PesquisaOperacional_U2_A1

Prévia do material em texto

Programação linear (PL) e a Resolução pelo Método Gráfico
Quando pensamos no termo “programação”, é comum que o mesmo nos remeta diretamente à ideia de programação de computadores ou à linguagem de computação. Entretanto, no âmbito da Pesquisa Operacional, o sentido atribuído a essa palavra é um pouco diferente. Nesse caso, a palavra é empregada com o objetivo de atender às motivações originais de seu desenvolvimento: os problemas industriais. Nesse contexto, o termo “programação” se relaciona ao planejamento para uso dos recursos escassos frente às condições operacionais impostas pelos processos organizacionais.
Esse cenário em que todas as limitações e todos os objetivos organizacionais são considerados é chamado de alocação ótima dos recursos, fato que ratifica a programação linear como uma técnica de otimização. Nosso problema geral é otimizar – por meio da maximização ou da minimização – uma função linear de variáveis que chamamos de “função objetivo” que encontra-se sujeita a uma série de restrições representadas por equações ou inequações lineares.
Tendo como ponto de partida a modelagem matemática de um problema de programação linear, a sua solução pode ser encontrada a partir da interpretação gráfica das restrições impostas pelo sistema e da função objetivo. Entretanto, vale destacar que o método gráfico somente deve ser aplicado em problemas que possuam apenas duas variáveis de decisão.
Mas, por que somente duas variáveis?
Assim, para encontrar a solução gráfica de determinado contexto devemos plotar todas as restrições em um único diagrama ortogonal em que teremos os eixos do plano cartesiano representando as variáveis de decisão envolvidas no problema. A combinação das restrições apresentará a região viável, aquela em que o nosso processo decisório deverá acontecer.
Para compreender os passos que nos levarão à aplicação da resolução gráfica, e consequentes definições operacionais que resolvem uma determinada situação-problema, vamos desenvolver o seguinte exemplo:
O objetivo apresentado pela situação-problema é definir a combinação das quantidades de casas construídas, objetivando maximizar os ganhos da empresa. Nesse cenário, uma vez que as casas Azuis geram lucros unitários de R$2.000,00 e que as casas Amarelas geram lucros de R$4.000,00, nossa função objetivo será igual a:
Max L = 2.000x1 + 4.000 x2
A construtora pode dispor de 800.000 horas de mão de obra, 300 toneladas de pedra e 120.000 metros lineares de tábua de madeira, sendo essas as nossas limitações para o sistema. Sabemos que cada casa Azul demanda 8.000 horas de mão de obra e que cada casa Amarela demanda 20.000 horas de mão de obra. Desse modo, a combinação dos seus usos deve ser menor ou igual ao total de 800.000 horas disponíveis. Portanto:
8.000x1 + 20.000x2 ≤800.000
O total de pedras disponíveis para a obra é de 300 toneladas, sendo esse o quantitativo limitador. Assim, como ambas as casas precisam de seis toneladas para suas respectivas construções, podemos representar, matematicamente, essa informação por:
6x1 + 6x2 ≤300
Ambos os modelos de casas apontam a necessidade, individual, de 1.200 metros lineares de tábuas. Considerando que a empresa conta com 120.000 metros lineares para uso, podemos representar da seguinte forma:
1.200x1 + 1.200x2 ≤120.000
A função de maximizar o lucro e as restrições dos recursos são representadas por funções lineares. Assim, por meio da representação gráfica, o tomador de decisão terá acesso às diversas combinações quanto aos quantitativos de casas a serem construídas, assim como à determinação da combinação mais lucrativa entre elas.
Para representar as restrições no plano cartesiano, devemos seguir cinco etapas:
Esse conjunto de ações deve ser repetido para cada restrição existente, a fim de que todas as informações estejam devidamente registradas no gráfico.
