Capitulo 4 - Fluxo de Potencia Usando Metodos Matematicos

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1 
 
CAPÍTULO 4 
 
APLICAÇÃO DE MÉTODOS MATEMÁTICOS DE SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS 
EM ESTUDOS DE FLUXO DE CARGA 
 
4.1 Considerações Iniciais Sobre Fluxo de Potência 
Este capítulo visa a aplicação dos métodos matemáticos para solução de fluxo de 
potência. Pois como vimos no capítulo anterior, que a solução analítica das equações é 
tanto quanto complexa. Diante disso, utilizaremos ferramentas matemáticas que nos 
permitam obter uma solução numérica satisfatória através de processos iterativos. 
Partimos de uma estimativa inicial, a partir desta podemos calcular uma segunda 
estimativa, em condições normais, melhor que a primeira e assim sucessivamente. 
 
4.2 Introdução 
Seja a equação não linear (4.1) apresentada. 
 2( ) 5 4 0f x x x    (4.1) 
De antemão sabemos que as raízes são x1 = 1 e x2 = 4. Além disso, a Figura 4.1 ilustra o 
gráfico de ( )f x em função de x . 
 
Figura 4.1 - Gráfico de ( )f x e de ( )F x 
2 
 
 
A equação (4.1) pode ser reescrita da seguinte forma: 
 2
1 4
5 5
x x  (4.2) 
Ou ainda, de uma maneira mais geral, como apresentada pela equação (4.3). 
 
5 4x
x
x

 (4.3) 
Sendo ambas as equações (4.2) e (4.3) são do tipo ( )x F x . 
Obs.: É sempre possível achar uma ou mais funções ( )F x para qualquer ( )f x . Vale 
destacar que a função ( )F x não é única, podendo haver várias funções alternativas. 
 
4.3 Métodos de Gauss 
4.3.1 Algoritmo do Método de Gauss 
Para uma equação do tipo ( )x F x o algoritmo para o processo iterativo é dado pela 
equação (4.4). 
  1 ( )( )v vx F x  (4.4) 
Exemplificando através da equação apresentada anteriormente, mais precisamente 
pela equação (4.2). Assim, Tomando-se 2
1 4
5 5
x x  , temos o seguinte processo: 
Iteração 0: Faz-se uma estimativa inicial arbitrária para a raiz procurada x(0)= 3. 
Iteração 1: x1 = F(x0) = F(3) = (1/5) . 32 + (4/5) = 2,60 
Iteração 2: x2 = F(x1) = F(2,6) = (1/5) . (2,6)2 + (4/5) = 2,15 
Este processo iterativo esta mostrado graficamente na Figura 4.1, partindo 
inicialmente do ponto 1 e indo em zig-zag entre a linha x e a curva ( )F x em direção à 
raiz 1 1x  . Este processo finaliza quando a diferença entre duas iterações consecutivas 
for menor do que um valor previamente estabelecido, valor este definido por nível de 
tolerância, ou seja, de maneira matemática podemos afirmar que o processo finalizará 
quando a equação (4.5) for satisfeita. 
    1v vx x    (4.5) 
Sendo: 
 = nível de tolerância. 
3 
 
Obs.: o valor de  deve ser estipulado com antecedência. 
 
4.3.2 Desvantagens do Método 
A convergência é lenta, pois podem ser gastas até cerca de 100 iterações para se 
conseguir convergência. Dependendo da estimativa inicial, poderá até não ocorrer a 
convergência. Conforme ilustrada ainda na Figura 4.1 iniciando no ponto 2. Através de 
uma tentativa de se obter a segunda raiz ( 2 4x  ), partindo de uma estimativa inicial 
(0) 5x  não haverá convergência. 
 
4.3.3 Exemplo Resolvido 
Resolver o sistema de equações não lineares: 
1 1 2
2 1 2
2x x x –1 0
2x – x x 1 0
 

 
 
Obs.: As respostas serão x1 = 1 e x2 = -1. 
Reescrevendo-as na forma x = F(x) tem-se: 
1 2
1
1 2
2
x .x
x 0,5
2
x .x
x 0,5
2

 

   

 
Iteração 0: 
 
 
0
1
0
2
x =0
x =0



 
Iteração 1: 
 
      
 
      
0 0
1 21
1
0 0
1 21
2
x .x 0.0
x =0,5 0,5 0,5
2 2
x .x 0.0
x = 0,5 0,5 0,5
2 2

    



      

 
Iteração 2: 
 
       
 
       
1 1
1 22
1
1 1
1 22
2
x .x 0,5. 0,5
x =0,5 0,5 0,625
2 2
x .x 0,5. 0,5
x = 0,5 0,5 0,625
2 2
 
    


 
      

 
4 
 
Iteração 3: 
 
       
 
       
2 2
1 23
1
2 2
1 23
2
x .x 0,625. 0,625
x =0,5 0,5 0,695
2 2
x .x 0,625. 0,625
x = 0,5 0,5 0,695
2 2
 
    


 
      

 
Efetuando este processo v vezes chegamos a: 
Iteração v: 
 
    
 
    
1 1
1 2
1
1 1
1 2
2
x .x
x =0,5 1,0
2
x .x
x = 0,5 1,0
2
v v
v
v v
v
 
 

  



   

 
 
4.4 Método de Gauss-Seidel 
Este método possui convergência mais rápida do que no Método de Gauss e se 
constitui em um aperfeiçoamento do mesmo. 
 
4.4.1 Exemplo Resolvido 
Resolver o sistema de equações não lineares anterior pelo Método de Gauss-Seidel: 
1 1 2
2 1 2
2x x x –1 0
2x – x x 1 0
 

 
 
1 2
1
1 2
2
x .x
x 0,5
2
x .x
x 0,5
2

 

   

 
Iteração 0: 
 
 
0
1
0
2
x =0
x =0



 
Iteração 1: 
 
      
 
      
0 0
1 21
1
1 0
1 21
2
x .x 0.0
x =0,5 0,5 0,5
2 2
x .x 0.0
x = 0,5 0,5 0,5
2 2

    



      

 
Iteração 2: 
 
       
 
       
1 1
1 22
1
2 1
1 22
2
x .x 0,5. 0,5
x =0,5 0,5 0,625
2 2
x .x 0,625. 0,5
x = 0,5 0,5 0,656
2 2
 
    


 
      

 
5 
 
Iteração 3: 
 
       
 
       
2 2
1 23
1
3 2
1 23
2
x .x 0,625. 0,656
x =0,5 0,5 0,705
2 2
x .x 0,705. 0,656
x = 0,5 0,5 0,732
2 2
 
    


 
      

 
Efetuando este processo v vezes chegamos a: 
Iteração v: 
 
    
 
    
1 1
1 2
1
1
1 2
2
x .x
x =0,5 1,0
2
x .x
x = 0,5 1,0
2
v v
v
v v
v
 


  



   

 
Comparando-se os dois últimos métodos nota-se que a velocidade de convergência 
aumentou. 
 
