Livro de ANALISE MATEMATICA - UNICESUMAR

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ANÁLISE 
MATEMÁTICA 
PROFESSORES
Dra. Denise Trevisoli Destch
Dra. Irene Magalhães Craveiro
Dra. Lilian Akemi Kato
Dr. Rodrigo André Schulz
Dra. Simone Francisco Ruiz
ACESSE AQUI 
O SEU LIVRO 
NA VERSÃO 
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https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/2333
EXPEDIENTE
C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ. 
Núcleo de Educação a Distância. DESTCH, Denise Trevisoli; 
CRAVEIRO, Irene Magalhães; KATO, Lilian Akemi; SCHULZ, 
Rodrigo André; RUIZ, Simone Francisco.
Análise Matemática. 
Denise Trevisoli Destch, Irene Magalhães Craveiro, Lilian Akemi 
Kato, Rodrigo André Schulz, Simone Francisco Ruiz.
Maringá - PR.: UniCesumar, 2020. 
226 p.
“Graduação - EaD”. 
1. Análise 2. Matemática 3. Cálculo Diferencial. EaD. I. Título. 
FICHA CATALOGRÁFICA
NEAD - Núcleo de Educação a Distância
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de Materiais Nádila Toledo Supervisão Operacional de Ensino Luiz Arthur Sanglard
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Matos Silva Filho Pró-Reitor Executivo de EAD William Victor Kendrick de Matos Silva Pró-Reitor de Ensino de 
EAD Janes Fidélis Tomelin Presidente da Mantenedora Cláudio Ferdinandi
DIREÇÃO UNICESUMAR
BOAS-VINDAS
Neste mundo globalizado e dinâmico, nós tra-
balhamos com princípios éticos e profissiona-
lismo, não somente para oferecer educação de 
qualidade, como, acima de tudo, gerar a con-
versão integral das pessoas ao conhecimento. 
Baseamo-nos em 4 pilares: intelectual, profis-
sional, emocional e espiritual.
Assim, iniciamos a Unicesumar em 1990, com 
dois cursos de graduação e 180 alunos. Hoje, 
temos mais de 100 mil estudantes espalhados 
em todo o Brasil, nos quatro campi presenciais 
(Maringá, Londrina, Curitiba e Ponta Grossa) e 
em mais de 500 polos de educação a distância 
espalhados por todos os estados do Brasil e, 
também, no exterior, com dezenas de cursos 
de graduação e pós-graduação. Por ano, pro-
duzimos e revisamos 500 livros e distribuímos 
mais de 500 mil exemplares. Somos reconhe-
cidos pelo MEC como uma instituição de exce-
lência, com IGC 4 por sete anos consecutivos 
e estamos entre os 10 maiores grupos educa-
cionais do Brasil.
A rapidez do mundo moderno exige dos edu-
cadores soluções inteligentes para as neces-
sidades de todos. Para continuar relevante, a 
instituição de educação precisa ter, pelo menos, 
três virtudes: inovação, coragem e compromis-
so com a qualidade. Por isso, desenvolvemos, 
para os cursos de Engenharia, metodologias ati-
vas, as quais visam reunir o melhor do ensino 
presencial e a distância.
Reitor 
Wilson de Matos Silva
Tudo isso para honrarmos a nossa mis-
são, que é promover a educação de qua-
lidade nas diferentes áreas do conheci-
mento, formando profissionais cidadãos 
que contribuam para o desenvolvimento 
de uma sociedade justa e solidária.
P R O F I S S I O N A LT R A J E T Ó R I A
Dra. Denise Trevisoli Destch
Doutorado em Matemática Aplicada pela Universidade Estadual de Campinas (2016). 
Mestrado em Matemática Aplicada pela Universidade Estadual de Campinas (2011). 
Graduação em Matemática pela Universidade Estadual de Campinas (2004). Atual-
mente, é professora adjunta da Universidade Federal do Paraná - Setor Palotina. 
http://lattes.cnpq.br/0550447189661842
Dra. Irene Magalhães Craveiro
Pós-doutorado pela Universidade Estadual de Campinas (2015). Doutorado em Ma-
temática pela Universidade Estadual de Campinas (2004). Mestrado em Matemática 
pela Universidade Estadual de São Paulo (1999). Graduação em Matemática pela 
Universidade Federal do Mato Grosso do Sul (1996). Atualmente, é professora da 
Universidade Federal da Grande Dourados.
http://lattes.cnpq.br/3816000897725516
Dra. Lilian Akemi Kato
Doutorado em Matemática Aplicada pela Universidade Estadual de Campinas (2004). 
Mestrado em Matemática pela Universidade de São Paulo (1996). Graduação em 
Matemática pela Universidade Estadual de Maringá (1992). Atualmente, é professora 
do Departamento de Matemática da Universidade Estadual de Maringá.
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P R O F I S S I O N A LT R A J E T Ó R I A
Dr. Rodrigo André Schulz
Doutorado em Matemática pela Universidade Estadual de Maringá (2014). Mestra-
do em Matemática pela Universidade Estadual de Maringá (2008). Graduação em 
Matemática pela Universidade Estadual do Oeste do Paraná (2005). Atualmente, é 
professor adjunto da Universidade Federal do Paraná - Setor Palotina.
http://lattes.cnpq.br/3138448810046000
Dra. Simone Francisco Ruiz
Doutorado em Matemática Pura pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul 
(2017). Mestrado em Matemática Pura pela Universidade Estadual de Maringá (2013). 
Graduação em Matemática pela Universidade Estadual de Maringá (2010). Atualmen-
te, é professora adjunta da Universidade Federal do Paraná - Setor Palotina. 
http://lattes.cnpq.br/3454520003811932 
D A D I S C I P L I N AA P R E S E N TA Ç Ã O
ANÁLISE MATEMÁTICA
Seja bem-vindo(a)!
Prezado(a) acadêmico(a), é com muita satisfação que elaboramos este livro. Ele apresenta os 
conceitos básicos da Análise Matemática unidimensional, a partir dos temas estudados em 
Cálculo Diferencial, em uma variável real.
Nossa principal preocupação, inicialmente, foi descrever, cuidadosamente, os conceitos, teo-
remas e propriedades de cada um dos conteúdos propostos, com as devidas demonstrações 
e justificativas, a fim de que você possa desenvolver as habilidades técnicas de demonstração, 
utilizadas na Matemática.
Esta abordagem lógico-formal bem como a habilidade no trato com as definições, as proposi-
ções e as demonstrações são fundamentais ao futuro professor de Matemática, pois constituem 
o alicerce lógico fundamental de toda Matemática.
Desse modo, na Unidade 1, exploraremos a representação de conjuntos e funções, utilizada, 
sistematicamente, nos próximos tópicos.
Na Unidade 2, apresentaremos as propriedades do corpo ordenado completo dos números 
reais, os conceitos de sequências, o limite de uma sequência e suas propriedades, a definição 
de série numérica e os conceitos de convergência e divergência.
Nas outras unidades, discutiremos o limite, a continuidade e a diferenciabilidade e integrabi-
lidade de funções reais de uma variável real. O estudo dessas unidades requer uma revisão 
desses temas, já vistos na disciplina de Cálculo Diferencial, o que facilitará a compreensão dos 
resultados apresentados. Recomendamos, portanto, que você tenha seu livro de Cálculo em 
mãos para consulta de exemplos e exercícios.
Para melhor aproveitamento deste material, orientamos que a leitura do livro seja bastante 
minuciosa, com atenção aos passos indicados nas demonstrações e resoluções de exercícios. 
Se preciso, leia várias vezes cada resultado apresentado, redigindo, com suas palavras, as de-
monstrações apresentadas, abstraindo a essência de cada teorema. É importante, também, 
que você tire suas dúvidas com os professores mediadores, até sentir-se confiante para fazer 
os exercícios indicados e, então, seguir para a aula seguinte.Para todos os acadêmicos, desejamos um ótimo estudo, com muita garra, dedicação e, conse-
quentemente, muito sucesso.
ÍCONES
Sabe aquela palavra ou aquele termo que você não conhece? Este ele-
mento ajudará você a conceituá-la(o) melhor da maneira mais simples.
conceituando
No fim da unidade, o tema em estudo aparecerá de forma resumida 
para ajudar você a fixar e a memorizar melhor os conceitos aprendidos. 
quadro-resumo
Neste elemento, você fará uma pausa para conhecer um pouco 
mais sobre o assunto em estudo e aprenderá novos conceitos. 
explorando ideias
Ao longo do livro, você será convidado(a) a refletir, questionar e 
transformar. Aproveite este momento! 
pensando juntos
Enquanto estuda, você encontrará conteúdos relevantes 
online e aprenderá de maneira interativa usando a tecno-
logia a seu favor. 
conecte-se
Quando identificar o ícone de QR-CODE, utilize o aplicativo Unicesumar 
Experience para ter acesso aos conteúdos online. O download do aplicativo 
está disponível nas plataformas: Google Play App Store
CONTEÚDO
PROGRAMÁTICO
UNIDADE 01 UNIDADE 02
UNIDADE 03
UNIDADE 05
UNIDADE 04
FECHAMENTO
NOÇÕES 
PRELIMINARES
10
NÚMEROS REAIS, 
SEQUÊNCIAS E SÉRIES
58
112
LIMITE E 
CONTINUIDADE
150
DERIVADAS
185
INTEGRAIS
218
CONCLUSÃO GERAL
1
NOÇÕES
PRELIMINARES
PLANO DE ESTUDO 
A seguir, apresentam-se as aulas que você estudará nesta unidade: • Conjuntos • Par ordenado e 
Produto cartesiano • Funções • Números inteiros • Números racionais • Conjuntos finitos, infinitos e 
enumeráveis.
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM 
Desenvolver habilidades para trabalhar com a linguagem da teoria de conjuntos • Compreender o 
conceito de produto cartesiano como um conjunto de pares ordenados • Introduzir a noção de funções 
e suas propriedades básicas • Apresentar o conjunto dos números inteiros e desenvolver habilidades 
para aplicar os Princípios da Boa Ordem e de Indução • Apresentar o conjunto dos números racionais 
• Definir e identificar conjuntos finitos, infinitos e numeráveis.
PROFESSORES 
Dra. Denise Trevisoli Destch
Dra. Irene Magalhães Craveiro
Dra. Lilian Akemi Kato
Dr. Rodrigo André Schulz
Dra. Simone Francisco Ruiz
INTRODUÇÃO
Prezado(a) aluno(a), você poderá consultar alguns dicionários de Lín-
gua Portuguesa e se deparar com o sinônimo da palavra conjunto: cole-
ção, reunião de objetos de mesma natureza, aglomeração, classe, sistema, 
lista ou agrupamento. Neste caso, substituiu-se, apenas, uma palavra por 
outra, sem definir o que quer que seja. Para definir um conceito mate-
mático, temos que justificá-lo por meio de outros conceitos conhecidos. 
Podemos definir um número par, por exemplo, da seguinte forma: um 
número inteiro múltiplo de dois. Nesta definição, utilizamos dois con-
ceitos conhecidos: número inteiro e múltiplo de dois.
Com este exemplo, ilustramos que, para estabelecer um conceito 
matemático, precisamos de outro preestabelecido; para esse conceito 
anterior, precisamos, ainda, de outro anterior. Dessa forma, é preciso 
estabelecer o primeiro de todos os conceitos, que não é baseado por 
conceitos anteriores e não pode ser definido. Como o estudo de um 
conteúdo matemático parte de algumas premissas, temos que adotar, 
sem definir, os primeiros conceitos, chamados de ideias primitivas ou 
entes primitivos. 
Na teoria dos conjuntos, três noções são adotadas sem definição, ou 
seja, são consideradas ideias primitivas: conjunto, elemento e pertinên-
cia entre elemento e conjunto. 
Nesta unidade, introduziremos a noção de conjuntos, estes nos for-
necem a linguagem para o tratamento de funções e de outros conceitos 
matemáticos, que abordaremos nas unidades posteriores. Definiremos 
a relação de inclusão e as seguintes operações entre conjuntos: inter-
seção, união e diferença. Também estabeleceremos o complementar de 
um conjunto, aplicações, imagem direta e imagem inversa de conjunto. 
Apresentaremos, na sequência, os conjuntos dos números inteiros e dos 
racionais, juntamente com suas propriedades, e perceberemos que, para 
definir conjuntos finitos, podemos usar uma aplicação bijetora entre 
conjuntos, pois, se um conjunto é infinito, então, ele admite uma bijeção 
com o conjunto numérico dos inteiros positivos. Também apresenta-
remos a definição de par ordenado, produto cartesiano e funções de 
maneira mais formal. Posteriormente, definiremos o que é uma Boa Or-
denação, o Princípio de Indução e definiremosconjuntos enumeráveis.
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1 CONJUNTOS
De maneira geral, podemos pensar o conjunto como um agrupamento de objetos 
que satisfazem uma mesma propriedade. A partir de 1874, Georg Cantor (1845-
1918) ficou famoso por provocar uma revolução na Matemática, ao desenvolver a 
Teoria dos Conjuntos. Na teoria matemática, estabelecida por Cantor (1874), “con-
junto” significa uma coleção de objetos dentro de um todo, ou seja, um conjun-
to é formado por objetos, chamados elementos. O conjunto de apartamentos, por 
exemplo, em determinado prédio ou condomínio, os elementos em questão são: 
apartamentos nesse condomínio. Outro exemplo seria o conjunto formado por salas 
de aula, em determinado bloco da faculdade. Ainda, se olharmos para cada sala de 
aula desse bloco, podemos considerar o conjunto das carteiras dentro dessa sala.
A relação entre um objeto e um conjunto é a relação de pertinência. Quando 
um elemento x é um dos elementos de um conjunto A , dizemos que x pertence 
a A e denotamos por x A∈ , caso contrário, dizemos que x não pertence a A 
e denotamos por x A∉ .
Uma característica da Matemática é o uso de notações para expressar ideias 
e conceitos. É muito importante para o seu desenvolvimento matemático apri-
morar a capacidade de compreender e de se expressar usando esses símbolos. 
No parágrafo anterior, apresentamos os símbolos da relação de pertinência. Na 
sequência, descreveremos outras notações que serão utilizadas com frequência.
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Definição 1.1: sejam A e B conjuntos. Dizemos que A é parte de B ou A 
está contido em B ou, ainda, B contém A e denotamos por A B⊂ , se todo 
elemento de A é elemento de B . Ou seja,
A B x x A x B� � � � � �( )( ).
Neste caso, dizemos que A é um subconjunto de B .
Definição 1.2: sejam A e B conjuntos, dizemos que A é igual a B , e indicamos 
por A B= se, e somente se, A B⊂ e B A⊂ .
A negação de A B⊂ , ou seja, A não é subconjunto de B , que indicamos 
por A B�� , equivale dizer que existe, pelo menos, um elemento de A que não 
pertence a B . Se A B⊂ e A B≠ , denotamos por A B , e dizemos que A é 
um subconjunto próprio de B .
Muitos conjuntos não são definidos por meio da enumeração de cada um 
dos seus elementos. Uma maneira usual de definir conjunto é por meio de uma 
propriedade P . Por exemplo, se X é um conjunto formado por brasileiros, a 
propriedade P descreve se um cidadão em questão é brasileiro: se x é brasileiro, 
então, x satisfaz a propriedade P e vice-versa, se x satisfaz a propriedade P , 
então, x é brasileiro. Denotamos por 
X x x P�� � satisfaz ; .
Se definirmos um conjunto E como o conjunto dos habitantes da Terra, então, 
podemos escrever X como X x E x P� �� �; . satisfaz O conjunto E é cha-
mado conjunto fundamental. 
Às vezes, nenhum elemento de um certo conjunto fundamental E satisfaz 
determinada propriedade P . Nesse caso, temos um conjunto sem elementos. O 
conjunto que não possui elemento algum chamamos conjunto vazio e denotamos 
por ∅ .
Proposição 1.1: o conjunto vazio é um subconjunto de qualquer conjunto.
Demonstração: se A é um conjunto qualquer, então, temos duas possibili-
dades: �� A ou � �� A. Caso � �� A , então, existe um x��, tal que x A∉
, o que não é possível, pois, por definição, o conjunto ∅ não possui elemento 
algum. Portanto, �� A. 
Proposição 1.2: sejam A , B e C conjuntos. Se A B⊂ e B C⊂ , então, 
A C⊂ .
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Demonstração: demonstraremos que, para todo x A∈ , temos que x C∈ . Se 
x A∈ , então, x B∈ ,pois A B⊂ . Como B C⊂ , então, x C∈ . Portanto, mostra-
mos que A C⊂ . 

