AD1_PreCalculoEng_2020_2_gabarito

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Gabarito da AD 1 Pré-Cálculo para Engenharia - 2020/2
Questão 1 [2,0 pontos]
Considere um terreno retangular cuja área é determinada pela expressão A = x2 + x − 2,
onde x é uma variável qualquer real, e tal que nele exista uma horta de morangos. O terreno
é dividido em um número n de quadrados cercados onde são plantadas os morangos, e cada
quadrado produz uma quantidade y de frutas.
a. [0,5] Escreva a expressão da área A como produto de duas expressões algébricas de pri-
meiro grau e descreva o conjunto de números reais x para os quais A > 0 (dado que é
uma área e deve ser positiva) .
b. [1,0] Se a área for igual a 40 m2, e se x for um número inteiro positivo, determine as
medidas do retângulo, e quantos quadrados cercados existem no terreno (justificando sua
resposta).
c. [0,5] Supondo que existam 20 quadrados no cercado, e que y = 2x − 4 seja a expressão
da quantidade de frutas por metro quadrado, determine a expressão para a produção de
cada cercado e os valores de x para os quais ela é positiva (produção é > 0).
Solução:
Usando a Fórmula de Báshkara, fatoramos a expressão A e obtemos x2 + x − 2 =
(x + 2)(x − 1). Basta fazer um rápido estudo de sinal para concluirmos que A > 0
se x < −2 ou x > 1. Aqui devemos lembrar que a área do retângulo de lados com
medidas l1 e l2 é dada por l1 · l2. Assim, devemos considerar todas as fatorações do
número 40 de forma um dos lados seja x + 2 e o outro x + 1. Como 40 = 23 · 5, temos
as seguintes possibilidades:
b) • 40 = 2 · 20⇒ x + 2 = 20, x− 1 = 2, absurdo pois x = 18 = 3;
• 40 = 4 · 10⇒ x + 2 = 10, x− 1 = 4, absurdo pois x = 8 = 5;
• 40 = 5 · 8⇒ x + 2 = 8, x− 1 = 5, donde conclúımos que x = 6;
Assim, um dos lados do retângulo mede 5 metros e o outro mede 8 metros.
Afirmamos que há 40 cercados de 1 metro quadrado no terreno. Qualquer configuração de
quadrados dentro do retângulo nos dá o seguinte: há n quadrados cercados dentro do terreno
que mede 40 m2, de medidas 5× 8. Seja h a medida do lado de cada quadrado. Assim, h2
é a área de cada cercado. Temos, portanto,
n · h2 = 40 = 5 · 8.
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Note que n é inteiro positivo, e portanto h também deve ser. Como h é a medida do lado
do quadrado menor que constitui o lado do retângulo, h deve dividir 5. Neste caso, h = 1,
pois se fosse igual a 5 teŕıamos 25 sendo divisor de 40.
c) Se há 20 quadrados, então cada um tem área igual a
an =
x2 + x− 2
20
metros quadrados. Como são produzidas 2x− 4 frutas por metro quadrado, a produção de
cada cercado é
x2 + x− 2
20
· (2x− 4) = (x + 2)(x− 1)(2x− 4)
20
.
A expressão acima é positiva se 2x − 4 > 0, ou seja, se x > 2, que pertence ao conjunto
determinado no item (a).
Questão 2 [3,0 pontos] Considere a expressão E(x) =
3− 4x
|1− 3x| − |x|
. Faça o que se pede:
a. Encontre os valores de x tais que E(x) = 0.
b. Encontre os valores de x tais que E(x) > 0.
c. Encontre os valores de x tais que E(x) < 0.
Sugestão: Faça a tabela do estudo do sinal da expressão E(x).
Solução:
Dada a expressão |1− 3x| − |x|, sabemos que |1− 3x| =

1− 3x, se 1− 3x > 0
0, se 1− 3x = 0
−(1− 3x), se 1− 3x < 0
⇒ |1− 3x| =

1− 3x, se x < 1
3
0, se x = 1
3
−1 + 3x, se x > 1
3
e |x| =
{
x, se x ≥ 0
−x, se x < 0
Encontrando a expressão |1− 2x| − |x| sem uso do valor absoluto.
x < 0 0 < x < 1
3
x > 1
3
|1− 3x| 1− 3x 1− 3x −1 + 3x
|x| −x x x
|1− 3x| − |x| 1− 2x 1− 4x −1 + 2x
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Assim, |1− 3x| − |x| =

