser necessárias para responder 
a algumas das questões deste exame. 
 
Deve permanecer sentado no seu lugar até ao final do exame. 
 
A recolha final do enunciado será feita pelos vigilantes. 
 
 
 
 
 
Nome: ___________________________________________________________ Nº: _________ 
NOVA School of Business and Economics (b) 2 
Grupo I (4 Valores) 
Para cada questão indique uma só resposta na tabela que aparece na página 15 
Cada resposta certa vale 1,0 valores. 
Cada resposta errada vale 0,3 valores negativos (-0,3). 
Cada resposta em branco ou mal assinalada vale 0 valores. 
 
O Sr. Silva é o gerente de uma empresa de pesca de polvo e acabou de negociar com um 
comprador um preço fixo de 5 mil euros por tonelada para toda a sua pesca durante o 
próximo mês. Apesar do preço estar fixo, existe alguma incerteza sobre a quantidade total 
que será pescada e também sobre os custos totais. Com base no seu conhecimento da 
actividade pesqueira, o Sr. Silva concluiu que a quantidade total (em toneladas) que será 
pescada no próximo mês pode ser descrita como uma variável aleatória que segue uma 
distribuição normal com média 20 e desvio-padrão igual a 2. O Sr. Silva considera também 
que no proximo mês os custos totais (em milhares de euros) são aleatórios com uma 
distribuição normal com média 50 e desvio-padrão 10. A quantidade total pescada e os custos 
totais estão correlacionados, com um coeficiente de correlação igual a 0,1. 
 
Com base nesta informação, pretende-se estudar a aleatoriedade do lucro total para o 
próximo mês (lucro = preço × quantidade - custos). Responda às seguintes questões 
apresentando todos os cálculos intermédios e respectivas justificações. 
 
1. Qual a probabilidade do custo total no próximo mês exceder 60 mil euros? 
a. 16% 
b. 36% 
c. 64% 
d. 84% 
 
2. Qual o valor esperado do lucro total no próximo mês? 
a. -30 
b. 20 
c. 50 
d. 450 
 
3. Qual a variância do lucro total no próximo mês? 
a. 119 
b. 180 
c. 200 
d. 220 
 
4. Para que valor da correlação entre a quantidade total pescada e os custos totais seria a 
variância do lucro total máxima? 
a. -1 
b. 0 
c. 0,5 
d. 1 
 
 
C~N(50,10
2
). P(C>60)=P(Z>(60-50)/10)=P(Z>1)=1-0.8413=16% 
 
E(L)=E(5Q-C)=5E(Q)-E(C)=5 ×20 – 50 =50 
V(L)=V(5Q-C)=5
2
V(Q)+V(C)-2×5×Cov(Q,C) 
=25×2
2
+10
2
-10×Corr(Q,C)×10×2=200-200×Corr(Q,C) 
=200-200×0,1=200-20=180 
Maximizar: V(L)=…=200-200×Corr(Q,C) 
Quanto maior Corr(Q,C), menor será a V(L). Logo a resposta é o 
valor mínimo que Corr(Q,C) pode tomar, que é Corr(Q,C) = -1. 
Ver valor na tabela da página 13 
Nome: ___________________________________________________________ Nº: _________ 
NOVA School of Business and Economics (b) 3 
Grupo II (7 Valores) 
Responda no espaço em branco após cada uma das questões 
 
A EDI é uma empresa de distribuição de energia eléctrica na Ilândia. Durante o ano de 2010, 
a empresa desenvolveu um programa integrado de incentivo à poupança energética junto da 
população de North Ilway. Foi recolhida informação sobre uma amostra de 100 famílias 
escolhidas ao acaso dessa população. Para cada uma dessas famílias calculou-se a variação 
do consumo de electricidade em 2010 face ao ano anterior (em kWh/dia). De seguida 
apresentam-se algumas estatísticas descritivas relativas a essa variável para a amostra de 100 
famílias: 
Mínimo = -2,5 
Máximo = 1.5 
Média = -0,5 
Mediana = -0,5 
Desvio-Padrão = 2,0 
Sabe-se ainda que dessas 100 famílias, 80 tiveram uma variação negativa do consumo de 
electricidade em 2010 face ao ano anterior. 
 
