Séries de Pagamentos Iguais Antecipados

Prévia do material em texto

CEDERJ – CENTRO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR A DISTÂNCIA 
DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO 
Curso: Engenharia da Produção Disciplina: Engenharia Econômica 
 
Aula 5 – Séries de Pagamentos Iguais – Pagamentos Antecipados 
 
 
Meta 
 
Consolidar os conceitos de séries de pagamentos e desenvolver o conteúdo de 
séries de pagamentos iguais antecipados. 
 
Objetivos 
 
1. Identificar o conceito de séries de pagamentos iguais antecipados 
2. Entender as séries de pagamentos iguais antecipados e quais são 
seus impactos sob o fluxo de caixa 
3. Calcular valor presente, montante e prestações em operações que 
apresentem pagamentos iguais antecipados 
4. Representar graficamente um fluxo de caixa contendo tais operações 
5. Resolver problemas que envolvam série de pagamentos variáveis 
 
Pré-requisitos: Antes de começar essa aula separe calculadora científica, 
régua, lápis e borracha, pois esse material será útil não só nesta, mas em 
todas as aulas dessa disciplina. 
 
1. Introdução 
 
Prezados alunos, dando prosseguimento ao conteúdo visto na aula anterior 
vamos continuar trabalhando com séries de pagamentos iguais (que são 
pagamentos ou recebimentos em parcelas iguais). Só que agora, de maneira 
diferente, vamos trabalhar com séries de pagamentos iguais antecipados. 
Na aula passada estudamos casos em que os vencimentos dos 
pagamentos ou recebimentos se davam no fim do período considerado na 
operação de crédito (30 dias, 45 dias, um ano, ...). Agora, vamos considerar 
casos em que esses pagamentos ou recebimentos se dão no início desse 
período. Vamos considerar, por exemplo, uma compra feita a prazo, mas que 
será paga em 10 parcelas COM UMA ENTRADA. 
Qual será o impacto sobre o fluxo de caixa de se considerar uma série de 
pagamento antecipada? Será que teremos muita variação do montante da 
operação? E as parcelas, como se comportarão? 
Vamos dar início ao entendimento desse novo conceito e tentar, ao final da 
aula, responder a esses questionamentos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Séries de Pagamentos Iguais com termos Antecipados 
Resgatando conceitos da aula anterior: 
 
“As séries de pagamentos são sucessivos pagamentos ou recebimentos 
com vencimentos em épocas pré-determinadas, destinadas à quitação de 
dívidas ou construção de capital. 
Para facilitar o cálculo do montante (S), valor principal (P), taxa de juros (i) e 
prazos (n) nas operações que envolvem séries de pagamentos poderemos 
utilizar novas fórmulas, que serão apresentadas nesta aula. 
Caro aluno, o entendimento dos conceitos que serão agora 
apresentados está fortemente atrelado ao conteúdo 
apresentado na aula anterior. Caso tenha dúvidas faça a 
revisão do conteúdo e resolva novamente os exercícios! 
Lembre-se de procurar o tutor sempre que necessário! 
Essas séries de pagamentos podem ser finitas (por exemplo, 6 parcelas) ou 
infinitas (perpétua....); a diferença de tempo entre cada termo (ou parcela) é 
constante, ou seja, vencem de 30 em 30 dias, 45 em 45 dias, 60 em 60 dias, 
etc.. Além disso, os vencimentos desses pagamentos podem ocorrer no final 
desse período (termos vencidos ou postecipados) ou no início (termos 
antecipados). Nesta aula vamos trabalhar com séries finitas e de pagamentos 
iguais (constantes). 
Podemos ter, portanto, séries de pagamentos iguais com termos 
postecipados e séries de pagamentos iguais com termos antecipados. Para 
facilitar o entendimento de ambas, com a ajuda do fluxo de caixa vamos 
apresentar um exemplo das mesmas. 
 
