Aula 4 - Modelo de filas

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Simulação da Produção e Teoria das �las
Aula 4: Modelo de �las
Apresentação
Certos modelos de �las não se comportam de acordo com o tradicional modelo M/M/1. Por isso, identi�caremos outros
tipos, destacando as principais ferramentas matemáticas de análise para esses novos casos.
Conheceremos, assim, dois modelos markovianos (M/M/c e M/M/1/k) e um determinístico (D/D/1/k). Também
aprenderemos, com base em M/M/1, as técnicas matemáticas de análise de sistemas de �las sequenciais. Dessa forma,
avançaremos em nossos conhecimentos sobre a teoria das �las.
Objetivos
Identi�car as principais métricas de desempenho dos modelos M/M/c, M/M/1/k e D/D/1/k;
Arrolar técnicas matemáticas de análise de sistemas de �las sequenciais;
Aplicar conceitos dos modelos de �las na resolução de situações-problema.
Modelos de �las markovianos
Sistemas de �las com um servidor (modelo de �la M/M/1/k)
O modelo M/M/1/k é bastante representativo em sistemas de �las no mundo real. Suas métricas de desempenho são
descritas por expressões muito simples, dependendo, basicamente, das taxas de chegada de elementos (λ) e de
atendimento/serviço na �la (µ).
Essas duas expressões seguem o modelo M (markoviano) de acordo com, respectivamente, a distribuição de Poisson ou a
exponencial negativa. Conforme aponta a notação de Kendall, existe apenas um canal de atendimento. Sua diferença reside no
fato de que o sistema (postos de atendimento/serviço mais a �la de espera por ele) é �nita e limitada a k elementos.
Exemplo
Considere k = 10. Isso signi�ca que o sistema possui capacidade máxima para 10 elementos (1 em atendimento e 9 em �la de
espera). Caso o sistema esteja cheio (ou seja, tendo os 10 elementos) e chegue mais um, ele será descartado, não sendo
atendido.
Na �gura a seguir, vemos um caso com k = 5 em que há um elemento em atendimento e quatro em espera. Dessa forma, o que
está mais à esquerda foi descartado, já que o sistema está cheio.
 Figura: Representação do modelo de fila M/M/1/k.
Vejamos a seguir as equações das principais métricas de desempenho deste modelo:
Clique nos botões para ver as informações.
Desta expressão, temos que a probabilidade de o sistema estar vazio é:
enquanto P(n) = 0 para n > k.
Probabilidade de haver n clientes no sistema 
No sistema (NS):
Em atendimento (NA): 1 – P(0);
Na �la: NF = NS – NA.
Quantidade média de clientes 
No sistema (TS):
Na �la (TF):
Tempo médio de clientes 
Dica
A taxa dos que que permanecem no sistema é λ(1−𝑃(𝑘)) mesmo com a taxa de chegada deles sendo igual a λ, haja vista o
descarte de clientes quando o sistema está cheio.
Atividade
1. Uma barbearia tem um barbeiro e um total de 10 cadeiras. O intervalo de tempo da chegada de clientes ao local é, em média,
de 20 por hora. Aqueles que encontram a barbearia cheia não entram. Os barbeiros levam, em média, 12 minutos para cortar o
cabelo de cada um. Os tempos gastos nos cortes de cabelo são distribuídos exponencialmente. Responda:
1 - Na média, qual é a taxa dos clientes que não serão efetivamente atendidos (�cando à espera)?
2 - Na média, quanto tempo cada cliente gasta na barbearia?
Sistemas de �las com mais de
um servidor (�las M/M/c)
Aqui, c representa a quantidade de canais de atendimento
do sistema.
Na �gura a seguir, temos um sistema de �la única e três
servidores de atendimento (ou seja, c é igual a 3):
 Figura: Modelo de fila M/M/c.
Vejamos as equações das principais métricas de desempenho deste modelo:
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Taxa de ocupação do sistema 
ρ =
λ
c. μ
para n = 1, 2, …, c.
Para tal, considere:
Segundo a expressão, a probabilidade de o sistema estar vazio é
enquanto P(n) = 0 para n > k.
Probabilidade de haver n clientes no sistema 
P(n) =
(cρ P(0))n
n!
P(0) =
1
[ + ]∑i=c−1i=0
(cρ)
i
i!
(cρ)
c
c!(1−ρ)
P(n ≥ c) =
(cρ . P(0))c
c!(1 − ρ)
P(0) =
1 − ρ
1 − ρk+1
Na �la:
No sistema:
Quantidade média de clientes 
NF = ;
P(n ≥ c)ρ
1 − ρ
NS = NF + NA = NF +
λ
μ
No sistema (TS):
Na �la (TF):
Em atendimento (TA):
Tempo médio de clientes 
NS
λ
NF
λ
1
μ
2. Considere um banco com dois caixas para o atendimento de clientes. Uma média de 80 pessoas chega ao banco a cada hora,
esperando em uma �la única para serem atendidos. O tempo médio de atendimento por cliente é de 1,2 minutos. Assuma que o
intervalo de tempo entre as chegadas de clientes e o tempo de atendimento é exponencial. Sendo assim, determine:
1 - O número esperado de clientes no banco.
