Guia de Estudos da Unidade 3 - Geometria Analítica

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Geometria Analítica 
UNIDADE 3
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UNIDADE 3
GEOMETRIA ANALÍTICA
Para início de conversa
Olá, estudante! Como vão os estudos? Espero que esteja tudo bem!
Seja bem-vindo(a) a nossa III unidade, conto com seu comprometimento nesta nova jornada de estudos!
orientações da disciPlina
Antes de iniciar a leitura deste guia de estudo, faça a leitura de seu livro-texto, pois ele irá nortear seus 
estudos. Utilize também a nossa biblioteca virtual, busque novos conhecimentos. Assista a nossa video-
aula, ela foi elaborada com o objetivo de facilitar seu aprendizado. Ao final da nossa III unidade, acesse 
ao ambiente e responda a atividade e, em caso de dúvidas, não perca tempo, envie uma mensagem para 
seu tutor!
Na unidade I, estudamos os conceitos de vetores, suas operações, módulo de um vetor, versor, produto 
escalar e vetorial projeção de um vetor. Na unidade II, estudamos os conceitos de reta, equação vetorial 
da reta, equações paramétricas da reta, equação simétrica da reta, três pontos em linha reta, equações 
reduzidas da reta, interseção entre retas, ângulo entre retas, posição relativa entre retas, pontos que 
dividem um segmento de reta numa razão e ao meio, plano, equação vetorial, equações paramétricas e 
equação geral do plano e interseção entre planos. Caro estudante, estes conceitos estudados nas unida-
des I e II serão amplamente empregados nesta III unidade.
Vamos lá!
Nos conceitos da geometria primitiva não definimos ponto, reta ou plano, pois atribuímos apenas uma 
ideia.
Ponto: Marca feita com a ponta do lápis. Lembre-se o ponto não tem dimensão.
Reta: Um barbante esticado, a reta possui apenas uma dimensão.
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Plano: A superfície da tampa de uma mesa, o plano possui duas dimensões.
ÂnGUlo entre Planos
O ângulo entre dois planos será o ângulo agudo formado pelos vetores normais a cada um dos planos. E 
o seu valor é calculado por: .
Posição relativa entre Planos
No espaço, dois planos podem ocupar as seguintes posições.
1. Paralelos: Quando não há ponto em comum, neste caso a interseção entre estes dois planos é 
o conjunto vazio.
2. Concorrentes: Quando a interseção entre estes dois pontos é uma reta. Os planos perpendicu-
lares é um caso especial dos planos concorrentes, onde o ângulo entre eles é 90°.
3. Coincidentes: Quando todos os pontos de um plano também pertencem ao outro plano.
Aplicação 1 - Considere os seguintes planos π1 de equação: 2x – 3y + 5z – 8 = 0 e
π2: 3x + 2y +5z = 0. Pede-se determinar o ângulo entre estes dois planos.
Solução:
O plano π1 tem o seguinte vetor normal v1 = (2, -3, 5). Você não entendeu este valor para v1, ver unidade 
II.
Já o plano π2 tem o seguinte vetor normal v2 = (3, 2,5).
Desta forma, o problema se passa em calcular o ângulo entre os vetores normais dos planos que é de 
fato o ângulo entre os planos pedidos.
leitUra comPlementar
Com esta explanação sobre ângulos entre planos e posição relativa entre dois planos, 
pegue o livro texto-texto e leia as páginas 60, 61 e 63.
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interseçÃo entre reta e Plano
Na unidade passada, estudamos a posição relativa entre duas retas. No início desta unidade, estudamos 
a posição relativa entre dois planos e, agora, introduziremos o conceito de posição relativa entre uma reta 
e um plano.
Em relação a um plano, uma reta pode ser:
1. Coincidente: Quando todos os pontos da reta também pertencem ao plano.
2. Concorrente: Quando a reta intercepta o plano e, neste caso, apenas um ponto da reta pertence 
ao plano.