Fluxo de caixa 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fluxo de caixa 2 
 
 
Como podemos perceber o fluxo de caixa 1 apresenta uma série de 
pagamentos iguais e postecipados, onde o pagamento ocorre ao final do 
período das parcelas. É como se você comprasse a prazo e não pagasse a 
entrada, pagasse a primeira parcela 30 dias após a compra (no caso de 
parcelas mensais, que poderiam ser de 60 em 60 dias, 120 em 120 dias, etc.). 
Já o fluxo de caixa 2, apresenta um caso onde o pagamento ou a aplicação 
do recurso se dá no início do período. Poderia representar a abertura de uma 
poupança e o depósito da primeira parcela da aplicação no momento da 
abertura da conta poupança, e os demais a cada 30 dias subsequentes (ou 60 
em 60 dias, 120 em 120 dias, etc).” 
Conforme pode ser visto no fluxo de caixa 2, os pagamentos, recebimentos, 
aplicações, etc, realizados em séries de pagamentos antecipados começam no 
início do período da operação de crédito (momento zero), e não ao final do 
período. 
 
Exemplo 2.1. Vamos trabalhar com o mesmo exemplo (2.1) trabalhado na aula 
anterior, mas agora considerando termos antecipados. Calcule o montante, ao 
final do 5º mês, de uma série de cinco pagamentos iguais, mensais, 
consecutivos e antecipados, no valor de $200,00 cada uma, a uma taxa de 
juros de 3% ao mês. 
Primeiro vamos fazer o fluxo de caixa para o problema. 
 
 
 
Agora que conseguimos visualizar o problema através do fluxo de caixa, 
vamos resolvê-lo de maneira simples e a partir da utilização do conhecimento 
que já temos. 
Para encontramos o montante de uma série de pagamentos iguais com 
termos antecipados dada a prestação devemos aplicar a fórmula: 
S = R x (1 + i) x , sendo o Fator de Acumulação de 
Capital. 
Como podemos observar, utilizaremos a mesma fórmula para 
pagamentos postecipados mas incluiremos o termo (1 + i). 
S = ? 
i = 3% 
R = 200,00 
n= 5 
Vamos aplicar a nova fórmula aos dados do exemplo 2.1. 
S = R x 1,03 x 
S = 200,00 x 1,03 x [(1+0,03)5 -1/0,03] 
S = 200,00 x 1,03 x 5,3091 
S = 1093,68 
Encontramos, com a aplicação da fórmula, um montante de R$ 1.093,68. 
Quando consideramos, na aula anterior, os pagamentos postecipados o 
montante foi de R$1061,83. 
Podemos ainda fazer o mesmo cálculo com o auxílio da tabela 
financeira. (INCLUIR TABELAS FINANCEIRAS). Devemos encontrar o FAC na 
tabela para a taxa de juros de 3%, n = 5 e série de pagamentos iguais. Nós já 
trabalhamos com a tabela financeira para pagamento único e, agora, 
utilizaremos as tabelas para série de pagamentos iguais. 
Na tabela, o FAC (3%, 5) é de 5,30914, o mesmo que encontramos no 
nosso cálculo. Assim, 
S = R x (1+i) x FAC 
S = 200,00 x 1,03 x 5,30914 
S = 1093,68 
Novamente encontramos o montante de R$ 1.093,68. 
Como vimos, o valor calculado para pagamentos antecipados é maior 
que aquele calculado para séries de pagamentos postecipados. Isso ocorre 
porque as entradas ou saídas de recursos se dão no início do período, fazendo 
com que sobre o recurso financeiro incida a taxa de juros por um período maior 
de tempo. 
Atividade 
Atividade 1: Atinge os objetivos 2, 3 e 4. 
Marina abriu uma conta poupança e pretende depositar, nos próximos 
12 meses, o valor mensal de 400,00. Sabendo-se que a taxa de juros para pela 
poupança é de 3,5% a. m. e que os pagamentos são antecipados, calcule o 
valor a ser retirado por Marina ao final dos 12 meses. Represente o fluxo de 
caixa para o problema. 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta Comentada: 
Primeiro vamos fazer o fluxo de caixa para o problema. 
 