Responda às seguintes questões justificando todos os cálculos intermédios necessários. 
 
1. Apresente um intervalo de confiança a 95% para a proporção de famílias na população de 
North Ilway que reduziu o consumo de electricidade em 2010 face ao ano anterior. (2 
Valores) 
 
p = proporção de famílias na população que reduziu consumo 
 
n=100 > 30 , pelo que se poderá usar o teorema do limite central. 
 
100/80ˆ p =0,8. 
 
Intervalo de confiança a 95% para p: 
n
pp
zp
)ˆ1(ˆ
ˆ %5,2

 . 
 
Substituindo pelos valores vem 
I.C. =
100
2,08,0
96,18,0

 =
10
16,0
96,18,0  =
10
4,0
96,18,0   08,08,0  
 
Ou seja, o I.C. vem dado por: [0,72 ; 0,88]. 
 
 
 
 
 
O habitual z
2,5%
=1,96 (que também aparece na tabela da página 14) 
Nome: ___________________________________________________________ Nº: _________ 
NOVA School of Business and Economics (b) 4 
2. Vai ser realizado um estudo semelhante noutra população. Caso se pretenda obter para 
essa população um intervalo de confiança a 95% para a proporção de famílias que 
reduziu o consumo com uma margem de erro máxima de 1% qual deverá ser a dimensão 
mínima da amostra a considerar? (2 Valores) 
 
Margem de erro máxima é obtida quando p=0,5,ou seja, M.E. máxima = 
n
5,05,0
96,1

. 
 
Pretende-se: 
 M.E. máxima = 0,01 

n
5,05,0
96,1

=0,01 

n
5,0
96,1 =0,01 

0,01
5,0
96,1 = n 
 5096,1  = n 
 
Cálculos aproximados: 
 502 = n 
n=100
2
 
n=10000 
 
Cálculos exactos: 
98= n 
n=9604 
 
A dimensão mínima da amostra a considerar é de 9604 observações 
(aproximadamente 10000 observações). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nome: ___________________________________________________________ Nº: _________ 
NOVA School of Business and Economics (b) 5 
3. Pretende-se verificar se em média as famílias da população de North Ilway reduziram em 
mais de 0,3 kWh/dia o seu consumo de electricidade em 2010 face ao ano anterior. Teste 
esta hipótese do ponto de vista estatístico. Seja claro quanto a: (i) hipóteses nula e 
alternativa, (ii) estatística de teste e sua distribuição, (iii) nível de significância a utilizar, 
(iv) valor crítico, (v) regra de decisão e (vi) conclusão final. (2 Valores) 
 
Seja X = variação do consumo de uma família escolhida ao acaso em North 
Ilway. 
 
Seja E(X) =  e Var(X) = 2. 
 
(i) H0:   -0,3 , H1:  < -0,3 , 
 
(ii) Dado que a variância 2 tem que ser estimada, utiliza-se a estatística 
nS
X
t
)3,0(
 . 
Dado que a dimensão amostral n=100 é suficientemente grande, pode-se aplicar 
o teorema do limite central, e a estatística t tem uma distribuição 
aproximadamente normal com média 0 e variância 1 sob a hipótese nula. 
 
(iii) Escolho o habitual nível de significância de 5%. 
 
(iv) Tendo em conta a hipótese alternativa ( < -0,3), o valor crítico é dado por 
-1,645 que é o valor que deixa 5% na aba esquerda da distribuição da N(0,1). 
 
(v) A regra de decisão consiste em rejeitar H0 se t < -1,645. 
(vi) A estatística de teste vem: 
1002
)3,0(5,0 
t =
2,0
2,0
= -1. 
Como t > -1,645, não se rejeita a hipótese nula. 
 
