Momento Linear e Energia Mecânica de um Sistema

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Aula 2 - O momento linear e a energia mecânica de um sistema de partículas
MÓDULO 1 - AULA 2
Aula 2 - O momento linear e a energia mecânica
de um sistema de partículas
Definir o momento linear e a energia mecânica de um sistema com N
partículas e de um corpo extenso. Enunciar as leis que fornecem as variações
do momentos lineares e das energias mecânicas destes sistemas.
Objetivos
Esperamos que após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz
de:
1. Calcular o momento linear de um sistema de partículas e de um corpo
extenso.
2. Utilizar a conservação do momento linear de um sistema de partículas
para descrever alguns aspectos do seu movimento.
3. Calcular as energias cinética, potencial gravitacional e mecânica de um
sistema de partículas e de um corpo extenso.
4. Utilizar as informações sobre a energia mecânica de um sistema de
partículas para descrever alguns aspectos do seu movimento.
Introdução
Você aprendeu na Aula 1 a descrever alguns aspectos do movimento
de um sistema de partículas e de um corpo extenso, utilizando o conceito de
centro de massa e a lei que permite encontrar a sua trajetória. Nesta aula,
vamos definir os conceitos de momento linear e de energia de um sistema de
partículas e de um corpo extenso. Também serão apresentadas as leis que
descrevem as mudanças destas grandezas durante os seus movimentos. Esses
novos conhecimentos fornecerão informações importantes nas descrições das
colisões e das rotações dos corpos.
A compreensão do que ocorre nas colisões é de extrema importância
para o nosso cotidiano, uma vez que nelas há transferência de energia e a
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FÍsica 1B
Aula 2 - O momento linear e a energia mecânica de um sistema de partículas
possibilidade de deformações dos corpos. Elas também têm um papel impor-
tante em várias esportes, entre eles podemos citar o bilhar, o boliche, o tenis
etc.
Definiremos inicialmente o conceito de momento linear de uma partí-
cula. A seguir, generalizaremos esse conceito para o sistema formado por
duas partículas. A extensão dos resultados obtidos com duas partículas para
um sistema com N partículas e para um corpo extenso é imediata e será
apresentada, sem demonstrações, nesta Aula.
Momento linear de uma partícula
A Segunda Lei de Newton aplicada a uma partícula fornece a sua ace-
leração.
m~a =
n∑
i=1
~Fi, (2.1)
em que ~Fi é a i-ésima entre as n forças que atuam na partícula e
∑n
i=1
~Fi é
a força resultante que atua sobre ela.
O conceito de momento linear de uma partícula surge naturalmente
quando escrevemos a Segunda Lei de Newton para uma partícula utilizando
a informação de que a aceleração da partícula é a derivada do seu vetor
velocidade, isto é,
~a =
d~v
dt
⇒ m~a = m d~v
dt
=
n∑
i=1
~Fi ⇒
d(m~v)
dt
=
n∑
i=1
~Fi
d~p
dt
=
n∑
i=1
~Fi, (2.2)
em que ~p = m~v é denominado momento linear da partícula. Observe que
o momento linear é uma grandeza vetorial. A unidade do momento linear
no sistema de unidades MKSA é N.s, uma vez que a derivada temporal do
momento linear tem dimensão de força.
A Segunda Lei de Newton expressa pela equação 2.2 é equivalente
àquela da equação 2.1 apenas nos casos em que as massas são constantes
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Aula 2 - O momento linear e a energia mecânica de um sistema de partículas
MÓDULO 1 - AULA 2
O momento linear de uma partícula é modificado pela
força resultante que atua sobre ela.
e as velocidades não são relativísticas. A versão expressa pela equação 2.2
apresenta algumas vantagens. Uma delas é que nela aparece o conceito de
momento linear. A outra, é que a equação 2.2 , ao contrário da equação 2.1,
permanece válida na mecânica relativística que você aprenderá em estudos
futuros durante o seu curso.
Momento linear de duas partículas
A figura 2.1 mostra um sistema formado pelas partículas 1 e 2 com os
seus vetores posição ~r1 e ~r2 e as forças que atuam sobre as partículas. As for-
ças ~F ext1 e ~F ext2 são as forças resultantes externas que atuam respectivamente
nas partículas 1 e 2, a força ~F12 é uma força interna que a partícula 2 exerce
sobre a partícula 1 e ~F21 é uma força interna que a partícula 1 exerce sobre
a partícula 2.
Figura 2.1: Sistema formado por duas partículas.
A definição do momento linear de um sistema formado por duas partí-
culas aparece naturalmente quando aplicamos a Segunda Lei de Newton, na
forma da equação 2.2, a cada uma das partículas representadas na figura 2.1,
isto é,
d~p1
dt
= ~F ext1 + ~F12, (2.3)
d~p2
dt
= ~F ext2 + ~F21. (2.4)
51 CEDERJ
FÍsica 1B
Aula 2 - O momento linear e a energia mecânica de um sistema de partículas
A soma das equações 2.3 e 2.4 fornece uma equação análoga à equação
2.2, uma vez que
d~p1
dt
+
d~p2
dt
= ~F ext1 + ~F12 + ~F
ext
2 + ~F21 ⇒
d~P
dt
= ~F ext1 + ~F
ext
2 =
2∑
i=1
~F exti ⇒
d~P
dt
=
2∑
i=1
~F exti ⇒
d~P
dt
= ~F ext, (2.5)
em que ~P = ~p1 + ~p2 é denominado momento linear do sistema formado pelas
duas partículas e ~F ext =
∑2
i=1
~F exti é a força resultante externa que atua
sobre o sistema.
As forças internas não modificam o momento linear do sistema
formado por duas partículas.
Logo, quando a força resultante externa é nula, o momento linear do
sistema se conserva, isto é,
d~P
dt
= ~F ext = ~0⇒ ~P = ~P0, em que ~P0 é o mo-
mento linear inicial do sistema.
Nós representamos até o momento o peso de um corpo pelo vetor ~P .
A partir de agora, a menos que se diga o contrário, representaremos o peso
de um corpo pelo vetor m~g e o momento linear de um sistema por ~P .
Energia mecânica de duas partículas
Inicialmente, vamos definir o conceito de energia mecânica para um sis-
tema formado por duas partículas. A generalização deste conceito para um
sistema com N partículas e para um corpo extenso é imediata e se encontra
no Complemento 1 deste módulo.
Na figura 2.2 foram desenhados um sistema formado pelas partículas 1
e 2 com massas respectivamente iguais m1 e m2, a força resultante externa
~F ext1 que atua na partícula 1, a força interna ~F12 exercida pela partícula 2 na
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partícula 1, a força resultante externa ~F ext2 que atua na partícula 2, a força
interna ~F21 exercida pela partícula 1 na partícula 2 e as trajetórias C1 e C2
das partículas.
