1 - enunciados conectivos

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Novo Módulo de MD 2020 Unidade 1
Matemática Discreta
Tópicos da Linguagem e da Lógica Matemáticas
Texto da Semana 2, Parte 1
Enunciados com conectivos
Sumário
1 Introdução 1
2 Enunciados 2
2.1 Observações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 Formação de enunciados por meio de conectivos 4
3.1 Observações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 Exerćıcios Propostos 11
1 Introdução
Em Matemática, lidamos com objetos abstratos — números, figuras, etc. — e
fazemos determinadas afirmações sobre eles. Estas afirmações podem estar corretas,
ou não.
As afirmações sobre os objetos matemáticos são expressas por meio de enuncia-
dos.
Um enunciado pode ser classificado de acordo com a sua estrutura lógica ou de
acordo com o seu valor lógico.
Por exemplo, alguns enunciados, como
o dobro de 2 é par
têm uma estrutura lógica simples. Outros, como
2 é par ou o dobro de 2 não é par
e
o dobro de algum número par é ı́mpar
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têm uma estrutura lógica complexa. Quanto aos seus valores lógicos, os dois primei-
ros enunciados acima são verdadeiros, mas o último é falso.
Além de serem usados para expressar afirmações, em Matemática, os enunciados
também são empregados para justificar que outros enunciados são verdadeiros.
Por exemplo, como 32 + 42 = 52, o enunciado
todo triângulo cujos lados a, b e c satisfazem à equação a2 + b2 = c2 é retângulo
pode ser usado para justificar que o enunciado
o triângulo de lados 3, 4 e 5 é retângulo
é verdadeiro. Além disso, como 32 + 42 6= 62, o enunciado
todo triângulo retângulo tem lados a, b e c que satisfazem à equação a2 + b2 = c2
pode ser usado para justificar que o enunciado
o triângulo de lados 3, 4 e 6 não é retângulo
é verdadeiro.
Expressar afirmações por meio de enunciados e justificar enunciados
verdadeiros por meio de outros enunciados é a essência da atividade
matemática. Por esta razão, o estudo dos enunciados contribui para a
formação de todos aqueles que se interessam por esta matéria.
Nas aulas de Linguagem e Lógica Matemáticas, vamos estudar os enunciados, suas
propriedades e inter-relações. Em particular, vamos abordar certas peculiaridades
sobre a afirmação de enunciados e do seu uso na justificativa da veracidade de outros
enunciados.
Especificamente, neste texto, vamos abordar os conceitos de enunciado (Seção 2)
e de conectivo lógico (Seção 3). Além disso, vamos estudar a formação de enunci-
ados por meio dos conectivos lógicos (Seção 3). Depois de estudarmos este texto,
vamos ser capazes de classificar certas frases como enunciados (Exerćıcios 1 e 2);
e reescrever os enunciados de uma maneira mais adequada, usando os conectivos
lógicos (Exerćıcios 3, 4, 5 e 6).
2 Enunciados
Em um ńıvel introdutório, a Lógica estuda a avaliação e a formação dos enun-
ciados:
Um enunciado é uma frase que pode ser avaliada como verdadeira ou falsa,
de maneira exclusiva, em um dado contexto.
Exemplo 1 (a) As frases
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1 é um número par
o ćırculo de raio 1 tem área 2π
se x é par, então x2 é par
o eixo 0x é paralelo ao eixo 0y
são enunciados (pertencentes a vários contextos matemáticos distintos).
(b) Os termos
1
o ćırculo de raio 1
x
2π
x2
o eixo 0x
o eixo 0y
não são enunciados.
2.1 Observações
Observação 1 Enunciados também são chamados de sentenças ou proposições.
Observação 2 Além de enunciados envolvendo conteúdos matemáticos, considera-
mos também enunciados sobre vários outros conteúdos.
Por exemplo, as frases
H2O é água
herb́ıvoros e carńıvoros vivem juntos
se ela é carioca, então ela é brasileira
todo homem é mortal
são enunciados.
Fazendo isto, somos capazes de aplicar os conceitos, técnicas e resultados da
Lógica não só na Matemática mas, também, nos outros ramos do conhecimento e
no dia a dia.
2.2 Exerćıcios
Exerćıcio 1 Classifique como enunciado ou não.
(i) 2 é primo (ii) meu primo
(iii) x e y (iv) João e Maria são casados
(v) 2× 3 é 7 (vi) 2× n é par
(vii) o sucessor de 2012 (viii) o sucessor dele é uma mulher
(ix) (x, y) está no primeiro quadrante (x) reconhecer enunciados é dif́ıcil
Exerćıcio 2 Classifique como enunciado ou não:
(i) o menor número inteiro que é par e está entre 1 e 10
(ii) o menor número inteiro que é par está entre 1 e 10
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Antes de ler as resoluções, tente resolver os exerćıcios usando os
conceitos estudados.
