errata_do_capitulo_1_de_calculo_numerico

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Capítulo 1 – Erros e representação numérica 
 
Objetivos 
 Esperamos que ao final desta aula, você seja capaz de: 
 
• Identificar as fases de modelagem e os possíveis erros nelas 
cometidos; 
• Compreender a representação binária e como valores decimais 
são representados em um computador. 
Pré-requisitos 
 Neste capítulo vamos estudar uma área relativamente nova quando 
considerada toda a história da Matemática, mas não menos importante. 
Importante conhecer sobre valor posicional de um algarismo no sistema de 
numeração de base dez. Outro importante conceito é a notação científica, pois 
este tipo de notação trabalhamos com o posicionamento da vírgula e a potência 
de 10 muito útil em nosso curso de Cálculo Numérico. 
Introdução 
 Neste capítulo vamos, recordar os conceitos estudados em Lógica 
Matemática de álgebra booleana desenvolvidos por George Boole em meados 
de 1857. Estes conceitos fazem o elo entre a matemática e os computadores 
digitais. 
 Os computadores utilizam a lógica binária, presença e ausência de 
energia, ou seja, verdadeiro e falso. Agora basta associar de maneira adequada 
os operadores, conjunção, disjunção, negação e outros para termos todas as 
operações matemáticas que um computador executa. 
 Nosso curso tem como foco conversão de binário-decimal, e como esta 
acarreta erros nas operações realizadas por computadores. 
 
1. Erros na fase de modelagem 
 Para melhor entender em quais momentos durante a resolução de um 
problema podem ocorrer erros, vamos representá-lo através de um esquema, 
conforme a figura a seguir. 
 
 
 
 O erro pode ocorrer na fase de modelagem, por exemplo, se o problema 
exige que tenhamos uma precisão de várias casas decimais não conseguimos 
medi-los de maneira precisa dependendo do modelo que se tenha. 
 Outro exemplo que podemos citar são modelos que matemáticos 
estudados no Ensino Médio os quais desprezam atrito, resistência do ar, entre 
outras variáveis que em problemas reais influenciam diretamente no resultado 
final. 
Exemplo 
 Considerando a equação F = m⋅a, sendo F a força medida em Newtons, 
m a massa em quilograma e a representa a aceleração em metros por segundo 
ao quadrado, se desejarmos medir a força de um objeto em queda livre, 
sabemos que a aceleração é aproximadamente 9,8 m/s2 e sua massa igual a 5 
Kg. 
 Facilmente respondemos que a sua força é F = 9,8 × 5 = 49 N. 
Entretanto, existe variação na gravidade em função da altitude em relação ao 
nível do mar, temos também que considerar a resistência do ar, entre outros 
fatores, portanto embora os cálculos estejam corretos temos erros na 
modelagem problema. 
 O que ocorreu no problema citado anteriormente acorre em qualquer área 
do conhecimento. 
 
2. Erros na fase de resolução 
 Os erros também podem ocorrer na fase de resolução através de alguma 
aproximação realizada pelo computador devido a restrições de representação, 
como, por exemplo, o número π, e, 2 e outros irracionais e alguns racionais. 
PROBLEMA 
FÍSICO 
MODELO 
MATEMÁTICO 
 
SOLUÇÃO 
MODELAGEM RESOLUÇÃO
Estes números não podem ser representados exatamente e o erro cometido 
propaga nas operações aritméticas. 
 No computador ainda temos o problema da conversão em binário-
decimal, em que os números binários não representam todos na forma decimal. 
 Para melhor compreender essas situações vamos estudar como 
transformar números da forma decimal-binária e vice-versa. 
 