Figura 2.2: Energia mecânica de um sistema de partículas.
Quando a partícula 1 se desloca entre os pontos A1 e B1 pela trajetória
C1 e a partícula 2 se desloca entre os pontos A2 e B2 pela trajetórias C2, entre
os instantes de tempo t1 e t2, a aplicação do Teorema do Trabalho-Energia
Cinética a cada uma das partículas fornece:
m1 v
2
1B1
2
−
m1 v
2
1A1
2
= ∆Ec1 =
∫ B1
A1,C1
~F ext1 · d~r1 +
∫ B1
A1,C1
~F12 · d~r1, (2.6)
m2 v
2
2B2
2
−
m2 v
2
2A2
2
= ∆Ec2 =
∫ B2
A2,C2
~F ext2 · d~r2 +
∫ B2
A2,C2
~F21 · d~r2, (2.7)
em que ∆Ec1 =
m1 v
2
1B1
2
−
m1 v
2
1A1
2
é a variação da energia cinética da partí-
cula 1 entre os pontos A1 e B1 e ∆Ec2 =
m2 v
2
2B2
2
−
m2 v
2
2A2
2
é a variação da
energia cinética da partícula 2 entre os pontos A2 e B2 .
A soma das equações 2.6 e 2.7 e o fato de que as forças ~F12 e ~F21 são
forças de ação e reação, isto é, ~F12 = −~F21, fornece:
∆Ec1 + ∆Ec2 =
∫ B1
A1,C1
~F ext1 · d~r1 +
∫ B1
A1,C1
~F12 · d~r1 +
+
∫ B2
A2,C2
~F ext2 · d~r2 +
∫ B2
A2,C2
~F21 · d~r2 ⇒
∆Ec =
∫ B1
A1,C1
~F ext1 · d~r1 +
∫ B2
A2,C2
~F ext2 · d~r2 +
+
∫ B1
A1,C1
~F12 · d~r1 −
∫ B2
A2,C2
~F12 · d~r2 (2.8)
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FÍsica 1B
Aula 2 - O momento linear e a energia mecânica de um sistema de partículas
em que Ec = Ec1 + Ec2 =
m1 v
2
1
2
+
m2 v
2
2
2
.
A equação 2.8 mostra que os trabalhos da forças internas contribuem
para a variação da energia cinética das duas partículas porque as partículas
têm trajetórias diferentes, de tal forma que a soma das integrais que contêm
~F12 e ~F21 não é nula, isto é,∫ B1
A1,C1
~F12 · d~r1 +
∫ B2
A2,C2
~F21 · d~r2 =
∫ B1
A1,C1
~F12 · d~r1 −
∫ B2
A2,C2
~F12 · d~r2 6= 0.
As forças que atuam nas partículas 1 e 2 podem ser escritascomo somas
de forças conservativas e não conservativas, isto é,
~F ext1 = ~F
ext
1c + ~F
ext
1nc e ~F12 = ~F12c + ~F12nc, (2.9)
~F ext2 = ~F
ext
2c + ~F
ext
2nc e ~F21 = ~F21c + ~F21nc. (2.10)
Por isso, podemos reescrever a equação 2.8 da seguinte forma:
∆Ec =
∫ B1
A1
~F ext1c · d~r1 +
∫ B2
A2
~F ext2c · d~r2 +
+
∫ B1
A1
~F12c · d~r1 +
∫ B2
A2
~F21c · d~r2 +
+
∫ B1
A1,C1
~F ext1nc · d~r1 +
∫ B2
A2,C2
~F ext2nc · d~r2 +
+
∫ B1
A1,C1
~F12nc · d~r1 +
∫ B2
A2,C2
~F21nc · d~r2. (2.11)
Como os trabalhos das forças conservativas não dependem das trajetó-
rias das partículas, podemos associar às forças externas e internas conserva-
tivas energias potenciais, isto é,
∆U ext1 = −
∫ B1
A1
~F ext1c · d~r1 (2.12)
∆U ext2 = −
∫ B2
A2
~F ext2c · d~r2 (2.13)
∆U12 = −
∫ B1
A1
~F12c · d~r1 (2.14)
∆U21 = −
∫ B2
A2
~F21c · d~r2, (2.15)
(2.16)
em que U ext1 e U ext2 são as energias potenciais externas, respectivamente das
partículas 1 e 2, U12 é a energia potencial interna da partícula 1 associada à
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força interna conservativa ~F12c que a partícula 2 exerce sobre a partículas 1
e U21 é a energia potencial interna da partícula 2 associada à força interna
conservativa ~F21c que a partícula 1 exerce sobre a partículas 2. Com essas
definições, a equação 2.11 pode ser reescrita da seguinte forma:
∆Ec = −∆U ext1 −∆U ext2 −∆U12 −∆U21 +
∫ B1
A1,C1
~F ext1nc · d~r1 +
∫ B2
A2,C2
~F ext2nc · d~r2+⇒
+
∫ B1
A1,C1
~F12nc · d~r1 +
∫ B2
A2,C2
~F21nc · d~r2 ⇒
∆EM =
∫ B1
A1,C1
~F ext1nc · d~r1 +
∫ B2
A2,C2
~F ext2nc · d~r2 +
∫ B1
A1,C1
+~F12nc · d~r1 +
∫ B2
A2,C2
~F21nc · d~r2,
(2.17)
em que EM = Ec + U e U = U ext1 + U ext2 + U12 + U21.
Consequentemente, podemos afirmar que:
1. A energia cinética do sistema formado pelas duas partículas é a soma
das energias cinéticas das partículas.
2. A energia potencial do sistema formado pelas duas partículas é a soma
das energias potenciais externas e internas das partículas.
3. A energia mecânica do sistema formado pelas duas partículas é a soma
da sua energia potencial com a sua energia cinética.
4. A energia mecânica do sistema formado pelas duas partículas é mo-
dificada pelo trabalho de forças externas e internas não conservativas.
Logo, a energia mecânica do sistema se conserva somente quando o
trabalho das forças não conservativas internas e externas forem nulos.
A energia mecânica de um sistema formado por duas partículas
também pode ser modificada pelo trabalho de forças internas
não conservativas.
Os conceitos de momento linear e energia mecânica de um sistema for-
mado por duas partículas, com as suas respectivas variações, permitem des-
crever as colisões entre as partículas.
O exemplo 2.1 e as atividades 1 e 2 dizem respeito à colisões frontais
totalmente inelásticas entre dois corpos, que podem ser tratados como par-
tículas.
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Aula 2 - O momento linear e a energia mecânica de um sistema de partículas
Em uma colisão totalmente inelástica, as partículas se unem
após a colisão.