Dado um conjunto A , a coleção de todos os subconjuntos de A , indicada por ( ),A 
é chamada de conjunto das partes de A . Usamos a notação ( ) ; .A X X A� �� � 
Temos que ( )A nunca é vazio, pois ��( )A e A A∈( ).
 A seguir, temos um exemplo de construção dos conjuntos das partes. 
Exemplo 1.1: sejam A a�� �0 1, , e B x y x x y�� �, ,{ },{ , } . Determine as 
partes de A, ( )A e as partes de B , ( ).B
Temos que:
( ) , ,{ },{ },{ },{ , },{ , },{ , } .A A a a a� �� �0 1 0 1 0 1
( ) { , ,{ },{ },{{ }},{{ , }},{ , },{ ,{ }},{ ,{ , }},{B B x y x x y x y x x x x y y� � ,,{ }},{ ,{ , }},
{{ },{ , }},{ , ,{ }},{ , ,{ , }},{ ,{ },
x y x y
x x y x y x x y x y x x {{ , }},{{ },{ , }, }}.x y x x y y
Observe: { x } e { x y, } são elementos do conjunto B .
Os diagramas de Venn são, também, utilizados para representar relações entre conjuntos. 
Esses diagramas foram criados pelo matemático inglês John Venn e facilitam a visuali-
zação das relações de união e interseção entre conjuntos. Esses diagramas podem ser 
bastante úteis para resolver problemas envolvendo organização de dados. No link dispo-
nível a seguir, você encontrará alguns exemplos de problemas, extraídos de vestibulares e 
concursos, que podem ser resolvidos usando os diagramas de Venn.Acesse: https://blog.
professorferretto.com.br/subconjuntos-e-conjunto-das-partes/ 
Fonte: os autores.
explorando Ideias
Operações entre conjuntos
Dada uma coleção de conjuntos qualquer, admitiremos a existência de um con-
junto cujos elementos pertencem a, pelo menos, um dos conjuntos dessa coleção. 
Esse conjunto é chamado união dos conjuntos da coleção. Em particular, quando 
esta coleção tem apenas dois conjuntos, definimos da seguinte maneira:
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Definição 1.3: sejam A e B conjuntos. Cha-
mamos a união de A e B , e indicamos por A B∪ 
o conjunto formado pelos elementos que perten-
cem a A ou a B . Em símbolos,
A B x x A x B� � � �� �; . ou 
Observe que a união de dois conjuntos é um novo conjun-
to cujos elementos são aqueles que pertencem a, pelo menos, 
um dos conjuntos.
Segue, diretamente, da definição da operação de união entre conjuntos:
Propriedades da união: sejam A , B e C conjuntos. Temos que:
i. A A�� � ;
ii. A A A� � ;
iii. A A B� �( ) e B A B� �( );
iv. A B B A� � � ;
v. ( ) ( ).A B C A B C� � � � �
Definição 1.4: sejam A e B conjuntos. Chamamos a interseção de A e B , e 
indicamos, por A B∩ , o conjunto formado pelos elementos que pertencem a 
A e a B . Ou seja, 
A B x x A x B� � � �� �; . e 
No caso particular em que A B� ��, dizemos que os conjuntos A e B são 
disjuntos.
Observe que a interseção de dois conjuntos é um novo conjunto formado 
apenas pelos elementos que pertencem aos dois conjuntos.
Consideremos os conjuntos A m n o p={ , , , } e B q r s={ , , } , formados por 
letras do alfabeto. Observamos que A B� �� e, portanto, A e B são disjuntos. 
Por outro lado, se considerarmos o conjunto C m p a b c d={ , , , , , }, temos que 
A C m p� �{ , }, e, neste caso, A e C não são conjuntos disjuntos.
Segue, diretamente da definição da operação de interseção entre conjuntos, 
os seguintes resultados:
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Propriedades da interseção: sejam A , B e C conjuntos. Temos que:
i. A�� ��;
ii. A A A� � ;
iii. A B A� � e A B B� � ;
iv. A B B A� � � ;
v. ( ) ( ).A B C A B C� � � � �
Definição 1.5: sejam A e B conjuntos. A diferença de um conjunto A em 
relação ao conjunto B , que indicamos por A B− , é o conjunto formado pelos 
elementos que pertencem a A e não pertencem a B . Ou seja,
A B x x A x B� � � �� �; . e 
Consideremos os conjuntos A m n o p={ , , , } e B m p q r s a b c d={ , , , , , , , , } , for-
mados por letras do alfabeto. Observamos que A B o n� �{ , }.
Quando B A⊂ , chamamos a diferença do conjunto A em relação ao con-
junto B de complementar de B em A e indicamos por A B( ).
Segue, diretamente da definição da operação de diferença entre conjuntos:
Propriedades da diferença: sejam A e B conjuntos. Temos que;
i. A A�� � .
ii. A A� �� .
iii. Se A B� �� , então, A B A� � e B A B� � ;
iv. A A( ) ;� �
v. A A( ) .��
Exemplo 1.2: verifique se a afirmação é falsa ou verdadeira: sejam A , B e C 
conjuntos quaisquer. Se A C A B� � � , então, B C= . 
A afirmação é falsa. Vejamos o seguinte contraexemplo: considere os con-
juntos A a b c={ , , } , B c d={ , } e C a c d={ , , }. Neste caso, 
A B a b c d A C� � � �{ , , , } , mas B C≠ .
Provamos, por meio de um contraexemplo, que a afirmação dada no Exemplo 1.2 não 
é verdadeira. Reflita o caso similar do Exemplo 1.2 para a operação de interseção, ou 
seja, verifique se a propriedade é verdadeira: se A B A C, então, B C� , para 
quaisquer conjuntos A, B e C.
Fonte: os autores.
conceituando
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Um par ordenado (a, b) é um par de objetos matemáticos cuja ordem de ocor-
rência destes objetos é significante. Mais precisamente, podemos defini-lo da 
seguinte forma.
Definição 1.6: dados dois elementos x e y , o par ordenado de x e y , de-
notado por ( , ),x y com primeira coordenada x e segunda coordenada y , é o 
conjunto ( , ) , , .x y x x y� � � � �� � 
De acordo com a Definição 1.6, podemos observar que:
( , ) , , , , ( , ).x y x x y y x y y x� � � � �� � � � � � �� � �
Dessa forma, destacamos que a ordem, neste caso, tem importância, o que justi-
fica o nome par ordenado. No par ordenado, a primeira coordenada é chamada 
abcissa, e a segunda, ordenada.
Proposição 1.3: Considere os elementos a b c, , e d . Então, 
( , ) ( , ) .a b c d a c b d� � � � e 
Demonstração: ( )⇒ Suponha que ( , ) ( , ).a b c d= Segue da definição que
a a b c c d� � � �� � � � � � �� �, , , , . Dessa forma, faremos duas considerações:
a c� � � � � e a b c d, ,� � � � � ou a c d� � � � �, e a b c, .� � � � � Do primeiro caso, 
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PAR ORDENADO E 
PRODUTO 
CARTESIANO
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concluímos que a c= e b d= . Do segundo caso, temos a c d= = e a b c= = . 
Logo, a b c d= = = e, daí, concluímos a c= e b d= . Portanto, segue o resultado.
( )⇐ Reciprocamente, suponha que a c= e b d= , temos que: 
a c b d a c b d a b a b c d c d� � �� � �� � � � � � ��� � � � ��� � � � ��� � � � � e e , , .
Assim a a b c c d� � � �� � � � � � �� �, , , , .
Portanto, ( , ) ( , ).a b c d= 
 
