Função Exponencial e Função Logarítmica

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Função Exponencial e Função Logarítmica - GABARITO 
 
1) (UERJ) Uma empresa acompanha a produção diária de um funcionário recém-admitido, utilizando uma 
função f(d), cujo valor corresponde ao número mínimo de peças que a 
empresa espera que ele produza em cada dia (d), a partir da data de sua 
admissão. Considere o gráfico auxiliar abaixo, que representa a função y = 
ex. 
Utilizando f(d) = 100-100.e-0,2d e o gráfico acima, a empresa pode prever que 
o funcionário alcançará a produção de 87 peças num mesmo dia, quando d 
for igual a: 
 
(A) 5 (B) 10 (C) 15 (D) 20 
 
Solução. De acordo com a função apresentada f(d) = 87. 
 
Substituindo na lei dessa função, temos: 
 
13,0e
100
13
e87100e.10087e.100100
87)d(f
e.100100)d(f
d2,0
d2,0d2,0d2,0
d2,0










. 
 
Observe no gráfico que o valor y = 0,13 é imagem de e-2. Substituindo o valor na igualdade 
encontrada, temos: 
10
2,0
2
d2d2,0ee
13,0e
13,0e 2d2,0
d2,0
2












. 
 
2) (UERJ) Na Tabela de Classificação Periódica, as fileiras horizontais correspondem aos períodos, e as 
colunas verticais, aos grupos ou famílias. Nos períodos, os elementos são dispostos em ordem crescente de 
seus números atômicos. Considere três elementos químicos cujos números atômicos são consecutivos, 
representados por x, y e z. Na equação 2x + 2y + 2z = 7×164, y é o número atômico de um elemento químico 
da família denominada: 
 
(A) alcalinos (B) halogênios (C) calcogênios (D) gases nobres 
 
Solução. Os números atômicos x, y e z são consecutivos. Logo podem se escritos como uma 
progressão aritmética de razão 1: (x, x + 1, x + 2). Substituindo na equação apresentada, temos: 
 
   
 
.171161xy,Logo
.16x2222162
7
16.7
2
16.77216.7²221216.7²2.22.2216.7222
16x44x4x
4
x
4x4x4xxx42x1xx


 
. 
 
A série química dos halogênios é o grupo 17 (7A) da tabela periódica dos elementos. 
 
3) (UERJ) Pelos programas de controle de tuberculose, sabe-se que o risco de infecção R depende do tempo 
t, em anos, do seguinte modo: R = R0.e-kt, em que R0 é o risco de infecção no início da contagem do tempo t 
e k é o coeficiente de declínio. O risco de infecção atual em Salvador foi estimado em 2%. 
Suponha que, com a implantação de um programa nesta cidade, fosse obtida uma redução no risco de 10% 
ao ano, isto é, k = 10%. Use a tabela para os cálculos 
necessários. O tempo, em anos, para que o risco de 
infecção se torne igual a 0,2%, é de: 
 
a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 
 
Solução. Substituindo os valores indicados, temos: 
t.1,00 e.02,0R
1,0%10k
02,0%2R






. 
 
Calculando o tempo para R = 0,2% = 0,002, temos: 
 
  23
1,0
3,2
t3,2t1,0eeee10e:Tabela
10e
10.2
10.2
ee.10.210.2e.02,0002,0
3,2t.1,013,2t.1,03,2
1t.1,0
2
3
t.1,0t.1,023t.1,0










. 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Tabela_peri%C3%B3dica
http://pt.wikipedia.org/wiki/Elemento_qu%C3%ADmico
 
 
 
4) (UFCE) Se a875log7  , então 245log35 é igual a: 
a) 
7a
2a

 b) 
5a
2a

 c) 
2a
5a

 d) 
2a
7a


 e) 
7a
5a


 
 
Solução. Aplicando a definição e as propriedades para logaritmos, encontramos as relações: 
 
 
 
2a
5a
2a
3
.
3
5a
245log
3
2a
3
5a
3
31a
3
61a
1
3
1a
2
3
1a
15log
25log
7log5log
7log25log
)7.5(log
²7.5log
35log
245log
245log
²7.5245
)ii
3
1a
5loga15log.3a7log³5loga7³.5log
a875log
7³.5875
)i
35
7
7
77
77
7
7
7
7
35
77777
7





































. 
 