Em um colisão frontal, os centros de massa dos corpos estão
alinhados, de tal forma que as direções das velocidades dos
corpos não mudam depois da colisão.
Exemplo 2.1
Um sistema é formado por dois discos que deslizam sobre uma mesa sem
atrito. A massas dos discos são m1 = 0,2 kg e m2 = 0,4 kg. Os discos estão
se deslocando inicialmente sobre o eixo OX com velocidades ~v1 = (0,4 m/s) ı̂
e ~v2 = (0,2 m/s) ı̂, como mostra a figura 2.3.
Figura 2.3: Colisão inelástica unidimensional de dois discos diferentes.
Os discos se unem após a colisão. Despreze as forças que o ar exerce sobre
os discos. Os discos se comportam como partículas. Resolva o problema no
referencial do laboratório, considerado inercial.
1. Calcule as velocidades dos discos após a colisão.
2. Calcule a variação da energia mecânica do sistema.
Resolução
1. Vamos resolver esta questão analisando a variação do momento linear
total do sistema. Com essa finalidade, vamos fazer o diagrama das
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forças extermas que atuam no sistema. Estão em contato com o sistema
o ar e a mesa. Por isso, somente eles podem exercer forças de contato
sobre os discos. A mesa empurra os discos para cima com as normais.
As únicas forças gravitacionais não desprezíveis que atuam sobre os
discos são os seus pesos. O diagrama das forças externas que atuam
no sistema antes, durante e depois da colisão foi representado na figura
2.4.
Figura 2.4: Forças externas que atuam sobre o sistema.
Como os discos não têm deslocamentos verticais, as forças resultantes
verticais que atuam sobre eles são nulas, isto é,
~N1 +m1 ~g = ~0 e ~N2 +m2 ~g = ~0.
Por isso, o momento linear do sistema se conserva, uma vez que
d~P
dt
= ~N1 +m1 ~g + ~N2 +m2 ~g = ~0⇒ ~P = ~P0.
Logo, temos que:
~P0 = m1 ~v1 +m2 ~v2 = (m1 +m2)~vf ⇒ vfx =
m1 v1x +m2 v2x
m1 +m2
⇒
vfx =
(0,2 kg) (0,4 m/s) + (0,4 kg) (0,2 m/s)
0,2 kg + 0,4 kg
=
4
15
m/s ∼= 0,27 m/s⇒
~vf = (0,27 m/s) ı̂.
2. Não é possível calcular a variação da energia mecânica dos discos pela
equação 2.17 porque a natureza das forças internas durante a interação
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dos discos é desconhecida. Por isso, obteremos a variação da energia
mecânica dos discos calculando o seu valor antes e depois da colisão.
Não existe energia potencial interna das massas fora da colisão porque
os discos só interagem durante a colisão. Logo, a energia mecânica dos
discos fora da colisão é igual a EM = Ec + Ug1 + Ug2, em que Ug1 e
Ug2 são as energias potenciais gravitacionais dos discos. As energias
potenciais gravitacionais dos discos não variam porque as alturas dos
seus centros de massa não variam durante o deslocamento dos discos.
Logo, a variação da energia mecânica dos discos fora da colisão é igual
à variação da sua energia cinética, isto é, ∆EM = ∆Ec.
A energia cinética do sistema Eca antes da colisão é igual a
Eca =
m1 v
2
1
2
+
m2 v
2
2
2
.
A energia cinética do sistema Ecf depois da colisão é igual a
Ecf =
m1 v
2
f
2
+
m2 v
2
f
2
=
(m1 +m2) v
2
f
2
.
Logo, a variação da energia mecânica do sistema é igual a
∆EM =
(m1 +m2) v
2
f
2
− m1 v
2
1
2
− m2 v
2
2
2
⇒
∆EM =
(0, 6 kg)
2
.
(
4
15
m/s
)2
− 0,2.(0,4 m/s)
2
2
− 0,4.(0,2 m/s)
2
2
⇒
∆EM = −0,0027 J.
Observe que a energia mecânica do sistema diminuiu. Os trabalhos
das normais, que são forças externas não conservativas, são nulos, já
que elas são perpendiculares aos deslocamentos dos discos. Por isso,
somente as forças internas não conservativas que atuam nos discos du-
rante a colisão podem ter dissipado a energia mecânica do sistema
formado pelos discos. A dissipação de energia mecânica ocorre porque
em uma colisão completamente inelástica há deformações permanentes
dos discos, com consequente produção de calor.
Atividade 1
Atende aos objetivos 1 e 2
Baseado no que você leu nesta Aula, faça a seguinte questão:
Um sistema é formado por dois discos que deslizam sobre uma mesa sem
atrito. As massas dos discos são iguais a m. Inicialmente, os discos 1 e
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MÓDULO 1 - AULA 2
2 estão se deslocando sobre o eixo OX, com velocidades respectivamente
iguais a ~v1 e ~v2 = −~v1, como mostra a figura I. A colisão dos discos é frontal
e totalmente inelástica. Calcule as velocidades dos discos após a colisão.
Os discos se comportam como partículas. Despreze as forças que o ar exerce
sobre os discos. Resolva o problema no referencial do laboratório, considerado
inercial.
Figura I: Colisão inelástica unidimensional de discos iguais.
Resposta Comentada
Vamos resolver essa questão analisando a variação do momento linear
total do sistema. Com essa finalidade vamos fazer o diagrama das forças
extermas que atuam no sistema.Estão em contato com o sistema o ar e
a mesa. Por isso, somente eles podem exercer forças de contato sobre os
discos. A mesa empurra os discos para cima com as normais. As únicas
forças gravitacionais não desprezíveis que atuam sobre os discos são os seus
pesos. O diagrama das forças extenas que atuam no sistema antes, durante
e depois da colisão foi representado na figura II.
Como os discos não têm deslocamentos verticais, as forças resultantes
verticais que atuam sobre eles são nulas, isto é,
~N1 +m1 ~g = ~0 e ~N2 +m2 ~g = ~0.
Por isso, o momento linear do sistema se conserva, uma vez que
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FÍsica 1B
Aula 2 - O momento linear e a energia mecânica de um sistema de partículas
Figura II: Forças externas que atuam sobre o sistema.
d~P
dt
= ~N1 +m1 ~g + ~N2 +m2 ~g = ~0⇒ ~P = ~P0.
A velocidade final do sistema formado pelos discos pode ser obtida da con-
servação do momento linear, já que
~P0 = ~Pf ⇒ m1 ~v1 +m2 ~v2 = (m1 +m2)~vf ⇒ ~vf =
m1 ~v1 +m2 ~v2
m1 +m2
⇒
~vf =
m1 ~v1 −m2 ~v1
m1 +m2
= ~0.