4.4.2 Aplicação do fator de aceleração () 
Nos dois métodos vistos anteriormente podemos aumentar a velocidade de 
convergência, através da adoção de uma constante denominada de “fator de 
aceleração”. Este procedimento é análogo a aplicação de um PD, ou seja fornecendo 
um ganhando maior que a unidade (> 1). 
Introduzindo as variáveis: 
 
( ) ( ) ( 1)
1 1 1
( ) ( ) ( 1)
2 2 2
x x x
x x x
v v v
v v v


  

  
 (4.6) 
Estas variáveis mostram a variação nos valores de x1 e x2 entre as iterações n-1 e n. 
multiplicando x1
(n) e x2
(n) por  ( > 1) os valores de x1 e x2 a serem utilizados nas 
iterações serão: 
 
( ) ( 1) ( )
1 1 1
( ) ( 1) ( )
2 2 2
x = x . x
x = x . x
v v v
v v v




  

 
 (4.7) 
 
Vale ressaltar que a Figura 4.2 ilustra, graficamente, o efeito do fator de aceleração. 
No entanto, a figura 4.2.a) ilustra o efeito de  adequado, enquanto isso, a figura 
4.2.b) representa o efeito da aplicação de um  muito elevado, causando a divergência 
do processo. 
6 
 
 
Figura 4.2 - Efeito do fator de aceleração na convergência 
4.4.3 Exemplo Resolvido 
Repetindo o exercício modelo para um valor de  = 1,5. 
1 2
1
1 2
2
x .x
x 0,5
2
x .x
x 0,5
2

 

   

 
As 1a e 2a iterações (0 e 1) são iguais ao Método de Gauss-Seidel sem fator de 
aceleração: 
Temos: 
 
 
0
1
0
2
x =0
x =0



 e 
 
 
1
1
1
2
x =0,5
x = 0,5



. 
Cálculo dos valores de x1 e x2 para serem usados na iteração seguinte: 
1 1 0
1 1 1
1 1 0
2 2 2
x x x 0,5 0 0,5
x x x 0,5 0 0,5
     

       
 
1 (0) (1)
1, 1 1
1 (0) (1)
2, 2 2
x = x . x 0 1,5.0,5 0,75
x = x . x 0 1,5.(0,5) 0,75


     

     
acel
acel
 
Iteração 2: 
 
       
 
       
2 2
1, 2,2
1,
1 1
1, 2,2
2,
x .x 0,75. 0,75
x =0,5 0,5 0,781
2 2
x .x 0,75. 0,75
x = 0,5 0,5 0,781
2 2
 
    


 
      

acel acel
acel
acel acel
acel
 
Iteração 3: 
7 
 
(2) (2) (1)
1 1, 1,
(2) 1 0
2 2, 2,
x x x 0,781 0,75 0,031
x x x 0,781 ( 0,75) 0,031
     

        
acel acel
acel acel
 
(3) (2) (2)
1, 1 1
(3) (2) (2)
2, 2 2
x = x . x 0,781 1,5.0,031 0,797
x = x . x 0,75 1,5.( 0,031) 0,797


     

       
acel
acel
 
Com a introdução do fator de aceleração podemosperceber que a velocidade de 
convergência é aumentada. 
Obs.: Valores usuais de  ficam geralmente entre 1,5 e 1,7. 
 
4.5 Aplicação dos Métodos de Gauss e de Gauss-Seidel no Estudo de Fluxo de Carga 
 
 
*
G C
i i
ik k *1
i
S S
Y E
E


n
k
 (4.8) 
Sendo: i = 1, 2, ... , n e Si
G - Si
C = Pi + j Qi potência injetada no nó i do sistema dada por 
(Pi
G - Pi
C) + j (Qi
G - Qi
C). 
Assim a equação (4.8) acima pode ser reescrita como: 
 
*
i
ii
1 ik E
jQP
EY 
   k
n
k
 (4.9) 
A equação (4.9) será resolvida para todas as tensões de barra exceto aquela da barra 
oscilante (ou barra flutuante) onde se especifica uma tensão que permanece fixa 
durante os cálculos. Não existe nenhum problema no fato desta tensão permanecer 
fixa, pois o nó escolhido para barra oscilante é sempre um nó de geração e é 
tecnicamente possível manter-se a tensão constante controlando-se a tensão através 
do controle da excitação dos geradores conectados nesta barra. 
Para se calcular a tensão na barra genérica i, a equação (4.9) poderá ser arranjada da 
seguinte forma: 
 
*
i
ii
iiik
n
ik1;k ik E
jQP
EYEY 
   (4.9) 
Para i=1,2,..., n 
Ei na equação (4.9) é a tensão a ser calculada, explicitando então Ei tem-se a seguinte 
expressão: 
  
 i
n ( )i i
ik k* k 1;k i
ii i
P jQ1
E Y E
Y E
v+1 v
v  
 
  
 
 (4.10) 
8 
 
Para i=1,2,..., n 
 
4.5.1 Solução Iterativa 
A iteração inicial necessita de valores pré-especificados para as tensões Ek e Ei no lado 
direito da igualdade da equação (4.10), permitindo assim o cálculo de novos valores 
para Ei no lado esquerdo da igualdade desta mesma equação. Repete-se o processo 
para todas as barras do sistema, exceto para a barra oscilante onde a tensão é 
controlada. 
Nas demais iterações, uma vez obtidos todos os valores para as tensões de barra a 
rotina inicial é repetida, apenas atualizando-se as tensões de barra. O processo repete-
se até que seja obtida convergência. 
4.5.2 Notas 
1. Em geral, a barra oscilante, também conhecida como barra de referência, é 
assumida como aquela de número 1. 
2. Nas barras em que a carga é especificada, comumente chamada barra de carga, 
barra tipo 1 ou barra P-Q, a equação (4.10) será dada por: 
  
 
i
i
esp esp
ni ( )
ik k* k 1;k i
ii i
P jQ1
E Y E
Y E
v+1 v
v  
 
  
  
 (4.11) 
3. Para as barras tipo 2 ou barras P-V, onde o módulo da tensão de barra (Viesp ) e a 
potência ativa gerada são conhecidas, as incógnitas serão: ângulo de fase e a 
potência reativa gerada. Neste caso a equação (5) não serve e a equação 
adequada deve ser obtida da seguinte forma: 
 * * * *
i i i i i m i i m i iQ Imaginário E .I Imaginário E I I E .I I E I                    (4.12) 
Sendo ainda que: 
 
n
1k kiki
E YI  
 
ncal *
i i m i ik kk 1
Q Q I E Y E

   
  (4.13) 
Qi
cal é uma notação adotada para diferenciar do valor Qi
esp da equação (4.12) para as 
barras de carga. Substituindo a equação (4.13) na equação (4.11) tem-se: 
  
 
esp cal
n ( )i i
i ik k* k 1;k i
ii i
P jQ1
E Y E
Y E
v+1 v
v  
 
  
 
 (4.14) 
9 
 
O valor de Ei
(v+1) calculado na equação (7) não satisfará necessariamente à restrição 
|Ei| = Vi
esp. Nestes casos, faz-se a racionalização do valor de Ei
(v+1): 
 i
esp
i
rac
i θVE 
 (4.15) 
Sendo i é o ângulo de fase de Ei
(v+1). 
Para que o tempo de computação seja reduzido, as operações aritméticas devem ser 
executadas antes do processo iterativo. Fazendo 1/Yii = Li e a equação (4.10) pode ser 
reescrita como: 
  
 
 i
ni i i ( )
ik i k* k 1;k i
i
P jQ L
E Y L E
E
v+1 v
v  

  (4.16) 
  
 i
n ( )i
i ik k* k 1;k i
i
KL
E L Y E
E
v+1 v
v  
  (4.17) 
 
4.5.3 Exemplo resolvido 
Visando ilustrar o equacionamento, considere o circuito a seguir: 
 
Figura 4.3 – Sistema teste composto 6 barras 
 
Neste caso vamos supor que a barra flutuante seja a barra 2, do tipo P-Q são todas as 
outras e, portanto, não existem barras tipo 2 (P-V). As equações de tensão de acordo 
com a expressão (4.17) serão: 
 
 
( ) ( ) ( )1
1 1 12 2 1 13 3 1 14 4*
1
KL
E L Y E L Y E L Y E
E
v+1 v v v
v
    
10 
 
 
2E valor fixo especificado
v+1
 
 
 
1 ( ) ( )3
3 3 31 1 3 35 5*
3
KL
E L Y E L Y E
E
v v v
v

   
 
 
( ) ( )4
4 4 41 4 4 46 6*
4
KL
E L Y E L Y E
E
v+1 v v
v
   
 
 
( ) ( )5
5 5 52 2 5 53 3*
5
KL
E L Y E L Y E
E
v+1 v v
v
   
 
 
