Método das forças

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Análise Estrutural II
Profa. Rafaela Amaral
Bibliografia:
SUSSEKIND, J. C., Curso de Análise
Estrutural Globo, vol. 2, 1980.
*Capítulo 2
Método das Forças.
Introdução:
Estruturas Hipostáticas: não são estáveis por não
possuir algum movimento não restringido.
Fonte: Xavier Romão-Mecânica I-2002/2003
Estruturas isostáticas: as reações estão dispostas
de forma a restringir os possuis movimentos da
estrutura e são exatamente o necessário para
impedir qualquer movimento.
Fonte: Xavier Romão-Mecânica I-2002/2003
Estruturas Hiperestáticas:
Para uma estrutura, as reações de apoio e os
esforços internos, através do método das seções,
podem ser determinados pelas equações de equilíbrio
da Estática, no plano: σ𝑀 = 0
σ𝐹𝑦 = 0
σ𝐹𝑥 = 0
A estrutura é dita:
• externamente hiperestática se o número de
reações de apoio forem superior ao número
de Equações de Equilíbrio da Estática;
• internamente hiperestática se o número de
esforços internos incógnitos for superior ao
número de Equações de Equilíbrio da
Estática oferecido pelo Método das Seções.
• 5 incógnitas;
• 3 equações de equilíbrio no plano;
• 1 equação devido ao momento fletor nulo na rótula.
• Grau de Hiperestaticidade externo:
𝑔𝑒 = 𝑟 − 𝑒 − 𝑛𝑟
Onde:
𝑟→ Número de reações;
𝑒→ Número de equações de equilíbrio da
estática;
𝑛𝑟→ Número de equações provenientes de
rótulas:
𝑛𝑟 = 𝑏 − 1
𝑏→ Número de barras ligadas a rótula.
01) Determinar o grau de hiperestaticidade
externa das estruturas abaixo:
Exemplo:
• Grau de Hiperestaticidade interno:
O grau de hiperestaticidade interno (𝑔𝑖) é igual
ao número de esforços internos necessários
ao traçado de diagramas, conhecidas as
reações.
𝑔𝑖 = 3
• Grau de Hiperestaticidade Total: Será a
soma do grau de hiperestaticidade externo
( 𝑔𝑒 ) com o grau de hiperestaticidade
interno (𝑔𝑖) :
𝑔 = 𝑔𝑒 + 𝑔𝑖
02) Determine o grau de Hiperestaticidade da
estrutura:
Resp.: 𝑔 = 𝑔𝑒 = 4
Exemplos:
03) Determine o grau de Hiperestaticidade da
estrutura:
Resp.: 𝑔 = 𝑔𝑒 = 2
04) Determine o grau de Hiperestaticidade da
estrutura:
Resp.: 𝑔 = 𝑔𝑖 = 6
05) Determine o grau de Hiperestaticidade da
estrutura:
Resp.: 𝑔 = 𝑔𝑒 + 𝑔𝑖 = 4
06) Determine o grau de Hiperestaticidade da
estrutura:
Resp.: 𝑔 = 𝑔𝑒 + 𝑔𝑖 = 2 + 3 = 5
07) Determine o grau de Hiperestaticidade da
estrutura:
Resp.:𝑔 = 𝑔𝑒 + 𝑔𝑖 = 1 + 1 = 2
08) Determine o grau de Hiperestaticidade da
estrutura:
Resp.: 𝑔 = 𝑔𝑒 + 𝑔𝑖 = 9 + 36 =45
Método das Forças:
Liberou:
Rotação em A
Rotação + Deslocamento em B
• Então, para cada incógnita 𝑋𝑖 temos uma
equação dizendo que o deslocamento na
direção de 𝑋𝑖 é nulo.
• Podemos afirmar que a resolução de uma
estrutura 𝒏 vezes hiperestática recairá na
resolução de um sistema 𝒏 × 𝒏 , em que
cada equação exprimirá a condição de ser
nulo o deslocamento na direção de cada um
dos hiperestáticos.
𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑚
𝑐𝑎𝑟𝑟𝑒𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑒𝑟𝑒𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑋1…𝑋𝑛
=
𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙
𝑐𝑜𝑚
𝑐𝑎𝑟𝑟𝑒𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜
+෍
𝑖=1
𝑛 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙
𝑐𝑜𝑚
ℎ𝑖𝑝𝑒𝑟𝑒𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑋𝑖 = 1
𝑋𝑖
Sobreposição de efeitos:
onde 𝑋𝑖 são os fatores de escala.
Para 𝛿𝑖𝑗:
Primeiro índice (i): local 
Segundo índice (j): causa
Rotação em 𝐴 = 0………………………𝛿10 + 𝛿11𝑋1 + 𝛿12𝑋2 + 𝛿13𝑋3 = 0
Rotação em 𝐵 = 0………………………𝛿20 + 𝛿21𝑋1 + 𝛿22𝑋2 + 𝛿23𝑋3 = 0
Deslocamento horizontal 𝑒𝑚 𝐵 = 0…𝛿30 + 𝛿31𝑋1 + 𝛿32𝑋2 + 𝛿33𝑋3 = 0
𝑋𝑖: Hiperestáticos.
Solução: resolver o sistema!
Por exemplo, 
• Para o grau de hiperestaticidade igual 1, o
sistema fica:
𝛿10 + 𝛿11𝑋1 = 0
Para o grau de hiperestaticidade igual 2, o
sistema fica:
𝛿10 + 𝛿11𝑋1 + 𝛿12𝑋2 = 0
𝛿20 + 𝛿21𝑋1 + 𝛿22𝑋2 = 0
Para o grau de hiperestaticidade igual 3, o
sistema fica:
𝛿10 + 𝛿11𝑋1 + 𝛿12𝑋2 + 𝛿13𝑋3 = 0
𝛿20 + 𝛿21𝑋1 + 𝛿22𝑋2 + 𝛿23𝑋3 = 0
𝛿30 + 𝛿31𝑋1 + 𝛿32𝑋2 + 𝛿33𝑋3 = 0
Esforços finais: 𝐸 = 𝐸0 + σ𝐸𝑖𝑋𝑖
𝐸0 : Esforço no sistema principal, provocado pelo
agente solicitante externo;
𝐸𝑖 : Esforço no sistema principal provocado pela
aplicação do hiperestático 𝑋𝑖 com o valor iniciante
arbitrário;
𝑋𝑖 : Valor obtido para o hiperestático, a partir da
resolução direta do sistema de equações de
compatibilidade elástica ou da equação matricial.
Roteiro para o método das forças:
• Escolha o sistema principal
• Traçado dos diagramas de momento no sistema principal
• Obtenção das deformações: 𝐸𝐼𝛿
• Formulação do sistema de equações de compatibilidade 
elástica
• Obtenção dos hiperestáticos: 𝑋𝑖
• Obtenção dos efeitos finais: 𝐸 = 𝐸0 +σ𝐸𝑖𝑋𝑖
09) Obter os diagramas solicitantes e as
reações de apoio para a estrutura da
figura abaixo, devido ao carregamento
indicado. Considerar EI constante.
Exemplo:
10) Obter os diagramas solicitantes e as
reações de apoio para a estrutura da
figura abaixo, devido ao carregamento
indicado. Considerar EI constante.
11) Obter os diagramas solicitantes e as
reações de apoio para a estrutura da
figura abaixo, devido ao carregamento
indicado. Considerar EI constante.
12) Obter os diagramas solicitantes e as
reações de apoio para a estrutura da
figura abaixo, devido ao carregamento
indicado. Considerar EI constante.
13) Obter os diagramas solicitantes e as
reações de apoio para a estrutura da
figura abaixo, devido ao carregamento
indicado. Considerar EA constante.
14) Obter os diagramas solicitantes e as
reações de apoio para a estrutura da
figura abaixo, devido ao carregamento
indicado. Considerar EA constante.
Obrigada
rafaela.amaral@engenharia.ufjf.br
Escola de Engenharia e Tecnologia