Logo, os discos permanecem em repouso após a colisão.
Atividade 2
Atende aos objetivos 1 e 2
Baseado no que você leu nesta Aula, faça a seguinte questão:
Um sistema é formado por dois discos que deslizam sobre uma mesa sem
atrito. A massas dos discos são m1 = 0,2 kg e m2 = 0,4 kg. Inicialmente, o
disco 1 está se deslocando sobre o eixo OX com velocidade ~v1 = (0,4 m/s) ı̂ e
o disco 2 está se deslocando sobre o eixo OY com velocidade ~v2 = (0,2 m/s) ̂,
como mostra a figura I.
A colisão dos discos é totalmente inelástica, isto é, eles se unem após a
colisão. Os discos se comportam como partículas. Despreze as forças que o
ar exerce sobre os discos. Resolva o problema no referencial do laboratório,
considerado inercial.
1. Calcule as velocidades dos discos após a colisão.
2. Calcule a variação da energia mecânica do sistema formado pelos dois
discos.
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MÓDULO 1 - AULA 2
Figura I: Colisão bidimensional totalmente inelástica de dois discos.
Resposta Comentada
1. Vamos resolver esta questão analisando a variação do momento linear
total do sistema. Com essa finalidade vamos fazer o diagrama das forças
extermas que atuam no sistema. Estão em contato com o sistema o ar
e a mesa. Por isso, somente eles podem exercer forças de contato sobre
os discos. A mesa empurra os discos para cima com as normais. As
únicas forças gravitacionais não desprezíveis que atuam sobre os discos
são os seus pesos. O diagrama das forças externas que atuam no sistema
antes, durante e depois da colisão foi representado na figura II.
Como os discos não têm deslocamentos verticais, as forças resultantes
verticais que atuam sobre eles são nulas, isto é,
~N1 +m1 ~g = ~0 e ~N2 +m2 ~g = ~0.
Por isso, o momento linear do sistema se conserva, uma vez que
d~P
dt
= ~N1 +m1 ~g + ~N2 +m2 ~g = ~0⇒ ~P = ~P0.
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Aula 2 - O momento linear e a energia mecânica de um sistema de partículas
Figura II: Forças externas que atuam sobre o sistema.
Logo, temos que:
~P0 = ~Pf ⇒ m1 ~v1+m2 ~v2 = (m1+m2)~vf ⇒ ~vf =
(0,4 m/s)̂ı+ (0,2 m/s)̂
0,2 kg + 0,4 kg
.
~vf =
(
2
3
m/s
)
ı̂+
(
1
3
m/s
)
̂.
Você não pode esquecer que o momento linear é uma grandeza vetorial.
Por isso, ele deve ser expresso em termos dos vetores unitários dos eixos.
2. Nesta atividade, você não pode calcular a variação da energia mecâ-
nica dos discos pela equação 2.17 porque a natureza das forças internas
durante a interação dos discos é desconhecida. Por isso, obteremos a
variação de energia mecânica dos discos calculando o seu valor antes e
depois da colisão.
Não existe energia potencial interna das massas fora da colisão porque
os discos só interagem durante a colisão. Logo a energia mecânica dos
discos fora da colisão é igual a EM = Ec + Ug1 + Ug2, em que Ug1 e
Ug2 são as energias potenciais gravitacionais dos discos. As energias
potenciais gravitacionais dos discos não variam porque as alturas dos
seus centros de massa não variam durante o deslocamento dos discos.
Logo, a variação da energia mecânica dos discos fora da colisão é igual
à variação da sua energia cinética, isto é, ∆EM = ∆Ec.
A energia cinética do sistema Eca antes da colisão é igual a
Eca =
m1 v
2
1
2
+
m2 v
2
2
2
.
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Aula 2 - O momento linear e a energia mecânica de um sistema de partículas
MÓDULO 1 - AULA 2
A energia cinética do sistema Ecf depois da colisão é igual a
Ecf =
m1 v
2
f
2
+
m2 v
2
f
2
=
(m1 +m2) v
2
f
2
.
Logo, a variação da energia mecânica do sistema é igual a
∆EM =
(m1 +m2) v
2
f
2
− m1 v
2
1
2
− m2 v
2
2
2
⇒
∆EM =
(0, 6 kg)
2
.
(
4
15
m/s
)2
− 0,2.(0,4 m/s)
2
2
− 0,4.(0,2 m/s)
2
2
⇒
∆EM = −0,0027 J.
Observe que a energia mecânica do sistema diminuiu. Os trabalhos
das normais, que são forças externas não conservativas, são nulos, uma
vez que elas são perpendiculares aos deslocamentos dos discos. Por
isso, somente as forças internas não conservativas que atuam nos discos
durante a colisão podem ter dissipado a energia mecânica do sistema
formado pelos discos. A dissipação de energia mecânica ocorre porque
em uma colisão completamente inelástica há deformações permanentes
dos discos, com consequente produção de calor.
As atividades de 3 e 4 tratam de colisões elásticas entre corpos que se
comportam como partículas.
As colisões entre corpos em que existe conservação de energia mecânica são
denominadas elásticas. Nelas, durante a colisão, os corpos sofrem deformações
que desaparecem completamente após a colisão. Enquanto os corpos estão
se deformando, parte da energia cinética do sistema é transformada em energia
potencial interna. Quando as deformações começam a desaparecer, a energia
interna vai sendo reconvertida em energia cinética dos corpos, de tal forma
que não existe perda de energia mecânica devido à produção de calor,
decorrente de deformações permantes dos corpos que colidem.
Atividade 3
Atende aos objetivos de 1 até 4
Baseado no que você leu nesta Aula, faça a seguinte questão:
Um bloco 1 de massa m1 = 1 kg, que se move com velocidade ~v1 = (2 ı̂)m/s
sobre uma mesa plana sem atrito, colide frontalmente com um bloco 2 de
massa m2 = 8 kg, que estava em repouso. O choque é perfeitamente elástico.
63 CEDERJ
FÍsica 1B
Aula 2 - O momento linear e a energia mecânica de um sistema de partículas
Quais as velocidades dos blocos depois da colisão? Considere conhecidos as
massas e as velocidades dos blocos antes da colisão. Os blocos se comportam
como partículas. Resolva o problema do referencial do laboratório, conside-
rado inercial.
Figura I:Colisão unidimensional elástica entre dois blocos.
Resposta Comentada
A energia mecânica do sistema formado pelos blocos é igual à soma das ener-
gias cinéticas dos blocos com suas energias potenciais gravitacionais. Como
as alturas dos centros de massa dos blocos não mudam durante os seus deslo-
camentos, a energia potencial gravitacional do sistema permanece constante.
