Prévia do material em texto
MODELOS DE PROGRAMAÇÃO LINEARProfa. Daniela Brassolatti Modelos de P.L Os modelos de programação linear são identificados pelas seguintes características: •Um critério de escolha das variáveis de decisão constituído por uma função linear das variáveis. Esta função é denominada Função Objetivo e seu valor deve ser otimizado (maximizado ou minimizado) •As relações de interdependência entre as variáveis de decisão se expressam por um conjunto de equações (e/ou) inequações lineares. São denominadas Restrições. •As variáveis de decisão do modelo são não-negativas, ou seja, positivas ou nulas. •O modelo consiste em achar x1, x2, ... , xn que maximize a função objetivo satisfazendo as restrições, ou seja: Variações do modelo geral consistem em minimizar Z ou ter restrições com sinal “ = ” ou “ ≥ ”. •Para formulação , três características devem ser observadas segundo a seguinte ordem: •1o Identificar as variáveis de decisão •2o Identificar a função objetivo •3o Identificar o conjunto de restrições EXEMPLOS DE FORMULAÇÃO DE MODELOS DE P.L 1) Certa empresa fabrica dois produtos P1 e P2 . O lucro unitário do produto P1 é de 1.000 unidades monetárias e o lucro unitário de P2 é de 1.800 unidades monetárias. A empresa precisa de 20 horas para fabricar uma unidade do produto P1 e de 30 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo anual de produção disponível para isso é de 1200 horas. A demanda esperada para cada produto é de 40 unidades anuais para P1 e 30 unidades anuais para P2. Qual é o plano de produção para que a empresa maximize seu lucro nesses itens? Construa um modelo de programação linear para esse caso. Lucro p1 = 1000 20h 40 Lucro p2 = 1800 30 h 30 Disponibilidade = 1200 Variáveis: p1 = x1 p2 = x2 Max Z = 1000x1 + 1800x2 Suj à 20x1 + 30x2 < = 1200 (horas) x1 < = 40 (demanda p1) x2 < = 30 (demanda p2) x1>=0 , x2>=0 2) Problema da Dieta: Uma determinada pessoa é forçada pelo médico a fazer uma dieta alimentar que forneça diariamente, pelo menos as seguintes quantidades de vitaminas A, B, C, D. Vitaminas Quantidade Mínima diária A 80 B 70 C 100 D 60 A dieta deverá incluir leite , arroz, feijão e carne que contém os seguintes miligramas de vitaminas em cada uma de suas unidades de medidas Vitami nas Alimentos Leite (l) Arroz (Kg) Feijão (Kg) Carne (Kg) A 10 5 9 10 B 8 7 6 6 C 15 3 4 7 D 20 2 3 9 Os custos unitários desses alimentos são: Leite = 1,00 /L Arroz = 0,80 / Kg Feijão = 1,20 /Kg Carne = 3,50 / Kg Deseja-se saber o consumo diário de cada um desses alimentos de tal maneira que a dieta satisfaça a prescrição médica e seja de menor custo possível.x1 = leite x2 = arroz x3 = feijão x4 = carne Min Z = 1x1+0,80x2+1,2x3 +3,5x4 Suj à 10x1+5x2+9x3+10x4 > = 80 (vitamina A) 8x1 + 7x2 +6x3+6x4 > = 70 (vitamina B) 15x1+3x2+4x3+7x4 >= 100 (vitamina C) 20x1+2x2+3x3+9x4 > = 60 (vitamina D) X1, x2, x3, x4 > = 0 3) O açougue de um povoado prepara tradicionalmente suas almôndegas, misturando carne bovina magra e carne de porco. A carne bovina contém 80% de carne e 20% de gordura e custa 80 cents a libra; a carne de porco contém 68% de carne e 32% de gordura e custa 60 cents a libra. Quanto de carne bovina e quanto de carne de porco deve o açougue utilizar por libra de almôndegas se desejar minimizar seu custo e conservar o teor de gordura da almôndega não superior a 25%? Carne bovina 80% carne 20% gordura 80 Carne porco 68% carne 32% gordura 60 X1 = bovina x2 = porco Min Z = 80x1 + 60x2 Suj à 20x1 + 32x2 < = 25 (teor gordura) x1, x2 >=0 4) Um carpinteiro possui 6 peças de madeira e dispõe de 28 horas de trabalho para confeccionar biombos ornamentais. Dois modelos venderam muito bem o ano passado, de maneira que ele se limitou a esses dois tipos. Ele estima que o modelo I requer 2 peças de madeira e 7 horas de trabalho enquanto o modelo II necessita de 1 peça de madeira e 8 horas de trabalho. Os preços do modelo são respectivamente 120 e 80 dólares. Quantos biombos de cada modelo o carpinteiro deve montar se deseja maximizar o rendimento obtido com as vendas? 