2.1 Conversão de bases 
 As máquinas digitais convertem todos os dados para binário (0 ou 1, 
presença ou ausência de energia) realizam as operação, transformam em 
decimal para que possamos compreender, todos os cálculos são realizado 
utilizando a Álgebra Booleana. 
 Um número N qualquer pode ser descrito numa base β de acordo com a 
seguinte expressão polinomial: 
m m 1 1 1 2
m m 1 1 o 1 2 n nN a a ... a a a a ... a
− − −
− − − − −= β + β + + β + + β + β + + β 
 Para compreender melhor primeiro vamos fazer um exemplo com a base 
decimal a qual estamos mais acostumados. 
 Deste momento em diante neste curso todos os números serão 
representados entre parênteses com um índice indicando em qual base está o 
número para que não haja confusão. Por exemplo, (110)10, representa o número 
cento e dez enquanto que (110)2, representa o número “um um dois” na base 
binária. 
 Vamos representar o número (142,52)10, assim temos. 
( )
2 1 1 2
2 1 1 2
2 2 0 1 2
10
N a a a a
142,12 1 10 4 10 2 10 5 10 2 10
− −
− −
− −
= β + β + β + β
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
 
 Podemos observar claramente o efeito da posição relativa, que neste 
caso 1 tem peso 100, 4 tem peso 40 e 2 tem peso unitário e o mesmo para a 
parte fracionária que tem 5 com peso 0.5 e 2 com pesso 0.02. 
 A base binária utiliza apenas dois símbolos para representar os números 
o 0 e o 1. Vamos escrever o número (110)2 utilizando o polinômio que generaliza 
a representação dos números. Neste caso temos β = 2. 
( )
( ) ( )
3 2 1
3 2 1
3 2 0
2
2 10
N a a a
110 1 2 1 2 0 2
110 12
= β + β + β
= ⋅ + ⋅ + ⋅
=
 
 Resolvendo a expressão anterior temos como resultado a representação 
decimal do número binário (110)2. 
 Agora vamos estudar um método prático para realizar a conversão 
binário-decimal e vice versa através de um exemplo. 
Exemplo 
 Transforme em binário o número (26)10. 
Solução 
 Para converter decimal em binário dividimos o número sucessivas vezes 
por 2 enquanto for possível, e escrevemos o número binário tomando os restos 
da divisão, da última para a primeira. 
 
 
 
 
 
 
 Assim o número (26)10 = (11010)2, para verificar basta utilizar o polinômio 
para transformar novamente em decimal. Vamos verificar. 
( )
( )
( )
( ) ( )
4 3 2 1 0
4 3 2 1 0
4 3 2 1 0
2
2
2
2 10
N a a a a a
11010 1 2 1 2 0 2 1 2 0 2
11010 1 16 1 8 0 4 1 2 0 1
11010 16 8 0 2 0
11010 26
= β + β + β + β + β
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
= + + + +
=
 
 Podemos observar que para representar um número em binário 
precisamos de mais posições que na forma decimal, de maneira geral quanto 
menor a base mais posições são necessárias. 
26 2 
0 13 2 
6 1 2 
3 2 
1 1 
0 
2 
0 1 
 Agora vamos estudar o processo para transformar decimais fracionários, 
considere o exemplo. 
Exemplo 
 Transforme em decimal o número (0,625)10. 
Solução 
 Para transformar decimal fracionário em binário, multiplicamos apenas 
parte fracionária por 2 sucessivas vezes até a parte fracionária ser igual a zero 
ou o número repetir uma sequência, a parte inteira sempre será 0 ou 1. 
0,625
x 2
1,250
 
0,250
x 2
0 ,500
 
0,500
x 2
1,000
 
 A parte inteira em destaque é o número na forma binária (0,101)2. Como 
fizemos no exemplo anterior vamos verificar se a transformação está correta 
voltando o número a forma decimal. 
( )
( )
( )
( )
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2
2
2
102
N a a a
110 1 2 0 2 1 2
1 1 1
110 1 0 1
2 4 8
110 1 0,5 0 0,25 1 0,125
110 (0,625)
− − −
− − −
− − −
= β + β + β
= ⋅ + ⋅ + ⋅
= ⋅ + ⋅ + ⋅
= ⋅ + ⋅ + ⋅
=
 
 E como faríamos se tivéssemos um número com parte inteira e 
fracionária, ou seja, misto na forma decimal para transformar em binário? 
 A resposta é simples basta aplicar os dois processos em separado. 
Vamos fazer um exemplo. 
Exemplo 
 Transforme o número (37,375)10 em binário. 
Solução 
 Primeiro vamos transformar a parte inteira, ou seja, o 37. 
 