Por isso, a conservação da energia mecânica do sistema formado pelos blocos
equivale à conservação da sua energia cinética, isto é,
Eci =
m1 v
2
1
2
= Ecf =
m1 u
2
1
2
+
m2 u
2
2
2
⇒
u21 + 8u
2
2 = 4⇒ u21x + 8u22x = 4 (2.18)
A variação temporal do momento linear do sistema formado pelos blocos
depende da força resultante externa. Por isso, vamos construir o diagrama
das forças externas que atuam no sistema. Estão em contato com o sistema
o ar e a mesa. Por isso, somente eles podem exercer forças de contato sobre
os blocos. A mesa empurra os blocos para cima com as normais. As únicas
CEDERJ 64
Aula 2 - O momento linear e a energia mecânica de um sistema de partículas
MÓDULO 1 - AULA 2
forças gravitacionais não desprezíveis que atuam sobre os blocos são os seus
pesos. O diagrama das forças extenas que atuam no sistema antes, durante
e depois da colisão foi representado na figura II.
Figura II: Forças externas que atuam sobre o sistema.
Como os blocos não têm deslocamentos verticais asforças resultantes
verticais que atuam sobre eles são nulas, isto é,
~N1 +m1 ~g = ~0 e ~N2 +m2 ~g = ~0.
Por isso, temos que,
d~P
dt
= ~N1 +m1 ~g + ~N2 +m2 ~g = ~0⇒ ~P = ~P0.
A conservação do momento linear do sistema formado pelos blocos fornece
uma nova relação entre as velocidades dos blocos após a colisão, já que
~P0 = m1 ~v1 +m2 ~v2 = m1 ~u1 +m2 ~u2 ⇒
u1x = 2− 8u2x. (2.19)
As velocidades dos blocos podem ser obtidas da resolução das equações
2.18 e 2.19, uma vez que
u1x = 2− 8u2x e u21x + 8u22x = 4⇒
(2− 8u2x)2 + 8u22x = 4⇒
4 + 64u22x − 32u2x + 8u22x = 4⇒
9 u22x − 4u2x = 0 (2.20)
A equação 2.20 tem duas soluções. A primeira solução é u2x = 0. Nesse caso,
a velocidade do primeiro bloco se reduz a u1x = 2 − 8.( 0) = 2 m/s. Essa
solução corresponde à situação inicial e não será levada em consideração.
65 CEDERJ
FÍsica 1B
Aula 2 - O momento linear e a energia mecânica de um sistema de partículas
A segunda solução pode ser obtida dividindo-se a 2.20 por u2x, isto é,
u2x =
4
9
m/s⇒ u1x = 2− 8
4
9
= −14
9
m/s⇒
~u2 = (
4
9
m/s) ı̂ e ~u1 = −
(
14
9
m/s
)
ı̂.
Logo, diferente do que foi desenhado na figura I, após a colisão, o
primeiro bloco inverte o sentido do seu movimento.
Atividade 4
Atende aos objetivos de 1 até 4
Baseado no que você leu nesta Aula, faça a seguinte questão:
Um disco de massam1 e velocidade com módulo v0 atinge outro disco estacio-
nário de mesma massa, como mostra a figura I. Como a colisão não foi frontal
(os centros dos discos não estavam alinhados), o discos saem da colisão com
direções diferentes. A colisão dos discos é elástica. Encontre o ângulo entre
as direções das velocidades dos discos após a colisão. Despreze os atritos.
Considere os discos como partículas. Resolva o problema do referencial do
laboratório, considerado inercial.
Figura I: Colisão bidimensional elástica.
Resposta Comentada
A conservação da energia do sistema formado pelos discos fornece a seguinte
CEDERJ 66
Aula 2 - O momento linear e a energia mecânica de um sistema de partículas
MÓDULO 1 - AULA 2
equação:
Eci = Ecf ⇒
m1 v
2
0
2
=
m1 u
2
1
2
+
m2 u
2
2
2
=
m1 u
2
1
2
+
m1 u
2
2
2
v20 = u
2
1 + u
2
2. (2.21)
A forças externas que atuam no sistema formado pelos dois discos foram
representadas na figura II.
Figura II: Forças externas que atuam no sistema.
Como os discos não têm deslocamentos verticais e o atrito entre eles e
a mesa é desprezível, as forças resultantes que atuam sobre cada um deles
são nulas, isto é,
~N1 +m1 ~g = ~0 e ~N2 +m2 ~g = ~0.
Por isso, o momento linear do sistema se conserva, uma vez que
~P
dt
= ~N1 +m1 ~g + ~N2 +m2 ~g = ~0⇒ ~P = ~P0.
Logo, temos que:
m1 ~v0 = m1 ~u1 +m2 ~u2 = m1 ~u1 +m1 ~u2 ⇒ ~v0 = ~u1 + ~u2. (2.22)
As equações obtidas com a conservação da energia (2.21) e com a conservação
do momento linear (2.22) fornecem o ângulo entre as direções das velocidades
após a colisão, uma vez que
v20 = u
2
1 + u
2
2 e ~v0 = ~u1 + ~u2 ⇒ (~u1 + ~u2)2 = u21 + u22 + 2 ~u1 · ~u2 = u21 + u22 ⇒
~u1 · ~u2 = 0⇒ u1 u2 cos(θ1 + θ2) = 0⇒ θ = θ1 + θ2 = 90o.
Logo, o ângulo θ = θ1 + θ2 entre as direções dos deslocamentos dos discos é
igual a noventa graus.
67 CEDERJ
FÍsica 1B
Aula 2 - O momento linear e a energia mecânica de um sistema de partículas
O resultado obtido na atividade 4 também vale para bolas de bilhar. Os
jogadores de bilhar descobrem esse resultado praticando o jogo.
Atividade 5
Atende aos objetivos 1 até 4
Baseado no que você leu nesta Aula, faça a seguinte questão:
Considere os blocos 1 e 2 colocados sobre uma mesa sem atrito. As massas
dos blocos 1 e 2 são respectivamente iguais a 1 kg e 2 kg. Os blocos, que
estão ligados por um fio de massa desprezível, estão encostados em uma
mola comprimida, como mostra a figura I.
Figura I: Energia interna.
A mola tem massa desprezível e constante elástica k = 300 N/m. A com-
pressão inicial d da mola é de 0,1 m. Num dado momento o fio é cortado por
uma tesoura, de tal forma que os blocos se afastam e a mola repousa sobre a
mesa. Determine a velocidade de cada bloco depois que eles se separam da
mola.