( ) ( )6
6 6 62 2 6 64 4*
6
KL
E L Y E L Y E
E
v+1 v v
v
   
 
4.6 Algorítmo para Solução Genérica do Fluxo de Carga 
1. Estima-se valores iniciais para o vetor das tensões de nó EN. Normalmente para os 
nós do tipo P-Q tem-se que E0
(1) =1,0 + j0, para os nós do tipo P-V tem-se que Ei
(0) 
= Vi
esp + j0; 
2. Monta-se a matriz Y (admitância de barras); 
3. Para todos os nós (com exceção do nó de referência) testa-se o nó é do tipo P-V. 
Se for salta-se para o item 5. Se for do tipo P-Q continua-se; 
4. Calcula-se Ei usando a equação (5), onde as tensões do segundo membro são 
aquelas obtidas da iteração anterior (ou de acordo com o item 1 para a primeira 
iteração). Segue-se, agora, diretamente para o item 6; 
5. Este item aplica-se somente às barras do tipo P-V. 
a) Calcula-se Qi
cal usando-se a equação (4.11). Os valores das tensões são obtidos 
da iteração anterior (ou conforme item 1 para o módulo de E= Vi
esp). 
b) A seguir calcula-se Ei usando-se a equação 7. 
c) Calcula-se o valor de Ei
rac adotando-se o valor do ângulo de fase de Ei no sub-
item 5b. 
6. Neste ponto todos os nós já foram processados (exceção para o nó de referência) 
chegando-se ao final desta iteração. Testa-se então se houve convergência, se 
houve convergência o processo é terminado. Os valores de tensão obtidos nesta 
iteração constituem a solução. Se não houver convergência retorna-se ao item 3. 
 
11 
 
4.7 Considerações Finais no Uso Método de Gauss e Gauss-Siedel 
No método de Gauss, todos os valores de tensão de uma iteração são introduzidos na 
próxima iteração, é a chamada Substituição Simultânea. 
No Método de Gauss-Seidel, apenas os valores de tensão ainda não calculados na 
presente iteração são os da iteração interior, ou seja, assim, que um valor de tensão de 
uma barra é calculado ele substitui o da iteração anterior, é a chamada Substituição 
Sucessiva. 
 
4.7.1 Vantagens do Método de Gauss-Seidel 
1. Maior rapidez de convergência; 
2. Economia de memória, não é necessário armazenar todos os valores de tensão da 
iteração anterior. Vale ressaltar que este quesito é considerável para sistemas com 
elevado número de barras, devido ao fato que os computadores avançaram 
muito, principalmente na última década. 
 
4.7.2 Critério para Detectar a Convergência 
O processo iterativo termina quando as variações das tensões de barra, ( )
iΔ
v+1 entre 
duas iterações consecutivas são menores que um certo nível de tolerância  para todas 
as tensões de barra. Pode-se expressar isto de forma matemática como se segue: 
      
i i i
v+1 v+1 v
V = V -V < e (4.18) 
Para i = 1, 2, 3, ..., n. 
 
4.8 Aspectos Computacionais 
1. Para maior eficiência computacional, a equação (4.10) que é complexa, poderá ser 
separada nas suas componentes cartesianas. 
Parte Real: 
  i
i
*
n ni i iv+1
ik k ik k2 2 k=1;k¹i k=1
ii i i
P e -Q f1
E = - G e + B f
G e + f
 
 
  
  
Parte Imaginária: 
12 
 
  i
i
*
n ni i iv+1
ik k ik k2 2 k=1;k¹i k=1
ii i i
P f -Q e1
E = - G f + B e
G e + f
 
 
  
  
Sendo: 
ie , if - partes real e imaginária de iE ; 
ke , kf - partes e imaginária de kE ; 
ikG , ikB - partes real e imaginária do elemento ik da matriz complexa de admitância. 
i
*Q - para os nós do tipo PQ  
i
espQ e para os nós do tipo PV  
i
calcQ (através da 
equação 4.12). 
 
O teste de convergência também podeser dividido em duas partes, uma parte real e 
outra imaginária, a saber: 
   
ε
i i
v+1 v
Ree - e  
   
ε
i i
v+1 v
Imf - f  
Com o fator de aceleração o método sofre algumas oscilações de ordem de grandeza 
apreciável nas primeiras iterações, a partir daí o processo caminha para a solução de 
maneira uniforme e suave. Para agilizar a convergência têm-se então: 
   v+1 (v+1) (v) (v)i, ac i i, ac iE = E - E +E 
   v+1 (v+1) (v) (v)i, ac Re i i, ac ie = e - e +e 
   v+1 (v+1) (v) (v)i, ac Im i i, ac if = f - f + f 
Em geral, nas três equações  = 1,6; Re = 1,6 e Im = 1,7. 
 
4.9 Método de Newton-Raphson 
Este método constitui-se num algoritmo genérico para a determinação de raízes reais 
de equações não lineares, igualmente aos dois métodos matemáticos apresentados 
anteriormente. No entanto, trata-se um método mais sofisticado. Além disso, este 
apresenta menores riscos de divergência e, normalmente, apresenta uma 
convergência mais rápida quando comparado aos métodos de Gauss e Gauss-Seidel. 
 
4.9.1 Descrição do Método de Newton-Raphson 
13 
 
Se uma aproximação xj é conhecida para uma das raízes da equação f(x) = 0 então uma 
melhor aproximação pode ser obtida calculando-se: 
 ( ) ( ) ( )Δv+1 v vx = x x (4.19) 
 
 ( )
( )
 α
Δ
v
v
f x
tg
x
 (4.20) 
 
 
 
( )
( )
Δ
v
j
' v
f x
x =
f x
 (4.21) 
 
Figura 4.4 - Interpretação gráficas 
Para um conjunto de n equações com n variáveis, usualmente encontradas nos 
problemas de fluxo de carga tem-se: 
 
 
 
 
1 1 2 n
2 1 2 n
n 1 2 n
f x ,x ,...,x = 0
f x ,x ,...,x = 0
 .
 .
 .
f x ,x ,...,x = 0
 (4.22) 
Uma vez que seja conhecido o vetor x(v) das variáveis (x1
(v), x2
(v), ..., xn
(v) ) que 
constituem uma aproximação para a solução das equações (4.22), então uma melhor 
aproximação poderá ser obtida por: 
 ( ) ( ) ( )Δv+1 v vx = x + x (4.23) 
sendo: 
14 
 
 ( ) ( )Δ
-1
v vx = - J .F x   
 ( )vF x  é o vetor constituído pelas equações (4.22) 
J    é a matriz das derivadas parciais de primeira ordem das equações (4.22), 
chamada Matriz Jacobiana, cujos elementos são: Jik = fi/ xk e Jii = fi/ xi. 
 