Resolução do Exerćıcio 1: (i) Enunciado. Pode ser avaliado como verdadeiro ou falso. (ii) Não
é enunciado. Pode ser usado para denotar uma pessoa. (iii) Não é enunciado. Pode ser usado
para denotar um par de objetos. (iv) Enunciado. Pode ser avaliado como verdadeiro ou falso. (v)
Enunciado. Pode ser avaliado como verdadeiro ou falso. (vi) Enunciado. Pode ser avaliado como
verdadeiro ou falso. (vii) Não é enunciado. Pode ser usado para denotar o número 2013. (viii)
Enunciado. Pode ser avaliado como verdadeiro ou falso. (ix) Enunciado. Dependendo dos valores
de x e y, pode ser avaliado como verdadeiro ou falso. (x) Enunciado. Pode ser avaliado como
verdadeiro ou falso. Resolução do Exerćıcio 2: (i) Apesar das aparências, não é um enunciado.
Pode ser usado para se referir ao número 2. (ii) Enunciado. Pode ser avaliado como verdadeiro ou
falso.
3 Formação de enunciados por meio de conectivos
Além de poderem ser avaliados como verdadeiros ou falsos, de maneira exclu-
siva em um dado contexto, os enunciados podem ser combinados entre si para
formar enunciados estruturalmente mais complexos.
Na Linguagem Matemática, a formação de enunciados estruturalmente mais com-
plexos a partir de outros enunciados se dá pela aplicação de certas part́ıculas especifi-
camente reservadas para este fim. Inicialmente, consideraremos apenas as part́ıculas
não é o caso que
e
ou
se . . . , então
se, e somente se,
e algumas de suas variantes. Posteriormente, vamos considerar também as part́ıculas
para todos
existe ao menos um
e algumas de suas variantes. Estas são as part́ıculas mais usadas na Linguagem
Matemática.
As part́ıculas
não é o caso que , e , ou , se . . . , então e se, e somente se,
são chamadas de conectivos lógicos, quando são usadas na formação de
enunciados da maneira que vamos especificar a seguir.
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Negações
Uma negação é um enunciado obtido pela aplicação da part́ıcula
não é o caso que
a um único enunciado.
Exemplo 2 A negação do enunciado
eles começaram a fazer perguntas interessantes
é o enunciado
não é o caso que eles começaram a fazer perguntas interessantes.
Como é usual, sempre que posśıvel, negamos um enunciado escrevendo a part́ıcula
não
junto ao verbo.
Exemplo 3 (a) A negação do enunciado
x é igual a 0
é o enunciado
x não é igual a 0.
(b) A negação do enunciado
x é igual a 1
é o enunciado
x não é igual a 1.
(c) O enunciado
é falso que x tem divisores próprios diferentes de 1
pode ser reescrito como uma negação. De fato, ele pode ser reescrito como
x não tem divisores próprios diferentes de 1
que é a negação do enunciado
x tem divisores próprios diferentes de 1.
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Conjunções
Uma conjunção é um enunciado obtido pela aplicação da part́ıcula
e
a dois enunciados (não necessariamente distintos).
Exemplo 4 A conjunção de
Platão é grego
com
Aristóteles é grego
é o enunciado
Platão é grego e Aristóteles é grego.
Como é usual, fazemos a conjunção de vários enunciados escrevendo repetidas
vezes a part́ıcula
e
entre eles.
Exemplo 5 (a) A conjunção dos enunciadosx não é igual a 0
x não é igual a 1
x não tem divisores próprios diferentes de 1
é o enunciado
x não é igual a 0 e x não é igual a 1 e x não tem divisores próprios diferentes de 1.
(b) O enunciado
tanto Platão quanto Aristóteles eram filósofos
pode ser reescrito como uma conjunção. De fato, ele pode ser reescrito como
Platão era filósofo e Aristóteles era filósofo
que é a conjunção dos enunciados
Platão era filósofo
Aristóteles era filósofo.
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Disjunções
Uma disjunção é um enunciado obtido pela aplicação da part́ıcula
ou
a dois enunciados (não necessariamente distintos).
Exemplo 6 (a) A disjunção do enunciado
a reta toca o ćırculo em um único ponto
com o enunciado
a reta toca o ćırculo em um número infinito de pontos
é o enunciado
a reta toca o ćırculo em um único ponto ou a reta toca o ćırculo em um número
infinito de pontos.
(b) A disjunção do enunciado
o triângulo é retângulo
com o enunciado
o triângulo tem dois lados iguais
é o enunciado
o triângulo é retângulo ou o triângulo tem dois lados iguais.