Atente-se para os casos em que as limitações não são relacionadas às duas variáveis de decisão e, sim, a apenas uma delas. Nesse caso teremos apenas uma reta tendendo ao infinito para representar a informação (Para saber mais, acesse o conteúdo dinâmico da Unidade).
Começaremos pela restrição referente ao total de horas de mão de obra disponível:
8.000x1 + 20.000x2 ≤800.000
1) Para atender a essa etapa, devemos apenas alterar o sinal de “≤” por “=”. Assim, teremos:
8.000x1 + 20.000x2 = 800.000
2) É regra a escolha de x2 para ser isolada nesse passo do método. Com essa demanda, buscamos preparar a equação para que possamos trabalhar melhor com a mesma nas fases seguintes. Operacionalizando, teremos:
3) Para que possamos delimitar a restrição no gráfico, precisamos apresentá-la na forma de reta. Sendo assim, os pares ordenados devem ser definidos para sua marcação na fase seguinte. No primeiro momento substituiremos x1 por 0 para determinar o valor de x2 e em seguida substituiremos x2 por 0 para determinar o valor de x1.
Substituindo x1 por 0
x2 = 40 - 0,4x1
x2 = 40 - 0,4(0)
x2 = 40
Par ordenado (0;40)
Substituindo x2 por 0
x2 = 40 - 0,4x1
0= 40 - 0,41
0,4x1 = 40
x1 = 100
Par ordenado (100;0)
4) Os pares definidos na etapa anterior devem ser marcados no plano cartesiano, pois eles serão os extremos da reta que será apresentada.
5) Ao ligar os pontos marcados na etapa anterior, estaremos representando a restrição no gráfico. Assim, a restrição de horas de mão de obra disponíveis é apontada pela reta azul no gráfico.
Com a primeira restrição devidamente registrada, devemos repetir a operação com as demais restrições. Assim, diante do total de 300 toneladas de pedra e do quantitativo necessário para a produção de cada tipo de casa, teremos:
6x1 + 6x2 ≤ 300
1) Para atender a essa etapa, devemos apenas alterar o sinal de “≤” por “=”. Assim, teremos:
6x1 + 6x2 = 300
2) É regra a escolha de x2 para ser isolada nesse passo do método. Com essa demanda, buscamos preparar a equação para que possamos trabalhar melhor com a mesma nas fases seguintes. Operacionalizando, teremos:
3) Para que possamos delimitar a restrição no gráfico, precisamos apresentá-la na forma de reta. Sendo assim, os pares ordenados devem ser definidos para sua marcação na fase seguinte. No primeiro momento substituiremos x1 por 0 para determinar o valor de x2, em seguida substituiremos x2 por 0 para determinar o valor de x1.
Substituindo x1 por 0
x2 = 50 – 1x1
x2 = 50 – 1(0)
x2 = 50
Par ordenado (0;50)
Substituindo x2 por 0
x2 = 50 – 1x1
0 = 50 – 1x1
1x1 = 50
x1 = 50
Par ordenador (50; 0)
4) Os pares definidos na etapa anterior devem ser marcados no plano cartesiano, pois os mesmos serão os extremos da reta que será apresentada. Vale lembrar que devemos dar continuidade ao gráfico com as primeiras marcações.
Ao ligar os pontos marcados na etapa anterior, estaremos representando a restrição no gráfico. Assim, a restrição de toneladas de pedras disponíveis para a construção é apontada pela reta vermelha no gráfico.
Para finalizar, devemos considerar a restrição referente ao total de metros lineares de tábuas:
1.200x1 + 1.200x2 ≤ 120.000
1) Para atender a essa etapa, devemos apenas alterar o sinal de “≤” por “=”. Assim, teremos:
1.200x1 + 1.200x2 = 120.000
2) É regra a escolha de x2 para ser isolada nesse passo do método. Com essa demanda, buscamos preparar a equação para que possamos trabalhar melhor com a mesma nas fases seguintes. Operacionalizando, teremos:
3) Para que possamos delimitar a restrição no gráfico, precisamos apresentá-la na forma de reta. Sendo assim, os pares ordenados devem ser definidos para sua marcação na fase seguinte. No primeiro momento substituiremos x1 por 0 para determinar o valor de x2, em seguida substituiremos x2 por 0 para determinar o valor de x1.
Substituindo x1 por 0
x2 = 100 – 1x1
x2 = 100 – 1 (0)
x2 = 100
Par ordenado (0;100)
Substituindo x2 por 0
x2 = 100 – 1x1
0 = 100 – 1x1
1x1 = 100
x1 = 100
Par ordenador (100; 0)
4) Os pares definidos na etapa anterior devem ser marcados no plano cartesiano, pois os mesmos serão os extremos da reta que será apresentada. Vale lembrar quedevemos dar continuidade ao gráfico com as primeiras marcações.