 
 
37 2 
1 18 2 
9 0 2 
4 2 1 
 
 
 
 
 Assim, na parte inteira temos (100101)2, mas ainda falta a parte 
fracionária. Tomando apenas esta faremos como no exemplo anterior. 
0,375
x 2
0 ,750
 
0,750
x 2
1,500
 
0,500
x 2
1,000
 
 Então a representação binária do número (37,375)10 é (100101,011)2. 
 
2.2 Erros de arredondamento 
 Durante o processo de conversão binário decimal, podem ocorrer alguns 
erros, pois na forma binária não é possível representar todos os números da reta 
real. Também existem casos em que um número exato na formadecimal não 
possui tal representação na forma binária. 
 Por exemplo o número (0,1)10, em binário é uma dízima periódica, ou 
seja, não pode ser representada exatamente com uma quantidade finita de 
símbolos. 
 Existem também os números em decimal que não possuem 
representação binária, então fazemos uma aproximação. 
Exemplo 
 Vamos representar o número (0,1)10 na forma binária. 
0,1
x 2
0,2
 
0,2
x 2
0,4
 
0,4
x 2
0,8
 
0,8
x 2
1,6
 
0,6
x 2
1,2
 
0,2
x 2
0,4
 
0,4
x 2
0,8
 
0,8
x 2
1,6
 
0,6
x 2
1,2
 
 
 Observe que neste ponto o (0,4)10 começa a repetir formando assim uma 
dízima periódica em binário. Neste caso existe a necessidade de arredondar ou 
truncar, pois temos uma quantidade finita de posições para representar o 
número. 
2 0 2 
1 0 2 
0 1 
 A representação binária que obtivemos para (0,1)10 é (0,000110011...)2, 
fazendo a transformação inversa do último número considerando apenas as 
nove primeiras casas chegamos ao decimal (,09960937500)10 o qual possui um 
erro de (0,000390625)2 que dependendo da aplicação pode ser um problema. 
 Vimos como os números são representados em máquinas digitais agora 
vamos compreender como são armazenados e como podemos operá-los. 
 
2.3 Representação em ponto flutuante 
 Todo dia utilizamos calculadoras e nem imaginamos que elas podem 
cometer erros e muito menos nos preocupamos como suas operações são 
realizadas, nelas são utilizadas representação em aritmética de ponto flutuante. 
A seguir temos um exemplo. 
Exemplo 
 O número 15.200.000.000 na calculadora é representado por 1,52 x 1010. 
 Observe que a vírgula que separa a parte fracionária no número 
15.200.000.000 está a direita do último zero. Para facilitar a escrita e diminuir o 
espaço necessário para a representação deslocamos a vírgula dez casas para a 
esquerda e multiplicamos por uma potência de dez para não alterar o valor do 
número, neste caso, 1010. 
 Conhecendo a base em que se está representando o número, os valores 
dos números significativos (no exemplo anterior temos três algarismos 
significativos: 152) e o expoente da base podemos representar os números de 
forma otimizada, quando a quantidade de símbolos a ser armazenado é limitada. 
A seguir temos a definição do sistema de ponto flutuante para qualquer base de 
numeração. 
Definição 
 Um sistema de ponto flutuante F⊂ℝ é um subconjunto dos números 
reais cujos elementos tem a forma: 
( ) e1 2 3 tF , d d d . . .d= ± β 
sendo i0 d , i 1,...,t≤ < β = 
A aritmética de ponto flutuante F é caracterizada por quatro números inteiros: 
• base β (binária, decimal, hexadecimal e etc..); 
• precisão t (número de algarismos da mantissa); 
• limites do expoente e ( min maxe e e≤ ≤ ); 
 Assim F é definido por F ( )min max,t,e ,eβ . A mantissa está sempre entre -1 e 
1. 
 Para garantir a representação única para cada y F∈ , faz-se uma 
normalização no sistema de forma que 1d 0≠ para y 0≠ . 
 No exemplo a seguir veremos como representar um número no sistema 
de ponto flutuante. 
 