Como é usual, fazemos a disjunção de vários enunciados escrevendo repetidas
vezes a part́ıcula
ou
entre eles.
Exemplo 7 A disjunção dos enunciados
o número é múltiplo de 2
o número é múltiplo de 3
o número é múltiplo de 5
é o enunciado
o número é múltiplo de 2 ou o número é múltiplo de 3 ou o número é múltiplo de 5.
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Implicações
Uma implicação é um enunciado obtido pela aplicação da part́ıcula
se . . . , então
a dois enunciados (não necessariamente distintos).
Exemplo 8 (a) A implicação do enunciado
a reta toca o ćırculo em um único ponto ou a reta toca o ćırculo em um número
infinito de pontos
pelo enunciado
a reta toca o ćırculo
— observe a ordem em que os enunciados são mencionados — é o enunciado
se a reta toca o ćırculo, então: a reta toca o ćırculo em um único ponto ou a reta
toca o ćırculo em um número infinito de pontos.
(b) A implicação do enunciado
o triângulo é retângulo ou o triângulo tem dois lados iguais
pelo enunciado
o triângulo é a metade de um quadrado
— observe a ordem em que os enunciados são mencionados — é o enunciado
se o triângulo é a metade de um quadrado, então: o triângulo é retângulo ou o
triângulo tem dois lados iguais.
Observe que usamos : (dois pontos) ao escrever as implicações dos exemplos 8(a)
e 8(b), para explicitar de maneira mais precisa suas estruturas lógicas.
Exemplo 9 O enunciado
tirar férias me deixa feliz
pode ser reescrito como uma implicação. De fato, ele pode ser reescrito como
se eu tiro férias, então eu fico feliz
que é a implicação do enunciado
eu fico feliz
pelo enunciado
eu tiro férias
— observe a ordem em que os enunciados são mencionados.
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Bi-implicações
Uma bi-implicação é um enunciado obtido pela aplicação da part́ıcula
se, e somente se
a dois enunciados (não necessariamente distintos).
Exemplo 10 A bi-implicação do enunciado
x é primo
com o enunciado
x não é igual a 0 e x não é igual a 1, e x não tem divisores próprios diferentes de 1
é o enunciado
x é primo se, e somente se (x não é igual a 0 e x não é igual a 1 e x não tem
divisores próprios diferentes de 1).
Observe que usamos ( ) (abre e fecha parênteses) ao escrever a bi-implicação
do exemplo 10, para explicitar de maneira mais precisa a sua estrutura lógica.
3.1 Observações
Observação 3 A ordem em que os enunciados ocorrem escritos na formação de
um outro enunciado pode ser relevante. Isto é, em geral, quando trocamos a ordem
das ocorrências dos enunciados usados na formação de um enunciado, nem sempre
obtemos um enunciado com o mesmo significado que o enunciado original.
Por exemplo, se estamos nos referindo a números reais, a implicação
se x é positivo, então x2 é positivo
não tem o mesmo significado que a implicação
se x2 é positivo, então x é positivo.
De fato, a primeira implicação é verdadeira, qualquer que seja o número real que
x assume como valor, enquanto que a segunda é falsa, quando x assume como valor
um número negativo.
Observação 4 O número de vezes em que um enunciado ocorre na formação de um
outro enunciado pode ser relevante. Isto é, em geral, quando “simplificamos” um
enunciado, eliminando ocorrências repetidas de enunciados usados na sua formação,
nem sempre obtemos um enunciado com o mesmo significado que o enunciado ori-
ginal.
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Por exemplo, a implicação
se Mariana está acessando a Internet, então Mariana está acessando a Internet
não tem o mesmo significado que o enunciado
Mariana está acessando a Internet.
De fato, a implicação é verdadeira em qualquer contexto, enquanto que o enun-
ciado pode ser verdadeiro em alguns contextos e falso em outros.
