Revisão da prova I

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Estatística para 
Engenharia 
AULA 
P R O F º A N A L A R R A N A G A – A N A L A R R A @ P R O D U C A O . U F R G S . B R 
ENG09004 – Estatística para Engenharia 
ENG09004 – Estatística para Engenharia 
Considere os dados da tabela: 
Exercício 1 
23,08 23,33 23,58 23,67 23,75 
23,75 23,92 24,08 24,08 24,17 
24,25 24,33 24,50 24,50 24,50 
24,58 24,67 24,75 24,83 24,92 
24,92 24,92 24,92 25,00 25,00 
25,08 25,17 25,17 25,17 25,17 
25,42 25,42 25,50 25,50 25,50 
25,58 25,58 25,58 25,67 25,67 
25,75 25,92 25,92 25,92 25,92 
26,08 26,08 26,25 26,33 27,08 
Exercício 1 
ENG09004 – Estatística para Engenharia 
Pede-se: 
1. Tabela de Distribuição de Frequências. Considere Intervalos de Classe, Frequências 
Absoluta, Relativa, Acumulada Absoluta e Acumulada Relativa. 
2. Histograma e Polígono de Frequências 
3. Média, Mediana, Moda, 1º e 3º Quartis (modo simplificado), Amplitude, Desvio 
Padrão e Coeficiente de Variação 
4. Boxplot. Existem outliers? 
5. Tipo de distribuição 
6. Considerando a especificação de 25±1, qual a probabilidade de produtos dentro 
dos parâmetros? 
7. Identifique o valor limite de x, tal que 𝑃 𝑋 > 𝑥 = 0,15 
8. Considere que os dados foram obtidos em 5 amostras de tamanho n=10 (conforme 
colunas da tabela). Estime 𝜇 e 𝜎. 
ENG09004 – Estatística para Engenharia 
1. 
Mín = 23,08 → Limite Inferior (LI) = 23,00 
Máx = 27,08 → Limite Superior (LS) = 27,10 
𝐾 = 𝑛 = 50 = 7,07 𝑎 =
(𝐿𝑆−𝐿𝐼)
𝐾
=
(27,10−23,00)
7
≈ 0,58 
Resolução - Exercício 1 
Intervalo de Classe Frequência Absoluta Frequência Relativa 
Frequência 
Acumulada Absoluta 
Frequência 
Acumulada Relativa 
23,00 a 23,58 3 6% 3 6% 
23,59 a 24,16 6 12% 9 18% 
24,17 a 24,74 8 16% 17 34% 
24,75 a 25,32 13 26% 30 60% 
25,33 a 25,90 11 22% 41 82% 
25,91 a 26,48 8 16% 49 98% 
26,49 a 27,10 1 2% 50 100% 
ENG09004 – Estatística para Engenharia 
2. 
Resolução - Exercício 1 
obs: corrigir gráfico 
x 
valor no ponto médio 
de cada coluna, escala 
y Frequência absoluta 
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2. 
Resolução - Exercício 1 
obs: corrigir eixo x, valor no ponto médio 
do intervalo 
0%
20%
40%
60%
80%
100%
120%
ENG09004 – Estatística para Engenharia 
3. 
𝑀é𝑑𝑖𝑎 =
23,08 + ⋯+ 27,08
50
= 25,01 
P𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎: 
𝑛+1
2
 → 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 =
𝑋25+𝑋26
2
=
25,00+25,08
2
= 25,04 
 
𝑀𝑜𝑑𝑎 = 24,92; 25,17; 25,92 4 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎çõ𝑒𝑠 𝑐𝑎𝑑𝑎 
 
𝑃𝑄1: 
𝑛+1
4
= 12,75 → 𝑄1 = 24,33 × 0,25 + 24,50 × 0,75 = 24,46 
 
𝑃𝑄3: 
3(𝑛+1)
4
= 38,25 → 𝑄3 = 25,58 × 0,75 + 25,67 × 0,25 = 25,60 
 
Resolução - Exercício 1 
3 4 6 8 11 14 16 17 20 21 23 24
25% dos valores25% dos valores 25% dos valores 25% dos valores
Q1 Q2 (mediana) Q3
ENG09004 – Estatística para Engenharia 
Considere os dados da tabela: 
Exercício 1 
23,08 23,33 23,58 23,67 23,75 
23,75 23,92 24,08 24,08 24,17 
24,25 24,33 24,50 24,50 24,50 
24,58 24,67 24,75 24,83 24,92 
24,92 24,92 24,92 25,00 25,00 
25,08 25,17 25,17 25,17 25,17 
25,42 25,42 25,50 25,50 25,50 
25,58 25,58 25,58 25,67 25,67 
25,75 25,92 25,92 25,92 25,92 
26,08 26,08 26,25 26,33 27,08 
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3. 
𝑀é𝑑𝑖𝑎 =
23,08 + ⋯+ 27,08
50
= 25,01 
P𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎: 
𝑛+1
2
 → 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 =
𝑋25+𝑋26
2
=
25,00+25,08
2
= 25,04 
 