1− 2x, se x < 0
1− 4x, se 0 < x < 1
1
−1 + 2x, se x > 1
3
Observe que a expressão do enunciado não está definida para x = 1
4
e x = 1
2
.
a. E(x) = 0 se 3− 4x = 0, ou seja, para x = 3
4
.
b. A expressão 3 − 4x muda de sinal em x = 3
4
. Logo, como 0 < 1
4
< 1
3
< 1
2
< 3
4
, temos a
seguinte tabela do estudo do sinal da expressão E(x):
x < 0 0 < x < 1
4
1
4
< x < 1
3
1
3
< x < 1
2
1
2
< x < 3
4
x > 3
4
3− 4x + + + + + + + + + + + + + + + −−−
|1− 3x| − |x| + + + + + + −−− −−− + + + + + +
E(x) =
3− 4x
|1− 3x| − |x|
+ + + + + + −−− −−− + + + −−−
3− 4x
|1− 3x| − |x|
> 0 em
(
−∞, 1
4
)
∪
(
1
2
, 3
4
)
;
3− 4x
|1− 3x| − |x|
= 0, para x = 1/5.
3− 4x
|1− 3x| − |x|
< 0 em
(
1
4
, 1
2
)
∪
(
3
4
; +∞
)
.
3− 4x
|1− 3x| − |x|
não está definida para x = 1
4
e x = 1
2
.
Questão 3 [3,0 pontos] Considere a equação
√
1− |x− 2| = x− 2.
Faça o que se pede:
a. [1,0 ponto] Determine os valores reais de x para os quais
√
1− |x− 2| existe. Notando
que a raiz quadrada é positiva, considere o membro da direita para determinar quais
valores de x são admisśıveis.
c. [2,0 ponto] Resolva a equação
√
1− |x− 2| = x − 2 . Caso não exista solução real,
justifique.
Solução:
a) A expressão dentro da raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero. Logo,
√
1− |x− 2| ≥ 0,
donde |x− 2| ≥ 1, ou seja,
−1 ≤ x− 2 ≤ 1⇒ 1 ≤ x ≤ 3.
Mas como a raiz deve ser positiva, então a expressão da direita satisfaz x − 2 ≥ 0, ou
seja, x ≥ 2. Como a nossa primeira conclusão afirma que 1 ≤ x ≤ 3, então devemos ter
2 ≤ x ≤ 3.
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b) Vamos elevar ambos os membros da equação ao quadrado, e sabendo, pelo item (a), que
2 ≤ x ≤ 3, podemos tomar |x− 2| = x− 2:
1− (x− 2) = x2 − 4x + 4,
ou ainda x2 − 3x + 1 = 0.
Usando a Fórmula de Báshkara, obtemos as soluções x = 3+
√
5
2
e x = 3−
√
5
2
para a equação
acima. Mas pelo item anterior, devemos ter 2 ≤ x ≤ 3. Logo, apenas x = 3+
√
5
2
pode ser
aceita como solução.
Questão 4 [2,0 pontos] Imagine um barco navegando num rio inclinado com velocidade
média constante v0. A correnteza tem velocidade média de 2m/s (metros por segundo). O barco
cobre uma distância rio abaixo em 30 minutos, e a mesma distância subindo o rio em 50 minutos.
Responda os itens a seguir, lembrando que a velocidade resultante (considerando a dele
próprio, e também a do rio) do barco depende da velocidade da correnteza, tanto na descida
quanto na subida.
a. [1,0 ponto] Determine a velocidade v0 do barco.
b. [1,0 ponto] Segundo as leis da F́ısica, a posição final do barco em cada instante do movi-
mento é dada por
s(t) = v0 · t + s0,
onde t é o instante de tempo, v0 é a velocidade, e s0 é a posição inicial do objeto (no
caso, o barco). Note que, trocando as letras na equação acima, temos apenas a equação
de uma reta: s(t) = y, v0 = m, t = x e s0 = b, donde obtemos
y = m · x + b.
Ou seja, v0 é o coeficiente angular de uma reta!
Sabendo disso, determine a equação da reta passando pelo ponto A = (−1, 1), do mesmo
rio, usando a velocidade do barco do enunciado. Supondo que o barco vai percorrer o
segmento de reta descrito por você, pergunta-se: o barco vai passar pelos pontos C = (0, 9)
e D = (3,−5)?
Solução:
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a) A velocidade resultante na descida é a soma da velocidade do barco (v0) com a velocidade
da correnteza: v0 + 2. Na subida, a velocidade resultante será a diferença de ambas as
velocidades: v0 − 2. Entretanto, a distância percorrida é a mesma, d.
Como a velocidade média é o quociente entre a distância percorrida e o tempo, então
v0 =
d
t
⇒ d = v0 · t.
Além disso, na descida, passaram-se 30 minutos, o que é o mesmo que 30·60 = 1800 segundos.
Na subida, foram 50 minutos, que é o mesmo que 50 · 60 = 3000 segundos. Utilizando a
relação envolvendo a distãncia, a velocidade e o tempo, além dos dados encontrados, temos
d = 1800 · (v0 + 2) = 3000 · (v0 − 2).
Resolvendo a equação de primeiro grau acima, obtemos v0 = 8 m/s, velocidade do barco.
b) Primeiro, sabemos que o coeficiente angular dessa reta é a velocidade média do barco en-
contrada no item (a), isto é, m = 8. Além disso, a reta passará por A = (−1, 1). Dáı, temos
que a equação da reta também pode ser escritacomo
yy0 = m(x− x0),
o que em nosso caso fica y − 1 = 8(x + 1), e assim, a equação pedida é y = 8x + 9.
O ponto C = (0, 9) pertence a esta reta, pois basta substituir as coordenadas em y = 8x+ 9
para verificar a igualdade. Já o ponto D = (3,−5) não pertence á mesma, e a verificação é
análoga. Assim, o barco passará por C mas não por D.
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