Definição 1.7: considere dois conjuntos A e B . O produto cartesiano de A e 
B é o conjunto A B× , formado por todos os pares ordenados ( , )a b , tais que 
a A∈ e b B∈ . Ou seja, A B a b a A b B� � � �� �( , ); . e 
A B x y z x y z� �� �( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ) .0 0 0 1 1 1
Exemplo 1.3: sejam A � � �0 1, e B x y z�� �, , . Então: 
A B x y z x y z� �� �( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ) .0 0 0 1 1 1
Observação: segue da definição de produto cartesiano que:
( , ) .x y A B x A y B� � � � � ou 
Considere um conjunto qualquer A e seja B ��. Temos que A B A� � �� 
que, por definição, é o conjunto formado pelos pares ( , ),a b tal que a A∈ e 
b B∈ . No entanto, como B ��, temos que B não possui elemento algum. 
Portanto, não existe par ( , )a b A� �� e, consequentemente, A�� ��. Ana-
logamente, �� ��A .
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Em sua trajetória como estudante, você já deve ter percebido que o estudo de 
funções matemáticas é um dos mais importantes e, historicamente, relevantes 
para a construção de toda a ciência. Abordaremos, aqui, portanto, os conceitos 
relacionados a esse estudo, fazendo uso do formalismo matemático necessário 
para a compreensão dos demais conceitos.
Definição 1.8: sejam A e B conjuntos não vazios. Uma função f de A 
em B é uma lei f ,que associa a cada elemento a A∈ um único elemento 
y f x= ( ), com y B∈ . Uma função é simbolizada por:
f A B
x f x
:
( ).
→

O conjunto A é chamado domínio da função f , o conjunto B é o contradomí-
nio de , f e f x( ) é a imagem de x por f .Também é comum usarmos o termo 
“aplicação” como sinônimo de função.
Não devemos confundir f com f x( ) , pois f é a função e f x( ) é o valor 
que a função assume em determinado ponto x do seu domínio.
Para saber se uma regra matemática é uma função, devemos verificar duas 
condições:
i. Não deve haver exceções. Sendo A o domínio de f , a regra deve forne-
cer f x( ) para todo x A∈ .
3 FUNÇÕES
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ii. Não deve haver ambiguidades. Para todo x A∈ , a regra deve fazer um 
único f x( ) corresponder x em B .
Uma maneira prática de verificar essas condições é a seguinte:
 Definida uma lei f de um conjunto A em um conjunto B , para certificar-
mos que essa lei define uma função f A B: → , mostramos a seguinte implicação 
lógica: 
a b A a b f a f b, ; ( ) ( ). se então 
Se X A⊂ , então, definimos a imagem direta de X por f como o seguinte 
subconjunto de B :
f X y B y f x x X( ) { ; ( ) }.� � � � para algum 
Em particular, quando X A= , f A( ) , é denominado conjunto imagem de 
f .
Quando Y B⊂ , definimos a imagem inversa de Y por f como sendo o 
seguinte subconjunto de A :
f Y x A f x Y� � � �1( ) { ; ( ) }.
Exemplo 1.4: sejam A � � �0 1 2 3 4, , , , , B � � �0 1 5, , e f A B: ,→ definida por 
f f( ) ( )0 1 0= = e f f f( ) ( ) , ( )2 3 1 4 5= = = .
Temos que f ({ , }) { }0 1 0� e f x A f x� � � � �1 0 5 0 5 0 1 4({ , }) { ; ( ) { , }} { , , }.
Vejamos, agora, como classificar as funções quanto à injetividade, sobrejeti-
vidade e bijetividade.
Definição 1.9: seja f A B: → uma função. Dizemos que f é injetora ou 
injetiva se, para quaisquer a b A, ∈ , tais que f a f b( ) ( ),= então, a b= .
Definição 1.10: seja f A B: → é uma função. Dizemos que f é sobrejetora 
ou sobrejetiva se f A B( ) ,= ou seja, se para cada b B∈ existe a A∈ , tal que 
b f a= ( ).
Definição 1.11: seja f A B: → uma função. Dizemos que f é bijetora ou 
bijetiva ou, ainda, uma bijeção, se f é injetora e sobrejetora.
A igualdade de funções, por sua vez, é definida da seguinte forma:
Definição 1.12: sejam f A B: → e g A B: → funções. Dizemos que f é 
igual a g se, e somente se, f x g x x A( ) ( ), .� � � 
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Ou seja, para que aconteça a igualdade entre funções, elas devem ter o mesmo 
domínio, o mesmo contradomínio e a mesma lei de formação.
Exemplo 1.5: sejam os conjuntos A ={ , , , , }1 2 3 4 5 e B a b c d={ , , , } e 
a aplicação f de A em B , tal que f a f b f c f d( ) , ( ) , ( ) , ( )1 2 3 4= = = = e 
f c( )5 = . Temos que f é sobrejetora, pois f A B( ) .= No entanto f não é 
injetora, pois f c f( ) ( )3 5= = e 3 5≠ .
Proposição 1.4: seja f A B: ,→ uma função sobrejetora. Então, para todo 
Z B⊂ , tem-se que f f Z Z( ( )) .� �1
Demonstração: de fato, por definição, 
f Z x A f x Z f f Z y B y f x x f Z� � �� � � � � � �1 1 1( ) { ; ( ) ;} ( ( )) { ; ( ) ( )}. e e 
Seja y f f Z� �( ( )).1 Logo, y B∈ e y f x= ( ), com x f Z� �1( ). Como 
x f Z� �1( ), então, y f x Z� �( ) . Portanto, f f Z Z( ( )) .� �1 Reciprocamente, 
suponha y Z∈ . Como y Z∈ e f A B: → é sobrejetora, temos que existe x A∈ , 
tal que y f x= ( ). Temos que y f x Z� �( ) , e isso implica que x f Z� �1( ). Logo, 
y f x f f Z� � �( ) ( ( ))1 , ou seja, Z f f Z� �( ( ))1 . Portanto, f f Z Z( ( )) .� �1
Exemplo 1.6: sejam X e A conjuntos não vazios, tais que X A⊂ . A função 
i X A: → definida por i x x( ) ,= para todo x X∈ é chamada de inclusão. Te-
mos que i é sempre injetiva, porém é sobrejetiva apenas no caso em que X A= . 
Quando X A= , denotamos a inclusão por id A AA : → cuja lei de formação é 
id x xA( ) = , e idA é chamada função identidade de A . Claramente, temos que 
idA é sobrejetiva e injetiva. 
Exemplo 1.7: sejam f X Y: → uma função e A X⊂ . Temos que 
f A YA| : ,→ definida por f x f x x AA| ( ) ( ),� � � , também é uma função, cha-
mada restrição de f a A . Observe que, se é f injetiva , então, f A| é injetiva. 
Validamos a Proposição 1.4, por meio da definição de igualdade de conjuntos, da defini-
ção de imagem direta e inversa de conjuntos e do conceito de função sobrejetora. Caso 
excluíssemos a hipótese de que a função é sobrejetora, qual lado das inclusões continua-
ria verdadeira?
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Composição de funções e função inversa
Conforme citado no último “Explorando ideias”, é possível definir as operações 
de soma, subtração, multiplicação e divisão entre funções. Outra combinação 
que pode ser feita é a composição de funções. Suponha que existam funções f 
e g em que o domínio da função g é igual ao contradomínio da função f . 
Neste caso, é possível criar uma função g f , chamada função composta, a qual 
relaciona, diretamente, os elementos do domínio da função f aos elementos do 
contradomínio da função g . 
Definição 1.13: sejam f A B: → e g B C: → funções tais que o domínio 
de g coincide com o contradomínio de f . Definimos como função composta 
g f A C : → por
 ( )( ) ( ( )), .g f x g f x x A � � �
Observe que a função g f consiste em aplicar, primeiro, f e, depois, g . 
Dadas as funções f A B: ,→ g B C: → e h C D: → , sabemos que a compo-
sição de funções é associativa. De fato, para todo x A∈ , temos que
h g f x h g f x h g f x h g f x h g f     � ��� �� � � � � � � � � � � � ��� ��( ) ( ) ( ( )) ( ) (xx).
Desta forma, podemos fazer a composição entre f , g e h , nesta ordem, de dois 
modos, que são h g f ( ) e ( )h g f  . Estas duas maneiras de compor funções 
conduzem ao mesmo resultado. Portanto, h g f h g f   ( ) ( ) .=
Em geral, basta que a imagem f A( ) da função f esteja contida no domínio 
da g para que a definição de g f A C : → faça sentido.
Duas funções f e g podem ser combinadas de maneira que possamos obter novas funções, 
tais como f + g , f – g , f . g e f
g
 . Estas funções são obtidas de forma similar ao que fazemos 
quando somamos, subtraímos, multiplicamos e dividimos números reais, cuidando, sem-
pre, da maneira de definir o domínio das funções obtidas destas combinações. 
Fonte: os autores.
explorando Ideias
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Veremos, nos próximos dois exemplos, que a composição de funções preserva as 
propriedades de injetividade e sobrejetividade.
Exemplo 1.8: sejam f A B: → e g B C: → funções injetoras. Então, 
g f A C : → é injetora.
De fato, sejam x x A1 2, ,∈ tais que g f x g f x ( ) ( ).1 2= Queremos provar que 
x x1 2= . Segue da definição que g f x g f x g f x g f x( ( )) ( ) ( ) ( ( ))1 1 2 2= = =  . 
Como g é injetora, temos que f x f x( ) ( ).1 2= Mas f também é injetora, e, por-
tanto, x x1 2= .
Exemplo 1.9: sejam f A B: ,→ g B C: → funções sobrejetoras. Então, 
g f A C : → é sobrejetora.
De fato, dado z C∈ , queremos provar que existe x A∈ tal que g f x z ( ) .= 
Como g B C: → é sobrejetora e z C∈ , existe y B∈ tal que g y z( ) .= Também 
do fato de que f A B: → é sobrejetora e y B∈ , existe x A∈ , tal que y f x= ( ).
Logo, z g y g f x g f x= = =( ) ( ( )) ( ). 
Segue, dos Exemplos 1.8 e 1.9, que a composição de duas funções bijetoras é, 
também, uma função bijetora.
Dadas as funções f A B: → e g B A: → , dizemos que g é uma inversa à 
esquerda de f , quando g f x x ( ) = para todo x A∈ . 
Veremos, na próxima proposição, que uma função f A B: → possui inversa 
à esquerda se, e somente se, for injetiva.
Proposição 1.5: seja f A B: → uma função. Existe g B A: ,→ tal que 
( )( ) ,g f x x x A � � � se, e somente se, f A B: → é injetora.
Demonstração: ( ⇒ ) de fato, suponha a existência de uma função g tal 
que ( )( ) ,g f x x x A � � � . Queremos provar que f A B: → é injetora. Para 
isso, sejam x x A1 2, ,∈ tais que f x f x( ) ( )1 2= . Observe que
x g f x g f x g f x g f x x1 1 1 2 2 2� � � � � � � � � � � � � ( ) ( ) ( ) ( ) .
Dissemos, anteriormente, que a composição de funções é associativa, ou seja, se conside-
ramos as funções f, g e h definidas de maneira adequada para realizar acomposição, vale 
a igualdade h g f h g f� � � �( ) ( ) .� É possível afirmar, também, que a composição de 
funções é comutativa, ou seja, sempre vale que f g g f� �� para quaisquer funções f 
e g que possam ser compostas?
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Portanto, f é injetora.
(⇐ ) Reciprocamente, suponha que f A B: → é injetora, então, cada 
y f A∈ ( ) determina um único x A∈ , tal que y f x= ( ). Defina g B A: → 
da seguinte forma: g y x y f x( ) , ( )= = se e g y a y f A( ) , ( ),� � se em que a 
é um elemento qualquer fixado de A . Observe que a função g não é única e 
depende das escolhas de a A∈ , no caso, em y f A∉ ( ). Desta forma, temos que: 
( )( ) ( ( )) ( ) , .g f x g f x g y x x A� � � � � � Portanto, segue o resultado.
 