Sendo: 
R = 400,00 
n = 12 prestações 
i = 3,5% ao mês 
S = ? 
Vamos aplicar a fórmula: 
S = R x (1 + i) x 
S = 400,00 x (1,035) x [(1+0,035)12 -1/0,035] 
S = 400,00 x 1,035 x 14,602 
S = 6.045,20 
O valor a ser retirado por Marina ao final das aplicações é de R$ 
6.045,20. 
Para conferir, podemos consultar a tabela financeira e encontrar o FAC 
(3,5%, 12). O Fator de Acumulação de Capital para a taxa de juros e o período 
indicado é de 14,60196. Assim, temos que 
S = 400,00 x 1,035 x 14, 60196 
S= 6.045,20 
O montante também é igual a R$ 6.045,20. O mesmo raciocínio deve ser 
adotado para todos os problemas que apresentem as mesmas condições. 
Essa atividade foi uma das apresentadas na aula anterior (atividade 2), 
só que agora consideramos os pagamentos antecipados. Podemos observar 
que o montantena série de pagamentos antecipados é maior, já que os valores 
depositados por Marina ficarão um período maior rendendo juros. 
Fim da atividade 
Essa fórmula, que utiliza o Fator de Acumulação de Capital deve ser 
utilizada quando a incógnita do problema for o montante, ou seja, quando 
precisarmos calcular o montante da operação. 
Mas no caso, por exemplo, em que precisemos calcular o valor das 
prestações ou das aplicações realizadas, dado o montante da operação, 
devemos utilizar o Fator de Formação de Capital (FFC). Como o próprio 
nome sugere, trata-se do valor pago ou aplicado que gerará determinado 
montante ao final dos períodos da operação realizada. 
O FFC pode ser deduzido da expressão trabalhada anteriormente. Veja: 
S = R x (1+i) x , precisamos isolar o R na equação, 
R = S x [1/ (1+i)] x 
Onde: 
R = S x [1/ (1+i)] x em que é chamado de Fator de 
Formação de Capital. 
Exemplo. 2.2. Marisa pretende adquirir um imóvel no valor de 
150.000,00 daqui a 36 meses. Ela pretende pagar à vista e, para isso, vai 
realizar depósitos mensais na poupança, que rende juros de 2,5% ao mês. 
Sabendo-se que esses depósitos serão mensais, iguais , consecutivos e serão 
iniciados hoje, calcular o valor desses depósitos. 
S = 150.000,00 
n = 36 
i = 2,5% a.m. 
R = ? 
Resolução: 
R = S x [1/ (1+i)] x 
R = 150.000 x 0,9756 x 0,01745 
R = 2.553,66. 
Marisa deverá depositar mensalmente durante 36 meses a quantia de 
R$2.553,66 para obter o montante necessário para a compra do imóvel. 
Atividade 
Atividade 2: Atinge os objetivos 2, 3 e 4 
Calcule a prestação de uma série de pagamentos iguais, mensais e 
antecipados cujo montante é de 3.500,00 para o prazo de 4 meses. Considere i 
= 1,5%. Faça o fluxo de caixa para o problema. Encontre também o valor da 
prestação considerando termos postecipados e compare-as. 
 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta comentada: 
Fluxo de caixa para o problema: 
 
 
Devemos encontrar o R no problema. Sendo i = 1,5% e n =4, temos que: 
 
Para pagamentos antecipados: 
R = S x [1/ (1+i)] x 
R = 1.500,00 x [1/(1,015)] x [0,015/(1,015)4-1] 
R = 1.500 x 0,9852 x 0,24446 
R = 361,26 
 A parcela é igual a R$ 361,26. 
 