4.9.2 Exemplo de Aplicação do Método de Newton-Raphson 
Suponha que as equações não lineares sejam: 
 
 
2 2
1 1 2 1 2
2 2
2 1 2 1 2
f x ,x x x 5 0
f x ,x x x 3 0
    

   
 Sabe-se que as raízes serão x1 =  1 e x2 =  2. 
Suponha que sejam conhecidas as aproximações: (1)
1x 0,5 e 
(1)
2x 1,5 
O 1o passo é a montagem do vetor: (1)x 
(1)
0,5
x
1,5
 
  
 
 
O 2o passo é a montagem do vetor:  (1)F x 
 
 
(1) (1) 2 2
1 1 2
(1) (1) 2 2
2 1 2
f x ,x 0,5 1,5 5 -2,5
f x ,x 0,5 1,5 3 1,0
    

   
 
 (1)
2,5
F x
1,0
 
  
 
 
O 3o passo é a montagem da Matriz Jacobiana:  J 
1
1
1 2x
x
f



  (1)
12x 2*0,5 1,0  
1
1
2 2x
x
f



  (1)12x 2*0,5 1,0  
2
2
1 2x
x
f



  (1)22x 2*1,5 3,0  
2
2
2 -2x
x
f



  (1)2-2x -2*1,5 -3,0  
Portanto a Matriz Jacobiana é dada por: 
  






3-1
31
J 
15 
 
O 4o passo é a inversão da Matriz Jacobiana:   1J  
    cofatores dos matriz*det1J 1  
  
















6161
2121
11
33
6
1
J
1
 
O 5o passo é a determinação de jxΔ 
 
1
( ) ( )Δx J .F xv v

    
(1)
1 2 1 2 -2,5 0,75
Δx *
1 6 1 6 1,0 0,58
     
       
     
 
O 6o passo é a determinação de (2)x 
( 1) ( ) ( )x x Δxv v v   
(2)
0,5 0,75 1,25
x
1,5 0,58 2,08
     
       
     
 
Observa-se claramente que estas aproximações são melhores que as anteriores. 
Visualização gráfica: 
 
Figura 4.5 - Representação da solução interativa 
 
O Método de Newton-Raphson possui convergência quadrática, quanto mais se 
aproxima da solução mais rápida o método tende a convergir para ela. O algoritmo é 
ainda bastante influenciado pela forma da função f(x) e pela escolha da aproximação 
inicial x(0). De acordo com a figura anterior se o processo tivesse começado no ponto 
x1’ teria divergido. 
 
4.10 Aplicação do Método de Newton-Raphson ao Fluxo de Carga 
16 
 
Retomando-se a equação 
 
*
i
iin
1k kik E
jQP
EY 
   (4.24) 
Pode-se deduzir que: 
 *i
n
1k kikii
EEYjQP   (4.25) 
Ou ainda: 
 
 in n* * *
i i ik k i ikk 1 k 1
P jQ Y E E Y e
 
 
   
kj
i kVV (4.26) 
Assumindo-se que ej(i- k) = cos(i- k)+jsen(i- k) e fazendo i - k = ik então e
jik= 
cos(ik)+jsen(ik) e ainda Yik = Gik + j Bik. 
Desenvolvendo a equação (4.26) nas suas partes real e imaginária: 
  
n
i i k ik ik ik ikk 1
P VV G cos(θ ) B sen(θ )

  (4.27) 
  
n
i i k ik ik ik ikk 1
Q VV G sen(θ ) B cos(θ )

  (4.28) 
As equações (4.27) e (4.28) podem ser ainda reescritas na seguinte forma: 
   np G Ci i i i k ik ik ik ikkn1g P P V V G cos(θ ) B sen(θ ) ΔP 0      (4.29) 
   nq G Ci i i i k ik ik ik ikkn1g Q Q V V G sen(θ ) B cos(θ ) ΔQ 0      (4.30) 
O símbolo kn indica o conjunto de todos os nós k diretamente conectados ao nó i, 
inclusive k=i. 
 
4.10.1 Notas importantes: 
a) Para no nó de referência do sistema (barra oscilante) as variáveis Vi e i são 
conhecidas e, portanto não é necessária nenhuma equação para esse nó. 
b) Para os nós P-Q do sistema as variáveis Vi e i são incógnitas e, portanto, serão 
necessárias as duas equações (4.29) e (4.30) para cada nó. 
c) Para os nós P-V do sistema a variável Vi é conhecida e i é incógnita. Portanto, só 
há necessidade da equação (4.29). 
d) De acordo com os itens acima o número total de equações (e de incógnitas) é: 
npv + 2 npq. 
e) O vetor x das incógnitas será: 
17 
 







V
θ
x


 
Onde  é o vetor dos ângulos das tensões para todos os nós (exceto aquele de 
referência) e V é o vetor dos módulos das tensões para as barras P-Q. 
f) As equações (4.29) e (4.30) também podem ser expressas vetorialmente: 











q
p
g
g
g  
• gp são equações de potência ativa (uma para cada nó, exceto o de referência), 
• gq são equações de potência reativa (uma para cada nó P-Q). 
O vetores gp e gq são também denotados como P e Q são diferentes de zero e, 
quanto mais próximos estiverem de zero, mais próxima estará a solução. 
 
4.11 Equacionamento Matricial do Método de Newton-Raphson 
Já foi visto que: x(v+1) = x(v) + x(v), onde x(v) = -J-1 . g(v). Desta forma, a Matriz Jacobiana 
[J] deverá possuir quatro submatrizes, a saber: 
  
   
   





L´J
N´H
J (4.31) 
k
p
i
ik
θ
g
H


 e 
i
p
i
ii
θ
g
H


 
k
p
i
ik
V
g
N´


 e 
i
p
i
ii
V
g
N´


 
k
q
i
ik
θ
g
J


 e 
i
q
i
ii
θ
g
J


 
k
q
i
ik
V
g
L´


 e 
i
q
i
ii
V
g
L´


 
Finalmente: 
 
( 1) ( ) ( )
( 1) ( ) ( )
θ θ Δθ
V V ΔV


     
     
      
          
v v v
v v v
 (4.32) 
( 1) ( ) ( )x x Δxv v v   
Sendo: 
18 
 
 
   
   
1
( )( )
( )( )
H N´ ΔPΔθ
*
J L´ ΔQΔV

    
    
      
        
vv
vv
 (4.33) 
  
1
( ) ( )Δx J .gv v

  (4.34) 
O rearranjo da Matriz Jacobiana é necessário, pois a matriz J até aqui apresentada não 
é simétrica em relação à diagonal principal. Para que isto aconteça, bastará alterar as 
submatrizes N’ e L’, partindo de x(v) = -(J)-1 . g(v), pode-se afirmar que g(v) = - J . x(v), ou 
seja: 
 
   
   
   
     
( )
( ) ( )
( )( ) ( )
ΔθH N´ H N´ .VΔP Δθ
* *
J L´ J L´ .VΔQ ΔV´ ΔV´ V
      
      
          
               
v
v v
vv v
 (4.35) 
Desta forma, as submatrizes N’ e L’ passam a ser denotadas por N = N’. V e L = L’ . Vcom seus respectivos elementos dados por: 









k
p
i
kik
V
g
VN e 








i
p
i
iii
V
g
VN 









k
p
i
kik
V
g
VL e 








i
p
i
iii
V
g
VL 
Com estas modificações, as equações (4.33) ficarão da seguinte forma: 
 
 
( )
( 1) ( )
( )( 1) ( )
Δθθ θ
V V ΔV


    
    
      
          
v
v v
vv v
V
 (4.36) 
 
 
   
 
1( )
( )
( ) ( )
Δθ H N ΔP
*
J L ΔQΔV
     
     
      
         
v
v
v v
V
 (4.37) 
4.11.1 Algoritmo de Solução do Método de Newton-Raphson 
1. Estima-se os valores iniciais para V(v) e (v) (em geral: V = 1,0 ou V = Vesp e  = 0o). 
2. Monta-se a matriz Y (a mesma do Método de Gauss). 
3. Forma-se os vetores P(v) e Q(v) usando-se as equações (4.29) e (4.30). 
4. Forma-se e inverte-se a matriz Jacobiana. 
5. Calcula-se as submatrizes (v) e (V/V) (v) através da equação (4.37). 
19 
 
6. Calcula-se as submatrizes (v+1) e V(v+1) usando-se a equação (4.36). 
7. Faz-se v = v+1 e volta-se ao ítem 3. 
O processo é repetido até obter-se convergência. Onde se deve verificar a 
convergência. Haverá convergência quando as equações (4.38) e (4.39) forem 
satisfeitas. 
 pi εΔP  (4.38) 
 qi εΔQ  (4.39) 
Neste momento, vale mencionar que todos os elementos de P e Q devem ser 
atendidos. Além disso, valores típicos para os ’s estão entre 0,01 e 0,0001. 
 