Logo, para um nível de significância de 5%, não existeevidência suficiente 
para se dizer que em média as famílias da população de North Ilway reduziram 
o seu consumo em mais de 0,3 kWh/dia. 
 
 
 
 
 
 
 
O valor 1,645 aparece na tabela da página 14, ou aproximado na página 13 
Nome: ___________________________________________________________ Nº: _________ 
NOVA School of Business and Economics (b) 6 
4. Utilizando a mesma amostra de 100 famílias de North Ilway, um colega apresentou o 
seguinte intervalo de confiança para a variação média do consumo de electricidade na 
população: [-0,6 ; -0,4]. Qual o grau de confiança utilizado na construção deste intervalo? 
(1 Valor) 
 
I.C. proposto = -0,5 ± 0,1 = 1,0x 
 
Logo o margem de erro é de 0,1 pelo que: 
 
 M.E.=0,1  
  1,0
100
22 z (Dado que a dimensão amostral n=100 é suficientemente 
grande, pode-se aplicar o teorema do limite central e utilizar 
2z ) 
  
2
1001,02 z 
 5,02 z 
 )6915,01(
2


=0.3185 
   60%. 
 
Logo o grau de confiança do intervalo proposto = (1 - )  40%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O valor 0,6915 aparece na tabela da página 13 
Nome: ___________________________________________________________ Nº: _________ 
NOVA School of Business and Economics (b) 7 
Grupo III (7 Valores) 
 
Para cada questão indique uma só resposta na tabela que aparece na página 15 
Cada resposta certa vale 1,0 valores. 
Cada resposta errada vale 0,3 valores negativos (-0,3). 
Cada resposta em branco ou mal assinalada vale 0 valores. 
 
 
Suponha que trabalha para uma empresa de consultoria e que lhe foi pedido para realizar um 
estudo sobre os salários na empresa IQPlus. Esta empresa a operar em Portugal é uma 
subsidiária de uma multinacional espanhola. Os actuais trabalhadores da empresa têm 
nacionalidade portuguesa ou espanhola. No entanto, a maioria dos empregados com mais 
anos de experiência são espanhóis porque há cerca de 10 a 15 anos atrás, a empresa contratou 
maioritariamente no mercado de emprego espanhol para preencher os seus quadros nessa 
altura. Recentemente, a IQPlus perdeu um grande número de trabalhadores para os seus 
concorrentes, e a administração da empresa quer determinar se os salários são uma das razões 
pelas quais os empregados estão a deixar a empresa. 
 
Para realizar este estudo, foram recolhidas informações salariais e outras variáveis 
relacionadas a partir de uma amostra aleatória de 110 trabalhadores na IQPlus. Também foi 
recolhida informação sobre a nacionalidade desses trabalhadores, a nota obtida no teste de 
aptidões realizado no momento da admissão de cada um, e ainda informação sobre se cada 
trabalhador tem ou não um grau de mestrado. Finalmente, existe ainda informação sobre os 
anos de experiência de cada um dos trabalhadores na IQPlus. 
 
Para estimar um modelo de regressão linear com base nos dados disponíveis para cada 
trabalhador foram então consideradas as seguintes variáveis explicativas: 
 PT: uma variável dummy que tem um valor de "1" se a nacionalidade do empregado 
for portuguesa e um valor de "0" se a nacionalidade do funcionário for espanhola. 
 NOTA: a nota obtida no teste de aptidão do trabalhador (a classificação vai do 
mínimo de aptidão de 0 a um máximo de aptidão de 4). 
 MESTRADO: uma variável dummy que tem um valor de "1" se o empregado tem um 
mestrado e um valor de "0" se o trabalhador só tem um curso de licenciatura. 
 EXPER: o número de anos do empregado na IQPLus. 
 
Estas variáveis foram escolhidas para a sua análise por vários motivos. Em primeiro lugar, 
porque se pretendem prever os salários na IQPlus com base nalguma medida de experiência 
(capturada pelo número de anos na empresa) e no talento intelectual inato para o trabalho 
(capturado pela nota do teste de aptidões e pela variável dummy para o mestrado). Além 
disso, pretende-se testar a hipótese de que os empregados portugueses podem estar a receber 
um salário inferior aos seus colegas espanhóis. 
 