Dadas as funções f A B: → e g B A: → , dizemos que g é uma inversa à 
direita de f quando f g y y ( ) = para todo y B∈ . 
A próxima proposição nos mostra que uma função f A B: → possui inversa 
à direita se, e somente se, é sobrejetiva.
Proposição 1.6: Seja f A B: → uma função. Existe g B A: ,→ tal que 
( )( ) , ,f g y y y B � � � se, e somente se, f A B: → é sobrejetiva.
Demonstração: ( ⇒ ) de fato, suponha a existência da função g , tal que, 
( )( ) , .f g y y y B � � � Temos que y f g y f g y y B� � � �( )( ) ( ( )), , ou seja, 
para todo y B∈ , existe x g y A� �( ) , tal que y f g y f g y f x= = =( )( ) ( ( )) ( ). 
Portanto, f é sobrejetiva.
(⇐ ) Reciprocamente, suponha que f A B: → é sobrejetiva. Então, para 
cada y em B , é possível escolher, pelo menos, um x A∈ , tal que y f x= ( ). 
Vamos fixar um x para cada y . Tome g y x( ) = , isso define uma função 
g B A: ,→ tal que f g y y( ( )) .= 
 
A próxima proposição nos mostra que se f possui uma inversa à direita e uma 
inversa à esquerda, então, elas são iguais.
Proposição 1.7: seja f A B: → uma função. Se existem g B A: → e 
h B A: ,→ tal que ( )( ) ,f g y y y B � � � e ( )( ) , ,h f x x x A � � � então, 
g h= .
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Demonstração: de fato, como h B A: → e g B A: → são tais que 
( )( ) ,h f x x x A � � � e ( )( ) , ,f g y y y B � � � então, podemos escrever 
h f idA = e f g idB = . Além disso, 
g y id g y h f g y h f g y h id y h yA B( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),� � � � � �� � � � �� � � � � �      � �y B. 
Portanto, segue o resultado. 

 
Chamamos uma função g B A: → de inversa da função f A B: → quando 
g é a inversa à esquerda e à direita de f . Em outras palavras, temos a definição 
seguinte.
Definição 1.14: sejam A e B conjuntos não vazios e f A B: → , uma 
função. Dizemos que g B A: → é inversa de f ou que f é uma função 
inversível s.e
g f x x x A f g y y y B � � � � � � � � � �( ) , ( ) , e 
Escrevemos f B A� �1 : para indicar a inversa de f A B: → . Veremos, na 
próxima proposição, que uma função f A B: → possui inversa se, e somente 
se, for bijetiva.
Proposição 1.8: seja f A B: → uma função. Existe g B A: ,→ tal que 
( )( ) ,g f x x x A � � � e ( )( ) , ,f g y y y B � � � se, e somente se, f A B: → 
for bijetora.
Demonstração: (⇒ ) segue, diretamente, das Proposições 1.5, 1.6 e 1.7. 

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Apesar da noção de número real existir anteriormente ao século XIX, foi em 
meados desse século que os matemáticos começaram a sentir necessidade 
de uma fundamentação rigorosa dos diferentes sistemas numéricos. É inte-
ressante ressaltar que a sistematização dos diferentes conjuntos numéricos 
ocorreu na ordem inversa do seu desenvolvimento histórico pelo homem, ou 
seja, enquanto, historicamente, surgiram as noções de número natural, inteiro, 
racional, irracional, real e complexo, nesta ordem, a sistematização matemá-
tica desses conjuntos ocorreu da seguinte forma: primeiro, organizaram-se 
os números complexos, depois, os números reais, os racionais, os inteiros, e 
finalmente, os números naturais. 
Não faremos, aqui, um estudo sistemático dos conjuntos numéricos em ques-
tão, mas abordaremos esses conjuntos sem nos preocuparmos em descrever a 
evolução do conceito de número inteiro, nem tentar explicar sua natureza. Como 
em tudo há, sempre, um ponto de partida, admitiremos o conjunto dos números 
naturais,  � �{ , , , },1 2 3 o número 0 (zero) e o conjunto dos números intei-
ros ,  � � � � � �{ , , , , , , , , },3 2 1 0 1 2 3 juntamente, com as operações de adição e 
multiplicação em . Esta abordagem será, essencialmente, axiomática, ou seja, a 
partir de uma lista, razoavelmente pequena, de propriedades básicas dos números 
inteiros, obteremos as demais propriedades. Da mesma forma, abordaremos o 
conjunto dos números racionais e reais.
4 
NÚMEROS 
INTEIROS
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Um estudo mais aprofundado da construção dos conjuntos numéricos é feito 
por Milies (2003). Ele faz um tratamento completo da construção do conjunto 
dos números reais, iniciando com a construção dos números naturais a partir 
de três axiomas, conhecidos como axiomas de Peano. O conjunto dos inteiros é 
construído a partir dos naturais, por meio de uma relação de equivalência de-
finida nesse conjunto. Da mesma forma, o conjunto dos racionais é construído, 
definindo um relação de equivalência em . Em seguida, faz-se a construção 
dos números reais. 
Os números inteiros ou apenas inteiros são: � � � � �, , , , , , , ,3 2 1 0 1 2 3 cujo 
conjunto denota-se por . O conjunto dos inteiros  , munido das operações 
de adição, denotada por (+), e multiplicação, por (.), possui propriedades funda-
mentais, estas enumeramos a seguir. Para isto, sejam a , b e c números inteiros 
quaisquer, então, são válidas as seguintes propriedades:
a) a b b a a b� � � � �, , ;
b) a b b a a b. . , , ;� � �
c) a b c a b c a b c� � � � � � �( ) ( ) , , , ;
d) a b c a b c a b c.( . ) ( . ). , , , ;� � �
e) a a a� � � �0 , ;
f) a a a. , ;1� � �
g) a a a� � � �0, ;
h) � � � � �a a a.( ), ;1 
i) a b c a b a c a b c.( ) . . , , , ;� � � � �
j) 0 0. , ;a a� � �
k) a b a. ,� � �0 0 ou b = 0 .
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Também existe uma relação de ordem entre os inteiros, representada por <, que 
lemos: menor do que, e esta relação satisfaz;
l) a a a� � �0 0 0, ; ou 
m) a b b c a c� � � � e .
n) a b a c b c c� � � � � � �, .
o) a b c a c b c� � � � e 0 . . ;
p) a b c b c a c� � � � e 0 . . ; 
Outra notação para relação de ordem menor do que (<) é b a> , que lemos: b 
maior do que a , e que significa a b< . Tambémapontaremos, de modo abreviado, 
a b≤ para indicar que a b< ou a b= . Em símbolos, a b a b a b� � � � ou . 
Com o mesmo significado, escreve-se b a≥ , que lemos: b maior ou igual do que 
a . Outra notação usada: a b c≤ ≤ e significa que a b≤ e b c≤ .
Dessas 16 propriedades, podemos deduzir outras propriedades no conjunto 
dos inteiros. Mas, antes disso, queremos destacar alguns subconjuntos dos intei-
ros, e estes recebem um nome particular:
i. O conjunto dos inteiros não nulos, denotado por * , este pode ser defi-
nido pela propriedade: 
 
*
{ ; };� � �x x 0
ii. O conjunto dos inteiros não negativos, denotado por + , este pode ser 
definido pela propriedade:  � � � �{ ; };x x 0
iii. O conjunto dos inteiros não positivos, denotado por − , este pode ser 
definido pela propriedade:  � � � �{ ; };x x 0
iv. O conjunto dos inteiros positivos, denotado por +* , este pode ser definido 
pela propriedade: 
 � � � �
*
{ ; };x x 0
v. O conjunto dos inteiros negativos, denotado por −* , este pode ser defi-
nido pela propriedade: 
 � � � �
*
{ ; }.x x 0
Os inteiros positivos também são denominados números naturais, ou seja, 
� �� �
*
.
Em alguns livros, você pode encontrar que 0∈ e, em outros, que 0∉ . Esta é 
uma questão de abordagem e comodidade, dependendo dos objetivos de cada texto.
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Boa Ordenação e Princípio da 
Indução
O Princípio da Boa Ordem será 
abordado, neste texto, como 
axioma, e o usaremos para 
demonstrar o princípiode in-
dução. O Princípio da Boa Ordem 
permite alinhar, sequencialmente, 
os elementos do conjunto, partindo do 
menor elemento que está no conjunto, o seu elemento mínimo.
O Princípio de Indução é um método de demonstração que pode ser usado 
para validar determinada afirmação para todos os números inteiros não negativos 
ou em subconjuntos dos números naturais. Neste método, primeiro, provamos 
que a afirmação é verdadeira para um valor inicial n0 � � , e, em seguida, su-
pondo que o processo anterior é válido, devemos provar o processo posterior. 
Com isso, todo o processo é validado a partir do valor inicial n0. O teorema do 
Princípio de Indução Finita, que apresentaremos nesta aula, é um dos axiomas 
de Peano, apesar de ser um axioma em alguns contextos, no nosso caso, este será 
um resultado que validaremos, usando o Princípio da Boa Ordem. 
Definição 1.15: seja A⊂  e A � �. Dizemos que A é limitado inferior-
mente, se existir algum inteiro k∈, tal que, para todo x A∈ , temos k x≤ . 
Quando k A∈ , dizemos que k é o elemento mínimo de A e denotamos por 
k A= min .
Exemplos:
1. A x t t x� � � � �{ ; }.3 34 e Temos que minA � �33;
2. B x x� � � �{ ; }. 83 Temos que minB � �82;
3. C x t t x� � � �{ ; }.3 33 e Temos que minC = 36;
4. D x t t x� � � � �{ ; }.3 1 34 e Temos que minD = 37;
5. E x t t x� � � � �{ ; }.3 2 74 e Temos que minE = 77;
6. min =1.
Princípio da Boa Ordem: todo subconjunto não vazio dos inteiros não nega-
tivos possui elemento mínimo. Em símbolos:
A� � e A a A a x x A� �� � � � � �; , .
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Proposição 1.9: seja A� � e A � �. Se existe a A∈ , tal que a A= min , 
então, a é único.
Demonstração: sejam a b A, ∈ tal que a A= min e b A= min .
a A a A a x x A� � � � � �min e , . (1)
b A b A b x x A� � � � � �min e , . (2)
Fazendo x b= em (1), obtemos, em particular, a b≤ e, fazendo x a= em (2), 
temos b a≤ . Logo, a b= . 

