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Relações entre Tensões e Deformações MET 162 – Transformação Mecânica dos Metais Universidade Federal de Ouro Preto Escola de Minas Departamento de Engenharia Metalúrgica e de Materiais 1 2 Elasticidade Deformação elástica Deformações elásticas são deformações recuperáveis. Mecanismo: estiramento de ligações químicas. 3 Elasticidade Carregamento Uniaxial – Ensaio de Tração Em materiais metálicos, a deformação elástica é da ordem de 0,2%. 4 Elasticidade Relação tensão vs deformação no regime elástico Materiais metálicos → comportamento elástico linear F = k.Δx σ = E. ε Lei de Hooke 5 Elasticidade Módulo de elasticidade (Módulo de Young) • Medida de rigidez do material; • Depende da força de ligação entre os átomos do material; • Obtido pela inclinação da região linear da curva σ-ε. σ = E. ε [Pa] 6 Elasticidade Módulo de elasticidade (Módulo de Young) σ = E. ε ε σ σ ε Por que o módulo de elasticidade de materiais cerâmicos é tipicamente maior do que o de materiais metálicos? E = tan θ 7 Elasticidade Módulo de elasticidade (Módulo de Young) Valores típicos de E (GPa) Diamante Alumina Aço Alumínio Borracha 1000 390 200 70 0.01-01 8 Elasticidade Coeficiente de Poisson (ν) s1 s1 ε2 e ε3 de contração ε1 de tração ν = − 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒çã𝑜 𝑑𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 Se a direção de aplicação da tensão na barra é a direção x: ν = − 𝜀𝑦 𝜀𝑥 = − 𝜀𝑧 𝜀𝑥 Materiais metálicos: ν ≈ 0,3 𝜀2 = 𝜀3 = −ν𝜀1 9 Elasticidade Módulo de Cisalhamento • Medida de rigidez do material; • Depende da força de ligação entre os átomos do material; • Obtido pela inclinação da região linear da curva τ-γ. τ = G.γ [Pa] 10 Elasticidade Relação entre as constantes elásticas 𝐺 = 𝐸 ሻ2(1 + ν Materiais metálicos: G ≈ 3𝐸 8 11 Elasticidade Lei de Hooke Generalizada σ = E. ε Estado triaxial de tensões Deformações provocadas por σ𝟏: • 𝜀1 • 𝜀2 = 𝜀3 = −𝜈𝜀1 12 Elasticidade Lei de Hooke Generalizada σ = E. ε Estado triaxial de tensões 1 2 3 s s s Tensão aplicada Deformação provocada pela tensão nas direções E σ 3ν− E σ 2ν− E σ 1ν− E σ 1ν− E σ 2ν− E σ 3ν− E σ1 E σ2 E σ3 𝜺𝟐 = 𝜺𝟑 = −𝝂𝜺𝟏 13 Elasticidade Lei de Hooke Generalizada Estado triaxial de tensões 𝜺𝟏 = 𝟏 𝑬 𝝈𝟏 − ν 𝝈𝟐 + 𝝈𝟑 𝜺𝟐 = 𝟏 𝑬 𝝈𝟐 − ν 𝝈𝟏 + 𝝈𝟑 𝜺𝟑 = 𝟏 𝑬 𝝈𝟑 − ν 𝝈𝟏 + 𝝈𝟐 14 Elasticidade A deformação volumétrica na deformação elástica Fazendo 𝛆𝟏+ 𝛆𝟐+ 𝛆𝟑, temos: ( ) ++− =++ 3 σσσ E 2ν13 eee 321321𝛆𝟏+ 𝛆𝟐+ 𝛆𝟑 Componente hidrostática σH Deformação volumétrica Δ 15 Elasticidade A deformação volumétrica na deformação elástica Fazendo 𝜺𝟏+ 𝜺𝟐+ 𝜺𝟑, temos: ( ) Oσ E 2ν13 − = H 16 Elasticidade Lei de Hooke Generalizada s s s sH sH sH s−sH s−sH s−sH ESTADO DE TENSÕES GENÉRICO COMPONENTE HIDROSTÁTICA COMPONENTE DESVIADORA Responsável pela mudança de volume Responsável pela mudança de forma (deformação plástica) Exercícios 1) Duas barras são submetidas a F = 300kN, sofrendo o mesmo alongamento. As áreas de suas seções transversais são iguais. Qual parte da carga é suportada pelo Cu e qual pelo Al? (ECu= 110GPa; EAl = 70GPa) 2) Um corpo é carregado elasticamente com ε2=0 e σ3= 0; σ1 e σ2 finitos e diferentes de zero. Determinar ε3 = f(σ1). 