Cálculo II -Lista 02

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Cálculo Diferencial e Integral II 
Lista de exercícios 02 - Integração 
Data: 10/08/2019 
01. Determine a primitiva de cada função abaixo e depois verifique o resultado derivando. 
a) (x) xf = 4 
b) 3 ​+ 2(x) xg = 2
x−3 + 4 
c) (u) u u 0t = 52u−4 + 4
6 − 5 + 1 
d) (t)v =
2t2
t −43 
e) 2(v)h = v2 − √
3 v + v 
f) 2(x) x x) q = ( 2 − 3  
02. Encontre a integral indefinida das seguintes funções: 
a) (x)f = 5sen(x)
4cos (x)3
 
b) (x)g = cos(x)
3cos (x) + tg(x)2 
c) (x)f = 1
sec (x)2
sen (x)2 + cos (x)
2
1−sen (x)2
 
d) 
03. Calcule as seguintes integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição: 
a) dx∫
 
 
4√5 x− 2 b) x dx∫
 
 
3 √2x 2 − 5 c) dx∫
 
 
x
√1+x
d) sec dx∫
 
 
5
2 2 ( 5πx) 
e) os du∫
 
 
c ( 34u) f) t.sen(5t ) dt∫
 
 
4 2 g) dt∫
 
 
√x
sec (2 √x) h) dx∫
 
 
2
1+4x 2
 
i) ec g( )∫
 
 
s ( 4πx) t 4πx j) dx∫
 
 
e−x + 4 x k) dx∫
 
 
3
√1−x 2
+ 2
x 4
1 l) dθ∫
 
 θ
2
θ +√θ √θ 
m) sen dθ∫
 
 
8 ( 8θ ) n) os(θ).(tg(θ) ec(θ)) dθ∫
 
 
c + s o) (1 otg(θ).cossec(θ)) dθ∫
 
 
− c 
p) dx∫
 
 
cossec(x)
cossec(x)−sen(x) q) dx∫
 
 
sen(x)
cos (x) 2
r) dx∫
 
 
1
cossec(x) 
 
2 
 
04. Suponha f(x) uma função conhecida e que queiramos encontrar uma função F(x), tal que y = 
F(x) satisfaça a equação dy/dx=f(x). As soluções desta equação são as antiderivadas de f(x). A 
equação dy/dx=f(x) é chamada de equação diferencial. Resolva a equação diferencial abaixo. 
a) ; y(1) dx
dy = √x
x+1 = 2 b) ec (x) en(x); y( ) dx
dy = s 2 − s 4
π = 1 
05. Determine a curva y = f(x) no plano xy que passa pelo ponto (9, 4) e cujo coeficiente angular 
em cada ponto é . 3√x 
06. Uma bola é jogada para cima com velocidade inicial a 64 metros por segundo de uma altura 
inicial de 80 metros. 
(a) Encontre a função posição escrevendo a altura s em função do tempo t. 
(b) Quando a bola atinge o chão? 
 07. Na Lua, a aceleração da gravidade é 1,6m/s​2​. Uma pedra é solta de um penhasco na Lua e 
atinge sua superfície 20 segundos depois. Quão fundo ela caiu? Qual era a velocidade no instante 
do impacto? 
08. A velocidade mínima necessária para que um objeto escape da força gravitacional da Terra é 
obtida da solução da equação onde v é a velocidade do objeto lançado dadv − M dy∫
 
 
v = G ∫
 
 
1
y 2
 
Terra, y é a distância ao centro da Terra, G é a constante gravitacional e M é a massa da Terra. 
Mostre que v e y estão relacionados pela equação GM v 2 = v 20 + 2 ( y1 − 1R) 
 onde v0 é a velocidade inicial do objeto e R é o raio da Terra (Sugestão: use o fato que se y = R 
então v = v​0​). 
09. O fabricante de um automóvel anuncia que ele leva 13 segundos para acelerar de 25 
quilômetros por hora para 80 quilômetros por hora. Supondo aceleração constante, calcule: 
 (a) A aceleração em metros por segundo ao quadrado. 
(b) A distância que o carro percorre durante 13 segundos. 
10. ​A temperatura de uma de uma mistura exposta ao fogo está aumentando a uma taxa de 
graus Celsius por minuto (em que t é o tempo em minutos). No instante t = 0, a(t) 0e f = 3 −0,3t 
 
3 
 
temperatura da mistura é de 23°C (graus Celsius). ​Qual é a temperatura da mistura logo após 5 
minutos de exposição ao fogo? 
11. A população de uma cidade cresce a uma taxa de r(t)=300e​0,3t ​pessoas por ano (em que t é o 
tempo em anos). No instante t = 2, a população da cidade era de 1.200 pessoas. Qual será a 
população da cidade em t = 7? 
12. A profundidade da água em um tanque está mudando a uma taxa de ​r​(​t​)=0,3​t​, centímetros 
por minuto (em que t é o tempo em minutos). No instante t = 0, a profundidade da água era de 35 
centímetros. Qual é a mudança na profundidade da água no quarto minuto? 
13.A profundidade da água num reservatório está variando a uma taxa de ​r​(​t​)=0,25​t ​− 0,1, metros 
por hora, em que t é o tempo em dado em horas). No tempo t = 0 a profundidade da água é de 35 
metros. Qual é a profundidade da água quando t = 3 horas? 
14. ​A velocidade de uma partícula que se move ao longo do eixo ​x é ​v(t)=t​2 + t​.. Quando ​t = 1​, sua 
posição é ​1.​Qual é a posição da partícula, ​s(t)​, em qualquer instante ? 
15. Uma partícula com velocidade ​v​(​t​)=sen(​t​), onde ​t é o tempo em segundos, se move em uma 
linha reta. Qual é a distância percorrida pela partícula ao se mover de t = 0 a ​t = ​segundos?2
π 
16. Uma partícula se move ao longo do eixo x com uma função velocidade v(t) = t​2 .e​−t . Até onde 
irá a partícula no tempo t = 0 a t = 5?