De seguida, apresenta-se o resultado obtido através do Excel da estimação de um modelo de 
regressão linear em que o salário anual de cada trabalhador (em euros) é a variável 
dependente. Deve responder às diversas questões que são apresentadas a seguir. 
 
 
Nome: ___________________________________________________________ Nº: _________ 
NOVA School of Business and Economics (b) 8 
 
Regression Statistics 
 Multiple R 0.938506 
 R Square 0.880794 
 Adjusted R 
Square 0.876253 
 Standard Error 5775.951 
 Observations 110 
 
 
ANOVA 
 
 df SS MS F 
Significance 
F 
 Regression 4 2.59E+10 6.47E+09 193.9574 1.51E-47 
 Residual 105 3.5E+09 33361607 
 Total 109 2.94E+10 
 
 
 Coefficients 
Standard 
Error t Stat P-value 
Intercept 2543.674 4014.276 0.633657 0.527683 
PT -1804.88 1757.195 -1.02714 0.306715 
NOTA 19232.81 1064.995 18.05906 5.56E-34 
MESTRADO 10001.8 1199.531 8.338092 3.16E-13 
EXPER 1962.386 183.2202 10.71054 1.56E-18 
 
 
 
 
1. Existe evidência estatística suficiente para se dizer que para toda a empresa IQPlus os 
trabalhadores portugueses ganham em média menos que os trabalhadores espanhóis com 
as mesmas características? 
a) Sim, porque o coeficiente estimado da variável PT é negativo. 
b) Não, porque o coeficiente estimado da variável PT não é significativamente 
diferente de zero. 
c) Não, porque o coeficiente estimado da variável PT é significativamente diferente 
de zero. 
d) Sim, porque o coeficiente estimado da variável PT não é significativamente 
diferente de zero. 
2. Com base na descrição que foi feita sobre a empresa IQPlus, qual das seguintes afirmações 
é mais plausível caso fosse estimada uma regressão linear simples em que a única variável 
explicativa era a variável PT? 
a) A estimativa do coeficiente da variável PT na regressão simples não deveria diferir 
da estimativa obtida na regressão múltipla, ou seja, não deveria diferir de -1804.88. 
b) A estimativa do coeficiente da variável PT na regressão simples seria menos 
negativa. 
c) A estimativa do coeficiente da variável PT na regressão simples seria ainda 
mais negativa. 
“Explicação: Os trabalhadores portugueses têm menos experiência e como tal 
um salário em média inferior (notas: (i) na regr.múltipla é medido o efeito 
ceteris paribus, (ii) na regressão simples é omitida a variável experiência.” 
d) A estimativa do coeficiente da variável PT na regressão simples seria positiva. 
Nome: ___________________________________________________________ Nº: _________ 
NOVA School of Business and Economics (b) 9 
3. Quais os factores que parecem explicar o salário, considerando um nível de significância 
de 5%? 
a) PT 
b) NOTA 
c) NOTA, MESTRADO, EXPER “são as variáveis que têm p-values < 5%” 
d) PT, NOTA, MESTRADO, EXPER 
 