17 18 Critérios de Escoamento Carregamento uniaxial: σeng eO 𝜎1 𝜎𝑦 19 Critérios de Escoamento Quando um estado complexo de tensões é aplicado em um material, quando ele começará a se deformar plasticamente? 20 Critérios de Escoamento Critérios de escoamento buscam relacionar as componentes principais de um estado complexo de tensões com a tensão limite de escoamento obtida em ensaios de tração (carregamento uniaxial) 21 Critérios de Escoamento Critério de Tresca – Tensão cisalhante crítica 𝝉𝒄𝒓𝒊𝒕𝒊𝒄𝒐 = 𝝈𝟏 − 𝝈𝟑 𝟐 ENSAIO DE TRAÇÃO: 𝝈𝟏 = 𝝈𝒚 ; 𝝈𝟐 = 𝝈𝟑 = 𝟎 ⇨ 𝝈𝒚 = 𝟐𝝉𝒄𝒓𝒊𝒕 22 Critérios de Escoamento Critério de von Misses – Energia de distorção crítica ENSAIO DE TRAÇÃO: 𝝈𝒄𝒓𝒊𝒕 = 𝟏 𝟐 𝝈𝟏− 𝝈𝟐 𝟐 + 𝝈𝟏− 𝝈𝟑 𝟐 + 𝝈𝟐− 𝝈𝟑 𝟐 𝝈𝟏 = 𝝈𝒚 ; 𝝈𝟐 = 𝝈𝟑 = 𝟎 ⇨ 𝝈𝒚 = 𝝈𝒄𝒓𝒊𝒕 Exercícios 3) Seja σy a tensão de escoamento à tração de um metal, qual σ1 devo aplicar a este metal para que ele escoe, de acordo com Tresca nos casos abaixo? E de acordo com von Mises? Compare as previsões dos dois critérios a) Tração pura (σ1 ≠ 0; σ2 = σ3 = 0) b) Torção (σ1 = - σ3; σ2 = 0) c) Tração biaxial simétrica (σ1 = σ2; σ3 = 0) d) Tração biaxial assimétrica (σ1 = 2σ2; σ3 = 0) e) Tração triaxial assimétrica (σ1 = 2σ2 = 2σ3) 23 Exercícios 4) Uma liga metálica com limite de escoamento igual a 300 MPa é submetida a diferentes estados de tensão como indicado abaixo: a) Compressão uniaxial: 𝝈𝟏= 𝝈𝟐= 0 e 𝝈𝟑= -280 MPa; b) Cisalhamento simples: 𝝈𝟏= 140 MPa, 𝝈𝟐= 0, 𝝈𝟑= -140 MPa; c) Tensão biaxial: 𝝈𝟏= 305 MPa, 𝝈𝟐= 290 MPa, 𝝈𝟑= 0. Indique se este material irá deformar plasticamente de acordo com os critérios de (i) Tresca e (ii) von Mises. 24 Exercícios 5) Um material isotrópico é carregado de modo que as tensões principais coincidam com os eixos x, y e z. Considere válido o critério de escoamento de Von Misses e determine a curva de escoamento de (σx,σy) para σz = 0. 6) Para um estado plano de tensão (σ3 = 0), qual é a maior razão possível de σ1/ σy no início do escoamento? Leve em conta o critério de Von Misses. σy é a tensão limite de escoamento do material. 25 Introdução à plasticidade 26 Deformações plásticas são deformações permanentes. Mecanismos: • Deslizamento de planos cristalinos; • Maclação; • Transformação de fases 27 Carregamento uniaxial: σeng eO 𝜎𝑦 Introdução à plasticidade Deformação plástica uniforme Formação da estricção Deformação plástica localizada 28 Curva tensão vs deformação verdadeira (σ-ε) No regime de deformação plástica, onde deformações altas são obtidas, a descrição da relação tensão vs deformação é mais bem descrita pelos valores verdadeiros, que levam em consideração as dimensões instantâneas do corpo deformado. Introdução à plasticidade Para análise de processos de conformação mecânica → curva σ-ε 29 Curva tensão vs