5) Ao ligar os pontos marcados na etapa anterior, estaremos representando a restrição no gráfico. Assim, a restrição de metros lineares de tábuas disponíveis para a construção é apontada pela reta verde no gráfico.
Com a representação gráfica finalizada, devemos observar em qual área todas as restrições são aceitas. Nesse caso, as três restrições utilizam o sinal “≤” para indicar que os valores obtidos devem ser iguais ou inferiores a determinado total. Assim, as retas apontam que a área viável estará sempre abaixo das retas traçadas, sendo sua definição concluída no espaço em que todas as informações são aceitas.
Após a definição dessa região em que as restrições estão todas aceitas, devemos nomear os vértices da figura formada, sendo o primeiro ponto – Ponto A – aquele que primeiro toca o eixo y. Assim, teremos 3 pontos compondo nossa região viável: A, B, C.
Após definição dos pontos, devemos determinar as ordenadas dos mesmos. Em nosso exemplo, os pontos A e C são de fácil identificação, entretanto, o ponto B, dado pelo cruzamento das restrições de mão de obra e toneladas de pedras, não é facilmente definido apenas com a visualização do gráfico.
A (0, 40)
B (?, ?)
C (50, 0)
A escala adotada para a elaboração do gráfico não possibilita a determinação dos valores concernentes ao ponto B, no entanto, precisamos dessa informação para que possamos escolher o ponto ótimo. Por se tratar de um cruzamento entre restrições (retas), basta que igualemos as equações que utilizamos para definição dos pontos e em seguida façamos a substituição do valor encontrado para determinação do outro.
Portanto, vamos igualar as informações referentes às restrições de mão de obra e toneladas de pedras já isoladas. Ou seja:
Com o valor de x1 definido, podemos utilizá-lo para substituição em qualquer uma das equações envolvidas. Ou seja,
Agora com os três pares definidos – A(0,40) , B(17,33), C(50,0) –, devemos nos ater à função objetivo, aquela que representa matematicamente o aspecto almejado pela situação-problema. Uma vez que consideramos alcançar o lucro máximo com a produção das casas, devemos substituir na função objetivo os pares ordenados encontradas em cada ponto. Assim:
Esse cenário aponta que, considerando as restrições de mão de obra, toneladas de pedras e metros lineares de tábuas, a construtora alcançará lucro maximizado de R$166.000,00 construindo 17 casas do modelo Azul (x1) e 33 casas do modelo Amarelo (x2).
Para os casos em que em determinado par ordenado apenas tivermos um ponto desconhecido, basta que façamos a substituição do ponto conhecido na equação que representa a reta, assim como fizemos logo após a determinação de x1 no exemplo acima.
O Método Simplex
Devido a sua gama de aplicações no mundo dos negócios, a programação linear é uma das técnicas mais usadas dentre as outras grandes áreas da pesquisa operacional. A invenção do seu problema básico é de responsabilidade do matemático russo L. Kantorovich, em 1939, mas pôde contar também com as contribuições de T. Koopmans, fato que levou os pesquisadores a ganhar o prêmio Nobel pelas contribuições dadas à teoria de alocação ótima de recursos.
No entanto, conforme sabemos, a maior parte dos problemas que demandam racionalização do uso de recursos não apresenta apenas duas variáveis de decisão, pressuposto para a aplicação do método gráfico. Sendo assim, devemos contar com o algoritmo Simplex na resolução dos problemas com duas ou mais variáveis de decisões envolvidas. O algoritmo Simplex foi formalizado por George Dantzig, no ano de 1947, como resultado dos trabalhos feitos durante o projeto de computação científica de otimização SCOOP realizado para a Força Aérea Americana. Trata-se de um método interativo que nos permite percorrer pontos extremos de um conjunto de soluções compatíveis ao problema verificado, buscando determinar a solução de certo cenário. 