6 madeira 28 horas trabalho I : 2 madeira 7 horas 120 II: 1 madeira 8 horas 80 X1 = I X2 = II Máx Z = 120x1 + 80x2 Suj à 2x1 + 1x2 < = 6 (madeira) 7x1 + 8x2 < = 28 X1, x2 >=0 5) Um fazendeiro deseja otimizar as plantações de arroz e milho na sua fazenda. O fazendeiro quer saber as áreas de arroz e milho que devem ser plantadas para que seu lucro nas plantações seja máximo. O lucro por unidade de área plantada de arroz é R$ 5,00 e por unidade de área plantada de milho é R$2,00. As áreas plantadas de arroz e milho não devem ser maiores que 3 e 4 respectivamente. Cada unidade de área plantada de arroz consome 1 homem-hora e cada unidade plantada de milho consome 2 homens –hora. O consumo total de homens-hora nas duas plantações não deve ser maior que 9. Arroz = 5 área 3 1 homem-hora Milho = 2 área 4 2 homens-hora Disponibilidade homem-hora 9 Variáveis x1 = arroz x2 = milho Máx Z = 5x1 + 2x2 Suj à 1 x1 + 2x2 < = 9 x1 < = 3 x2< = 4 X1, x2>=0 6) Um fabricante está iniciando a última semana de produção de quatro diferentes modelos de consoles em madeira para aparelhos de televisão, designados respectivamente, I, II, III e IV. Cada um deles deve ser montado e decorado. Os modelos necessitam respectivamente de 4,5,3 e 5 horas para montagem e de 2, 1.5,3 e 3 horas para decoração. OS lucros sobre as vendas dos modelos são respectivamente 7,7,6 e 9 dólares. O fabricante dispõe de 30.000 horas para montagem destes produtos (750 montadores trabalhando 40 horas por semana) e de 20.000 horas para decoração (500 decoradores trabalhando 40 horas semanais). Quanto de cada um dos modelos deve ser produzido durante esta última semana a fim de maximizar o lucro? Admita que todas as unidades produzidas possam ser vendidas. I: 4M 2d 7 II: 5 M 1.5d 7 III: 3 M 3d 6 IV: 5M 3d 9 30000 M 20000 D X1 = I X2 = II X3 = III X4 = IV Máx Z = 7x1 + 7X2+ 6x3+9x4 Suj à 4x1+5x2+3x3+5x4 < = 30000 (montagem) 2x1+1,5x2+3x3+3x4 < = 20000 (decoração) X1, x2,x3,x4 >= 0 7) Suponha que uma determinada panificadora queira produzir três tipos de pão A, B e C e que possua 180Kg de farinha, 25Kg de açúcar e 30 Kg de manteiga. Uma dúzia de A requer 6 Kg de farinha, 5/12 Kg de açúcar e 0,8 Kg de manteiga; para uma dúzia de B, são necessários 3 Kg de farinha, 0,5 Kg de açúcar e 0,8 Kg de manteiga e para uma dúzia de C, utilizam-se 3 Kg de farinha, 0,8Kg de açúcar e 0,8Kg de manteiga. Se o lucro proveniente de uma dúzia de A, B e C é respectivamente R$ 3,00; R$ 2,00 e R$ 2,50, calcule quantas dúzias de cada tipo de pão a panificadora deve produzir de forma a maximizar seu lucro. . Farinha 180 açúcar 25 manteiga 30 A 6F 5/12ª 0,8M 3 B 3F 0,5ª 0,8M 2 C 3F 0,8ª 0,8M 2,5 X1 = A x2 = B x3 = C Máx Z = 3x1 + 2x2+2,5x3 Suj à 6x1 + 3x2+3x3 < = 180 (farinha) 5/12x1+0,5x2+0,8x3 < = 25 (açúcar) 0,8x1+0,8x2+0,8x3<= 30 (manteiga) X1, x2, x3 >=0 8) Giapetto fabrica dois tipos de brinquedos de madeira: soldados e trens. Um soldado é vendido por $27 e usa $10 de matéria prima. Cada soldado que é fabricado tem um custo adicional de $14 relativo à mão de obra. Um trem é vendido por $21 e gasta $9 de matéria prima. O custo de mão de obra adicional para cada trem é de $10. A fabricação destes brinquedos requer dois tipos de mão de obra: carpintaria e acabamento. Um soldado necessita de 2 horas para acabamento e 1 de carpintaria. Um trem necessita de 1 hora para acabamento e 1 hora de carpintaria. Cada semana, Giapetto pode obter qualquer quantidade de matéria prima,mas tem a disposição até 100 horas de acabamento e 80 de carpintaria. A demanda por trens é ilimitada, mas a venda de soldados é de no máximo 40 por semana. Giapetto quer maximizar seu lucro diário (receitas-custo). Formular o modelo matemático que poderá ser usado por Giapetto para maximizar seu lucro semanal. Soldados lucro = 27 – 10 – 14 = 3 2ª 1C Trens lucro = 21 – 9 – 10 = 2 1ª 1C Acabamento 100 hs carpintaria 80h Demanda soldados 40/semana X1 = soldado x2 = trem Max Z = 3x1+2x2 Suj à 2x1+1x2 < = 100 (acabamento) 1x1 + 1x2 < = 80 (carpintaria) x1 < = 40 (demanda soldado) X1, x2> = 0