3. Paralela: Não há nenhum ponto em comum entre a reta e o plano. Se uma reta contida no plano 
for paralela a uma reta r, então a reta r é paralela ao plano.
Aplicação 2 - Considere uma reta r cujas equações são dadas por y = 2x + 3 e z = 3x –
4 e um plano π de equação 3x + 5y – 2z – 9 = 0. Pede-se determinar as coordenadas do ponto de interse-
ção entre a reta r e o plano π.
Solução:
Se (x, y, z) é o ponto de interseção da reta r com o plano π, suas coordenadas devem satisfazer as equa-
ções do sistema formado pelas equações da reta r e o plano π:
 
E resolvendo o sistema de equação linear acima obtemos:
(x = -2, y = -1 e z = -10).
Portanto I(-2, -1, -10) – e o ponto de interseção da reta r com o plano π.
ÂnGUlo entre reta e Plano
Numericamente o ângulo entre uma reta e um plano, pode ser calculado com auxílio de um vetor diretor 
da reta e um vetor normal ao plano. Veja a figura a seguir.
 Fonte: Autora,2016
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O produto interno ou escalar entre os vetores e nos fornece o ângulo θ, mas por definição o ângulo 
entre plano e a reta é o ângulo θ = 90°- θ. Como os ângulos α e θ são complementares, ou seja, a soma 
de suas medidas é igual a 90o, então é válida a seguinte relação. Cos (θ) = Sen (α).
Aplicação 3 - Considere uma reta r cujas equações são dadas por x = 1 – 2t, y = – 1 e z = 3 + t e um plano 
π de equação x + y – 5 = 0. Pede-se determinar o ângulo que a reta r forma com o plano π.
Solução:
A reta r tem a direção do vetor = (-2, -1, 1) e o plano π tem o seguinte vetor normal = (1, 1,0). Uma das 
equações do produto escalar te dará a solução deste problema.
Lembre-se: Cos (θ) = Sen (θ)
distÂncia entre dois Pontos
Considere no espaço os pontos A (x1,y1,z1) e B (x2,y2,z2) de coordenadas conhecidas. Então a distância entre 
os pontos A e B é dada pelo módulo do vetor . Ou seja d = | |.
Aplicação 4 - Dados os pontos A (2,-1,3) e B(5,2,-6). Determine a distância entre estes dois pontos.
Solução: 
A distância entre estes dois pontos será dada pelo módulo do vetor AB. Daí, precisamos escrever o vetor 
.
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distÂncia entre Ponto e reta
A distância entre um ponto P e uma reta r é medida sempre na perpendicular, ou seja, é sempre a menor 
distância que há entre o ponto e a reta. Veja a imagem a seguir.
Aplicação 5 - Calcular a distância do ponto Po de coordenadas (2,0,7) à reta de
equação .
Solução:
A reta r passa pelo ponto P1(0,2,-3) e tem a direção do vetor = (2,2,1). Seja ainda o vetor:
E de acordo com a equação da distância de um ponto a uma reta temos:
Observe que a operação:
Agora mesmo para evitar acúmulo de conteúdo, pegue o livro-texto BUP e faça a leitura das páginas 65 e 
66, observando as fórmulas para o cálculo destas distâncias.
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É fundamental que estes dois tópicos não pairem nenhuma dúvida para seguirmos ao próximo item. Quer 
ver mais exercícios resolvidos? Consulte também: Geometria Analítica, STEINBRUCH e WINTERLE.
distÂncia entre dUas retas
Para calcularmos a distância entre duas retas, devemos observar qual a posição no espaço que as duas 
retas ocupam.
•	 Paralelas: duas retas são paralelas quando os seus vetores diretores forem paralelos, daí utili-
zamos a condição de paralelismo entre dois vetores, visto na unidade I do nosso curso. As retas 
paralelas são coplanares, ou seja, existe um único plano que as contém. Duas retas no espaço 
que não possuem pontos em comum e pertencem a um mesmo plano são ditas paralelas.