Para pagamentos postecipados: 
R = S x 
R = 1.500,00 x [0,015/(1,015)4-1] 
R = 1.500 x 0,24446 
R = 366,69 
 A parcela é igual a R$ 366,69. 
Sob as mesmas condições da operação de crédito, a parcela na 
operação com termos postecipados é maior que a parcela paga para termos 
antecipados. 
Fim da atividade 
 
Vamos agora considerar o cálculo do Valor Atual e de parcelas quando 
se dispõe do valor atual em séries com termos antecipados. Acompanhando o 
raciocínio anterior temos que o cálculo do Valor atual deve considerar a fórmula 
para a série de pagamentos postecipados: 
P = R x , onde é o Fator de Valor Atual (FVA) 
Utilizando a tabela financeira: 
P = R x FVA (i% , n) 
 Para o cálculo considerando-se pagamentos antecipados, devemos 
multiplicar a fórmula apresentada por (1+i). Sendo assim, 
P = R x (1+i) x 
 
 
ou 
P = R x (1+i) x FVA (i% , n) 
 
Exemplo 2.3 Calcular o valor atual de uma série de 12 aplicações mensais 
iguais de R$1.800,00. Lembrando que a taxa de juros da operação é de 2,5% 
a. m. e que as aplicações são consecutivas e antecipadas. Fazer o fluxo de 
caixa para o problema. 
Resposta: 
Devemos, segundo as orientações do problema, encontrar o valor atual 
da série de pagamentos apresentada. 
Primeiramente vamos fazer o fluxo de caixa para o problema. 
 
Agora que visualizamos o problema, vamos aos cálculos. 
Sendo: 
P=? 
R = 1.800,00 
i = 2,5% a. m. 
n = 12 
 
P = R x (1+ i) x , 
P = 1.800 x 1,025 x 10,2577 
P = 18.925,57 
Utilizando a tabela, 
P = R x FVA (2,5%, 12) 
P = 1.800,00 x 1,025 x 10, 2577 
P = 18.925,45 
O valor atual na operação apresentada é de R$18.925,57. 
Atividade 
Atividade 3 - Atinge os objetivos 3 e 4 
Calcule o valor atual de uma série de 10 pagamentos iguais, consecutivos e 
antecipados de R$427,00. Considere a taxa de juros da operação de 3,5%. 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta Comentada: 
Vamos calcular o valor atual da operação. 
Sendo: 
R= R$ 427,00 
n = 10 
i = 3,5% 
P = ? 
P = R x (1 + i) x , 
P = 427,00 x [(1,035)10-1/(1,035)10 x 0,035] 
P = 427,00 x 1,035 x 8,3166 
P = 3.675,48 
Utilizando a tabela: 
P = R x (1 + i) x FVA (i, n) 
P = 427,00 x 1,035 x FVA (3,5%, 10) 
P = 427,00 x 1,035 x 8,31661 
P= 3.675,48 
O valor atual da série apresentada é de R$3.675,48. 
Fim da atividade 
A partir da fórmula P = R x (1+i) x , podemos deduzir o cálculo da 
prestação dado o valor atual. Para tanto, devemos isolar o R na equação, 
obtendo: 
R = P X [1/(1+i)] x , onde é o Fator de Recuperação de 
Capital (FRC) 
O Fator de Recuperação de capital deve ser utilizado quando se tem o 
valor atual da operação e pretende-se calcular o valor da prestação da série de 
pagamentos. Ele pode ser utilizado para determinar o valor das prestações de 
um empréstimo, por exemplo. 
Exemplo 2.4: O Banco X oferece aos seus clientes uma opção de empréstimo 
em que é cobrada uma taxa de juros de 2,5% a.m. Considere um cliente que 
precise tomar emprestado 3.500,00 e pretende realizar o pagamento do 
mesmo em 10 parcelas. Calcule o valor da prestação para que o cliente possa 
avaliar se a mesma “cabe” em seu orçamento. Represente o fluxo de caixa da 
operação. Considere pagamentos antecipados. 
Resposta: 
Primeiramente vamos elaborar o fluxo de caixa da operação. 
 