deformação verdadeira (σ-ε) Ensaios mecânicos → avaliação das propriedades mecânicas do material → curva tensão vs deformação de engenharia (σeng – e). Para obtenção da curva verdadeira: Introdução à plasticidade Deformação verdadeira, ε: ε = ln(1 + 𝑒ሻ Tensão verdadeira, σ: σ = σ𝑒𝑛𝑔 (1 + 𝑒ሻ (Relações válidas somente até a estricção do corpo de prova) 30 Relação entre tensões e deformações no regime plástico – ensaio de tração Introdução à plasticidade 𝜎 𝜀 • HOLLOMON: 𝜎 = 𝐾𝜀𝑛 • LUDWIK: 𝜎 = 𝜎0 + 𝐾𝑙𝜀 𝑛𝑙 (Relações válidas somente até a estricção do corpo de prova) 31 Tensões efetivas Introdução à plasticidade 𝜎𝑒𝑓 𝜎1 𝜎2 𝜎3 A tensão efetiva é uma grandeza que substitui um estado complexo de tensões por uma grandeza com efeito equivalente, comparável ao estado de tração pura. 32 Tensões efetivas Introdução à plasticidade 𝜎𝑒𝑓 𝜎1 𝜎2 𝜎3 Estados de tensão equivalentes tem o mesmo valor de tensão efetiva 33 Tensão efetiva de von Mises A tensão efetiva pode ser calculada como: Para um estado geral: Introdução à plasticidade 𝝈𝒆𝒇 = 𝟏 𝟐 𝝈𝟏− 𝝈𝟐 𝟐 + 𝝈𝟏− 𝝈𝟑 𝟐 + 𝝈𝟐− 𝝈𝟑 𝟐 𝝈𝒆𝒇 = 34 Tensão efetiva de von Mises No ensaio de tração – deformação uniforme 𝝈𝟐= 𝝈𝟑= 𝟎 𝝈𝒆𝒇= 𝝈𝟏 Introdução à plasticidade 𝝈𝒆𝒇 = 𝟏 𝟐 𝝈𝟏− 𝝈𝟐 𝟐 + 𝝈𝟏− 𝝈𝟑 𝟐 + 𝝈𝟐− 𝝈𝟑 𝟐 35 Tensão efetiva de von Mises No ensaio de tração – após a estricção: Introdução à plasticidade σef = σ1 − σ3 𝝈𝟐= 𝝈𝟑 𝜎2 𝜎3 𝜎1 36 Deformação efetiva Introdução à plasticidade A deformação efetiva é uma grandeza que substitui um estadocomplexo de deformações por uma grandeza com efeito equivalente, comparável ao estado de tração pura. 37 Deformação efetiva de von Mises A deformação efetiva pode ser calculada como: Para um estado geral: Introdução à plasticidade 𝒅𝜺𝒆𝒇 = 𝟐 𝟑 𝒅𝜺𝟏 − 𝒅𝜺𝟐 𝟐 + 𝒅𝜺𝟏 − 𝒅𝜺𝟑 𝟐 + 𝒅𝜺𝟐 − 𝒅𝜺𝟑 𝟐 𝜺𝒆𝒇 = ර 𝜺𝒆𝒇 𝒊 𝜺𝒆𝒇 𝒇 𝒅𝜺𝒆𝒇 𝜺𝒆𝒇 38 Deformação efetiva de von Mises A deformação efetiva depende do caminho de deformação. Exercício: Um cilindro é alongado a frio por tração (ε1 0, ε2 = ε3 = -ε1/2) desde 8 mm de comprimento até 12 mm, e depois comprimido (ε1 0, ε2 = ε3 = -ε1/2) até o comprimento de 10 mm. Calcule a deformação efetiva considerando: (a) somente as dimensões iniciais e finais do cilindro (b) o caminho de deformação. Justifique as diferenças encontradas. Introdução à plasticidade 39 Deformação efetiva de von Mises No ensaio de tração: Introdução à plasticidade 𝒅𝜺𝒆𝒇 = 𝟐 𝟑 𝒅𝜺𝟏 − 𝒅𝜺𝟐 𝟐 + 𝒅𝜺𝟏 − 𝒅𝜺𝟑 𝟐 + 𝒅𝜺𝟐 − 𝒅𝜺𝟑 𝟐 𝑑𝜀1 = −2𝑑𝜀2 = −2𝑑𝜀3 𝒅𝜺𝒆𝒇 = 𝒅𝜺𝟏 ∴ 𝜺𝟏 = 𝜺𝒆𝒇 ∆ = 𝑑𝜀1 + 𝑑𝜀2 + 𝑑𝜀3 = 0 40 Tensões e deformações efetivas Introdução à plasticidade A curva σ-ε obtida através do ensaio de tração é uma curva 𝝈𝒆𝒇 - 𝜺𝒆𝒇, que caracteriza o material 41 Equações de fluxo As relações entre tensões e deformações no regime plástico são comumente denominadas equações de fluxo. Deformação elástica → Lei de Hooke Deformação plástica → Equações de Levi-Mises Introdução à plasticidade 42 Equações de Levi-Mises Introdução à plasticidade 𝑑𝜀𝑒𝑓 𝜎𝑒𝑓 𝑑𝜀𝑒𝑓 𝜎𝑒𝑓 𝑑𝜀𝑒𝑓 𝜎𝑒𝑓 Cálculo das deformações principais finais 𝜺𝟏, 𝜺𝟐, 𝜺𝟑 • Deformação elástica → deformação final depende somente do estado final de tensões. • Deformação plástica depende: oDo estado final de tensões; oDa sequência de estados de tensão seguida para se chegar ao estado final de tensões; oDa história termomecânica do material. 