𝑀𝑜𝑑𝑎 = 24,92; 25,17; 25,92 4 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎çõ𝑒𝑠 𝑐𝑎𝑑𝑎 
 
𝑃𝑄1: 
𝑛+1
4
= 12,75 → 𝑄1 = 24,33 × 0,25 + 24,50 × 0,75 = 24,46 
 
𝑃𝑄3: 
3(𝑛+1)
4
= 38,25 → 𝑄3 = 25,58 × 0,75 + 25,67 × 0,25 = 25,60 
 
Resolução - Exercício 1 
3 4 6 8 11 14 16 17 20 21 23 24
25% dos valores25% dos valores 25% dos valores 25% dos valores
Q1 Q2 (mediana) Q3
ENG09004 – Estatística para Engenharia 
3. 
𝑅 = 27,08 − 23,08 = 4,00 
 
𝑆 =
(23,08 − 25,01)2+⋯+ (27,08 − 25,01)2
50
= 0,859 
 
𝐶𝑉 = 100 ×
𝑆
𝑋 
= 3,43% 
 
Resolução - Exercício 1 
Exercício 1 
ENG09004 – Estatística para Engenharia 
Pede-se: 
1. Tabela de Distribuição de Frequências. Considere Intervalos de Classe, Frequências 
Absoluta, Relativa, Acumulada Absoluta e Acumulada Relativa. 
2. Histograma e Polígono de Frequências 
3. Média, Mediana, Moda, 1º e 3º Quartis (modo simplificado), Amplitude, Desvio 
Padrão e Coeficiente de Variação 
4. Boxplot. Existem outliers? 
5. Tipo de distribuição 
6. Considerando a especificação de 25±1, qual a probabilidade de produtos dentro 
dos parâmetros? 
7. Identifique o valor limite de x, tal que 𝑃 𝑋 > 𝑥 = 0,15 
8. Considere que os dados foram obtidos em 5 amostras de tamanho n=10 (conforme 
colunas da tabela). Estime 𝜇 e 𝜎. 
ENG09004 – Estatística para Engenharia 
4. 
O item 3 apresenta: Mediana = 25,04; Q1 = 24,46; Q3 = 25,60 
TC = Q3 – Q1 = 25,60 – 24,46 = 1,14 
PIinf = Q1 – 1,5.TC = 24,46 – 1,5.1,14 = 22,75 
Pisup = Q3 + 1,5.TC = 25,60 + 1,5.1,14 = 27,31 
Xmín = 23,08; Xmáx = 27,08 
LCinf = max(PIinf, Xmin) = 23,08; Lcsup = min(PIsup,Xmax) = 27,08 
 
 
 
 
Não existem outliers! 
Resolução - Exercício 1 
23,08 
24,46 25,04 25,60 
27,08 
Exercício 1 
ENG09004 – Estatística para Engenharia 
Pede-se: 
1. Tabela de Distribuição de Frequências. Considere Intervalos de Classe, Frequências 
Absoluta, Relativa, Acumulada Absoluta e Acumulada Relativa. 
2. Histograma e Polígono de Frequências 
3. Média, Mediana, Moda, 1º e 3º Quartis (modo simplificado), Amplitude, Desvio 
Padrão e Coeficiente de Variação 
4. Boxplot. Existem outliers? 
5. Tipo de distribuição 
6. Considerando a especificação de 25±1, qual a probabilidade de produtos dentro 
dos parâmetros? 
7. Identifique o valor limite de x, tal que 𝑃 𝑋 > 𝑥 = 0,15 
8. Considere que os dados foram obtidos em 5 amostras de tamanho n=10 (conforme 
colunas da tabela). Estime 𝜇 e 𝜎. 
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5. 
Distribuição normal, visto que: 
 