Resposta Comentada
Na figura II foram desenhadas as forças que atuam no sistema formado
pela mola e pelos blocos, antes da mola descolar dos blocos. As forças
~F1m, ~Fm1, ~Fm2 e ~F2m são as forças internas que atuam no sistema. Os pares
CEDERJ 68
Aula 2 - O momento linear e a energia mecânica de um sistema de partículas
MÓDULO 1 - AULA 2
de ação e reação satisfazem às seguintes relações: ~F1m = −~Fm1 e ~F2m =
−~Fm2 . As normais ~N1 e ~N2 e os pesos m1 ~g e m2 ~g são as forças externas.
Figura II: Diagrama das forças que atuam no sistema formado pelos blocos
e pela mola, antes da mola desencostar dos blocos..
A aplicação da Segunda Lei de Newton aos centros de massa dos blocos
e da mola fornece:
m1~a1 = ~N1 +m1 ~g + ~F1m (2.23)
mmola~acm,mola = ~Fm1 + ~Fm2 = ~0⇒ ~Fm1 = −~Fm2 e (2.24)
m2~a2 = ~N2 +m2 ~g + ~F2m = ~N2 +m2 ~g − ~F1m (2.25)
A equações 2.23 e 2.25 são análogas às equações de um sistema formado por
duas partículas cujas forças internas são ~F12 = −~F21 = ~F1m. Por isso, vamos
tratar o sistema formado pelos dois blocos e pela mola de massa desprezível,
como um sistema formado por duas partículas que interagem através da força
da mola.
Como a força resultante externa que atua no sistema é nula, o momento
linear do sistema é constante e igual a
~P (t) = ~P0 = ~0⇒ m1 v1fx +m2 v2fx = 0⇒
v2fx = −
m1
m2
v1fx. (2.26)
A equação 2.26 não fornece as velocidades dos blocos depois que eles se afas-
tam. Por isso, precisamos de uma nova equação para obter essas velocidades.
69 CEDERJ
FÍsica 1B
Aula 2 - O momento linear e a energia mecânica de um sistema de partículas
Esta nova equação será obtida com a análise da variação da energia mecânica
do sistema.
As normais são as forças não conservativas que atuam no sistema. Os
trabalhos das normais são nulos porque elas são perpendiculares aos deslo-
camentos dos blocos, isto é,
~N1 · d~r1 = ~N2 · d~r2 = 0.
A energia potencial externa do sistema é a energia potencial gravitaci-
onal dos blocos que é igual a soma das energias potenciais gravitacionais dos
centros de massas dos blocos. Ela não modifica porque as alturas dos centros
de massa dos blocos não variam durante os seus deslocamentos.
Como a força da mola é conservativa, o sistema tem uma energia po-
tencial interna igual a
Uinterna =
k (`− `0)2
2
,
em que ` é o comprimento da mola comprimida e `0 é o comprimento da
mola quando ela está no seu tamanho normal.
Não existem forças não conservativas internas atuando no sistema. Por
isso, a variação da energia mecânica do sistema é nula, isto é,
∆EM = 0⇒ EMf = EMi ⇒
m1 v
2
1f
2
+
m2 v
2
2f
2
=
k d2
2
⇒
m1 v
2
1f +m2 v
2
2f = k d
2.
A substituição da relação entre as velocidades dos blocos (equação 2.26) na
equação da conservação da energia fornece:
m1 v
2
1f +m2
(
m1
m2
v1fx
)2
= k d2 ⇒
v21f
(
m1 +
m21
m2
)
= k d2 ⇒
m1 v
2
1f
(
m1 +m2
m2
)
= k d2 ⇒
v1f = d
√
km2
m1 (m1 +m2)
= (0,1 m)
√
(300 N/m) (4 kg)
(2 kg) (6 kg)
= 1,0 m/s.
Como o bloco 1 está se deslocando da direção negativa do eixo OX
temos que:
v1fx = −1,0 m/s⇒ v2xf = −v1xf
m1
m2
=
1,0
2
m/s = 0,5 m/s.
Logo, as velocidades finais dos blocos são iguais a
~v1f = (−1,0 m/s) ı̂ e ~v2f = (0,5 m/s) ı̂.
CEDERJ 70
Aula 2 - O momento linear e a energia mecânica de um sistema de partículas
MÓDULO 1 - AULA 2
Momento linear e energia de um sistema com N partí-
culas
A construção do conceito de momento linear de um sistema com N
partículas e a obtenção da sua variação temporal são análogas as do sistema
com duas partículas. Por isso, para não sobrecarregar o texto, elas foram
colocadas no Complemento 1, que se encontra no final deste módulo.
Por definição, o momento linear ~P de um sistema com N partículas é a
soma dos momentos lineares de cada uma das partículas, isto é, ~P =
∑N
i=1 ~pi,
em que ~pi = mi ~vi é o momento linear da i-ésima partícula.
A variação temporal do momento linear de um sistema com N partí-
culas é iguala
d~P
dt
= ~F ext
,
em que ~F ext é a força resultante externa que atua no sistema.
O momento linear do sistema formado por N partículas não pode
ser alterado por forças internas.
Nas seções anteriores definimos as energias cinética, potencial externa,
potencial interna e mecânica para duas partículas e encontramos a lei que
fornece a variação da energia mecânica. A generalização desses resultados
para N partículas é imediata e está descrita no Compleneto 1, no final deste
módulo. Os resultados obtidos no Complemento 1 estão apresentados a se-
guir:
Ec =
N∑
i=1
mi v
2
i
2
(2.27)
U ext =
N∑
i=1
U exti (2.28)
U int =
N∑
i
N∑
j 6=i,j=1
Uij (2.29)
EM = Ec + U
ext + U int (2.30)
∆EM = W
ext
nc +W
int
nc , (2.31)
em que U exti é a energia potencial externa da i-ésima partícula, Uij é a energia
potencial interna da partícula i criada pela força conservativa ~Fijc que a
71 CEDERJ
FÍsica 1B
Aula 2 - O momento linear e a energia mecânica de um sistema de partículas
partícula j exerce sobre a partícula i, W extnc é o trabalho das forças externas
não conservativas e W intnc é o trabalho das forças internas não conservativas.
Essas grandezas são definidas da seguinte forma:
∆U exti = −
∫ Bi
Ai
~F extic · d~ri (2.32)
∆Uij = −
∫ Bi
Ai
~Fijc · d~ri (2.33)
W extnc =
N∑
i
∫ Bi
Ai,Ci
~F extinc · d~ri (2.34)
W intnc =
N∑
i
N∑
j 6=i,j=1
∫ Bi
Ai,Ci
~Fijnc · d~ri. (2.35)
As equações de 2.27 até 2.35 dizem que:
1. A energia cinética do sistema formado por N partículas é a soma das
energias cinéticas das partículas.
2. A energia potencial do sistema formado por N partículas é a soma das
energias potenciais externas e internas das partículas.
3. A energia mecânica do sistema formado por N partículas é a soma da
sua energia potencial com a sua energia cinética.