Definição 1.16: chama-se módulo de um número inteiro e se denota por | a | o 
seguinte número inteiro não negativo:
| | .a
a a
a a
�
�
� �
�
�
�
 se 
 se 
0
0
Ou seja, | | { , },a a a� �max em que max{ , }a a− denota o maior número dentre 
os inteiros a a, .−
Exemplo 1.10: | | { , ( )} .� � � � � �6 6 6 6max
Dado a∈ , seguem, direto da definição, os seguintes resultados:
1. | | ;a a� � �0 0
2. | | ;a ≥ 0
3. | | | |;� �a a
4. a a≤| |;
5. � �a a| |;
6. | | ;a a= 2
7. Dado um inteiro r > 0, | | .a r r a r� � � � �
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Proposição 1.10: dados a b, ∈ com b ≠ 0, então, existe s∈, tal que a s b� � .
Demonstração: se a b< , tome s =1 e observe que a s b< . . Suponha a b≥ .
Como b ≠ 0, então, dividiremos a demonstração em dois casos.
Caso I: se b > 0, então, b ≥1. Agora, multiplicaremos a inequação b ≥1 por 
|a|, temos | | | | . .a b a a≥ ≥1 Dessa forma, | | .a b a≥ Somando b em | |a b a≥ , 
temos | | ,a b b a b� � � ou seja, (| | ) .a b a b� � �1 Como b > 0, então, a b a� � . 
Dessa forma, (| | ) .a b a� �1 Tome s a� � �| | 1  e observe que sb a> .
Caso II : se b < 0, então, � �b 0. Como � �b 0 , então, segue do Caso I, que 
existe n∈, tal que n b a( ) ,� � ou seja, ( ) .� �n b a Tome s n a� � � � � �(| | ) .1  
Portanto, segue o resultado. 

Proposição 1.11: Todo conjunto não vazio de inteiros limitado, inferiormente, 
tem elemento mínimo.
Demonstração: seja A⊂ , tal que A � � , um conjunto limitado in-
feriormente. Como A é limitado inferiormente, então, existe k∈, tal que 
k x x A� � �, . Se k A∈ , então, k A= min , e a proposição está demonstrada. 
Se k A∉ , então, considere S x k x A� � �{ ; } e observe x k� � 0, para todo 
x A∈ . Logo, S � � e S � �, pois A � �. Dessa forma, segue do Princípio da 
Boa Ordem que existe s S∈ , tal que s S= min . Como s S∈ , então, s a k� � ,
tal que a A∈ . Se a não for o elemento mínimo de A , então, existem b a< , tal 
que b A= min , assim, b k a k s� � � � e b k S� � , absurdo, pois s S= min . 

Proposição 1.12: dados a b, ∈ e b ≠ 0 , então, a é múltiplo de b ou se encontra 
entre dois múltiplos consecutivos. Ou seja, para cada par de inteiros a b, , existe 
um inteiro q , tal que 
qb a q b� � �( ) ,1 se b > 0 e qb a q b� � �( )1 , se b < 0 .
Não faremos a demonstração da Proposição 1.12, mas ela nos auxiliará na de-
monstração da seguinte proposição.
Proposição 1.13: dados a b, ∈ com b > 0 , existe um único par de inteiros 
q e r , tais que a bq r� � , com 0 � �r b .
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Demonstração: aplicaremos a Proposição 1.12 para o par de inteiros a e 
b . Assim, existe q∈ , tal que qb a q b� � �( )1 . Logo, 0 � �a qb e a qb b� �
. Dessa forma, considerando r a qb� � , vemos que a bq r� � , com 0 � �r b .
Resta provar a unicidade. Para isso, suponha que exista outro par de inteiros 
q1 e r1 satisfazendo a bq r� �1 1 com 0 1� �r b . Como bq r a bq r1 1� � � � , 
então, qb r q b r� � � �( )1 1 0 , ou seja, | ( ) | | |b q q r r� � �1 1 . Desta forma, temos 
que b q q r r| ( ) | | |� � �1 1 , o que implica que | |r r1− é múltiplo de b . Mas 
0 1� � �| |r r b implica que | |r r1 0� � e, consequentemente, r r= 1 . Sendo 
r r= 1 , temos que q q= 1 . 

Teorema 1.1: Princípio de Indução Finita (PIF)
Seja B um subconjunto dos inteiros não negativos. Se B satisfaz:
i. 0∈B;
ii. k B k B� � � �1 .
Então, B � � .
Demonstração: considere o seguinte conjunto: F n n B� � �� �� ; . Queremos 
provar que F é vazio. Se F � � , então, segue do Princípio da Boa Ordem e da 
Proposição 1.13 que existe c F∈ , tal que c F= mim é o elemento mínimo 
do conjunto F . Como c F∈ e c F= mim temos, da hipótese i), que c > 0. 
Como c > 0, então, c ≥1. Dessa forma, temos c −1 que não pertence a F (pois 
c F= mim ). Dessa forma, c F� �1 , então, c B� �1 . Segue da hipótese ii) 
que, se c c B� � � �1 0 1 e , então, ( ) ,c c B� � � �1 1 que é uma contradição. 
Portanto, F ��. 
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33
Segue deste teorema que, sendo n0 um número natural e P n( ) , uma sentença 
aberta em n n n� �� �� ; ,0 tal que:
P n( )0 é verdadeira;
P k P k( ) ( )� �1 para todo k n≥ 0 .
Então, P n( ) é verdade para todo n n≥ 0.
Exemplo 1.11: prove que 1 2 3
1
2
� � � � �
�
� �� �n n n n( ) , .
De fato,
a) P(1) é verdadeira, pois 1
1 1 1
2
�
�( )
;
b) Suponha que P k( ) é verdadeira, isto é, 1 2 3
1
2
� � � � �
�
 k k k( ) .
Somando k +1 a ambos os membros da igualdade, obtemos:
1 2 3 1 1 1
2
� � � � � � � � �
�
 k k k k k( ) ( ) ( ) , o que implica em: 
1 2 3 1 2 1
2
1
2
� � � � � � �
�
�
�
 k k k k k( ) ( ) ( ) . Logo, 
1 2 3 1 1 2
2
� � � � � � �
� �
 k k k k( ) ( )( ) . Portanto, P k( )+1 é verdadeira. Se-
gue do Princípio de Indução Matemática queP n( ) é verdadeira para todo n ≥1.
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E 
1
34
Um dos pensamentos mais antigos em Matemática é a ideia de número, não 
podemos, todavia, dizer, com precisão, quando este conceito se estabeleceu. An-
tes da formalização do conceito de número racional, o número fracionário era 
associado a uma parte de um objeto, que podia ser fragmentado em diversas 
partes, e o número, à soma das diversas partes desse objeto. Consta que, no An-
tigo Egito, as partes estavam limitadas a partes de algum comprimento, objeto ou 
quantidade, desse modo, elas, ou seja, as frações, tinham o numerador 1. Os egíp-
cios consideravam uma parte do todo e, a partir daí, obtinham outras frações, 
por meia dessas. Estas frações eram as mais usadas para decompor em frações 
mais gerais, na literatura, elas são chamadas de frações unitárias. Para os egípcios, 
era necessário expressar determinada fração como soma de partes, ou de frações 
unitárias, por exemplo, a fração 2
5
 era decomposta por 
1
3
 mais 
1
15
. 
Muitos fatos sobre o conceito de frações aparecem no Papiro de Rhind, tam-
bém conhecido como Papiro Ahmes. Um deles é o conceito de fração dado como 
razão entre dois comprimentos. Durante a construção das pirâmides,os egípcios 
perceberam que era fundamental manter a inclinação constante das faces de 
uma dada pirâmide que estava em construção. Eles se preocupavam com o afas-
tamento horizontal de uma reta oblíqua em relação ao eixo vertical, para cada 
5 
NÚMEROS 
RACIONAIS
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35
variação de unidade de altura, essa inclinação (chamada seqt pelos egípcios) era 
dada como o quociente do afastamento horizontal pelo vertical. Neste contexto, a 
unidade de medidas era o cúbito, quando medido em mãos, um sétimo do cúbito. 
Observe que, naturalmente, para estabelecer razões desse tipo, era necessário fa-
zer comparações, por exemplo, o comprimento horizontal e a unidade de medida 
(cúbito), o comprimento vertical e a unidade de medida. Quando trabalhamos 
com conceito de fração, comparamos, sempre, grandezas de mesmas espécies, 
e daí, é necessário escolher uma unidade padrão de mesma espécie. Quando 
dizemos que a grandeza é de mesma espécie, comparamos comprimento com 
comprimento, área com área, volume com volume, peso com peso etc. 
Ainda hoje, comparamos grandezas, pois estamos, sempre, medindo algo. 
Mas o que é medir? Nada mais é do que fazer uma comparação. Quando meço 
o comprimento da altura de um prédio, por exemplo, 30 metros, na verdade, 
comparo o comprimento desse prédio com um padrão de comprimento cha-
mado Metro, então, o meu prédio é 30 vezes maior do que o comprimento de 
algo chamado “metro”. Já que medir é comparar, quando quisermos medir algo, 
podemos comparar com qualquer coisa. Assim, posso dizer que eu tenho uma 
altura de 11 palmos (da minha mão direita). 
Por exemplo, podemos medir os segmentos AB e CD, dados na figura, 
logo, a seguir, usando, como padrão de comprimento, o segmento.EF , Para 
isso, denotaremos, respectivamente, os comprimentos desses segmentos por ,AB
CD e EF , e observaremos que A B é 8×EF , e que CD é 5×EF. Usando a 
notação atual, escrevemos:
AB
CD
EF
EF
�
�
�
�
8
5
8
5
.
A B
C D
E F
Figura 1 - Segmento comensurável 1 / Fonte: os autores.
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1
36
Definição 1.17: dados dois segmentos AB e CD, cujos comprimentos são AB
e CD , respectivamente. Dizemos que AB e CD são comensuráveis se existem 
inteiros positivos m e n e um segmento EF de comprimento EF , tais que, 
AB m EF� � e CD n EF� � , ou seja,
AB
CD
m EF
n EF
m
n
�
�
�
� .
 No caso particular em que n =1, temos que: CD EF=
AB
CD
m EF
EF
m m� � � �
1
.
Observe que podemos usar uma diversidade de outros segmentos de medida EF .
A representação fracionária de um número racional é dada por meio de dois 
inteiros m e n , com n diferente de zero, que é comum denotar por 
m
n
, que 
pode ser interpretado como uma, duas, três, quatro etc. partes de um todo, divi-
dido em número de partes iguais. Por exemplo, o símbolo 2
3
 é associado a duas 
partes de certo todo particionado em três partes iguais. E 
4
3
 é um todo mais uma 
parte do todo, dividido em três partes iguais. Denotaremos o conjunto dos racio-
nais por  , formado por todos os pares de inteiros m ,n da forma 
m
n
, tal que 
n ≠ 0 . Iniciaremos com os racionais do tipo p
q
, em que q =1 . Tais números 
racionais são identificados com o inteiro p p=
1
, e, com certo abuso de lingua-
gem, dizemos que � �⊂ . 
Uma forma de representar, geometricamente, o conjunto dos racionais  é 
construir uma reta numerada, considerando o zero como origem e o número 1 
em algum lugar dessa reta, tome como unidade de medida a distância entre 0 
e 1 , que denotamos por u . Nesta reta, distinguimos dois sentidos de percurso: 
o de 0 para 1 , e o de 1 para 0 . Para fazer distinção entre esses dois sentidos, é 
usual denominar um deles de positivo (de 0 para 1), e outro, de negativo de (1 
para 0), sendo que o número zero é marco inicial, ou seja, a origem. A partir de 0, 
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no sentido positivo, marcamos o segmento unitário de comprimento u ≠ 0, cuja 
extremidade representa o número inteiro 1. Os números inteiros são colocados 
na reta da seguinte forma: para cada n positivo, a partir de zero, marcamos um 
segmento de medida nu u u u� � � � , no sentido positivo, cuja extremidade 
representa n , e marcamos um segmento de medida nu no sentido negativo, 
cuja extremidade representa −n , com isso, para cada inteiro n , existe um ponto 
dessa reta associado a ele.
Para representar um racional cujo denominador é b , devemos dividir cada 
segmento unitário, ou seja, os segmentos contido na reta cujas extremidades são 
n e n +1 , com n inteiro em b partes iguais. Em particular, se b = 3 , represen-
tamos, na reta, todos os racionais, cujo denominador é igual a 3, por exemplo, 
1
3
1
3
6
3
4
3
, , , ,...
−
 etc. Fazendo esse procedimento para todo b ≠ 0 , temos que, para 
todo racional 
a
b
 ,existe um ponto nessa reta que construímos associado a ele. 
Além disso, podemos obter uma classe de racionais associados a um mesmo 
ponto dessa reta, esses números racionais são chamados equivalentes, por exem-
plo,
4
16
2
8
3
12
1
4 4
= = = =
k
k
, em que k ≠ 0. Os racionais equivalentes podem ser 
escritos de maneiras diferentes, entretanto, representam a mesma parte de um 
todo. Dados 
a
b
 e 
c
d
 dois números racionais, 
a
b
c
d
a d b c� � �. . .
O conjunto dos racionais satisfaz as seguintes propriedades: para quaisquer 
a b c, , ,∈ temos:
i) a b b a� � � e a b b a. .= , � �a b, ;
ii) a b c a b c� � � � �( ) ( ) , e a b c a b c.( . ) ( . ).= , � �a b c, , ;
iii) existe 0 0
1
= tal que a a a� � � �0 , ;
iv) existe 1
1
1
= ,tal que a a. , ;1 1� � �
v) dado x∈ existe � �x , ,tal que x x� � �( ) ;0
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1
38
vi) dado x x� �0,  existe x x
� � �1
1
, tal que x x. ;� �1 1
vii) a b c a b a c a b c.( ) . . , , , ;� � � � �
O conjunto dos racionais tem ordem total cujas operações definidas por adição 
e multiplicação são compatíveis com essa ordem. Além disso, a ordem de  é 
uma extensão da ordem do conjunto dos números inteiros. 
Em , temos que a diferença entre dois inteiros consecutivos é sempre igual a 
1, ou seja, para todo n∈ , a distância entre n n e +1 é igual a 1. A ordem natural 
dos inteiros:  � � � � � � � � � � � � � �4 3 2 1 0 1 2 3 4
Usamos a seguinte notação para comparar dois números racionais x , y : 
x y x y x y� � � � ou .
Proposição 1.14: para cada racional 
m
n
, existe k∈ , tal que k
m
n
k� � �1.
Demonstração: aplicaremos a Proposição 1.13 para o par de inteiros m e 
n , em que n ≠ 0 . Sem perda de generalidade, observe que podemos considerar 
n > 0 , pois, se n < 0 ,observemos que 
m
n
m
n
�
�
�
 com � �n 0 . Logo, existem úni-
cos q r, ,∈ tais que m nq r� � , com 0 � �r n.Temos que x
m
n
q r
n
� � � e 
0 1� �r
n
. Assim, como n > 0, então, q x
m
n
q r
n
q� � � � � �1. Tomando 
k q= e temos que k x k� � �1 e segue o resultado.