Média ≈ Mediana ≈ Moda 
 
 
Histograma se aproxima do 
formato da curva normal 
Resolução - Exercício 1 
Exercício 1 
ENG09004 – Estatística para Engenharia 
Pede-se: 
1. Tabela de Distribuição de Frequências. Considere Intervalos de Classe, Frequências 
Absoluta, Relativa, Acumulada Absoluta e Acumulada Relativa. 
2. Histograma e Polígono de Frequências 
3. Média, Mediana, Moda, 1º e 3º Quartis (modo simplificado), Amplitude, Desvio 
Padrão e Coeficiente de Variação 
4. Boxplot. Existem outliers? 
5. Tipo de distribuição 
6. Considerando a especificação de 25±1, qual a probabilidade de produtos dentro 
dos parâmetros? 
7. Identifique o valor limite de x, tal que 𝑃 𝑋 > 𝑥 = 0,15 
8. Considere que os dados foram obtidos em 5 amostras de tamanho n=10 (conforme 
colunas da tabela). Estime 𝜇 e 𝜎. 
ENG09004 – Estatística para Engenharia 
6. 
LEI = 24,00 
LES = 26,00 
P{24,00 ≤ x ≤ 26,00} = P{x ≤ 26,00} – P{x ≤ 24,00} 
 
𝑃 𝑍 ≤
26,00 − 25,01
0,859
− 𝑃 𝑍 ≤
24,00 − 25,01
0,859
 
 
𝑃 𝑍 ≤ 1,15 − 𝑃 𝑍 ≤ −1,18 = 0,8749 − 0,1190 = 0,7559 = 75,59% 
 
Resolução - Exercício 1 
ENG09004 – Estatística para Engenharia 
7. 
P{X > x} = 1- P{X ≤ x} = 1 − 𝑃 𝑍 ≤
𝑥−25,01
0,859
= 0,15 
𝑃 𝑍 ≤
𝑥−25,01
0,859
= 0,85 Tabela Z = 1,04 
 
Assim, 
1,04 =
𝑥−25,01
0,859
 
 
X = 25,90 
 
Resolução - Exercício 1 
Exercício 1 
ENG09004 – Estatística para Engenharia 
Pede-se: 
1. Tabela de Distribuição de Frequências. Considere Intervalos de Classe, Frequências 
Absoluta, Relativa, Acumulada Absoluta e Acumulada Relativa. 
2. Histograma e Polígono de Frequências 
3. Média, Mediana, Moda, 1º e 3º Quartis (modo simplificado), Amplitude, Desvio 
Padrão e Coeficiente de Variação 
4. Boxplot. Existem outliers? 
5. Tipo de distribuição 
6. Considerando a especificação de 25±1, qual a probabilidade de produtos dentro 
dos parâmetros? 
7. Identifique o valor limite de x, tal que 𝑃 𝑋 > 𝑥 = 0,15 
8. Considere que os dados foram obtidos em 5 amostras de tamanho n=10 (conforme 
colunas da tabela). Estime 𝜇 e 𝜎. 
ENG09004 – Estatística para Engenharia 
8. 
 
Resolução- Exercício 1 
23,08 23,33 23,58 23,67 23,75 
23,75 23,92 24,08 24,08 24,17 
24,25 24,33 24,50 24,50 24,50 
24,58 24,67 24,75 24,83 24,92 
24,92 24,92 24,92 25,00 25,00 
25,08 25,17 25,17 25,17 25,17 
25,42 25,42 25,50 25,50 25,50 
25,58 25,58 25,58 25,67 25,67 
25,75 25,92 25,92 25,92 25,92 
26,08 26,08 26,25 26,33 27,08 
24,85 24,93 25,03 25,07 25,17 Média 
𝑋 = 𝜇 =
24,85 + ⋯+ 25,17
5
= 25,01 𝜎𝑥 =
(24,85 − 25,01)2+⋯+ (25,17 − 25,01)2
5 − 1
 
𝜎𝑥 = 0,1241 𝜎= 𝜎𝑥 × 𝑛 = 0,1241 x 10 = 0,3924 
Exercício 2 
ENG09004 – Estatística para Engenharia 
Uma peça cromada resiste a um ensaio de corrosão por três dias em média, com desvio 
padrão de 6 horas. Assuma que a resistência tem distribuição normal e calcule: 
 
1. A probabilidade de uma peça resistir mais que 3,5 dias. 
2. A probabilidade de uma peça resistir entre 60 e 70 horas. 
3. Sabe-se que 71,9 % das peças resistem menos que um certo número de horas, qual 
é esse valor? 
ENG09004 – Estatística para Engenharia 
1. 
𝜇 = 72 ℎ 
𝜎 = 6 ℎ 
𝑃 𝑋 > 84 = 1 − 𝑃 𝑥 ≤ 84 
𝑃 𝑍 ≤
84 − 72
6
= 𝑃{𝑍 ≤ 2} 
 