Exemplo 
 Considere o número (0,00021456)10, vamos representá-lo em uma 
máquina com as seguintes características β = 10, t = 4 e 9 e 9− ≤ ≤ 
Solução 
 Para representar nesta máquina o número vamos utilizar a equação 
( ) e1 2 3 tF , d d d . . .d= ± β 
Como d1 ≠ 0, β = 10, como a mantissa deve estar entre -1 e 1 devemos deslocar 
a vírgula três casas para a direita. 
0,21456 × 10-3 
Mas nossa máquina representa apenas 4 dígitos na mantissa então truncamos o 
último ficando com o número 
0,2145 × 10-3 
 Utilizamos o mesmo processo para representar números inteiros, como 
no exemplo a seguir. 
Exemplo 
 Considere o número (21,004567)10, vamos representá-lo em uma 
máquina com as seguintes características β = 10, t = 4 e 9 e 9− ≤ ≤ 
Solução 
 Novamente devido as restrições da mantissa vamos reposicionar a 
vírgula de modo que d1 ≠ 0 a mantissa esteja entre -1 e 1. 
0,21004567 × 102. A nossa máquina representa apenas 4 dígitos na mantissa 
temos. 
0,2100 × 102 
 Observe que neste último exemplo alguns algarismos foram ignorados, 
acarretando um erro, assim a quantidade de símbolos na mantissa determina a 
capacidade de armazenamento de um número em uma máquina digital. 
 Para valores binários funciona da mesma maneira e assim como na 
representação decimal também ocorrem erros. 
 Em uma máquina digital em seu projeto é implícito a base do sistema de 
numeração e por isso não há necessidade de armazená-la. 
 Par representar em uma máquina digital devemos reservar um espaço 
também para o sinal, onde se convenciona que 0 (zero) indica positivo e 1(um) 
indica o sinal negativo. Observe o esquema a seguir. 
 
 
 
 
 Observe o exemplo a seguir. 
Exemplo 
 Represente o número (-26,575)10 em uma máquina digital com as 
seguintes características β = 2, t = 4 e -8 < e < 8. 
Solução 
 Inicialmente devemos converter o número para binário assim temos. 
(26,575)10 = (11010,11)2 
 Vamos deslocar a vírgula 5 casas para a esquerda para satisfazer as 
condições da mantissa, ou seja, d1 ≠ 0 e a mantissa entre -1 e 1. Assim 
0,1101011 × 25, 
Sinal da 
mantissa 
Mantissa Sinal do 
expoente 
Expoente 
Entretanto nossa máquina armazena apenas os símbolos 0 e 1 portanto, 
devemos transformar o expoente em binário também (5)10 = (101)2. Utilizando o 
esquema temos. 
 
S
M 
mantissa se Exp 
0 1 1 0 1 0 1 0 1 
 
 Nesta máquina devemos abandonar alguns dígitos, pois a máquina 
possui apenas 4 posições para a mantissa causando um erro em sua 
representação devido a limitações da máquina. Na máquina está representado. 
0,1101 × 25 = (11010,00)2 
 Voltando o número representado na máquina a forma decimal temos. 
(11010,00)2 = (26)10 
 A parte fracionária foi perdida, e ocasiona um erro de (0,575)10. 
Saiba mais... 
 Durante a Guerra do Golfo em 1991, um míssil Patriot falhou devido 
a um erro na representação do tempo utilizado para calcular a sua 
trajetória, este erro impossibilitou o míssil Patriot de interceptar o míssil 
Scud que matou 28 soldados e deixou em torno de 100 feridos. 
 O erro no sistema ocorreu devido a um truncamento na conversão 
de décimos de segundos em segundos utilizando uma memória de 24 bits 
na sua representação, o agravante do erro foi ocasionado devido a alta 
velocidade do míssil Scud, 1,676 m/s, que por um pequeno lapso no 
cálculo do tempo o tirou da faixa de atuação do Patriot. 
http://www.ima.umn.edu/~arnold/disasters/patriot.html 
 Como vimos, as máquinas digitais possuem limitações e por isso é 
importante estudá-las para compreender o que podemos fazer e como corrigir, 
um outro erro comum cometido por máquinas digitais é o overflow e o underflow 
erros relacionados ao projeto e a limitação de memória na representação de 
números muito grandes ou muito pequenos em módulo. 
2.4 Overflow e Underflow 
 O conjunto de números dos números reais é infinito, entretanto, sendo o 
sistema de ponto flutuante limitado, pois é um sistema finito, fica claro que não é 
possível representar todos os números. 
Dois fatores causam esta limitação: 
• o intervalo dos expoentes ( maxmin eee ≤≤ ); 
• a quantidade de elementos na mantissa ( tm −− −≤≤ ββ 11 ) 
A primeira limitação causa os fenômenos denominados de “overflow” 
e “underflow”. A Segunda ocasiona erros de arredondamento ou trucamento. 
 Ocorre um overflow quando se tenta armazenar um número real que 
tenha expoente maior que o determinado pelo intervalo pré-definido por ele. 
 O underflow ocorre quando se deseja representar um número diferente de 
zero, mas que seja menor que o menor representável pela máquina, neste caso 
extrapolando o expoente pelo limite inferior. 
 