4. A administração da IQPlus pensa que o salário anual deve crescer em média 2000 euros 
por cada ano adicional de experiência de um trabalhador na empresa. O que é que os 
resultados permitem concluir? 
a) A um nível de significância de 5%, os resultados não rejeitam essa hipótese. 
“Fazendo um teste da H0 de que o coeficiente da variável EXPER é igual a 2000, 
dá uma estatística t=(1962-2000)/183-0,2 pelo que não se rejeita H0.” 
b) A um nível de significância de 5%, os resultados rejeitam essa hipótese. 
c) Não existe informação suficiente para testar essa hipótese. 
d) Os resultados permitem rejeitar essa hipótese porque o coeficiente estimado é 
inferior a 2000. 
5. O intervalo de confiança a 95% para o impacto médio no salário anual por se ter um 
mestrado, ceteris paribus, é dado por: 
a) [ -6 , 20006] 
b) [1200 , 10002] 
c) [7623 , 12380] “IC = 10002±1,96×1200” 
d) [8802 , 11202] 
6. Se o acréscimo no salário devido ao factor mestrado depender dos anos de experiência na 
empresa, qual a variável adicional que deve ser incluida no modelo? E qual o sinal 
esperadopara o seu coeficiente estimado se o impacto de se ter um mestrado for superior 
para os trabalhadores menos experientes? 
a) EXPER ao quadrado com sinal positivo, 
b) EXPER ao quadrado com sinal negativo, 
c) EXPER × MESTRADO com sinal positivo, 
d) EXPER × MESTRADO com sinal negativo. “efeito estimado de se ter 
mestrado=bMESTRADO + bEXPER×MESTRADO×EXPER._Se quanto maior a 
experiência menor o efeito do mestrado deve-se ter bEXPER×MESTRADO < 0. 
7. Se adicionarmos mais uma variável explicativa ao modelo e o re-estimarmos com essa 
variável incluída, como se altera o R
2
? 
a) O R2 da nova regressão estimada não será inferior ao acima apresentado nos 
resultados para o modelo. 
b) O R2 da nova regressão estimada não será superior ao acima apresentado nos 
resultados para o modelo. 
c) O R2 da nova regressão estimada será superior caso a nova variável seja 
significativa. 
d) O R2 da nova regressão estimada será superior caso a estatística t da nova variável 
seja superior a 1. 
 
 
Nome: ___________________________________________________________ Nº: _________ 
NOVA School of Business and Economics (b) 10 
GRUPO IV (2 Valores) 
Responda no espaço em branco após a questão 
 
Suponha que uma variável y é causada por uma variável x de acordo com o seguinte modelo 
de regressão linear: 
 iii xy   10 (A) 
em que 01  e as hipóteses habituais do modelo de regressão linear estão verificadas. No 
entanto, a variável yi foi medida com alguns erros. Em particular, as observações desta 
variável são iguais ao valor real mais um termo aleatório ui. Este termo aleatório é 
independente de todas as outras variáveis aleatórias do modelo e tem uma distribuição 
normal com média igual a 10 e desvio-padrão igual a 20. Quais os valores esperados dos 
estimadores de mínimos quadrados de 0 e de 1 quando se utilizam os dados para a 
variável yi com esses erros de medição? Pode calcular os valores esperados condicionais nos 
valores observados da variável x. Apresente todos os cálculos necessários. 
 
O modelo real é dado por iii xy   10 . 
 
Com erros de medição, os valores observados para yi são dados por 
ii
obs
i uyy  em que ui ~N(10, 20
2
). 
 
Quando se utilizam os valores observados de yi com erros de medição (ou seja 
obs
iy em vez de iy ) no estimador de mínimos quadrados de b1, este vem: 
 
   
n
i i
n
i
obsobs
ii xxyyxxb 1
2
11
)(/))(( . 
 
O numerador de b1 pode-se simplificar: 
   
n
i
obs
i
n
i
obs
ii
n
i
obsobs
ii yxxyxxyyxx 111 )()())(( 
   
n
i i
obsn
i
obs
ii xxyyxx 11 )()( 
   
n
i
obs
ii yxx1 )( (porque   
n
i i
xx
1
)( =0). 
 
Calculando o valor esperado de b1 vem: 
   
n
i i
n
i
obs
ii xxyxxEbE 1
2
11
)(/)()( 
   
n
i i
n
i iii
xxuyxxE
1
2
1
)(/))(( 
     
n
i i
n
i ii
n
i i
n
i ii
xxuxxExxyxxE
1
2
11
2
1
)(/)()(/)( 
   
n
i i
n
i ii
xxuxxE
1
2
11
)(/)( (porque   
n
i i
n
i ii
xxyxx
1
2
1
)(/)( corresponde 
ao habitual estimador sem erros de medição que sabemos 
ser centrado). 
  