4. A energia mecânica do sistema formado por N partículas é modificada
pelo trabalho das forças externas e internas não conservativas.
A energia mecânica de um corpo extenso também pode ser
modificada pelo trabalho de forças internas não conservativas.
Exemplo 2.2
Relacione a energia potencial de um sistema com N partículas, nas proximi-
dades da superfície da Terra, com a energia potencial do centro de massa do
sistema.
Resolução
A energia potencial gravitacional de um sistema com N partículas é igual a
Ug =
∑N
i=1mi yi g = g
∑N
i=1mi yi, em que yi é a coordenada y da i-ésima
partícula e o eixo OY é um eixo vertical que aponta para cima. A coordenada
y do centro de massa é igual a yCM =
∑N
i=1mi yi
m
, em que m é a massa total
do sistema. Logo temos que Ug = mg yCM .
CEDERJ 72
Aula 2 - O momento linear e a energia mecânica de um sistema de partículas
MÓDULO 1 - AULA 2
Momento linear e energia de um corpo extenso
No Complemento 1, você pode verificar que os resultados apresentados
para um sistema com N partículas são válidos também para um corpo ex-
tenso, uma vez que um corpo extenso pode ser considerado um sistema com
N partículas, no limite em que N tende a infinito.
O momento linear de um corpo extenso é dado por:
~P =
∫
V
dm~v.
A variação temporal do momento linear de um corpo extenso é dada
por:
d~P
dt
= ~F ext,
em que ~F ext é a força resultante externa que atua no corpo extenso.
O momento linear de um corpo extenso não pode
ser alterado por forças internas.
As energias cinética, potencial externa, potencial interna e a energia
mecânica de um corpo extenso são dadas por:
Ec =
∫
V
dmv2
2
, (2.36)
U ext =
∫
V
dU ext(~r) (2.37)
U int =
∫
V
∫
V ′
dU int(~r, ~r ′) (2.38)
EM = Ec + U
ext + U int, (2.39)
em que dU ext(~r) é a energia potencial externa da massa dm localizada pelo
vetor posição ~r, dU int(~r, ~r ′) é parcela da energia potencial interna da massa
dm que é criada pela força conservativa interna que a massa dm′ exerce sobre
a massa dm. As massas dm e dm′ são localizadas respectivamente pelos
vetores posição ~r e ~r ′, como mostra a figura 2.5. A integral em V é realizada
utilizando-se a variável ~r e a integral em V ′ a variável ~r ′. As expressões
detalhadas destas grandezas se encontram no Complemento 1 deste módulo.
A variação da energia mecânica do corpo extenso é
∆EM = W
ext
nc +W
int
nc , (2.40)
73 CEDERJ
FÍsica 1B
Aula 2 - O momento linear e a energia mecânica de um sistema de partículas
Figura 2.5: Massas dm e dm′ com os seus vetores posição ~r e ~r ′.
em que W extnc é o trabalho das forças externas não conservativas e W intnc é
o trabalho das forças internas não conservativas. As expressões detalhadas
destes trabalhos se encontram no Complemento 1 deste módulo.
Nos exemplos 2.3 até 2.5 e na atividade 6 serão calculadas energias
de corpos rígidos, que são corpos extensos que não modificam a sua forma
quando se movimentam.
Exemplo 2.3
Uma barra homogênea de comprimento ` gira em torno de um eixo fixo,
perpendicular à barra, com velocidade angular constante ω0. O eixo passa
pela extremidade da barra, como mostra a figura 2.6. Calcule o momento
linear da barra. Expresse o momento linear da barra em termos do vetor
unitário θ̂ que gira junto com a barra (ver figura 2.6). Considere conhecidos
m, `, ω0 e o vetor unitário θ̂.
Figura 2.6: Momento linear da barra.
Resolução
O momento linear da barra é igual a
~P =
∫
`
dm~v.
A figura 2.7 mostra um pedaço de barra com massa dm e comprimento dr
localizado a uma distancia r do eixo de rotação e sua velocidade ~v(r).
CEDERJ 74
Aula 2 - O momento linear e a energia mecânica de um sistema de partículas
MÓDULO 1 - AULA 2
Figura 2.7: O momento linear do pedaço de barra é dm~v(r).
Como a barra está em movimento circular com velocidade angular ω0,
a velocidade ~v(r) da massa dm é ~v = r ω0 θ̂. O momento linear da massa dm
é igual a
d~P (r) = dm~v(r) = r ω0 dm θ̂.
É importante ressaltar que a velocidade angular ω0 e o vetor unitário θ̂ são
os mesmos para qualquer posição da massa dm, isto é, os seus valores não
dependem de r. Por isso, eles podem ser retirados da integral que fornece o
momento linear da barra, isto é,
~P =
∫
`
dm~v =
∫
`
dmr ω0 θ̂ = ω0 θ̂
∫
`
dmr.
Como a barra é homogênea temos que: dm = λ0 dr =
m
`
dr. Logo o momento
linear da barra é igual a
~P = ω0 θ̂
∫
`
λ0 r dr = λ0 ω0 θ̂
∫ `
0
r dr = λ0 ω0 θ̂
[
r2
2
]`
0
=
m
`
ω0 θ̂
`2
2
= mω0
`
2
θ̂.
Atividade 6
Atende ao objetivo 3
Baseado no que você leu nesta Aula, faça a seguinte questão:
Um anel homogêneo de raio r gira em torno de um eixo fixo, perpendicular
ao seu plano, com velocidade angular ω(t), como mostra a figura I. Calcule
a energia cinética do anel como função do tempo. Considere conhecidos m,
r e ω(t).
75 CEDERJ
FÍsica 1B
Aula 2 - O momento linear e a energia mecânica de um sistema de partículas
Figura I:Anel com distribuição de massa homogênea.
Resposta Comentada
A figura II mostra uma massa dm de largura ds localizada a uma distância
r do centro do anel. Como a massa dm está em movimento circular, a sua
velocidade tem módulo igual a v = r ω(t).
Figura II: Energia cinética da barra.
A energia cinética de uma massa dm é igual a dEc =
dmv2
2
. Logo, a
energia cinética do anel é dada por:
Ec =
∫
anel
dmv2
2
=
∫
anel
dmr2 ω(t)2
2
.
Como em um instante de tempo fixo, a velocidade angular é constante sobre
o anel, temos que:
Ec =
r2 ω(t)2
2
∫
anel
dm =
mr2 ω(t)2
2
.
CEDERJ 76
Aula 2 - O momento linear e a energia mecânica de um sistema de partículas
MÓDULO 1 - AULA 2
Exemplo 2.4
Um disco homogêneo gira em torno de eixo fixo, perpendicular ao seu plano,
com velocidade angular ω(t), como mostra a figura 2.8. O eixo passa pelo
centro do disco. A massa e o raio do disco são respectivamente iguais a M e
R. Calcule a energia cinética do disco. Considere conhecidos a massa M , o
raio R e a velocidade angular ω(t) do disco.