𝑃 𝑋 > 84 = 1 − 0,9772 = 0,0228 = 2,28% 
Resolução - Exercício 2 
ENG09004 – Estatística para Engenharia 
2. 
P{60 ≤ x ≤ 70} = P{x ≤ 70} – P{x ≤ 60} 
 
𝑃 𝑍 ≤
70 − 72
6
− 𝑃 𝑍 ≤
60 − 72
6
 
 
𝑃 𝑍 ≤ −0,33 − 𝑃 𝑍 ≤ −2 = 0,3707 − 0,0228 = 0,3479 = 34,79% 
Resolução - Exercício 2 
ENG09004 – Estatística para Engenharia 
3. 
𝑃 𝑍 ≤
𝑥−72
6
= 0,719 Tabela: Z = 0,58 
 
0,58 =
𝑥−72
6
 
 
x = 75,48 h 
Resolução - Exercício 2 
Exercício 3 
ENG09004 – Estatística para Engenharia 
Suponha que numa linha de produção a probabilidade de se obter uma peça defeituosa 
(sucesso) é p = 0,1. Toma-se uma amostra de 10 peças para serem inspecionadas. Qual 
a probabilidade de se obter: 
 
1. Uma peça defeituosa? 
2. Nenhuma peça defeituosa? 
3. Duas peças defeituosas? 
4. No mínimo duas peças defeituosas? 
5. No máximo duas peças defeituosas? 
ENG09004 – Estatística para Engenharia 
1. 
Distribuição Binomial 
 
𝑃 𝑋 = 1 =
10
1
(0,1)1(1 − 0,1)10−1=
10!
1! 10 − 1 !
0,1(0,9)9= 0,3874 
 
2. 
𝑃 𝑋 = 0 =
10
0
(0,1)0(1 − 0,1)10−0=
10!
0! 10 − 0 !
(0,9)10= 0,3486 
 
3. 
𝑃 𝑋 = 2 =
10
2
(0,1)2(1 − 0,1)10−2=
10!
2! 10 − 2 !
(0,1)2(0,9)8= 0,1937 
Resolução - Exercício 3 
 P x p pxn x n x( ) ( )   1   )!(!
! 
xnx
nn
x


ENG09004 – Estatística para Engenharia 
4. 
𝑃 𝑋 ≥ 2 = 1 − 𝑃 𝑋 = 0 − 𝑃 𝑋 = 1 = 1 − 0,3486 − 0,3874 = 0,264 
 
5. 
𝑃 𝑋 ≤ 2 = 𝑃 𝑋 = 0 + 𝑃 𝑋 = 1 + 𝑃 𝑋 = 2 = 0,3486 + 0,3874 + 0,1937 
 
𝑃 𝑋 ≤ 2 = 0,9297 
 
Resolução - Exercício 3 
Exercício 4 
ENG09004 – Estatística para Engenharia 
O tempo até a falha do ventilador de motores a diesel tem uma distribuição 
Exponencial com parâmetro 𝜆 =
1
28700
 horas. Qual a probabilidade de um destes 
ventiladores falhar nas primeiras 24000 horas de funcionamento? 
 
 
ENG09004 – Estatística para Engenharia 
1. 
Distribuição Exponencial 
𝜆 =
1
28700
 
 
𝑃 𝑇 ≤ 24000 = 1 − 𝑒−𝜆𝑡 = 1 − 𝑒−
24000
28700 = 0,5666 
Resolução - Exercício 4 
t1}{  etTP
Exercício 5 
ENG09004 – Estatística para Engenharia 
Considere um processo que têm uma taxa de 0,2 defeitos por unidade. Qual a 
probabilidade de uma unidade qualquer apresentar: 
a) dois defeitos? 
b) um defeito? 
c) zero defeito? 
 
ENG09004 – Estatística para Engenharia 
1. 
𝜆 = 0,2 
Defeito por unidade → Distribuição de Poisson 
 
𝑃 𝑋 = 2 =
𝑒−0,2(0,2)2
2!
= 0,0164 
 
2. 
𝑃 𝑋 = 1 =
𝑒−0,2(0,2)1
1!
= 0,1637 
 
3. 
𝑃 𝑋 = 0 =
𝑒−0,2(0,2)0
0!
= 0,8187 
 
 
Resolução - Exercício 5 
!
)(
x
e
xP
x