4.11.2 Detalhamento da Matriz Jacobiana 
Os elementos da submatriz H são dados por: 
   )sen(θ B )cos(θ GVVPP
θθ
g
H ikikikik
n
kn1 ki
C
i
G
i
kk
p
i
ik 





  (4.40) 
Sendo: 
  ik i k ik ik ik ikH VV G sen(θ ) B cos(θ )   (4.40) 
 2 T
ii i ii iH V .B Q   (4.41) 
Elementos da submatriz N: 
   
p
nG Ci
ik k k i i i k ik ik ik ikkn1
k k
g
N V V P P V V G cos(θ ) B sen(θ )
θ V
 
    
 
 (4.42) 
Desta forma temos : 
  ik i k ik ik ik ikN VV G cos(θ ) +B sen(θ )  (4.43) 
 2 Tii i ii iN V .G P   (4.44) 
Elementos da submatriz J: 
   
q
nG Ci
ik i i i k ik ik ik ikkn1
k k
g
J Q Q V V G sen(θ ) B cos(θ )
θ θ
 
    
 
 (4.45) 
 
Então: 
  ik i k ik ik ik ikJ VV G cos(θ ) B sen(θ )  (4.46) 
 Tiii
2
iii P.GVJ  (4.47) 
20 
 
Elementos da submatriz L: 
   
q
nG Ci
ik i i i k ik ik ik ikkn1
k k
g
L Q Q V V G sen(θ ) B cos(θ )
V V
 
    
 
k kV V (4.48) 
Desta forma: 
  ik i k ik ik ik ikL VV G sen(θ ) B cos(θ )   (4.49) 
 Tiii
2
iii Q.BVL  (4.50) 
Sendo: 
kni – indica o conjunto de todos os nós k diretamente conectados a i,incluindo-se k=i. 
Pi
T e Qi
T- potências transmitidas do nó i para o resto do sistema, respectivamente P e 
Q nas equações (4,29) e (4,30). 
 
4.12 Aspectos Computacionais do Método de Newton-Raphson 
a) Desvantagens: 
1. Necessidade de formar e inverter a Matriz Jacobiana a cada iteração. Para ganhar 
tempo, existem programas em que o mesmo Jacobiano é utilizado em duas 
iterações sucessivas; 
2. A convergência é muito sensível às condições iniciais. Diante deste fato, uma má 
escolha pode levar rapidamente à divergência; 
3. Os gastos com memória são bem maiores do que no Método de Gauss; 
4. Requer uma programação ligeiramente mais complexa. 
b) Vantagem: 
1. Possui convergência rápida: em geral, de 3 a 5 iterações. 
Observação: Detalhe: uma iteração Newton-Raphson leva um tempo aproximado a 7 
iterações Gauss-Seidel (para o mesmo sistema). 
 
4.12 Exemplo Resolvido Aplicando o Método de Newton-Raphson 
Na figura a barra 1 é de referência e a barra 2 é uma barra PV (módulo de tensão e a 
potência ativa são conhecidos). 
21 
 
1 2
12 12 12 z r jx
1 0º 1V
1,02V pu
2 ? 
Barra de Referência
shuntb shuntb
Barra PV
2 0, 4 
espP pu
Figura 4.6 - Sistema com duas barras 
De acordo com a nota (c) sobre a aplicação do método de Newton-Raphson ao Fluxo 
de Carga será necessária apenas a equação (4.29)  2 será determinado através 
desta equação. 
Nota: para teste de convergência adotar  = 0,003. 
Dados da linha: 



j0,02 jb y
j0,9615– 0,1923 78,69-0,981 y
78,691,02 j1 0,2 z
shsh
12
12



 
 
Solução: 
Matriz de admitância: 
0,1923 j0,9415 0,1923 j0,9615
Y G jB
0,1923 j0,9615 0,1923 j0,9415
   
    
   
 
Esta matriz pode ser separada nas matrizes G e B, conforme apresentadas na 
sequência. 









0,19230,1923
0,19230,1923
G 
0,9415 0,9615
B
0,9615 0,9415
 
  
 
 
Equações: 
O número de equações do tipo das equações (4.29) e (4.30) é dado por: nPV + 2nPQ. 
Portanto nPV = 1 e nPQ = 0, haverá apenas a equação (4.29), aquela da potência ativa: 
22 
 
  nG Ci i i k ik ik ik ikkn1ΔP P P V V G cos(θ ) B sen(θ )    
Que aplicada à barra 2 fica: 
    )sen(θ B )cos(θ GV)sen(θ B )cos(θ GVVPPΔP 2222222222121212112
C
2
G
22  
Os valores numéricos serão: 
;40,0PP esp22  1,0;VV
esp
11  
esp
2 2V V 1,0;  
21 2 1 2 2θ =θ θ =θ 0°=θ ;  22 2 2θ =θ -θ =0°; 
21 22 21 22G = 0,1923; G =0,1923; B =0,9615; B = 0,9415.  
A equação (4.29) fica então da seguinte forma: 
    2 2 2ΔP 0,40 1 1 0,1923 cos(θ ) 0,9315 sen(θ ) 1 0,1923 cos(0°) 0,9415 sen(0°)       
 2 2 2ΔP 0,40 0,1923 1 cos(θ ) 0,9615 sen(θ )     
O problema agora consiste em se determinar o valor de 2 tal que o valor de P2 seja 
nulo. 
1a Iteração: 
a) |Pi | 
 (0) (0) (0)2 2 2ΔP 0,40 0,1923 1 cos(θ ) 0,9615 sen(θ )     
 (0)2ΔP 0,40 0,1923 1 1 0 0,40       
b) Teste de convergência: |Pi | < p |-0,4| > 0,003 desta forma o processo iterativo 
continua. 
c) Cálculo do Jacobiano: 
 
   
   
1j
j
jj
Δθ H N ΔP
*
J L ΔQΔV
     
     
      
         
j
V
 
Da equação (4.37) reescrita anteriormente, observa-se que o Jacobiano possui apenas 
o termo em H, obtido da equação
i
p
i
ii
θ
g
H


 , ou seja, através da equação (4.41). 
 
p
n2 T 2i
ii i ii i i ii i k ik ik ik ikkn1
i
g
H V .B Q V .B +V V G sen(θ ) B cos (θ )
θ

      

 
     
2
(0) (0) (0)
22 2 22 2 21 21 21 21 2 22 22 22 22H V B +V G sen(θ ) B cos (θ ) V G sen(θ ) B cos (θ )     
(0) (0) (0)
22 2 2H 0,1923sen(θ ) 0,9615cos (θ )= 0,9615    
23 
 
2a Iteração: 
a)  (1) (1) (1)2 2 2ΔP 0,40 0,1923 1 cos(θ ) 0,9615 sen(θ )= 0,0279      
b) Teste de convergência: |-0,0279| > p (0,003) desta forma o processo iterativo 
continua. 
c) Cálculo do novo Jacobiano 
(1) (1) (1)
22 2 2H 0,1923sen(θ ) 0,9615cos (θ )= 0,8002    
d) Variação de v 
   (1) (1)2 2(1)
22
1 1
Δθ . . 0,0279 0,0349
0,8002
   
          
  
P
H
 
e) Valor atualizado para : 
(2) (1) (1)
2 2 2θ θ + θ 0,4160 ( 0,0349) 0,4509        rad 
3a Iteração 
a)  (1) (2) (2)2 2 2ΔP 0,40 0,1923 1 cos(θ ) 0,9615 sen(θ )= 0,0002      
b) Teste de convergência: |-0,0002| < p (0,003) desta forma o processo iterativo 
termina, foi atingida a convergência e 2=-0,4509 radianos=-25,84°. 
 