Exemplo 
 Considere uma máquina em que t = 4, β = 2 e -2 ≤ exp ≤ 2, represente os 
seguintes valores (0,00001)2 e (10000)2 nesta máquina. 
Solução 
 Colocando (0,00001)2 na representação de ponto flutuante temos: 
0,1 x 2-4. Como a nossa máquinatem trabalha no sistema binário devemos 
representar também os expoentes na forma binária. Levando em consideração 
as especificações desta máquina fazemos o seguinte esquema. 
sm mantissa se exp 
0 1 0 0 0 1 ? ? 
 
 O expoente tem representação (100)2, mas dispomos apenas duas casas 
para a representação neste caso houve um underflow. 
 Fazendo mesmo processo para (10000)2, temos: 
0,1 x 25 e (5)10 = (101)2. 
 
 
 
 Como o expoente extrapolou a capacidade da máquina de representação 
para mais dizemos que ocorreu um overflow. 
2.5 Erros 
 Como vimos anteriormente em cálculos computacionais, os valores em 
geral são aproximados, assim, é importante saber o quanto uma medida está 
próxima de um valor “exato”. Assim utilizamos o erro para medir a diferença 
entre o valor exata e o aproximado. 
Seja: x é aproximação para x . 
 O erro absoluto de x é dado por: 
Ae x x= − 
 O erro absoluto nem sempre é eficiente. Considere o seguinte caso: 
 Na construção de uma casa o mestre-de-obras mede o ângulo formado 
entre a parede e o solo e obtêm 89° graus, sendo o ideal 90°, entretanto esse 
erro é insignificante tendo em vista a altura da parede uma casa, que em média 
tem seis metros de altura. Considerando o mesmo erro em um observatório no 
ajuste do ângulo do telescópio pode significar milhares ou até milhões de 
quilômetros entre dois astros. 
 Neste caso o erro absoluto de 1° tem significado muito diferente 
dependendo da situação. Assim o erro relativo é definido conforme a expressão: 
R
x x
e
x
−
= 
O erro relativo é útil quando x é uma boa medida do tamanho da quantidade. 
 
 
 
Exemplo 
sm mantissa se exp 
0 1 0 0 0 0 ? ? 
 Seja o valor π = 3,141592 considerado como “valor exato”. Vamos 
calcular o erro cometido no cálculo do comprimento de circunferências em dois 
casos: 
a) π = 3,14, raio = 4 m 
b) π = 3,141, raio = 1000 m 
Solução 
 Nos dois casos vamos calcular o erro absoluto e relativo, sabendo que o 
comprimento da circunferência é dado por: C 2 r= π . 
Calculando o valor exato. 
e
e
C 2 3,141592 4
C 25.132736m
= × ×
=
 
a) 
1
1
C 2 3,14 4
C 25.12m
= × ×
=
 
A1
A1
A1
e x x
e 25,132736 25,12
e 0,012736
= −
= −
=
 
Calculando o erro relativo 
R1
R1
25,132736 25,12
e
25,132736
e 0,000506
−
=
=
 
Fazendo o mesmo para letra b temos 
e
e
C 2 3,141592 1000
C 628,3184m
= × ×
=
 
A2
A2
A2
e x x
e 6283,1840 6282,000
e 1,184
= −
= −
=
 
Calculando o erro relativo 
R2
R2
R2
x x
e
x
6283,1840 6282,000
e
6283,1840
e 0,0001884
−
=
−
=
=
 