Aplicação 6 - Dadas a reta r de equação y = -2x + 3 e z = 2x e a reta s de equação x = -1 – 2t, y = 1 + 4t e 
z = -3 – 4t. Determine a distância entre as retas r e s.
Solução:
Você deve observar que as retas, r e s, na verdade, são paralelas, pois um vetor diretor de r é = (1,-2,2) 
e um vetor diretor de s é = (-2, 4, -4) e =2 .
Neste caso, a distância d entre as retas r e s, paralelas, é a distância de um ponto qualquer P0 de uma 
das retas à outra, isto é:
.
Como você pode observar, o cálculo da distância entre duas retas paralelas se reduz ao cálculo da dis-
tância de um ponto a uma reta.
Calcularemos a distância entre r e s por .
Um ponto de r é P0(0, 3, 0) e a reta s passa pelo ponto P1(-1, 1, -3) e tem a direção do vetor
 = ( -2, 4, -4). E de acordo com a equação da distância de um ponto a uma reta, temos:
A distância entre duas retas paralelas é medida na perpendiculare o problema se passa em determinar 
a distância entre um ponto de uma reta até a outra reta.
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1. Concorrentes: Duas retas pertencentes a um mesmo plano e que possui um único ponto em 
comum são ditas concorrentes. Neste caso, a distância entre elas é nula.
2. Coincidentes: Quando todos os pontos de uma reta também pertencem à outra reta. Neste 
caso, a distância entre elas também é zero.
3. Reversas: Retas que não existe um plano que as contenha são ditas reversas.
Para conceber a distância entre duas retas concorrentes, você deve considerar uma terceira reta que seja 
simultaneamente perpendicular as duas retas e calcular a distância entre os dois pontos que comum a 
essa terceira reta. Desta forma, o problema se passa em calcular a distância entre estes dois pontos.
Da geometria espacial, sabemos que o volume V de um paralelepípedo é dado pelo produto da área da 
base pela altura e de acordo com a interpretação geométrica do módulo do produto misto, o volume deste 
sólido é dado por:
Aplicação 7 - Considere a reta r de equações e a reta s de
 
equação x = 3, y = 2t -1 e Z = -t + 3.
Solução:
A reta r passa pelo ponto P1(-2, 1, 4) e tem a direção do vetor = (1, 0, -2) e a reta s passa pelo ponto P2 
= (3, -1, 3) e tem a direção de = (0, 2, -1). Então, o vetor = (5, -2, -1) e
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Da equação vista neste item, temos:
distÂncia entre reta e Plano
A distância entre uma reta e um plano é determinada da seguinte forma: considere um ponto sobre a reta 
e calcula-se a distância entre este ponto e o plano considerado. Lembrando que essa distância é medida 
na perpendicular.
A distância de uma reta a um plano só é definida quando a reta é paralela ao plano.
Então, se uma reta r é paralela a plano π, a distância d da reta r ao plano π é a distância de um ponto 
qualquer da reta ao plano, ou seja, d(r, π) = d(P0, π) desde que P0 pertença a π.
Aplicação 8 - Dada a reta r de equações x = -3 + t, y = 5 + 2t e z = 1 – 2t e o plano π cuja equação que o 
define é 2x + y + 2z + 8 = 0. Pede-se:
a) Verificar a posição relativa entre a reta r e o plano π.
Solução do item a):
Da equação da reta r, podemos obter o seguinte vetor diretor para a reta r = (1, 2, -2).
E da equação do plano fornecida no problema, obtemos o seguinte vetor normal
 = (2, 1, 2). E lembrando que se o vetor normal a um plano for perpendicular a um vetor diretor da reta, 
então a reta é paralela ao plano.
Para verificar se o vetor norma = (2, 1, 2) é perpendicular ao vetor diretor = (1, 2, -2 ) façamos o 
produto escalar entre os dois vetores.