4.13 Métodos Desacoplado e Desacoplado Rápido 
 
4.13.1 Particularidades sobre os métodos Desacoplado e Desacoplado Rápido 
As equações básicas do método de Newton-Raphason são derivadas da expansão em 
série de Taylor, omitindo os termos de 2ª ordem em diante. 
As correções a cada iteração são, portanto, aproximações, porém o valor da função é 
calculado de forma exata a cada iteração. 
Em aplicações de fluxo de carga, sempre dispomos de boas estimativas iniciais, a 
robustez do método de Newton-Raphason permite que sejam usadas aproximações na 
matriz Jacobiana sem prejudicar as características gerais de convergência e sem afetar 
a solução final do problema, levando somente a um aumento relativo no número de 
iterações. 
As aproximações usadas para o métodode Newton-Raphason podem ser vistas como 
diferentes versões do método Desacoplado e do método Desacoplado Rápido. 
24 
 
Consiste em a 1a derivada por uma constante arbitrária, mesmo assim, aproximado, 
pode-se conseguir uma boa convergência. 
Mas esta constante deve ser selecionada de maneira que ainda mantenha as 
propriedades de convergência 
As características preponderantes em qualquer sistema de potência são as 
dependências entre: 
 Fluxo de potência ativa e os ângulos das tensões nas barras; 
 Fluxo de potência reativa e a magnitude das tensões nas barras. 
Um P em P  uma  em , e um pequeno efeito em |V| (V0); 
Um Q em Q  uma V em V, e um pequeno efeito em |V| (0); 
Conseqüentemente: 
 H.ΔP (4.51) 
 VL.ΔQ  (4.52) 
 
4.13.2 Método Desacoplado 
De acordo com o detalhamento anterior, após o desacoplamento temos: 
 
   
( ) ( )
( )
( ) ( )( )
 -- Δθ H .Δθ -- H ΔP
*
-- LΔQ ΔV V -- L. ΔV V
v v
v
v vv
      
                    
               
 (4.53) 
Sendo: P utilizada para as barras PV e PQ e Q utilizada somente para as barras PQ 
 
4.13.3 Método Desacoplado Rápido 
É um método derivado do Newton-Raphson. Ao invés do Jacobiano, são usadas duas 
matrizes constantes. 
Vale ressaltar que no método Desacoplado Rápido introduz algumas simplificações na 
formulação do método Desacoplado. Tais simplificações são adequadamente validadas 
para sistemas de extra-alta tensão (EAT) e ultra-alta tensão (UAT). Pois, para estes 
sistemas temos uma relação de ik ikR X . De outra maneira, significa desprezar as 
condutâncias e trabalhar apenas com as partes imaginarias das admitâncias 
(susceptâncias) extraídas da matriz busY . 
 
25 
 
4.13.4 Exemplo ilustrativo simples 
Encontrar uma raiz de equação y = x2 – 4 usando N-R normal e, em seguida, fixando y’ 
= 4 e y’ = 1. 
Tomar x(1) = 1 e | y | < 0,25 como critério de convergência. 
Solução: 
( 1) ( ) ( )x x Δxv v v   
   
1
( ) ' ( ) ( )Δx x * x

  
 
v v vf f 
a) Newton-Raphson tradicional 
Para v = 1: 
( ) ( )y' 2xv v  22.12xy' (1)(1)  
2
( ) ( )y x 4v v       3414xy
2(1)(1)  
Assim: 
 
2
3
3)(
2
1
.yy'Δx (1)
1(1)(1) 

 e 2,5231Δxxx (1)(1)(2)  
Para v = 2: 
52.2,52xy' (2)(2)  
  2,2546,254xy 2(2)(2)  que é menor que a tolerância (ou erro): 
0,250,2025 ,250  
  0,45.2,25
5
1
.yy'Δx (2)
1(2)(2) 

 
2,05)45,0(5,2Δxxx (2)(2)(3)  
 Esta é a raiz procurada porque:   0,202542,054xy 22(3)(3)  
b) Derivada constantes 
b.1) 4y' 
Para v = 1: 
0,753)(
4
1
y
y'
1
Δx (1)(1) 




 
 
  0,9441,754xy0,751Δxxx 22(2)(2)(1)(1)(2)  
Para v = 2: 
26 
 
235,0)94,0(
4
1
y
y'
1
Δx (2)(2) 




 
 
1,9850,2351,75Δxxx (2)(2)(3)  
 Esta é a raiz procurada porque:   0,0641,754xy 22(3)(3)  
b.2) 1y' 
Para v = 1: 
33)(
1
1
y
y'
1
Δx (1)(1) 




 
 
2
(2) (1) (1) (2) (2) 2x x Δx 1 3 y x 4 4 4 12            
Para v = 2: 
12)12(
1
1
y
y'
1
Δx (2)(2) 




 
 
8)12(4Δxxx (2)(2)(3)  
2
(3) (3) 2y x 4 (-8) 4 60       
Para v = 3: 
60)60(
1
1
y
y'
1
Δx (3)(3) 




 
 
68)60(8Δxxx (3)(3)(4)  
Porém, nota-se que o processo iterativo divergiu, pois: 
2
(3) (3) 2y x 4 (-68) 4 4620       
Conclusão: Pode-se obter convergência usando-se valores constantes para as 
derivadas, porém esses valores devem ser escolhidos de forma adequada. 
 
4.13.5 Desenvolvimento do Método Desacoplado Rápido 
Inicia-se a análise a partir das equações (6) do Método Newton-Raphson (N-R): 
 
 
( )
( 1) ( )
( )( 1) ( )
 Δθ θ θ
V V ΔV
v
v v
vv v
V


    
              
          
 (4.54) 
27 
 
Sendo: 
 
( ) 1
( )
( ) ( )
 Δθ H N ΔP
J L ΔQΔV
v
v
v v
V
    
               
         
 
Esta última equação pode ser reescrita da seguinte forma: 
 
 
( )
( )
( )( )
 Δθ H N ΔP
*
J LΔQ ΔV V
v
v
vv
    
               
         
 (4.55) 
O método desacoplado rápido se vale das conhecidas propriedades de que: 
 Os fluxos de potência ativa são fortemente influenciados pelos ângulos de fase das 
tensões e praticamente independentes dos módulos das tensões; 
 Os fluxos de potência reativa são fortemente dependentes dos módulos das 
tensões e praticamente não influenciados pelos ângulos de fase das tensões. 
 
Em termos das equações de iteração do N-R, equação (4.55), estas propriedades são 
representadas através dos pequenos valores numéricos dos elementos J e N da Matriz 
Jacobiana. Para se chegar a esta conclusão basta verificar as equações (7) (vista na aula 
anterior), considerando que em sistemas elétricos bem projetados, Gik << Bik e ik 0
o. 
Assim, a equação (4.55) poderá ser reescrita através da equação (4.56). 
 
   
( ) ( )
( )
( ) ( )( )
 -- Δθ H .Δθ -- H ΔP
*
-- LΔQ ΔV V -- L. ΔV V
v v
v
v vv
      
                    
               
 (4.56) 
Baseando-se nas suposições mencionadas anteriores, outras aproximações podem ser 
Feitas na matriz Jacobiana. Assim considerando que: ik0º; cos ik 1,0 e sen ik  ik. 
  
n
i i k ik ik ik ikkn1
P V V G cos(θ ) B sen(θ ) 0   
  (4.57) 
Deste modo, a equação da potência ativa se transforma em: 
  
n
i i k ik ik ikkn1
P V V G B θ 0   
  (4.58) 
Os elementos das matrizes H e L (equações (4.40) a (4.50)) serão: 
 i
ikH



 k
P
  . kikiik VBVH  (4.57) 
Supondo que Vi=Vk=1,0 pu: 
28 
 
 i
ikH


  

ik
k
P
B constante (4.58) 
Em geral Rik<<Xik: 
 
 
ik
ik 2 2
ik ik
X
B =
R +X

 (4.59) 
 '
ik ik
ik
1
B = = H
X
 (4.60) 
De maneira análoga: 
  
n
i i k ik ik ik ikkn1
Q V V G sen(θ ) B cos(θ ) ΔQ 0    
  (4.61) 
  
ni
i ik ik ik ikkn1
k
Q
V G sen(θ ) B cos(θ )
V
    
 
 (4.62) 
Desde que Vi=Vk=1,0 pu e Gik senik << Bik cosik, 
 
 
''i ik
ik ik ik2 2
k ik ik
Q X
= B = L = B
V R +X
 
 