Podemos caracterizar algoritmo como uma sequência finita de instruções claras e devidamente definidas. Nesse contexto, dispomos de um conjunto de repetidos passos (chamados também de interações) que demandam por etapas de decisões (orientadas por comparações e critérios lógicos) até que a tarefa seja completada.
De uma forma geral, três teoremas fundamentam o método Simplex. São eles:
Para o desenvolvimento das etapas do Simplex, vamos apresentar e desenvolver um exemplo completo, evidenciando as etapas que compõem a técnica. Vamos lá?
Marcos Antônio tem um pequeno negócio na garagem de sua casa. Trata-se de uma oficina de marcenaria de brinquedos infantis que produz apenas dois tipos produtos: mesa e armário. Durante o processo de produção da mesa são necessários 2m2 de madeira e 2h/h de mão de obra. Para a produção do armário são necessários 3m2 de madeira e 1h/h de mão de obra. Simplificadamente, as limitações diárias de produção são:
Madeira: 12m2
Mão de obra: 8 h/h
Considerando que cada mesa apresenta lucro de R$4,00 e cada armário permite um lucro de R$1,00, qual programa de produção será responsável por maximizar os lucros de Marcos Antônio?
Diante do exposto, precisamos definir o modelo matemático em que o método será aplicado. Assim, variáveis de decisão, função objetivo e restrições devem estar devidamente identificadas. Começando pelas variáveis de decisão, teremos então dois itens:
x1: quantidade a produzir de mesas.
x2: quantidade a produzir de armários.
Vale destacar que nesse exemplo são indicadas apenas duas variáveis de decisão, no entanto, o Simplex pode ser aplicado para qualquer quantidade de variáveis de decisão.
Quanto aos valores de lucros, sabemos que os mesmos devem ser apresentados pela função objetivo. De acordo com os nossos dados, Marcos Antônio deseja programar sua produção diária, visando ao aumento dos lucros, sabendo-se que mesas apresentam lucro de R$4,00 e armários apresentam lucro de R$1,00. Assim: Max L = 4x1 + x2.
Para a produção dos itens, madeira e tempo de produção são os elementos limitadores. Para madeira dispomos do total de 12 metros quadrados e para o tempo de produção dispomos de 8 horas/homens. Assim, considerando a utilização unitária detalhada na situação-problema, podemos chegar às seguintes restrições técnicas:
Madeira: 2x1 + 3x2 ≤ 12
Mão de obra: 2x1 + x2 ≤ 8
Considerando a marcenaria de Marcos Antônio, o modelo matemático correspondente é:
Max L = 4x1 + x2
Sujeito a
2x1 + 3x2 ≤ 12
2x1 + x2 ≤ 8
x1 ; x2 ≥ 0
Com a modelagem definida, dispomos dos dados necessários à aplicação do algoritmo Simplex. Desse modo, quatro etapas devem ser realizadas para que cheguemos à solução. Continuaremos desenvolvendo o exemplo da marcenaria de Marcos Antônio para que possamos conhecer e aplicar cada um desses estágios para resolução da situação-problema.
Etapa 1
A primeira etapa do método consiste na organização dos dados para composição do quadro em que o método será aplicado. Desse modo, considerando que as restrições indicam limitações, poderemos ou não utilizá-las totalmente. Motivados por esse contexto, incluiremos em nossas restrições as variáveis de folga, aquelas que nos informarão sobre os quantitativos não utilizados. Uma vez que dispormos de duas restrições técnicas, contaremos então com duas folgas: F1 representando a folga de madeira e F2 representando a folga de mão de obra.
Madeira: 2x1 + 3x2 + F1 ≤ 12
Mão de obra: 2x1 + x2 + F2 ≤ 8
Ainda na etapa 1, devemos igualar a função objetivo a zero. Portanto, teremos uma alteração nos sinais atribuídos aos termos.
Max L = 4x1 + x2
L - 4x1 - x2 = 0
Etapa 2
Com os dados prontos, durante a etapa 2 devemos armar o quadro dos coeficientes, ou seja, a representação que permitirá a aplicação do método. Seu formato segue o formato abaixo apresentado, sendo as linhas referentes às folgas iniciais, as colunas internas referentes às variáveis de decisão e folgas e a coluna final referente aos totais das restrições. Assim, VB são as variáveis básicas e TI os termos independentes.
	VB
	 