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 , como o produto escalar destes dois vetores foi igual a zero, então a reta r
é de fato paralela ao plano.
b) Se você verificar que a reta r é de fato paralela ao plano π, então calcule a distância da reta r ao plano π.
Como a reta r é paralela ao plano, então a distância desta reta ao plano é calculado determinando a dis-
tância de um ponto qualquer da reta ao plano.
Tomamos um ponto qualquer da reta P0: x0 = -3, y0 = 5 e z0 = 1 (estes valores foram obtidos diretamente da 
equação da reta dada no problema).
A equação do plano é 2x + y + 2z + 8 = 0 e o seu vetor normal será: = (2, 1, 2) (estes valores foram 
obtidos diretamente da equação do plano dado no problema).
Daí, basta substituir estes valores na equação abaixo.
GUarde essa ideia!
Procedimento para o cálculo da distância entre uma reta paralela ao plano. Toma-se 
sobre a reta um ponto e calcula-se a distância entre este ponto e o plano considerado. 
Lembrando que esta distância entre o ponto e o plano é medida na perpendicular.
leitUra comPlementar
Para um melhor esclarecimento, pegue o livro-texto e faça uma leitura detalhada das 
páginas 67, 68 e 69.
Observe que há certo formalismo matemático e estas fórmulas bem interpretadas e também memorizadas 
irão facilitar muito a resolução de exercício.
Para PesqUisar
Caso ainda tenha alguma dúvida sobre a distância entre reta e plano, você pode con-
sultar – Geometria Analítica, STEINBRUCH e WINTERLE. Lá, você encontrará um bom 
texto sobre este conteúdo além de exercícios resolvidos e propostos.
distÂncia entre Ponto e Plano 
1. Se o ponto pertencer ao plano, então a sua distância a este plano será nula.
2. Caso o ponto não pertença ao plano, a sua distância é medida na perpendicular em relação ao 
plano. 
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A equação a seguir que permite calcular a distância de um ponto P de coordenadas conhecidas a um plano 
de equação também conhecida. A demonstração desta equação necessita de certo formalismo matemá-
tico e você pode consultar sua demonstração em GEOMETRIA ANALÍTICA – STEINBRUCH e WINTERLE.
Onde:
a, b e c são as coordenadas do vetor normal ao plano.
x0, y0 e z0 são as coordenadas do ponto o qual você deseja calcular a distância dele ao plano.
Aplicação 9 - Considere um ponto P0 (-4, 2, 5) e um plano π de equação 2x + y + 2z + 8 = 0. Determine a 
distância deste ponto P0 ao plano π.
Solução:
No exercício em questão, temos:
-	Coordenadas do ponto P0 (x0 = -4, y0 = 2 e z0 = 5).
-	Equação do plano π: 2x + y + 2z + 8 = 0 e seu respectivo vetor normal = (a = 2, b = 1 e c = 2).
Daí, basta substituir estes valores na equação abaixo:
8) Considere um ponto P0 (-2, 1, 3) e um plano π de equação x + 2y + 3z + 7 = 0. Determine a distância 
deste ponto P0 ao plano π.
Para um melhor esclarecimento, pegue o livro-texto BUP e faça uma leitura detalhada das páginas 70, 71 
e 72.
Observe que há certo formalismo matemático e estas fórmulas bem interpretadas e também memorizadas 
irão facilitar muito a resolução de exercício. Sugiro que identifique o significado de cada um desses parâ-
metros envolvidos nestas fórmulas, isto será crucial para a solução dos exercícios sugeridos - Geometria 
Analítica, STEINBRUCH e WINTERLE.
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acesse o ambiente virtUal
Caro estudante, chegamos ao final da nossa III unidade acesse o ambiente virtual e 
responda a atividade. Caso tenha alguma dificuldade, não perca tempo, pergunte ao 
seu tutor!
Bons estudos!
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