43 Introdução à plasticidade Cálculo das deformações principais finais 𝜺𝟏, 𝜺𝟐, 𝜺𝟑 44 Introdução à plasticidade DADOS INICIAIS • ε1, ε2, ε3 iniciais; • σ1, σ2, σ3 aplicadas (finais); • Curva σef x εef do material; • “Caminho” seguido pelas tensões, desde o estado inicial até o final. 𝝈𝒆𝒇 𝝈𝒆𝒇,𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 𝒅𝜺𝒆𝒇 𝜺𝒆𝒇 𝒅𝜺𝒆𝒇 Iteração 1 Iteração 2 45 Introdução à plasticidade ETAPAS DE CÁLCULO 1. Calcular σef aplicada a partir de σ1, σ2, σ3 aplicadas (tensão efetiva de von Mises) 2. Calcular εef inicial e obter εef final na etapa considerada a partir da curva de fluxo e calcular dεef (dεef = εef final - εef inicial) εef inicial → No primeiro passo de deformação, requer informações do estado inicial do material. Nos passos seguintes, é a deformação final do passo anterior. σef → Curva σef- εef do material – equação de Hollomon → εef final 3. Calcular dε1, dε2, dε3 (Equações de Levi-Mises) 4. Calcular ε1, ε2, ε3 finais: • ε1 final = ε1 inicial + dε1; • ε2 final = ε2 inicial + dε2; • ε3 final = ε3 inicial + dε3; 5. Reiniciar iteração até finalização da trajetória de deformação. Cálculo das deformações principais finais 𝜺𝟏, 𝜺𝟐, 𝜺𝟑 46 Introdução à plasticidade Exemplo Uma barra de cobre cuja equação de fluxo é dada 𝝈𝒆𝒇 = 𝟒𝟎𝟎𝜺𝒆𝒇 𝟎,𝟓 foi inicialmente submetida a um estado de tensões durante deformação a frio tal que 𝝈𝟏 = −𝟒𝝈𝟐 = −𝟒𝝈𝟑. Considerando que 𝝈𝟏 = 𝟏𝟎𝟎𝑴𝑷𝒂 qual o estado de deformação da barra após a aplicação destas tensões? DADOS INICIAIS • ε1, ε2, ε3 iniciais: • ε1,inicial = ε2,inicial = ε3,inicial = 0 • σ1, σ2, σ3 aplicados: • σ1,final= 100 MPa; σ2,final= σ3,final = -25 MPa • Curva σef x εef do material: • 𝜎𝑒𝑓 = 400𝜀𝑒𝑓 0,5 • “Caminho” seguido pelas tensões. • A relação 𝝈𝟏 = −𝟒𝝈𝟐 = −𝟒𝝈𝟑 é obedecida de 0 a 100 MPa. CALCULAR εef,final ; ε1,final ; ε2,final ; ε3,final 47 Introdução à plasticidade Exemplo 1. Calculo de σef aplicada: σef = 1 2 σ1− σ2 2 + σ1− σ3 2 + σ2− σ3 2 𝝈𝒆𝒇,𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 = 𝟏𝟐𝟓𝑴𝑷𝒂 2. Calculo de εef inicial, εef final e dεef: ε𝒆𝒇,𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 = 𝟏𝟐𝟓 𝟒𝟎𝟎 𝟐 ≈ 𝟎, 𝟏σef = 400εef 0,5 𝜀𝒆𝒇,𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = 𝟎 dε𝒆𝒇 ≈ 𝟎, 𝟏 48 Introdução à plasticidade Exemplo 3. Calculo de dε1, dε2, dε3: 4. Calcular ε1, ε2, ε3 finais: dε1 = dεef σef σ1 − 1 2 σ2 + σ3 dε2 = dεef σef σ2 − 1 2 σ1 + σ3 dε3 = dεef σef σ3 − 1 2 σ1 + σ2 ቐ ε1,final = ε1,inicial + dε1 = 0 + 0,10 = 0,10 ε2,final = ε2,inicial + dε2 = 0 − 0,05 = −0,05 ε3,final = ε3,inicial + dε3 = 0 − 0,05 = −0,05 dε1 = 0,1 125 100 − 1 2 −50 = 0,1 dε2 = dε3 e dε1 + dε2 + dε3 = 0 dε2 = dε3 = −0,05
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