Agora, sendo: 
P = 3.500,00 
i = 2,5% 
n = 10 meses 
Vamos calcular o R. 
R = P x (1 + i) x 
R = 3.500,00 x 1,025 x [(1,025)10x 0,025/(1,025)10 – 1] 
R = 3.500,00 x 1,025 x [0,032/0,2801] 
R = 3.500 x 1,025 x 0,1142 
R = 409,69. 
Consultando a tabela para o FRC: 
R = P x FRC(2,5%, 10) 
R = 3.500 x 1,025 x 0,11426 
R = 409,90. 
Para tomar o empréstimo oferecido com as condições oferecidas pelo 
Banco X o cliente deverá pagar uma prestação de R$ 409,90 mensalmente, por 
um período de 10 meses. Cabe ao cliente avaliar sua capacidade de 
pagamento e decidir se deverá ou não fazer o empréstimo. 
Atividade 
Atividade 4 - Atinge os objetivos 3 e 4 
A loja X, que trabalha com a venda de roupas e acessórios femininos, 
está fazendo uma promoção, na qual o cliente tem a opção de fazer suas 
compras e pagar em 6 parcelas iguais com uma entrada. Sabendo-se que a 
taxa de juros mensal cobrada será de 2,25% e que as compras de Maria 
ficaram em R$680,00, calcule o valor da prestação. 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta Comentada: 
Vamos ajudar Maria a decidir sobre a compra, calculando o valor das parcelas. 
Sendo: 
P = R$680,00 
i = 2,25% a.m. 
n = 6 
R = P x (1 + i) x 
R = 680,00 x 1,0225 x 0,18460 
R = 128,35 
Caso Maria decida aceitar a promoção da loja deverá pagar suas 
compras em 6 parcelas de R$128,35 cada. 
Fim da Atividade 
Box 5.1 A história do dinheiro 
Caros alunos, 
a moeda que circula hoje no Brasil é o Real e é por intermédio dela que 
conseguimos realizar trocas, fazer pagamentos, guardar valores, etc. Mas você 
sabia que muitas outras moedas já existiram no Brasil? Foram muitas desde o 
tempo em que se realizavam trocas por meio das moedas–mercadorias, como 
o pau-brasil, açúcar, fumo, entre outros (BCB, 2004). O Banco Central do Brasil 
disponibiliza uma cartilha em que a história do dinheiro é apresentada e sua 
leitura tem muito a contribuir com nossa formação cidadã e profissional. Não 
deixe de ler. Boa leitura! 
 
Disponível em: 
http://www.bcb.gov.br/Pre/PEF/PORT/publicacoes_DinheironoBrasil.pdf 
Fim do box 
3. Exemplos 
Nesta seção serão apresentados exemplos que envolvem séries de 
pagamentos distintos, mas que, com as fórmulas que aprendemos e o 
entendimento do fluxo de caixa da operação conseguiremos fazer os cálculos 
necessários: 
3.1 Qual será,ao final de 18 meses, o montante de uma operação que 
consiste no depósito de 6 parcelas bimestrais, iguais e antecipadas de 
2.000,00. Considere a taxa de juros bimestral de 3,5%. 
Resposta Comentada: 
Para entender o que o problema pede vamos elaborar o fluxo de caixa. 
 
http://www.bcb.gov.br/Pre/PEF/PORT/publicacoes_DinheironoBrasil.pdf
 
A partir do fluxo de caixa podemos entender que os depósitos bimestrais 
ocorrerão do mês zero ao mês 5, totalizando 6 depósitos. Depois disso, não 
temos mais depósitos, mas sobre o valor já depositado ainda incide juros. 
Para resolver o problema teremos que calcular dois montantes. Um que 
seria o S1, serviria para encontrarmos o resultado das aplicações até o mês 6 
para pagamentos antecipados, como temos feito até aqui. 
Mas o que há de novo nesse problema? 
É que nos problemas anteriores o prazo terminava ao final dos 
depósitos, o que não ocorre nesse problema, já que são 6 depósitos bimestrais 
mas a operação se encerra em 9 bimestres. Sendo assim, o dinheiro continua 
rendendo até o 9º bimestre. 
S1= R x (1+i) x e S2 = S1 x (1+i)n 
 