	 
	 
	 
	TIL
	 
	 
	 
	 
	 
Diante dos dados apresentados em nosso modelo matemático, poderemos organizar o nosso quadro da maneira abaixo realizada. Perceba que quando não dispomos de valores correspondentes, devemos inserir zero aos termos que não conhecemos.
	VB
	x1
	x2
	F1
	F2
	TI
	F1
	2
	3
	1
	0
	12
	F2
	2
	1
	0
	1
	8
	L
	-4
	-1
	0
	0
	0
Etapa 3
Nessa etapa acontece o início da operacionalização do método. Assim, a mesma consiste em saber quais elementos entrarão e sairão da base. Essas informações são necessárias para que as interações entre linhas e colunas comecem a acontecer. Portanto:
· Quem entra? O maior valor absoluto da função objetivo.
	VB
	x1
	x2
	F1
	F2
	TI
	F1
	2
	3
	1
	0
	12
	F2
	2
	1
	0
	1
	8
	L
	-4
	-1
	0
	0
	0
Em nossa função objetivo, o maior absoluto pertence à primeira coluna, portanto, x1 entrará na base durante essa interação. No entanto, devemos estabelecer qual linha sairá para dar lugar às novas informações.
· Quem sai? Após dividir os TI’s pelos coeficientes respectivos, o menor valor encontrado indica a linha que sairá.
	VB
	x1
	x2
	F1
	F2
	TI
	F1
	2
	3
	1
	0
	12
	F2
	2
	1
	0
	1
	8
	L
	-4
	-1
	0
	0
	0
De acordo com a coluna que entrará, teremos seus correspondentes coeficientes de entrada. Assim, para a linha 1, o coeficiente é o número 2; para a linha 2, o coeficiente é o número 2 e para a última linha, o coeficiente de entrada é o valor -4. Como não operamos na linha do lucro, devemos realizar as divisões considerando os termos independentes e coeficientes das demais linhas.
Linha 1: 12/2 = 6
Linha 2: 8/2 = 4
Entre os valores calculados, a menor divisão tem resultado igual a 4, fato que indica que a linha 2 sairá da base para dar lugar a x1.
Etapa 4
Durante essa etapa, estaremos elaborando a nova tabela, aquela que será resultado das primeiras interações. Nesse processo, devemos começar pela linha que saiu, portanto, a linha 2(L2) que representará a variável x1.
Para o cálculo dos novos valores da L2, que também pode ser chamada de linha pivô, devemos dividir cada valor da antiga L2 pelo correspondente coeficiente na linha de entrada, portanto o valor 2.
Novos valores L2 (Linha Pivô):
2 /2 = 1
1/2 = 0,5
0 /2 = 0
1 /2 = 0,5
8 /2 = 4
	VB
	x1
	x2
	F1
	F2
	TI
	F1
	 
	 
	 
	 
	 
	x1
	1
	0,5
	0
	0,5
	4
	L
	 
	 
	 
	 
	 
Após definirmos os valores da linha pivô, devemos retornar para a primeira linha e operacionalizar uma a uma até chegarmos ao novo quadro completo. No entanto, a sistemática para definição dos demais valores é diferente da aplicada na linha pivô.
Nesse contexto, os novos valores da linha 1 (L1) serão definidos por meio da multiplicação da linha pivô pelo coeficiente da linha de entrada com sinal invertido, sendo esse resultado somado à antiga L1. Para L1, o coeficiente da linha de entrada é representado por 2, portanto, para esse cálculo teremos: -2. Linha Pivô + Antiga L1.
Novos valores L1:
-2(1) + 2 = 0
-2(0,5) + 3 = 2
-2(0) + 1 = 1
-2(0,5) + 0 = -1
-2(4) + 12 =4
	VB
	x1
	x2
	F1
	F2
	TI
	F1
	0
	2
	1
	-1
	4
	x1
	1
	0,5
	0
	0,5
	4
	L
	 
	 
	 
	 
	 