 (4.63) 
As matrizes BI e BII são o negativo da parte imaginária da matriz admitância nodal Y, 
excluindo-se a linha e a correspondente à barra de referência. 
 '
ik ik
ik
1
H B =
X
  (4.64) 
 '
ii ii
ik
1
H B =
X
  (4.65) 
 
 
'' ik
ik ik ik2 2
ik ik
X
L B = = B
R +X
    (4.66) 
 ''
ii ii ii
ik
1
L B = = B
X
  (4.67) 
Para ilustrar as equações (4.56) considere o sistema abaixo: 
29 
 
Barra 1 Barra 2
Referência
Barra 3 Barra 4
PQ
PV
Barra 5
PQPQ
12X
13X
34X 45X
25X
 
Figura 4.7 - Sistema teste de 5 barras 
As equações (4.56) para este sistema serão dadas por: 
( ) ( )
2 22 22 2 2 23 3 2 24 4 2 52 5
( ) ( )
3 33 32 2 3 33 3 3 34 4 3 35 5
( )
4 42 2 4 43 3 4 44 4 4 45 54
( )
5 52 2 5 53 3 5 54 4 5 55 5
5
ΔP ΔθV B V V B V V B V V B V
ΔP ΔθV B V V B V V B V V B V
*
V B V V B V V B V V B VΔP Δθ
V B V V B V V B V V B VΔP
I
v v
v v
v
v
B
   
   
       
   
    
( )
4
( )
5Δθ
v
v
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
( )
3 33 3 33 3 3 34 4 3 35 5
( )( )
4 43 3 4 44 4 4 45 5 4 44
( ) ( )
5 53 3 5 54 4 5 55 55 5 5
ΔV VΔQ V B V V B V V B V
V B V V B V V B V * ΔV VΔQ
V B V V B V V B VΔQ ΔV V
II
v
v
vv
v v
B
                          
 
Nas duas equações acima, as tensões à esquerda das susceptâncias podem ser levadas 
para o 1o membro: 
 ( ) ( )
IΔP V B V.Δθ
v v  (4.68) 
 ( ) ( )
IIΔQ V B .ΔV
v v  (4.69) 
Para que estes termos não influenciem no fluxo de potência ativa: V = 1. 
Assim, as equações do Método Desacoplado Rápido serão:( ) ( )
IΔP V B .Δθ
v v  (4.70) 
 ( ) ( )IIΔQ V B .ΔV
v v  (4.71) 
Notas: 
1. Observando-se as equações (4.56), (4.70) e (4.71) conclui-se que as matrizes BI e 
BII são idênticas às matrizes H e L e são calculadas apenas uma vez. 
30 
 
2. Para um sistema de n barras: 
 Dimensão de BI: (n-1).(n-1); 
 Dimensão de BII: npq . npq (npq: número de barras PQ do sistema). 
3. Os elementos do BI e BII são imaginários (parte imaginária da matriz Y do sistema). 
4. As demais simplificações para desacoplar P de V e Q de  são: 
a) Omite-se de BI as reatâncias shunt e taps em fase de trafos controladores de 
|V|; 
b) Omite-se de BI taps em quadratura de trafos defasadores. 
 
4.13.6 Aspectos Computacionais 
1. A convergência deste método é geométrica, não tão rápida quanto a de Newton-
Raphson (N-R) que representa convergência quadrática. Normalmente, a 
convergência é atingida entre 4 e 7 iterações; 
2. Em compensação, o tempo de computação de uma iteração é muito pequeno. O 
tempo para se executar uma iteração neste caso equivale ao tempo de 1/5 de 
iteração no Newton-Raphson, compensando assim a convergência mais lenta; 
3. Os gastos de memória são da ordem de 40% menores que os de N-R; 
4. A convergência do método é mais confiável do que no N-R, o método é 
independente da forma das funções envolvidas; 
5. O método é fácil de ser implementado e programado. 
 
4.13.7 Algoritmo do Método Desacoplado Rápido 
31 
 
Ler os Dados
Formar as Matrizes
INÍCIO
I IIB e B
Estudar os Valores Iniciais
Para e (0 e 1,0 em geral) V
1
Calcular 
P
V
Convergiu?P
 
1
ICalcular = .
 
 
P
B
V
( 1) ( ) ( )Fazer = +v v v   
Calcular 
Q
V
Convergiu?Q
 
1
IICalcular = .
 
 
Q
V B
V
( 1) ( ) ( )Fazer V =V +v v vV 
0KQ 0?KP
0KP
0?KQ
FIM
SIM
NÃO
NÃO
SIM
SIM
SIM
NÃO
 
Figura 4.8 - Diagrama de cálculos 
 
Na sequência estão listadas as expressões (4.68) e (4.69) para testes de convergência 
de um sistema elétrico. 
 pi εΔP  (4.68) 
 qi εΔQ  (4.69) 
 
4.13.8 Exemplo resolvido aplicando o Método Desacoplado Rápido 
32 
 
Utilizando o mesmo sistema do exemplo resolvido na seção 4.9 para o Newton-
Raphson, calcule o fluxo de potência aplicando o Método Desacoplado Rápido. Vale 
destacar que apesar do sistema ser o mesmo, mas os parâmetros foram alterados, 
conforme a figura 4.8. 
1 2
12 0,2 1,0 z j pu
1 0º 1V
?2V
2 ? 
Barra de Referência
0,02shuntb j pu
Barra PQ
2 0,3 
espP pu
0,02shuntb j pu 2 0,07
espQ pu
Figura 4.9 - Sistema com duas barras 
Solução: 
Linha 1-2: 12 0,2 1,0 1,02 78,69    z j pu pu 
12
12
1
0,981 78,69 0,1923 0,9615     y pu j
z
 
Admitância shunt: sh 0,02 shunty b j pu 
Matriz de admitância: 
11 12
21 22
0,1923 0,9415 0,1923 0,9615
0,1923 0,9615 0,1923 0,9415
      
    
     
y y j j
y
y y j j
 
A matriz de admitância pode ser separa em duas matrizes G e B. 
0,1923 0,1923
0,1923 0,1923
 
  
 
G 
0,9415 0,9615
0,9615 0,9415
 
  
 
B 
Determinação dos termos '
22B e 
''
22B 
De acordo com a teoria apresentada, sabemos que: 
' 1ii
ii
B
x
  '
22
22
1 1
1
1
   B j
x j
  '
22 1,0 B , aqui se omitiu o elemento shunt “
0,02shuntb j pu ”. 
33 
 