5) (FUVEST) Se log8 = a, então log5 vale: 
a) 
3
a b) 1a5  c) 
3
a2 d) 
3
a
1 e) 
3
a
1 
 
Solução. Aplicando a definição e as propriedades para logaritmos, encontramos as relações: 
 
3
a
12log10log
2
10
log5log)ii;
3
a
2loga2log.3
a8log
2log.3³2log8log
)i 





. 
 
6) (UERJ) Admita que, em um determinado lago, a cada 40 cm de profundidade, a intensidade de luz é 
reduzida em 20%, de acordo com a equação 40
h
0 8,0.II  na qual I é a intensidade da luz em uma 
profundidade h, em centímetros, e Io é a intensidade na superfície. Um nadador verificou, ao mergulhar nesse 
lago, que a intensidade da luz, em um ponto P, é de 32% daquela observada na superfície. A profundidade 
do ponto P, em metros, considerando log2 = 0,3, equivale a: 
 
(A) 0,64 (B) 1,8 (C) 2,0 (D) 3,2 
 
Solução. A intensidade da luz será I = 0,32.I0 no ponto P. Substituindo esse valor na expressão, temos: 
 
 
m0,2cm200)5)(40(h5
1,0
5,0
19,0
25,1
1)3,0(3
23,05
10log2log
10log2log
10log8log
100log32log
40
h
10
8
log
100
32
log
8,0log
32,0log
32,0log
40
h
32,08,08,0.II.32,0
I.32,0I
8,0.II:PPonto
3
25
8,0
40
h
40
h
00
0
40
h
0























. 
 
7) (UERJ) Considere-se que uma população inicial cresce 3% ao ano, observados os dados log3 = 0,477 e 
log103 = 2,013 o número aproximado de anos que ela triplicará é: 
 
A) 37 B) 47 C) 57 D) 67 
 
Solução. Se a população P cresce 3% ao ano, então em t anos ela será de PFinal =P.(1 + 0,03)t. 
 
3769,36
13
477
013,0
477,0
2013,2
477,0
t
100log103log
477,0
100
103
log
3log
3logt)03,1(3)03,1(PP3
)03,01(PP
P3P
03,1
tt
t
Final
Final











. 
8) O volume de um líquido volátil diminui 4% a cada 10 minutos. O tempo necessário para que o volume se 
reduza à quarta parte é: (Se necessário use log2 = 03, e log3 = 0,48) 
 
(A) 4 horas (B) 5 horas (C) 6 horas (D) 8 horas (E)12 horas e 30 minutos. 
 
Solução1. Observando o volume V de 10 em 10 minutos, temos: 
 
 
 
a1 = V 
a2 = (após 10min) = V - 0,04V =0,96V = 96V/100 
a3 = (após 20min) = 0,96V – (0,04)(0,96V) = 0,96V.(0,96) = (0,96)².V 
 
Logo, é uma PG de razão q = 0,96. Procura-se an = V/4. 
 
Temos: 
31n30
02,0
6,0
248,05,1
6,0
248,0)3,0(5
6,0
23log2log
)3,0(20
1n
²10log96log
²2log1log
100
96
log
4
1
log
4
1
log1n
100
96
4
1
100
96
.V
4
V
100
96
q
Va
4
V
a
q.aa
5
100
96
1n1n
1
n
1n
1n












































. 
 
A PG inicia com a1 e termina com a31. Logo, há 30 intervalos de 10 minutos que equivalem a 
300minutos ou 5 horas. 
 
Solução 2. Considerando “t” o tempo total, haverá “n” intervalos de 10 minutos no qual o volume 
diminui 4% em cada intervalo. Isto é, t = 10n. Se o volume inicial vale V, a quarta parte do volume será 
V/4. Escrevendo essa relação, temos: 
 
horas5utosmin300)30(10n10t,Logo
30
02,0
6,0
248,05,1
6,0
248,0)3,0(5
6,0
23log2log
)3,0(20
n
²10log96log
²2log1log
100
96
log
4
1
log
4
1
logn)96,0(
4
1
)04,01(V
4
V
)04,01(VV
4
V
V
5
96,0
nn
n
Final
Final

























.