2 - O tempo que cada cliente gasta nele.
Atenção
Lembre-se de que nem todos os modelos de �las apresentam entradas ou atendimentos que obedecem a funções de distribuição
de probabilidade do tipo exponencial ou de Poisson.
Modelos de �las com processos determinísticos
Apresentação
Apresentaremos um modelo determinístico D/D/1/k, que é um sistema de capacidade �nita no qual os tempos entre as
chegadas sucessivas e os intervalos entre os atendimentos são constantes.
Consideraremos os seguintes dados:
1
Intervalo entre as chegadas:
;
1
λ
2
Intervalo entre os atendimentos:
;
1
μ
3
Quantidade de servidores:
1.
4
Capacidade do sistema:
k;
Além disso, analisaremos a relação entre λ e µ. Caso λ ≤ µ, não existirá uma formação de �la; no entanto, se ocorrer o contrário,
o cenário será de crescimento dela. Dessa forma, existe uma necessidade de limitação do sistema a k elementos para que
uma �la não cresça de modo ilimitado.
Medidas de desempenho
Considerando 𝑡 como o instante de tempo em que acontece a primeira rejeição de clientes no sistema em função do estouro
de sua capacidade, temos as seguintes medidas de desempenho:
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0
∗
Caso exista um valor inteiro positivo m tal que 1/μ = 𝑚.1/λ, temos:
Caso isso não seja atendido, a quantidade média de clientes no sistema é tal que:
Quantidade média de clientes no sistema 
Caso exista um valor inteiro positivo m tal que 1/𝜇 = 𝑚.1/𝜆, temos:
Caso isso não seja atendido, o tempo de espera do n-ésimo cliente na �la é tal que
Sabemos que 𝜆.𝑡 é a ordem do primeiro usuário rejeitado em função da limitação da capacidade do sistema.
Tempo de espera do n-ésimo cliente na �la 
0
∗
Exemplo
Analisemos o sistema D/D/1/6, considerando 1/𝜇 = 3 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 e 1/𝜆 = 6 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠.
Neste caso, temos m = 2, gerando a seguinte equação:
O sistema cheio tem sete clientes. Empiricamente, vemos que:
𝑡 = 36 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠;
𝜆.𝑡 = 12 (representa a ordem do primeiro usuário rejeitado).;
0
∗
0
∗
Sistemas de �las sequenciais
Em sistemas de �las com estabilidade, o �uxo que entra é igual ao que sai. Dessa maneira, mesmo que o sistema se divida em
várias seções, o �uxo de entrada será mantido nas diversas seções. Na �gura a seguir, temos três �las (A, B e C) dispostas
sequencialmente:
 Figura: Manutenção do fluxo em um sistema de filas sequenciais | Fonte: SUCENA, 2019
O raciocínio se mantém em sistemas dispostos em outros
arranjos, como a junção de �uxos representada a seguir.
Esta junção equivale às somas dos �uxos individuais, de
sorte que λ =λ +λ :3 1 2
 Figura: Junção de fluxos em um sistema de filas | Fonte: SUCENA, 2019
Já em casos de desdobramento de �uxos, ele também irá
se desdobrar aritmeticamente:
 Figura: Desdobramento de fluxos em um sistema de filas | Fonte: SUCENA, 2019
3. Um centro de distribuição (CD) tem a capacidade de receber, no máximo, 40 caminhões. Além disso, só é possível atender um
veículo de cada vez. As taxas de chegada e de atendimento do CD seguem uma distribuição markoviana. Em média, dez
caminhões são atendidos por hora, embora eles cheguem ao CD a cada 10 minutos. Determine a probabilidade de o local estar
em atendimento.
a) 0,3
b) 0,4
c) 0,5
d) 0,6
e) 0,2
4. Um centro de distribuição (CD) tem a capacidade de receber, no máximo, 40 caminhões. Além disso, só é possível atender um
veículo de cada vez. As taxas de chegada e de atendimento do CD seguem uma distribuição markoviana. Em média, dez
caminhões são atendidospor hora, embora eles cheguem ao CD a cada 10 minutos. Aponte o tempo de espera no local:
a) 0,15 h
b) 0,25 h
c) 0,1 h
d) 0,2 h
e) 0,3 h
5. Um pátio ferroviário tem capacidade para receber, no máximo, 30 vagões de minério sem in�uenciar o tráfego. Sabe-se que só
existe um virador de vagão para descarregar a carga. As taxas de chegada deles e de atendimento seguem, respectivamente, a
distribuição de Poisson e a exponencial. Um vagão é virado a cada 10 minutos, embora chegue ao pátio um deles a cada 15
minutos. Indique a probabilidade de não existir vagão no pátio:
a) 30%
b) 32%
c) 34%
d) 36%
e) 38%
Notas
Título modal 1
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Referências
SUCENA, M. Teoria das �las ( ). Disponível em:
//www.sucena.eng.br/eng_producao/UNESA_TEORIA_DAS_FILAS_2013_1.pdf. Acesso em: 11 nov. 2019.
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