Derivada - parte 2

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Vimos que a derivada de uma função é dada pela fórmula geral
Ex: descubra a derivada de no ponto a.
Por exemplo, no ponto (3, -6), a derivada é 2*3 – 8 = -2. Assim, a equação da reta 
tangente neste ponto é 
=> => =>
𝑓` 𝑥 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 8𝑥 + 9
𝑓` 𝑥 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
=
lim
ℎ→0
[(𝑥+ℎ)2−8 𝑥+ℎ +9]−(𝑥2−8𝑥+9)
ℎ
= lim
ℎ→0
𝑥2+2𝑥ℎ+ℎ2−8𝑥−8ℎ+9−𝑥2+8𝑥−9
ℎ
=
lim
ℎ→0
2𝑥ℎ + ℎ2 − 8ℎ
ℎ
= lim
ℎ→0
ℎ(2𝑥 + ℎ − 8)
ℎ
= lim
ℎ→0
2𝑥 + ℎ − 8 = 2𝑥 − 8
𝑦2 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥2 − 𝑥1) 𝑦2 − −6 = −2 ∗ (𝑥2 − 3) 𝑦2 + 6 = −2𝑥2 + 6 𝑦2 = −2𝑥2
DERIVADA
A notação da derivada pode ser ou
O resultado de uma derivada é chamado DIFERENCIAL.
Assim, 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 = 𝐷 𝑓(𝑥)
Foi visto que a derivada no ponto a de uma função f(x) é obtida pelo limite.
Se variarmos o ponto a ao longo do domínio, a derivada é uma função 
f´(x), onde o x é o valor que varia.
A relação 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
é 
Obs: 
∆𝑦
∆𝑥
também é chamada taxa média de variação de y em relação a x
𝑓´ 𝑥 , 𝑦´
𝑑𝑦
𝑑𝑥
lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
= lim
𝑥2→𝑥1
𝑓 𝑥2 − 𝑓(𝑥1)
𝑥2 − 𝑥1
DERIVADA DE SEGUNDA ORDEM
É a derivada da derivada, ou seja,
Ex: sendo 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 𝑥 , calcule 𝑓" 𝑥
foi visto anteriormente que 
𝑓" 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 
𝑑2𝑦
𝑑𝑥
𝑓´ 𝑥 = 3𝑥2 − 1
𝑓"(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓´ 𝑥 + ℎ − 𝑓´(𝑥)
ℎ
= lim
ℎ→0
[3 ∗ 𝑥 + ℎ 2 − 1] − (3𝑥2 − 1)
ℎ
=
lim
ℎ→0
3 ∗ 𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 − 1 − 3𝑥2 + 1
ℎ
= lim
ℎ→0
3𝑥2 + 6𝑥ℎ + 3ℎ2 − 1 − 3𝑥2 + 1
ℎ
=
lim
ℎ→0
6𝑥ℎ + 3ℎ2
ℎ
= lim
ℎ→0
ℎ(6𝑥 + 3ℎ)
ℎ
= 6𝑥
DERIVADA DE TERCEIRA ORDEM
Uma função pode continuar a ser derivada até a enésima ordem, tendendo 
a ser esgotada. 
Ex: sendo 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 𝑥 , calcule 𝑓´´´ 𝑥
foi visto anteriormente que e 𝑓"(𝑥) = 6𝑥
Obs: f´´´(x) = 6 significa uma reta com inclinação 6. 
𝑓´ 𝑥 = 3𝑥2 − 1
𝑓´´´(𝑥) = lim
ℎ→0
6(𝑥 + ℎ) − 6𝑥
ℎ
= lim
ℎ→0
6𝑥 + 6ℎ − 6𝑥
ℎ
= lim
ℎ→0
6ℎ
ℎ
= 6
REGRAS DE DERIVAÇÃO
• para uma constante: 
𝑑
𝑑𝑥
C = 0
• para uma potência:
𝑑
𝑑𝑥
𝑥𝑛 = 𝑛𝑥𝑛−1
• para uma multiplicação por constante: 
𝑑
𝑑𝑥
Cf x = C
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥
• para uma adição ou subtração: 
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑓(𝑥) ±
𝑑
𝑑𝑥
𝑔 𝑥
• para um produto: 
𝑑
𝑑𝑥
𝑢𝑣 = 𝑢
𝑑𝑣
𝑑𝑥
+ 𝑣
𝑑𝑢
𝑑𝑥
• para um quociente: 
𝑑
𝑑𝑥
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
𝑔 𝑥 ∗𝑓´ 𝑥 −𝑓 𝑥 ∗𝑔´(𝑥)
𝑔(𝑥) 2
• para uma função exponencial natural: 
𝑑
𝑑𝑥
𝑒𝑥 = 𝑒𝑥
Exercícios:
1) faça derivações da função 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛, para 1 ≤ 𝑛 ≤ 4
2) obtenha a derivada da função
a) 𝑓 𝑥 = 𝑥
b) 𝑓 𝑥 =
3
𝑥2
c) 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑥
d) 𝑓 𝑥 = 3𝑥4
e) 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑒𝑥
f) 𝑓 𝑥 =(𝑥2+1)*(𝑥3+3)
g) 𝑓 𝑥 =
𝑥
𝑥−1
h) 𝑓 𝑥 =
3𝑥2+2 𝑥
𝑥
3) Encontre os pontos da curva 𝑦 = 𝑥4 − 6𝑥2 + 4 onde a tangente é horizontal.