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39
Dado um número racional qualquer 
a
b
, podemos escolher um representante 
para 
a
b
, de maneira que a e b são primos entre si, ou seja, ambos não têm fator 
comum ( MDC( , )a b =1 ), em que MDC denota o Máximo Divisor Comum. O 
MDC entre dois inteiros a e b é o maior divisor comum entre a e b . Segue da 
definição que 
MDC MDC MDC MDC MDC( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ).b a a b a b a b a b� � � � � � � �
Um número racional da forma 
a
b
, tal que a e b , primos entre si, é chamado 
de fração irredutível.
Proposição 1.15: � �� � � �
�
�
�
�
�
�
p
q
p q q p q; , , ( , ) .0 1 e MDC
Demonstração: é claro que 
p
q
p q q p q; , , ( , ) .� � ���
�
�
�
�
�� �0 1 e MDC
Reciprocamente, considere x
p
q
� � . Se d p q= =MDC( , ) ,1 então:
x p
q
p q q p q� � � ���
�
�
�
�
; , , ( , ) . 0 1 e MDC
Caso contrário, d >1 , além disso, existem k s, ,∈ tais que, p dk= e q ds= . 
Dessa forma, temos que: x
p
q
dk
ds
k
s
= = = e o MDC( , ) .k s =1 Portanto, 
x p
q
p q q p q� � � ���
�
�
�
�
; , , ( , ) . 0 1 e MDC
 
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E 
1
40Os números racionais costumam ser representados por 
a
b
,em que a b, ,∈ com 
b ≠ 0 e esta representação é única se tomarmos as frações na forma irredutível 
e com denominadores positivos. 
 A conversão de uma fração ordinária em decimal se faz por meio da 
divisão do numerador, conforme ilustrado no exemplo a seguir.
Exemplo 1.12: seja 
a
b
=
41
20
. Ao escrevermos a representação decimal de 
a
b
, temos que 
41
20
2 05= , .
O próximo resultado nos fornece condições necessárias e suficientes para que 
um número racional tenha uma representação decimal finita.
Proposição 1.16: um número racional, na forma irredutível 
a
b
, possui uma 
representação decimal finita se, e somente se, os fatores primos de b forem 2 ou 5.
Definição 1.18: uma dízima periódica é uma representação decimal da 
forma m a a an, , ,1 2  em que m é um inteiro não negativo e ai são dígitos 
( { , , , , , })ai ∈ 0 1 2 3 9 para i =1 2 3, , , , na qual, após um número finito de 
dígitos, aparece um bloco de dígitos (chamado período) com a propriedade 
que, a partir desse, a lista de dígitos é constituída, exclusivamente, pela repetição 
sucessiva deste bloco.
Denotamos m a a a m a a a a an s s n, , ,1 2 1 2 1   � � em que a as n+1 é o 
bloco de dígitos que se repete. Por exemplo, 2 34512121212 2 34512, , . =
Exemplo 1.13: 0 4444, … é um dízima periódica de período 4 e
0 23574747474,  é uma dízima periódica de período 74.
Fazendo x � �0 444, temos que 10 4 4444x � �, , ou seja, 
10 4 0 444x � � �, . Dessa forma, 10 4x x� � , isto é, 9 4x = , e daí concluímos 
que x =
4
9
 e uma representação decimal para 
4
9
 é 0 444, .… 
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41
Para facilitar a compreensão dos demais conceitos que serão, aqui, abordados, é 
necessário distinguir, quanto ao número de elementos, três tipos de conjuntos: 
os finitos, os infinitos e os enumeráveis.
Dado k∈, vamos definir o conjunto Ik formado pelos naturais de 1 até 
k , isto é, I kk � �� �1 2 3, , , , .
Definição 1.19: um conjunto X é finito quando é vazio ou existe k∈ e 
f I Xk: → , tal que f é bijeção.
Denotamos por x f1 1= ( ), x f2 2= ( ), x f x f nn3 3� � �( ), , ( ) e
X x x xn� �{ , , , }.1 2
A bijeção f chama-se uma contagem dos elementos de X , e o número k 
chama-se número de elementos ou número cardinal do conjunto X , e denota-
mos por k card X= ( ).
Exemplo 1.14: para cada n∈, o conjunto In é finito e possui n elementos.
De fato, tome a função f I In n: ,→ tal que f x x( ) .= Ou seja, f é a função 
identidade no conjunto In.
Exemplo 1.15: sejam X , Y conjuntos quaisquer e f X Y: → bijeção. En-
tão, X é finito ⇔ Y é finito. Além disso, card X card Y( ) ( ).=
De fato, X é finito se, e somente se, existir k∈ e uma função g I Xk: ,→ 
tal que g é bijeção. Temos que F I Yk: → , definida F x f g x( ) ( )=  . Como f e 
g são bijeções, então, F é bijeção e segue que Y é finito e card Y k( ) = . Recipro-
6 
CONJUNTOS FINITOS, 
INFINITOS E 
ENUMERÁVEIS
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1
42
camente, suponha que Y é finito. Então, existe k∈ e uma bijeção h I Yk: .→ 
Sendo f X Y: → bijeção existe f Y X� �1 : bijeção. Desse modo, considere 
G f h I Xk� �
�1
 : e G é bijeção. Portanto, X é finito e card Y card X( ) ( ).=
Teorema 1.2: seja A In⊂ . Se existir uma bijeção f I An: ,→ então, A In= .
Demonstração: faremos a prova por indução sobre n . Para n =1, temos 
que A I� �1 1{ }. Então, A �� ou A I= 1. Como f I A: 1 → é bijeção, temos 
que A � �. Logo, A I= 1.
Por hipótese de indução, se B In⊂ e existe uma bijeção f I Bn: ,→ en-
tão, B In= . Queremos provar que, se existem certo A In� �1 e uma bijeção 
f I An: ,� �1 então, A In� �1.
De fato, seja A In� �1 e suponha que existe uma bijeção f I An: .� �1 Con-
sidere a A∈ , tal que a f n� �( ).1 Se A a In� �{ } , então, h I A an: { },� � 
definida por h x f x( ) ( )= , é uma bijeção. Assim, por hipótese de indução, temos 
que A a In� �{ } . Observe que: I A a a An� � � � �1 ( { }) { } . Caso A a In−{ } , 
então, existe x A a� �{ }, tal que x In∉ . Logo, x n� �1. Como f é bijeção e 
n A a� � �1 { }, então, existe p In� �1 , tal que f p n( ) .� �1 
Agora, definiremos a seguinte bijeção: g I An: ,� �1 tal que g x f x( ) ( )= ,se 
x p≠ e x n� �1, g p a( ) = e g n n( )� � �1 1. A restrição de g a In é uma bijeção 
g I A nI nn| : { }� � �1 e, evidentemente, A n In� � �{ }1 Então, segue da hipótese de 
indução que A n In� � �{ } .1 Logo, I I n A n n An n� � � � � � � � � �1 1 1 1{ } ( { }) { } . 
 
Corolário 1.1: seja X um conjunto, tal que f I Xm: → e g I Xn: → são 
bijeções. Então, m n= .
Demonstração: suponha por absurdo que m n≠ e, sem perda de generalida-
de, podemos assumir que n m< . Como n m< , temos que I In m . Dessa forma, 
existe g X In
� �1 : e g−1 é bijeção. Além disso, g f I Im n
� �1  : é bijeção, e 
isso contradiz o Teorema 1.2. Portanto, m n= . 