Figura 2.8: Disco com distribuição de massa homogênea.
Resolução
A energia cinética do disco é igual a Ec =
∫
disco
dmv2
2
. Como a integral é uma
soma, e a soma de números reais é comutativa, podemos somar as energias
cinéticas das massas dm da seguinte forma:
1. Dividimos odisco em aneis. Escolhemos um anel de massa dmanel, raio
r e espessura dr concêntrico ao disco, como mostra a figura 2.9.
Figura 2.9: Calculando a energia cinética do disco.
Você encontrou na atividade 6 a energia cinética do anel. Ela é igual a
dEanel =
dmanel r
2 ω(t)2
2
.
77 CEDERJ
FÍsica 1B
Aula 2 - O momento linear e a energia mecânica de um sistema de partículas
Como a distribuição de massa no disco é homogênea, temos que:
dmanel = σ0 dA, em que dA é a área do anel e σ0 é a densidade super-
ficial de massa do disco. A densidade superficial de massa do disco é
igual a σ0 =
M
A
=
M
πR2
.
A área de um anel fino é igual à área de um retângulo com lados iguais
ao comprimento e a largura do anel, como mostra a figura 2.10.
Figura 2.10: Área do anel.
Por isso, a área dA do anel é igual a dA = 2 π r dr. Logo, a energia
cinética do anel se reduz a
dEanel =
dmanel r
2 ω(t)2
2
=
σ0 dA r
2 ω(t)2
2
= σ0 π r
3 ω(t)2 dr.
2. A energia cinética do disco é obtida somando-se as energias cinéticas dos
anéis. Como as expressões algébricas das energias cinéticas dos anéis
são iguais, podemos encontrar a energia cinética do disco integrando a
energia cinética de um anel, desde r = 0 até r = R, isto é,
Ec =
∫ r=R
r=0
σ0 π r
3 ω(t)2 dr.
Como a velocidade angular de todos o pontos do disco , em um instante
de tempo t são iguais, ela pode ser retirada da integral. Logo, a energia
cinética do disco se reduz a
Ec = σ0 π ω(t)
2
∫ r=R
r=0
r3dr = σ0 π ω(t)
2 R
4
4
=
M
πR2
π ω(t)2
R4
4
⇒
Ec =
M R2 ω(t)2
4
.
Exemplo 2.5
Relacione a energia potencial gravitacional de um corpo extenso, localizado
nas proximidades da superfície da Terra, com a energia potencial gravitacio-
nal do seu centro de massa .
Resolução
CEDERJ 78
Aula 2 - O momento linear e a energia mecânica de um sistema de partículas
MÓDULO 1 - AULA 2
A figura 2.11 mostra que energia potencial gravitacional de um corpo ex-
tenso com massa m e volume V , localizado nas proximidades da superfície
da Terra, é dada por U =
∫
V
dmg y, em que y é a coordenada da massa dm.
Figura 2.11: Energia potencial de um corpo extenso.
Logo, a energia potencial gravitacional do corpo é igual a
Ug =
∫
V
dmg y ⇒ Ug = g
∫
V
dmy,
A coordenada yCM do centro de massa do corpo é igual a yCM =
∫
V
dmy
m
.
Consequentemente, a energia potencial gravitacional de um corpo extenso
pode ser expressa em termos da coordenada yCM , uma vez que∫
V
dmy = myCM e Ug = g
∫
V
dm y ⇒ Ug = mg yCM .
A energia potencial gravitacional de um corpo extenso
nas proximidades da superfície da Terra é igual à energia
gravitacional do centro de massa do corpo.
Conclusões
Nesta aula, você aprendeu os conceitos de momento linear e de energia
mecânica de um sistema de partículas e de um corpo extenso, e as leis que
fornecem as suas variações. Estes conhecimentos são fundamentais para a
compreensão dos movimentos dos corpos que encontramos no nosso cotidiano.
Próxima aula
Na próxima aula você vai estudar o Referencial do Centro de Massa e
aprender as relações entre as observações realizadas neste referencial e nos
79 CEDERJ
FÍsica 1B
Aula 2 - O momento linear e a energia mecânica de um sistema de partículas
referencias inerciais . O Referencial do Centro de Massa é utilizado frequen-
temente nas descrições das colisões e das rotações.
Resumo
Nesta Aula, definimos os conceitos de momento linear e de energia me-
cânica de um sistema comN partículas e de um corpo extenso. Apresentamos
a seguir, os resultados obtidos para um sistema com N partículas.
1. O momento linear do sistema formado por N partículas é igual a
~P =
N∑
i=1
~pi,
em que ~p = mi ~vi é o momento linear a i-ésima partícula.
A variação temporal do momento linear de um sistema com N partí-
culas é igual à força resultante externa que atua sobre ele, isto é,
d~P
dt
= ~F ext,
em que ~F ext é a força resultante externa que atua no sistema.
2. A energia cinética de um sistema de partículas é a soma da energia
cinética de cada uma das partículas, isto é,
Ec =
N∑
i=1
mi v
2
i
2
.
No caso em que o sistema de N partículas está nas proximidades da
Terra e o eixo OY é vertical e aponta para cima, a energia potencial
gravitacional do sistema é igual à energia potencial gravitacional do
centro de massa do sistema, isto é,
Ug = mg yCM ,
em que m é a massa total do sistema, yCM é a coordenada y do centro
de massa.
A energia potencial externa U ext de um sistema de partículas é igual a
U ext =
N∑
i=1
U exti ,
CEDERJ 80
Aula 2 - O momento linear e a energia mecânica de um sistema de partículas
MÓDULO 1 - AULA 2
em que U exti é a energia potencial externa da i-ésima partícula.
A energia potencial interna U int de um sistema com N partículas é
igual a
U int =
N∑
i
N∑
j 6=i,j=1
Uij,
em que Uij é a energia potencial interna da i-ésima partícula devido a
j-ésima partícula.
A energia mecânica de um sistema de partículas é igual
EM = Ec + U
ext + U int.
A variação da energia mecânica de um sistema de partículas é igual a
∆EM = W
ext
nc +W
int
nc . (2.41)
O trabalho das forças internas não conservativas pode modificar
a energia mecânica do sistema com N partículas.
Os resultados obtidos para um sistema com N partículas são validos para os
corpos extensos também, uma vez que um corpo extenso pode ser tratado
como um sistema formado com N partículas, no limite em que N tende a
inifinito.
Bibiliografia
[NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de Física básica I : Mecânica.
3. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 1981.
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