Obs.: '
1 
  
 
ik
ik
B
x
quando houver outras barras PQ. 
''  ii iiB B (da matriz de admitância)  
''
22 22 0,9415   B B pu , vale ressaltar que 
aqui se inclui o elemento shunt “ 0,02shuntb j pu ”. 
1ª Iteração: P 
a) P2
(0)
=? 
Conforme visto anteriormente na descrição teórica do Método Desacoplado, adota-se 
a mesma equação (4.29) do Método de Newton-Raphson, reescrita aqui. 
    )sen(θ B )cos(θ GV)sen(θ B )cos(θ GVVPΔP 2222222222121212112
esp
22  
  2 2 2 2 2ΔP 0,3 V 0,1923 cos(θ ) 0,9615 sen(θ ) 0,1923V      
2(0) (0) (0) (0) (0) (0)
2 2 2 2 2 2ΔP 0,3 0,1923V cos(θ ) 0,9615V sen(θ ) 0,1923V     
(0)
2ΔP 0,3  
b) Teste de convergência: |P2|=0,3 > p (0,003) desta forma o processo iterativo 
continua. 
c) 2
(0)
=? 
Da equação (4.70) reescrita aqui ( ) ( )
IΔP V B .Δθ
v v  temos: 
(0) (0) ' (0)
2 2 22 2ΔP V B .Δθ   
   (0) (0) (0) '2 2 2 22Δθ ΔP V / B 0,3 /1,0 / 1,0 0,3        rad 
d) rad3,0)3,0(0Δ
)0(
2
)0(
2
)1(
2   
1ª Iteração: QV 
a) Q2
(0)
=? 
De maneira análoga, ao processo anterior para a equação da potência ativa, adota-se a 
mesma equação (4.30) do Método de Newton-Raphson, reescrita aqui. 
    )cos(θ B )sen(θ GV)cos(θ B )sen(θ GVVΔQ 2222222222121212112
esp
22 Q 
    2 2 2 2 2ΔQ 0,07 V 0,1923 sen( ) 0,9615cos( ) V ( 0,9415 )        
2(0) (0) (1) (0) (1) (0)
2 2 2 2 2 2ΔQ 0,07 0,1923 V sen( ) 0,9615 V cos( ) 0,9415 V     
0098,0ΔQ
)0(
2  
34 
 
b) Teste de convergência: |Q2|=0,0098 > q (0,003) desta forma o processo iterativo 
deve continuar. 
c) V2
(0)
=? 
Da equação (4.71) reescrita aqui ( ) ( )
IIΔQ V B .ΔV
v v  temos: 
(0) (0) (0)
IIΔQ V B .ΔV   
   (0) (0) (0) ''2 2 2 22ΔV ΔQ V / B 0,0098 /1,0 / 0,9415 0,0104        
d) puVV 9896,0)0104,0(0,1ΔV
)0(
2
)0(
2
)1(
2  
2ª Iteração: P 
a) 
2(1) (1) (1) (1) (1) (1)
2 2 2 2 2 2ΔP 0,3 0,1923V cos(θ ) 0,9615V sen(θ ) 0,1923V     
(1)
2ΔP 0,0253  
b) Teste de convergência: |P2|=0,0253 > p (0,003) desta forma o processo iterativo 
deve continuar. 
c)    (1) (1) (1) '2 2 2 22Δθ ΔP V / B 0,0253/ 0,9896 / 1,0 0,0256          rad 
d) rad3256,0)0256,0(3,0Δ
)1(
2
)1(
2
)2(
2   
2ª Iteração: QV 
a) 
2(1) (1) (2) (1) (2) (1)
2 2 2 2 2 2ΔQ 0,07 0,1923 V sen( ) 0,9615 V cos( ) 0,9415 V    
(1)
2ΔQ 0,0114  
b) Teste de convergência: |P2|=0,0114 > q (0,003) deve-se então prosseguir o 
processo iterativo. 
c)    (1) (1) (1) ''2 2 2 22ΔV ΔQ V / B 0,0114 / 0,9896 / 0,9415 0,0122          
d) puVV 9774,0)0122,0(9896,0ΔV
)1(
2
)1(
2
)2(
2  
3ª Iteração: P 
a) 
2(2) (2) (2) (2) (2) (2)
2 2 2 2 2 2ΔP 0,3 0,1923V cos(θ ) 0,9615V sen(θ ) 0,1923V     
(2)
2ΔP 0,005  
b) Teste de convergência: |P2|=0,005 > p (0,003) desta forma o processo iterativo 
deve continuar. 
c)    (2) (2) (2) '2 2 2 22Δθ ΔP V / B 0,005 / 0,9774 / 1,0 0,0051          rad 
d) rad3307,0)0051,0(3256,0Δ
)2(
2
)2(
2
)3(
2   
35 
 
3ª Iteração: QV 
a) 
2(2) (2) (3) (2) (3) (2)
2 2 2 2 2 2ΔQ 0,07 0,1923 V sen( ) 0,9615 V cos( ) 0,9415 V    
(2)
2ΔQ 0,0016  
b) Teste de convergência: |Q2|=0,0016 > q (0,003) o subproblema QV convergiu, 
portanto esta iteração não precisa ser efetuada. 
4ª Iteração: P 
a) 
2(3) (2) (3) (2) (3) (2)
2 2 2 2 2 2ΔP 0,3 0,1923V cos(θ ) 0,9615V sen(θ ) 0,1923V     
(3)
2ΔP 0,001  
b) Teste de convergência: |P2|=0,001 > p (0,003) o subproblema P convergiu. 
 
Finalmente, temos: 
pupuradV  95,189774,03307,09774,02
 
 
4.14 Exercícios 
4.1 Dado um sistema elétrico de 4 barras, conforme ilustrado na figura 4.8, sabendo-
se que todas as grandezas estão em pu. Pede-se: determinar as tensões das barras 
aplicando o método de Newton-Raphson, para tanto executar duas iterações 
completas. 
Barra 1 Barra 2
10,5 5  j
1 1,05v pu 2s = 0,5 j0,2 pu 
PV
3s = 0,6 j0,1pu 
Barra 3Barra 4
11,0 3  j
10,2 3  j
11,0 3  j10,5 5  j
1 0,6p pu
P
4 1,0 0º v pu
PQ
PQ
 
Figura 4.10 - Sistema elétrico com 4 barras e 5 linhas 
 
36 
 
4.2 A ilustração apresentada na figura 4.11 representa um sistema elétrico radial constituído 
por uma unidade geradora, um sistema de transmissão, uma subestação de distribuição 
abaixadora (transformador) e duas cargas, sendo uma dela alimentada em nível de 
transmissão (Carga 2) e outra em nível de distribuição (Carga 3). Vale destacar que os 
dados do sistema são: 
- Linha de transmissão: 0,05 X km e comprimento 100l km; 
- Transformador: 20nS MVA , 5%x e 138 13,8kV kV ; 
- Carga 2: 2 10P MW 
e 2 0Q Mvar ; 
- Carga 3: 3 5P MW 
e 3 5Q Mvar ; 
Determine as tensões nas barras 2 e 3 através do fluxo de potência utilizando o Método 
Desacoplado Rápido. Sabendo-se que a tensão na barra de referência (Barra 1) é mantida 
em 1 1 0  V pu . 
Gerador
3Barra 2Barra 1Barra
Linha de transmissão
3Carga
2Carga
Subestação
Figura 4.11 - Sistema elétrico radial com duas cargas 
 
4.3 Sabendo-se que o sistema da figura 4.12 representa uma linha de transmissão 
interligando uma unidade geradora a uma carga. Pede-se calcular a tensão na carga (barra 
1) através do processo interativo utilizando o Método de Gauss, adotando um nível de 
tolerância de 0,005 para a tensão e também para o ângulo de fase. Para tanto, como 
estimativa inicial da tensão na barra 1 deve-se utilizar uma tensão igual a 
1 0,9 0º .v pu  Sendo fornecidos os seguintes parâmetros: 1 1 0 s j pu , 
21 0 0,035 z j pu e 2 1 0  v . 
2 2 2V V   1 1 1V V  
2 1
Z  R jX
1 1 1S  P jQ
Gerador
I
 
37 
 
Figura 4.12 - Sistema elétrico radial com uma carga 
 
Bibliografia 
 
Monticelli, A., Gracia, A., “Introdução a Sistemas de Energia Elétrica”, Editora 
Unicamp, 2003. 
Stevenson, W. D., “Elementos de Análise de Sistemas de Potência”, 2a Ed., São Paulo, 
Editora McGraw-Hill, 1986. 
Zanetta Jr., L. C., “Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência”, 1a Edição, São 
Paulo, Editora Livraria da Física, 2006. (ISBN: 85-88325-41-1) 
Elgerd, O. I., “Introdução à Teoria de Sistemas de Energia Elétrica”, Tradução: Cotrim, 
A. A. M. B., Albuquerque, P. M. C., Editora McGraw-Hill do Brasil LTDA, 1981.