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Corolário 1.2: seja X um conjunto finito. Se f X X: → é injetiva, então, f 
é sobrejetiva.
Demonstração: suponha que X é finito e X � �. Logo, existe uma bijeção 
j : .I Xn → Como j é bijeção, então, existe uma bijeção j� �1 : .X In Além 
disso, j( )I Xn = e j� �1( ) .X In
Considere a composição j j� �1  f I In n: , conforme diagrama a seguir:
Se f é injetiva, então, j j� �1  f I In n: é injetiva. Fazendo 
g f X In� �
�
( ) :j 1  e A g X= ( ), temos que g X A: ,→ é bijeção. Como 
A In⊂ e g I Anj : → é bijeção. Observe o diagrama. 
Assim, pelo Teorema 1.2 que A In= . Dessa forma, I A f Xn � �
�
( )( ),j 1  logo, 
j( ) ( ).I f Xn = Como j( ) ,I Xn = então, X f X= ( ) e f é sobrejetiva. 

Corolário 1.3: sejam X e Y conjuntos, tal que X é finito. Se Y X⊂ e 
f X Y: → é bijeção, então, Y X= .
Demonstração: se X é finito e X � � , então, existe uma bijeção 
j : I Xn → tal que j( )I Xn = e f X Y( ) .= Façamos 
A Y x I x Y In n� � � � �
�j j1( ) { ; ( ) } . Seja j | :A A X→ a função j restrita a 
A .Observe que j j j| ( ) ( ( )) ,A A Y Y� �
�1 pois j , em particular, é sobrejetiva. 
Dessa forma, podemos definir g A Y: ,→ tal que g x xA( ) | ( )=j e, claramente, 
g é uma bijeção. 
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1
44
Dessa forma, obtemos uma bijeção de A In⊂ para In. Como os conjuntos 
são finitos, temos que A In= . Observe que 
I A Y I Y Yn n� � � � �
� �j j j j1 1( ) ( ) ( ( )) .
Como j( ) ,I Xn = segue que X Y= . 

Proposição 1.17: se X é finito e X � � , então, � �a X , X a−{ } é finito.
Demonstração: de fato, X finito implica que existe f I Xn: → bijetora. 
Se n =1, então, X a� ��{ } . Suponha n >1, e seja a X∈ . Se f n a( ) ,= con-
sidere a aplicação t I X an: { }� � �1 definida por t x f x( ) ( )= e observe que 
t é bijeção. Logo, X a−{ } é finito. Se f n a( ) ,≠ então, existe p X∈ , tal que 
f n p( ) = e s In∈ , com f s a( ) = . Dessa forma, defina a bijeção g I Xn: ,→ 
tal que g x f x( ) ( )= , se x n x s≠ ≠ e , g s p( ) = e g n a( ) .= Agora, considere a 
bijeção l I X an: { },� � �1 definida por l x g x( ) ( )= . Assim, novamente, teremos 
que X a−{ } é finito. 

Teorema 1.3: todo subconjunto de um conjunto finito é finito.
Demonstração: provaremos que se X é finito e Y X⊂ , então, Y é finito. 
A prova será feita por indução sobre a cardinalidade de X . Se card X n( ) ,= =1 
então, X x={ }1 e os subconjuntos de X são X , portanto, finitos. Suponha que 
o resultado é válido para todo conjunto de cardinalidade n . Seja X , tal que 
card X n( ) .� �1 Queremos provar que dado Y X⊂ , Y é finito. Segue da de-
finição que card X n( ) ,� �1 então, existe uma bijeção f I Xn: .� �1 Se X Y=
, não há nada para demonstrar. Suponha que Y X e, assim, existe a X∈ , tal 
que a Y∉ . Dessa forma, temos Y X a� �{ } e card X a n( { })� � , por hipótese 
de indução, Y é finito.

Definição 1.20: um conjunto X ⊂  é limitado se existe p∈, tal que 
x p x X� � �, .
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Corolário 1.4: seja X ⊂ . Então, X é finito se, e somente se, X for limi-
tado.
Demonstração: suponha X finito e escreva X x x xn� �{ , , , }.1 2 Tome 
p x x xn� � ���1 2 e observe que x p x X� � �, . Logo, X é limitado. Recipro-
camente, suponha que X é limitado, ou seja, existe p∈, tal que x p≤ , para 
todo x X∈ . Considere o conjunto I pp � �{ , , , , }1 2 3 e observe que X I p⊂ . 
Como I p é finito e X I p⊂ , segue que X é finito. 

Definição 1.21: um conjunto X é infinito quando X não é finito, ou seja, 
X � � , e seja qual for n∈, não existe bijeção f I Xn: .→
Exemplo 1.16: o conjunto dos números naturais é infinito.
De fato, seja qual for n∈, n >1 e f In: → , tome 
p f f f n� � ���( ) ( ) ( ).1 2 Temos que p∈ e p f In∉ ( ). Logo, f não é 
sobrejetiva e, portanto,  é infinito.
Teorema 1.4: seja X conjunto. Se X é infinito, então, existe uma função 
injetiva f X: .→
Demonstração: de fato, como X � �, podemos considerar x X1∈ . Faça 
f x( )1 1= e P X1 = . Considere P X x2 1� �{ } e observe P2 � �, pois X é infi-
nito. Dessa forma, seja x P2 2∈ e faça f x( )2 2= eP X x x3 1 2� �{ , } , observe que 
P3 � �. Analogamente, considere P X x x xn n� � � �{ , , , }1 2 1 e veja que Pn � �, 
pois X é infinito. Seja x Pn n∈ e defina f n xn( ) = , isto é,
f X
n x x Pn n n
:
, .
�
�
�
�
Provemos que f é injetiva. Para isso, sejam m n, ∈ , tais que m n≠ . Como m n≠ , 
então, m n> ou m n< . Suponha, sem perda de generalidade, que m n< . Temos 
que x P X x x xm m m� � � � �{ , , , }1 2 1 e x P X x x x x xn n m m n� � � � �� �{ , , , , , , }.1 2 1 1 
Logo, x Pm n∉ e f m x x f nm n( ) ( ).� � � Portanto, f é injetiva. 

Os conjuntos infinitos podem ser caracterizados por meio do seguinte resultado:
Corolário 1.5: seja X um conjunto. O conjunto X é infinito se, e somente 
se, existe Y X e j : X Y→ bijeção. 
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1
46
Demonstração: suponha que X é infinito, então, existe uma função injetiva 
f X:→ com f n xn( ) = e f x x xn( ) { , , , }. � � �1 2 Defina g f x X: ( ) { } � �1 
por g x g xn n( ) ( )� �1 , n � �1 2 3, , , . Em seguida, considere Y X x� �{ }1 e defina
j : X Y→ por. ϕ( )
( ) ( ) { }
,
x
g x x f x
x
, se 
 caso contrário
� 1
É claro que j é sobrejetiva. Mostremos a injetividade. Sejam x y X, ∈ , com 
x y≠ , temos que mostrar que j j( ) ( )x y≠ e, para isso, são três casos a consi-
derar:
 ■ Caso 1: se x y f x, ( ) { }� � 1 , então, digamos 
que x xi= e y x j= com i j≠ pois x y≠ . Logo, 
j j j j( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),x x g x x x g x x yi i i j j j� � � � � � �� �1 1 ou seja, 
j j( ) ( )x y≠ .
 ■ Caso 2: se x y f x, ( ) { }� � 1 , então, j j( ) ( )x x y y� � � , ou seja, 
j j( ) ( )x y≠ .
 ■ Caso 3: se x f x� �( ) { } 1 e y f x� �( ) { } 1 , então, j( ) ( )x f∈  e 
j( ) ( )y f∉  . Logo, j j( ) ( )x y≠ .
Assim, em qualquer caso, temos que j j( ) ( )x y≠ , o que mostra a injetividade. 
Reciprocamente, suponha, por absurdo, que X é finito. Como existe Y X e 
j : X Y→ bijeção, pelo Corolário 1.3, segue que X Y= , o que é um absurdo, 
pois Y X . 

Exemplo 1.17: seja  � � �{ ; }z x x2  o conjunto dos pares. Temos que  é 
infinito. De fato, considerando Y y x x� � �{ ; }4  , temos que Y �P . Defina a 
bijeção j : ,→Y por j( )z z= 2 . Para todo y Y∈ , y x= 4. , para algum x∈ 
e j( ) . .2 2 2 4x x x y= = = Portanto, j é sobrejetora. Sejam z z1 2, ∈ , tais que 
j j( ) ( ).z z1 2= Logo, 2 21 2z z= e, consequentemente, z z1 2= e j é injetiva. Por-
tanto,  é infinito. 
Exemplo 1.18: seja X y xx� � �{ ; }.3  Temos que X é infinito.
Após definir os conjuntos finitos e infinitos, estamos aptos a apresentar o 
conceito de conjuntos enumeráveis. 
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Definição 1.22: um conjunto X é enumerável quando X é finito ou existe 
uma bijeção f X: .→ Neste caso, f denomina-se enumeração dos elementos 
de X .
Exemplo 1.19: o conjunto dos números naturais é enumerável, pois definida 
por f n n( ) = é bijeção.
Exemplo 1.20: o conjunto dos números naturais pares X =  é enumerável, 
pois j : ,→  definida por j( )x x= 2 é bijeção.
Exemplo 1.21: o conjunto dos números inteiros X =  é enumerável, pois 
j : ,� �→ definida por
, se é par 
( )
 se é p
2
1,
2
 
 
r
 
m a
 
í
n
nn
n
nϕ

= 


−
−
é bijeção.
De fato, sejam x x1 2, ,∈ tal que j j( ) ( ).x x1 2= Temos que x1 e x2 tem a 
mesma paridade, pois j j( ) ( )x x1 2= . Logo, x1 e x2 tem o mesmo final.
Se x x1 2, são pares, então, j j( ) ( )x x1 2= implica que 
x x1 2
2 2
= , ou seja, 
x x1 2= . Se x x1 2, são ímpares, então, j j( ) ( )x x1 2= implica que: 
� � �
� �x x1 21 1
2 2
, ou seja, x x1 2= . Em ambos os casos, temos que j é injetiva.
Para provar a sobrejetividade, seja y∈. Logo, y > 0 ou y ≤ 0. Se y > 0, 
tome x y� �2  e observe que j( ) ( ) .x f y
y y= = =2 2
2
 Se y ≤ 0 , tome 
x y� � � �2 1  e veja que f x f y
y y( ) ( ) ( ) .� � � � � � � � �2 1 2 1 1
2
 Portanto, j 
é sobrejetiva. Portanto, j :� �→ é bijeção, de onde segue que  é enumerável.
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Teorema 1.5: todo subconjunto X ⊂  é enumerável.
Demonstração: de fato, se X é finito, por definição, X é enumerável. Dessa 
forma, suporemos X infinito. Logo, X � � e X ⊂ . Segue do Princípio da 
Boa Ordem que existe x X1∈ , tal que x X1 = min( ). Faça B X1 = . Agora, faça 
B X x2 1� �{ } e veja B2 � � . Então, existe x B2 2= min( ). Da mesma forma, 
existe x B3 3= min( ), em que B X x x3 1 2� �{ , }.
Definiremos por indução uma bijeção f X:→ da seguinte for-
ma: x f1 1= ( ), x f x f2 32 3� � �( ), ( ), , x f nn = ( ), em que x Bn n= min( ) 
e B X x x xn n� � � �{ , , , }.1 2 1 Provemos que f é bijeção. Sejam a b, ,∈ 
tais que a b≠ . Suponha, sem perda de generalidade, a b< . Temos que 
x B X x x xa a a� � � � �{ , , , }1 2 1 e x B X x x x x xb b a a b� � � � �� �{ , , , , , , }.1 2 1 1 
Logo, x xa b≠ e f a f b( ) ( )≠ , f é injetiva.
Temos que f X X f( ) ( ) . � � � �� Suponha, por absur-
do, que X f� � �( ) , ou seja, existe x X f� � ( ). Por construção, 
B B B Bn1 2 3� � ��� ��. Como f n xn( ) ,= com x Bn n∈ , para todo ,
n∈ temos que x f n> ( ), para todo n∈ e, assim, concluímos que f ( ) é li-
mitado, o que é uma contradição, pois f f: ( ) → é bijetiva e  é infinito, o 
que implica que f ( ) é infinito. Portanto, f X( ) = e f é sobrejetiva. Como 
f X:→ é bijeção, temos que X é enumerável, como queríamos demonstrar. 