S1= R x (1+i) x 
S1 = 2.000 x 1,035 x 6,55 
S1 = 13.558,81 
 
S2 = S1 x (1+i)n 
S2 = 13.558,81x 1,1087 
S2 = 15.032,90 
 O montante da operação é de R$ 15.032,90. 
 Como podemos observar, a resolução do problema envolveu o 
conhecimento que já tínhamos, só precisamos entender de que maneira utilizá-
los diante dessa situação. Esse problema mostra a importância de se entender 
e registrar o fluxo de caixa das operações. 
3.2 Calcule um montante de uma série de 8 pagamentos mensais e 
consecutivos, sendo os 5 primeiros iguais a 1.000,00 e os 3 últimos 
iguais a 1.200,00. Considere a taxa de juros de 2% ao mês. Considere 
pagamentos antecipados. 
Podemos resolver de algumas formas, entre elas: 
a) Considerar o montante como o somatório do montante de 5 
aplicações de R$1.000 (S1) + o montante de S1 até o último mês da 
operação (como no exemplo anterior) + o montante das aplicações de 
R$1.200,00. Ou 
b) Considerar uma série de pagamentos iguais R = 1.000,00 com 8 
parcelas e uma série com 3 pagamentos iguais de 200,00. Seriam 
dois montantes, um para cada série. O resultado seria a soma dos 
dois. 
Vamos optar pela segunda alternativa: 
Primeiramente vamos elaborar o fluxo de caixa para o problema. 
 
 
Como optamos pela alternativa b, devemos calcular o S1: 
R = 1.000,00 
n = 8 
i = 2% a.m. 
 
S1= R x (1+i) x 
S1 = 1.000 x 1,02 x 8,58297 
S1 = 8.754,63 
 
Para calcular S2: 
R = 200,00 
i = 2% a.m. 
n = 4 
 
S2 = 200,00 x 1,02 x 4,1216 
S2 = 840,80 
 
St = S1 + S2 = 8.754,63 + 840,80 
S = 9.595,44 
 
4. Conclusão 
A aula de hoje nos permitiu ampliar o conhecimento sobre séries de 
pagamentos iguais, introduzindo fórmulas que permitem cálculos úteis para 
quem necessita avaliar o valor do dinheiro no tempo (montante, valor presente, 
prestação) quando estão envolvidas séries de pagamentos iguais com termos 
antecipados. 
Após a aula podemos responder aos questionamentos apresentados no 
início do texto, pois já entendemos que como o pagamento antecipados 
influencia o fluxo de caixa e as variações entre montante e parcelas dadas 
séries de pagamento antecipadas e postecipadas. 
As fórmulas aprendidas até aqui nos permitem trabalhar com diversas 
situações, sendo necessário de início o entendimento do problema, a 
construção do fluxo de caixa e a escolha da melhor maneira de solucionar o 
que se pede. 
5. Resumo: 
As séries de pagamentos iguais podem ser antecipadas, ou seja, o 
primeiro pagamento ou recebimento se dá no início do período proposto na 
operação de crédito, alterando o fluxo de caixa em relação aos fluxos 
apresentados para o pagamento postecipado. 
As fórmulas apresentadas nas aulas 4 e 5 permitem o cálculo de 
montante, prestação e valor presente em diversas situações, basca que 
entendamos o fluxo de caixa para tais operações. 
Formulário para auxiliar na resolução dos exercícios e fixação do 
conteúdo. 
Encontrar: Fórmula Tabelado 
S dado R S = R x (1+i) x S = R x (1+i) x FAC(i%,n) 
R dado S R = S x [1/ (1+i)] x R = S x [1/ (1+i)] x FFC (i%,n) 
P dado R P = R x (1 + i) x P = R x (1 + i) x FVA (i%, n) 
R dado P R = P X [1/(1+i)] x , R = P X [1/(1+i)] x FRC (i%, n) 
 
Bom estudo! Não deixe acumular conteúdo ou dúvidas para a próxima 
aula!