n
i i
n
i ii
xxuExx
1
2
11
)(/)()( 
  
n
i i
n
i i
xxxx
1
2
11
)(/10)( 
  
n
i i
n
i i
xxxx
1
2
11
)(/)(10 
1 
 
 
Nome: ___________________________________________________________ Nº: _________ 
NOVA School of Business and Economics (b) 11 
 
Calculando o valor esperado de b0 vem: 
 
   xbuyExbyEbE obs 110 )(  
    uExbyE  1 
 100   . (porque  xby 1 coorresponde ao habitual estimador 
sem erros de medição que sabemos ser centrado). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nome: ___________________________________________________________ Nº: _________ 
NOVA School of Business and Economics (b) 12 
SOME USEFUL FORMULAS 
 
Difference Between Population Means or Proportions (Independent Samples) 
 
Parameter Assumption Confidence Interval Endpoints 
X Y  
2( , )X XN   
2( , )Y YN   
2 2, knownX Y  
2 2
/ 2
X Y
x y
x y z
n n

 
   
 
X Y  
2( , )X XN   
2( , )Y YN   
2 2 unknownX Y  
2 2
2, / 2x y
p p
n n
x y
s s
x y t
n n
    
2 2
2
( 1) ( 1)
2
x x y y
p
x y
n s n s
s
n n
  

 
 
X Y  
2( , )X XN   
2( , )Y YN   
2 2, unknownX Y  
22
, / 2
yx
v
x y
ss
x y t
n n
   
2 222 22 2
/( 1) /( 1)
y yx x
x y
x y x y
s ss s
v n n
n n n n
     
                   
 
X Y  Large samples 
2 2, unknownX Y  
22
/ 2
yx
x y
ss
x y z
n n
   
X Yp p 
 
Large samples 
Bernoulli Xp 
Bernoulli Yp 
/ 2
ˆ ˆ(1 )ˆ ˆ(1 )
ˆ ˆ
y yx x
x y
x y
p pp p
p p z
n n


   
 Note: The first two intervals in the table are exact. The other three intervals are approximations. 
 
 
Multiple Linear Regression: i 0 1 1i 2 2i k ki iy β β x β x β x ε      
Total S.Sq.=SST= 2
i(y y) , Regression S.Sq.=SSR=
2
i
ˆ(y y) , Error S.Sq.=SSE= 
2
i i
ˆ(y y ) 
2R SSR/SST and 
2 SSE / (n K 1)R 1
SST / (n 1)
 
 

 
Var( iε ) = 
2
 is estimated as 
n2 2
e ii=1
s e /(n k 1)   
Confidence interval for jβ : 
jj n k 1,α/2 b
b t s  
 Test for H0: 1 2 kβ β β 0    is 
SSR/k
F = 
SSE/(n-k-1)
 ~ Fk,n-k-1 under H0 
 
Simple Linear Regression: i 0 1 1i iy β β x ε   
 0 1b y b x  and 
n n 2
1 i 1 i 1
b (x x)(y y) / (x x)i i i      
 
n2 2
1 ii 1
Var(b ) σ / (x x)

  is estimated as 1
n2 2 2
b e ii 1
s s / (x x)

  
Prediction interval for
2
n+1
n+1 0 1 n+1 n-2, /2 e 2
i
(x x)1
y : b b x t s 1
n (x x)


   

 
Nome: ___________________________________________________________ Nº: _________ 
NOVA School of Business and Economics (b) 13 
 
 
Nome: ___________________________________________________________ Nº: _________ 
NOVA School of Business and Economics (b) 14 
 
 
 
Nome: ___________________________________________________________ Nº: _________ 
NOVA School of Business and Economics (b) 15 
 
Respostas às Questões dos Grupos I e III 
 
Assinale as suas respostas com um X 
 
 
 Resposta 
Questão a b c d 
I.1 X 
I.2 X 
I.3 X 
I.4 X 
III.1 X 
III.2 X 
III.3 X 
III.4 X 
III.5 X 
III.6 X 
III.7 X