Corolário 1.6: se f X Y: → é injetiva e Y é enumerável, então, X é enumerável.
Demonstração: por hipótese f X Y: → é injetiva. Então, t X f X: ( )→ , 
definida por t x f x( ) ( )= , é bijetiva. Sendo Y enumerável, temos que Y é finito 
ou existe f :→Y bijetora.
Caso Y seja finito, temos que f X Y( )⊂ e, portanto, f X( ) é finito. 
Mas, como t X f X: ( )→ é bijeção, concluímos que X é finito. Logo, X é 
enumerável.
Caso exista f :→Y bijeção, temos que f� �1 :Y  e, como f X Y( )⊂
, temos que f� �1( ( ))f X  . Pelo Teorema 1.5 segue que f−1( ( ))f X é enu-
merável. Sendo f−1( ( ))f X enumerável, por definição, existe uma bijeção 
s f X: ( ( ))f� �1  . Defina y : X → por ψ φ( ) ( )( )x s f x� � 1 e observe 
que y é uma bijeção. Logo, X é enumerável. 

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Perceba que o corolário anterior nos garante que todo subconjunto de um 
conjunto enumerável é enumerável. De fato, quando X Y⊂ e Y é enume-
rável, concluímos que X é enumerável, pois a função inclusão i X Y: → é 
sempre injetiva. Dessa forma, segue do Corolário 1.6 o resultado.
Corolário 1.7: se f X Y: → é sobrejetiva e X é enumerável, então, Y 
é enumerável.
Demonstração: com efeito, como f X Y: → é sobrejetiva, então, para 
cada y Y∈ , existe x X∈ , tal que y f x= ( ). Dessa forma, para cada y Y∈ , 
escolheremos um único x X∈ , tal que y f x= ( ) , e definiremos g Y X: → 
com g y x() ,= se f x y( ) .=
Observe que f g y f g y f x y ( ) ( ( )) ( ) .= = = Temos que g é injeti-
va, pois, se para quaisquer y y Y1 2, ,∈ tal que g y g y( ) ( ),1 2= temos que 
f g y f g y( ( )) ( ( )).1 2= Logo, y y1 2= . Como g Y X: → é injetiva e X é 
enumerável, segue do Corolário 1.6 que Y é enumerável. 

Definição 1.23: dados dois conjuntos quaisquer X e Y . Dizemos que X e Y 
têm o mesmo número cardinal se existe uma bijeção f X Y: → . Neste caso, es-
crevemos card X card Y( ) ( )= . Além disso, dizemos que card X card Y( ) ( )<
, se existe f X Y: → injetiva e não existe função sobrejetiva de X em Y .
Observe que dois conjuntos finitos têm o mesmo número cardinal se, e 
somente se, possuírem o mesmo número de elementos.
Exemplo 1.22: temos que j : ,→  definida por j( )x x= 2 , é bijeção. 
Logo,
card card( ) ( ). = 
Exemplo 1.23: temos que j : ,� �→ definida por:
ϕ( )
,
,
n
n n
n n
2
1
2
 se é par 
 se é ímpar 
 é bijeção. Logo, card card( ) ( ).� �=
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Exemplo 1.24: seja n∈. Temos que card card( ) ( ).In <  De fato, é claro que 
existe f In: → injetiva, basta considerar a função inclusão. Além disso, para 
qualquer que seja j, j : In → , esta função não pode ser sobrejetiva. Para ver 
isso, tome p n� � ���j j j( ) ( ) ( ).1 2 Veja que p∈ e p In∉j( ). Logo, j 
não é sobrejetiva. Portanto, card card( ) ( ).In < 
Depois dos Elementos de Euclides, 300 a. C., poucos matemáticos influenciaram tanto o 
modo de apresentar a Matemática quanto Georg Cantor (1845-1918). Cantor nasceu na 
Rússia e cresceu na Alemanha. Ao estudar séries trigonométricas, deparou-se com certas 
questões da Análise Matemática que o levaram a criar a Teoria dos Conjuntos e toda a 
teoria sobre infinito. Na época de Cantor, os matemáticos conservadores desprezavam os 
estudos sobre os números irracionais, o conceito de infinito e tudo o que se relacionava 
a eles. Em particular, Leopold Kronecker (1823-1891), professor de Cantor, liderava uma 
campanha contra esses estudos e contra seu próprio ex-aluno. O conflito acadêmico fez 
com que a entrada de Cantor em círculos de mais altos níveis da Matemática fosse bar-
rada. Pessoalmente, Cantor acreditava que existiam vários níveis de infinito. O mais alto 
deles, o Absoluto e inatingível, era o próprio Deus. 
Mais informações sobre este matemático, você encontrará acessando os links, a seguir.
https://impa.br/noticias/georg-cantor-1845-1918-pai-do-infinito-e-do-icm/
https://www.somatematica.com.br/biograf/cantor.php
Fonte: os autores.
explorando Ideias
https://impa.br/noticias/georg-cantor-1845-1918-pai-do-infinito-e-do-icm/
https://www.somatematica.com.br/biograf/cantor.php
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
Nesta unidade, introduzimos, de maneira breve, a linguagem de conjuntos 
e funções, utilizada, sistematicamente, nas unidades seguintes. Como dito 
no início desta unidade, o uso de notações para expressar ideias e conceitos 
é uma característica da Matemática, por isso, émuito importante para o seu 
desenvolvimento matemático aprimorar a capacidade de compreender e se 
expressar, usando esses símbolos. Uma vez que essa é a linguagem natural 
da Matemática no ambiente acadêmico, imaginamos que você já tenha certa 
familiaridade com este tipo de escrita. 
Também abordamos os conjuntos finitos, infinitos e enumeráveis, apresen-
tando critérios que permitem classificar conjuntos quanto a estes conceitos, 
pois saber distinguir conjuntos quanto ao número de elementos é essencial 
para a compreensão de outros conceitos, abordados no decorrer deste livro. 
No estudo de conjuntos finitos, infinitos e enumeráveis, é essencial o concei-
to de função, o objeto matemático básico do Cálculo Diferencial e Integral. 
Neste sentido, tratamos de funções de maneira breve, destacando apenas as 
propriedades básicas, utilizadas no decorrer deste texto, tais como injetivi-
dade, bijetividade, sobrejetividade, composição de funções e função inversa.
Apresentamos o conjunto dos números inteiros e dos racionais, descre-
vemos alguns resultados e enfatizamos suas nomenclaturas e representações. 
Tratamos, também, do Princípio da Boa Ordem e do Princípio de Indução 
Finita. O Princípio da Boa Ordem foi apresentado como axioma e utilizado 
para demonstrar o Princípio de Indução. Este é um método de demonstra-
ção que pode ser usado para validar determinada afirmação para todos os 
números inteiros não negativos ou em subconjuntos dos números naturais. 
Embora tenhamos explorado poucas propriedades dos conjuntos numéricos, 
deixamos a sugestão para que você pesquise mais sobre eles. Este é um tema 
muito amplo e pode ser um bom assunto para projetos acadêmicos ou tra-
balhos de conclusão de curso.
Esta unidade foi elaborada com o intuito de facilitar sua compreensão a 
respeito dos demais conceitos, que apresentaremos a partir de agora. Espera-
mos que os assuntos, nesta primeira unidade, possam auxiliá-lo no decorrer 
do livro. E, sempre que for necessário, não hesite em retomar algum tópico 
que, aqui, tratamos.
52
na prática
1. Prove que se X e Y são conjuntos quaisquer, então, 
X Y X X Y Y X Y X Y� � � � � � � � �( ) ( ) ( ) .
2. Prove que, se X e Y são conjuntos quaisquer, então. 
( ) ( )X X Y Y X Y� � � � � �� .
3. Em relação ao conteúdo estudado neste livro, considere as seguintes afirmações:
I - Considere os conjuntos A a t t� � � �� �6 ;  e B b t t� � �� �3 ;  . Temos 
que A B⊂ .
II - Sejam f X Y: → e g Y Z: → funções. Se g f é bijeção, então, f e g 
são bijetores.
III - Para todo x∈ , temos que x2 0≥ . 
IV - Sejam a b, ∈ tais que a b, > 0 . Se a b> , então, 1 1
a b
< .
É correto o que se diz em:
a) I, apenas.
b) I e II, apenas. 
c) I, III e IV, apenas. 
d) II, III e IV, apenas.
e) I, II, III e IV.
53
na prática
4. Com base no conteúdo estudado neste livro, prove por indução:
a) 
1
1 2
1
2 3
1
1
1
�
�
�
� ��� �
� �
�
�
( )n n
n
n
 , para todo n >1 .
b) 10n -1 é divisível por 9, para todo n∈ .
5. Com base no conteúdo estudado neste livro, prove as afirmações a seguir: 
a) Sejam X e Y conjuntos finitos disjuntos. Então, 
card X Y card X card Y( ) ( ) ( )� � � .
b) Sejam X e Y conjuntos finitos, tais que Y X⊂ e X é finito. Então, 
card X Y card X card Y( ) ( ) ( ).� � � 
c) Sejam X e Y conjuntos finitos. Então, 
card X Y card X card Y card X Y( ) ( ) ( ) ( )� � � � � .
54
aprimore-se
FANTASIA MATEMÁTICA
Uma maneira ilustrativa de representar o problema do infinito na Matemática pode 
ser apresentada com a charada do Hotel Infinito, ou Grande Hotel Georg Cantor. 
Nesta charada, imagine que alguém chega à recepção de um hotel e solicite uma 
vaga. O gerente, prontamente, diz que não há mais quartos disponíveis, pois, ape-
sar de existirem infinitos quartos, todos estão ocupados. Existe, no entanto, uma 
maneira de obter uma vaga no hotel. Uma das alternativas pensadas pelo gerente 
do hotel para solucionar o problema foi a seguinte: deslocar o hóspede do primei-
ro quarto para o segundo; o hóspede do segundo quarto, por sua vez, deveria ser 
deslocado para o terceiro. Naturalmente, o do terceiro quarto seria deslocado para 
o quarto de número 4 e, assim, sucessivamente, infinitas vezes. Desta forma, ne-
nhum hóspede ficaria sem quarto, pois existem infinitos deles e o problema estaria 
resolvido.
A seguir, descrevemos uma das formas como a narrativa desta charada é apre-
sentada:
O Grande Hotel Georg Cantor tinha uma infinidade de quartos, numerados con-
secutivamente, um para cada número natural. Todos eram igualmente confortáveis. 
Em um fim de semana prolongado, o hotel estava com seus quartos todos ocupa-
dos, quando chega um viajante. A recepcionista vai, logo, dizendo:
— Sinto muito, mas não há vagas.
55
aprimore-se
Ouvindo isto, o gerente interveio:
— Podemos abrigar o cavalheiro, sim senhora.
E ordena:
— Transfira o hóspede do quarto 1 para o quarto 2, passe o do quarto 2 para o