 Comparando o erro absoluto da letra a e b observamos que o erro é 
maior na letra b. Enquanto que o erro relativo da letra b é menor que o erro 
relativo em a. O que isto significa? 
 Significa que A2e 1,184= é menos significativo quanto comparado com a 
magnitude do comprimento. 
Conclusão 
 Neste capítulo, conhecemos quais são as etapas da modelagem 
matemática de um problema e onde os erros podem ocorrer. 
 Estudamos também como os números são representados na base binária 
e como realizar a conversão binário-decimal tanto de números inteiros como de 
fracionário, assim como os erros cometidos nesta conversão. 
 Além da conversão binário-decimal é importante saber como uma 
máquina representa seus dados e suas limitações. 
 Agora que sabemos estes conceitos podemos analisar a relevância dos 
resultados obtidos em uma máquina digital e como evitar erros maiores, assim 
como contornar eventuais problemas durantes o processo. 
 
Atividades 
1) Sabemos que a área do triângulo equilátero é dada por 
2
te
l 3
A
4
= , sendo l o 
lado do triângulo e considerando 3 1,732050= um valor exato. Determine o 
erro relativo cometido no cálculo a área do triângulo de lado 10 m considerando 
2 casas decimais na raiz quadrada de 3. 
a) Er = 0,0011 
b) Er = 0,1100 
c) Er = 0,0500 
d) Er = 0,5000 
 
2) Transforme em binário o número (107,9375)10. 
a) (1101011,1111)2 
b) (1110100,0011)2 
c) (1110101,0011)2 
d) (1110101,1011)2 
 
3) Uma máquina utiliza aritmética de ponto flutuante e possui as seguintes 
características t = 5, β = 2 e -7 ≤ exp ≤ 7. O maior e o menor número em módulo 
diferente de zero representável nesta máquina são respectivamente. 
a) (0,3906)10 e (12400)10 
b) (0,003906)10 e (124)10 
c) (0,0000001)10 e (10000000)10 
d) (0,0001)10 e (10000)10 
 
4) Maria Clara ficou encarregada da organização de um evento, para tanto 
comprou uma calculadora para auxiliá-la. No início do trabalho havia 67 pessoas 
para colocá-las em fila, logo em seguida chegaram mais 5, Maria Clara utilizou 
sua calculadora nova para determinar de quantas maneiras diferentes era 
possível organizar essas pessoas em fila, na primeira e na segunda situação. 
Quais foram os resultados? Justifique sua reposta? 
 
Comentário das atividades 
 Na atividade um, calculamos a área utilizando os dois valores fornecidos 
de 3 o considerado exato e o aproximado para duas casas decimais, e em 
seguida substituímos os valores em 
R2
x x
e
x
−
= 
Encontrando a letra a como alternativa correta. 
 Na atividade dois, como este binário tem parte inteira e parte fracionária 
trabalhamos cada uma em separado. A parte inteira dividimos cento e sete por 
dois sucessivas vezes, formando os binário a partir do resto da última divisão 
para a primeira. 
 Na parte fracionária multiplicamos por 2 sucessivas vezes sempre 
ignorando a parte inteira. O binário na parte fracionária é obtido a partir do inteiro 
da primeira multiplicação para última. Realizando este processo chegamos ao 
resultado (1101011,1111)2, ou seja, a letra a. 
 Na atividade três, neste exercício primeiro montamos um esboço de 
como a máquina representa seus números. Para determinar o valor máximo 
colocamos todos os valores da mantissa, do sinal do expoente e do expoente 
igual a 1 e também no expoente, o sinal da mantissa não importa pois queremos 
o módulo assim temos 
sm Mantissa se exp 
0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 
 
 O número binário representado é (0,11111)2 x 2
7, fazendo os cálculos 
para transformar em decimal temos (124)10. 
 Para o menor valor em módulo devemos tomar um cuidado pois o 
primeiro valor na mantissa deve ser significativo ou seja diferente de zero, 
observe o esquema a seguir. 
sm Mantissa se exp 
0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 
 Transformando esse número para decimal temos (0,003906)10 e portanto 
a alternativa correta é a letra b. 
 Na atividade quatro, devemos calcular 67! e 72! no entanto, na primeira 
situação a calculadora realiza a operação, mas na segunda a calculadora não 
consegue realizar o cálculo pois ocorre um overflow.