3.2 Exerćıcios
Exerćıcio 3 Lembre-se que uma negação é um enunciado obtido por aplicação
da part́ıcula não a outro enunciado. Reescreva cada enunciado abaixo como uma
negação:
(i) não se dá que 3 seja um quadrado perfeito
(ii) é mentira que ele estudou a matéria
(iii) 1 6= 0
(iv) eu gostar de novela: isto não acontece
(v) 3 é ı́mpar
Exerćıcio 4 Lembre-se que uma conjunção é um enunciado obtido por aplicação
da part́ıcula e a outros enunciados. Reescreva cada enunciado abaixo como uma
conjunção:
(i) 6 e 28 são ı́mpares
(ii) Célia, João e Ricardo são estudiosos
(iii) (−2)2 é inteiro, positivo, e par
(iv) eu fui à praia, mas não fiquei no sol
(v) além de não gostar de jiló, ela não gosta de quiabo
Exerćıcio 5 Lembre-se que uma implicação é um enunciado obtido por aplicação
da part́ıcula se . . . , então a outros enunciados. Reescreva cada enunciado abaixo
como uma implicação:
(i) se o gol acontece, a comemoração também
(ii) x é ı́mpar se não é par
(iii) caso chova, nós ficaremos molhados
(iv) det(M) 6= 0 implica que M é invert́ıvel
(v) quando faz sol eu vou à praia
Exerćıcio 6 Reescreva cada enunciado abaixo usando os conectivos lógicos:
(i) Carlos ou Vera passará no concurso
(ii) nem Carlos nem Vera passará no concurso
(iii) no caso de Carlos passar no concurso, Vera não passará
no concurso
(iv) x2 ser par é suficiente para x ser par
(v) na condição de x ser natural, x é positivo
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Antes de ler as resoluções, tente resolver os exerćıcios usando os
conceitos estudados.
Resolução do Exerćıcio 3: (i) 3 não é um quadrado perfeito. (ii) ele não estudou a matéria. (iii)
1 não é igual a 0. (iv) eu não gosto de novela. (v) 3 não é par. Resolução do Exerćıcio 4: (i)
6 é ı́mpar e 28 é ı́mpar. (ii) Célia é estudiosa e João é estudioso e Ricardo é estudioso. (iii) (−2)2
é inteiro e (−2)2 é positivo e (−2)2 é par. (iv) eu fui à praia e eu não fiquei no sol. (v) ela não
gosta de jiló e ela não gosta de quiabo. Resolução do Exerćıcio 5: (i) se o gol acontece, então
a comemoração acontece. (ii) se x não é par, então x é ı́mpar. (iii) se chover, então nós ficaremos
molhados ou, simplesmente, se chove, então nós ficamos molhados, uma vez que não levamos em
conta o tempo verbal envolvido nos enunciados. (iv) se det(M) não é igual a 0, então M é invert́ıvel.
(v) se faz sol, então eu vou à praia. Resolução do Exerćıcio 6: (i) Carlos passa no concurso
ou Vera passa no concurso. (ii) Carlos não passa no concurso e Vera não passa no concurso. (iii)
se Carlos passar no concurso, então Vera não passará no concurso ou, simplesmente, se Carlos passa
no concurso, então Vera não passa no concurso uma vez que não levamos em conta o tempo verbal
envolvido nos enunciados. (iv) se x2 é par, então x é par. (v) se x é natural, então x é positivo.
4 Exerćıcios Propostos
Após resolver cada exerćıcio proposto, verifiquese alguma resolução para ele
já foi postada na Sala de MD. Se não, poste a sua resolução. Se sim, caso
haja discordância, comente a resolução que já foi postada, dialogando com os
colegas.
Exerćıcio Proposto 1 Considere o texto a seguir, sobre os números naturais, no
qual alguns śımbolos e/ou frases estão sublinhados. Classifique os śımbolos e/ou
frases sublinhados como enunciados ou não.
Os números naturais são os números inteiros não negativos.
A saber:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, . . .
Observe que zero é um número natural.
A totalidade dos números naturais é representada pela letra N.
A totalidade dos números naturais não nulos, excluindo o zero, ou seja:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, . . . ,
é representada pela letra N seguida do śımbolo ∗, ou seja, pelo śımbolo N∗.
O uso das reticências . . . indica que sempre é posśıvel listar mais um número
natural.
Assim, a totalidade dos naturais pode ser representada por 0, 1, 2, . . ..
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Mas, também, das maneiras a seguir:
0, 1, 2, 3, . . .
ou
0, 1, 2, 3, 4, . . .
ou
0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .
etc.
Exerćıcio Proposto 2 Considere o texto a seguir, sobre a área de figuras planas,
no qual alguns śımbolos e/ou frases estão sublinhados. Classifique os śımbolos e/ou
frases sublinhados como enunciados ou não.
A área de um retângulo é o produto da medida da base pela medida da
altura.
Em śımbolos, A = b · h.
Como um quadrado é um retângulo cuja medida da base é igual a medida da
altura, podemos concluir que a área do quadrado é o quadrado da medida do
lado.
Em śımbolos, A = l2.
Se uma figura plana que tem área é formada por duas partes que têm área
e não têm pontos em comum, então a área da figura é a soma das áreas de
cada parte.
Como consequência, a área do paralelogramo é o produto da medida da ba-
se pela medida da altura.
c© 2020 Márcia Cerioli e Petrucio Viana
Coordenação da Disciplina MD/CEDERJ-UAB
Atualizado em 16 de agosto de 2020.
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