Utilizando a mesma sistemática, devemos buscar os novos valores da nossa linha do livro, a linha 3 (L3). Nessa linha, o coeficiente de entrada com sinal invertido será 4 e o nosso cálculo será dado por 4. Linha Pivô + Antiga L3.
Novos valores L3:
4(1) + (-4) = 0
4(0,5) + (-1) = 1
4(0) + 0 = 0
4(0,5) + 0 = 2
4(4) + 0 = 16
	VB
	x1
	x2
	F1
	F2
	TI
	F1
	0
	2
	1
	-1
	4
	x1
	1
	0,5
	0
	0,5
	4
	L
	0
	1
	0
	2
	16
Com o quadro completo, podemos afirmar que ocorreu a primeira interação do modelo. Entretanto, para determinar se a situação-problema foi resolvida, é necessário verificar os valores da última linha, a linha do lucro, pois os mesmos devem estar, em sua totalidade, positivos. Em caso da presença de algum valor negativo nessa linha, devemos reiniciar o processo pela etapa 3, atacando o valor que porventura esteja negativo, caso tenhamos apenas um valor negativo, ou optando por aquele de maior valor absoluto, caso tenhamos mais de um valor nessa condição.
Em nosso exemplo, diante da primeira interação chegamos aos valores positivos almejados para a linha do lucro, portanto à solução do problema da marcenaria de Marcos Antônio. Para interpretação dos resultados obtidos, devemos estar atentos aos elementos apresentados na primeira coluna e os valores apresentados na última coluna. Sabemos que F1 corresponde à folga no uso da madeira, portanto, quando visualizamos F1 igual a 4, podemos concluir que na solução maximizada teremos sobra de 4m2 de madeira. Definimos que x1 corresponde à quantidade de mesas a serem produzidas na marcenaria, ou seja, diante da solução encontrada para o modelo devem ser fabricadas quatro unidades de mesas. Quanto aos valores ausentes na solução, os mesmos devem ser interpretados como zero.
Assim, podemos concluir que para alcançar o lucro maximizado de R$16,00, Marcos Antônio deverá produzir quatro mesas e nenhum armário, contando com uma sobra de matéria-prima em torno de 4m2.
O algoritmo Simplex é usual para situações-problema que apresentem duas ou mais variáveis de decisão. No entanto, no exemplo acima contamos com apenas duas variáveis, fato que permite a solução da situação-problema da marcenaria de Marcos Antônio também pelo método gráfico.
Métodos computacionais: a utilização do Solver na resolução de problemas de programação linear
Na resolução de problemas de programação linear, é possível fazer uso de diversos softwares que rapidamente nos indicam os resultados para nossas variáveis de decisão. Nesse cenário, temos o Lindo, Lingo, OMP, COM, QSV e o Suplemento Solver como exemplos de recursos computacionais que nos ajudam a encontrar as soluções para os sistemas.
Nesse contexto você agora deve estar se perguntando: por que precisamos aprender os cálculos manuais e não somente os procedimentos de utilização dos programas?
Pois bem, a resposta desse questionamento é simples, afinal, o profissional atuante na área de pesquisa operacional deve ter competências e habilidades para analisar os relatórios extraídos dos sistemas e ter convicção quanto à veracidade dos dados lançados diante dos recursos que a empresa disponibiliza e necessita para operar. Todo esse aprendizado é resultado da prática manual dos cálculos para resolução de problemas tanto pelo método gráfico, quanto para o algoritmo Simplex.
Neste material, pela sua facilidade de acesso e instalação, dialogaremos acerca dos procedimentos para uso do Solver. Trata-se de uma ferramenta inerente ao Microsoft Excel com grande alcance para resolução de problemas de programação linear. O mesmo opera admitindo situações empresariais com até 200 variáveis de decisão e pouco mais de 400 restrições.
Para instalar o Solver na sua máquina, devemos seguir três etapas:
1. Após abrir uma planilha do Excel, acesse o menu Ferramentas e escolha a opção Suplementos. Uma caixa de diálogo como a apresentada na imagem abaixo aparecerá em sua tela.
2. Na caixa de diálogo Suplementos, busque na lista o Solver e o selecione.
3. Por fim, para confirmar a instalação, clique em OK.
Com o Solver devidamente instalado, devemos organizar uma planilha com espaços definidos para nossas variáveis de decisão, função objetivo e restrições do sistema. Se considerarmos uma situação-problema com duas variáveis de decisão, podemos formular uma planilha da seguinte maneira:
As células B2 e B3 representam as células ajustáveis, aquelas que nos indicarão em breve quais os valores respectivos às variáveis de decisão. Sendo assim, as mesmas devem ser deixadas em branco para que, após a solução do problema, seus valores possam ser apresentados.
A célula B6 é reservada para a função objetivo do modelo. Assim, se considerarmos uma situação-problema em que desejamos maximizar os ganhos de dois produtos tendo os mesmos, respectivamente, os lucros de R$20,00 e R$30,00, devemos inserir a seguinte fórmula na planilha:
= 20 * B2 + 30 * B3
Para uma situação-problema com apenas três restrições técnicas, apresentar nascélulas A10, A11 e A12, B10, B11 e B12, C10, C11 e C12 as restrições existentes. As células da coluna A trarão a operação entre variáveis de decisão, as células da coluna B indicarão o sinal de relação com os limites e as células da coluna C serão responsáveis por apresentar os limites. Assim, considerando uma restrição que afirma que x1 + x2 ≤ 100, indicaremos:
Na célula A10: = B2 + B3
Na célula B10: ≤
Na célula C10: 100
Após a inserção de todas as restrições técnicas relativas a determinado problema, daremos início à resolução do problema por meio do suplemento Solver. Sendo assim, clique no ícone do Solver e abrirá uma nova caixa de diálogo em sua tela.
No campo destinado a célula de destino, você deverá selecionar a célula em que a função objetivo está apresentada. Em nosso exemplo, essa informação está na célula B6. No campo seguinte, opte por “Max” para maximizar a função objetivo, por “Min” para minimizar a mesma ou por “Valor para”, quando desejar especificar determinado valor prévio para a função objetivo.
No campo reservado às células ajustáveis deverão ser inseridas as células reservadas para as variáveis de decisão. Desse modo, basta clicar na primeira e arrastar até a última, lembrando que o Solver admite até 200 variáveis de decisão. No caso do nosso exemplo, serão as células B2 e B3, responsáveis por nos indicar a solução do modelo, portanto, são elas as indicadas no campo das células variáveis.
A etapa seguinte consiste em apresentar ao sistema as informações relacionadas às restrições, portanto, no quadro “Submeter às restrições”:
1. Clique em Adicionar para que surja a janela indicada na imagem abaixo.
2. Na caixa Referência de célula, deve ser selecionada ou digitada a referência da célula que conterá o valor a será comparado ao limite da restrição. Em nosso exemplo, para essa etapa devemos selecionar individualmente as células A10, A11 ou A12.
3. De acordo com a restrição, devemos especificar no quadro seguinte o operador pertinente à restrição (≥ ,≤ ou =)
4. Na caixa Restrição, deve ser selecionada ou digitada a referência da célula que apresenta o limite para a restrição. Portanto, em nosso exemplo, consiste nas informações apresentadas nas células C10, C11 ou C12.
5. Para finalizar, clique em adicionar.
Essa operação deve ser repetida até que todas as restrições técnicas apresentadas pelo modelo sejam inseridas no Solver.
Finalizada essa etapa, no momento seguinte clique em Opções para aparecer a seguinte caixa na tela:
Nesse momento devemos informar ao sistema que ele deve atender às restrições de não negatividade, portanto, basta que cliquemos no botão “Presumir não negativos”. Da mesma forma, uma vez que estamos trabalhando com problemas lineares, devemos pedir ao sistema para “Presumir modelo linear”.
Com todas as informações lançadas, a tela inicial do Solver apresentará o modelo proposto. Assim, antes de acionar o botão “Resolver”, avalie se todas as informações foram inseridas corretamente.
Ao clicar no botão “Resolver”, uma nova janela surgirá questionando se desejamos Manter ou Restaurar os valores, e ainda nos apresentará os relatórios possíveis para o processo de solução. Devemos escolher as condições que nos atendem e em seguida clicar em ok.
A solução do modelo será indicada então nas células que destacamos em verde na imagem abaixo. Assim, em nosso exemplo, nas células B2 e B3 teremos os valores assumidos pelas variáveis de decisão, na célula B será apresentado o valor da função objetivo otimizada e nas células A10, A11 e A12 teremos a indicação do quanto de cada restrição será usado pelo sistema.
Com as informações apresentadas pelo Solver, agora é chegado o momento de convertermos as mesmas em regras operacionais conforme as diretrizes organizacionais.