mat fin aula capitalização composta I

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Matemática Financeira
Capitalização Composta
Fontes: Prof. Msc. José Roberto da Costa Junior
Prof. Dr. Hubert Chamone Gesser.
Capitalização composta
Conceito – No Regime de Capitalização composta (juros compostos), os 
juros de um período são incorporados ao capital para cálculo do período 
seguinte. Diz-se, assim, que os juros são capitalizados (somados ao 
capital) e passam a gerar novos juros no período seguinte, resultando no 
que se denomina “juros sobre juros”.
Principal: $ 1000
Taxa mensal de juro: 20% ao mês
Qual os juros após 1, 2, 3,..., n meses?
Após 1 mês J = 1000 x 0,2 x 1 = 200 M = 1000 + 200 = 1.200
Após 2 meses J = 1200 x 0,2 x 1 = 240 M = 1200 + 240 = 1.440
Após 3 meses J = 1440 x 0,2 x 1 = 288 M = 1440 + 288 = 1.728
Conceituação
3
Capitalização composta (juros compostos)
Exemplo:
Suponha um indivíduo que deposita R$1.000,00 em um
banco que lhe promete juros compostos de 10% a.a.
Qual será seu saldo ao final de 4 anos?
Ano
Saldo 
inicial
Juros
Saldo 
final
1
2
3
4
1.000,00
1.100,00
1.210,00
1.331,00
0,1 x 1.000 = 100,00
0,1 x 1.100 = 110,00
0,1 x 1.210 = 121,00
0,1 x 1.331 = 133,10
1.100,00
1.210,00
1.331,00
1.464,10
4
Capitalização composta - Representação Gráfica
0 1 2 3 4
ano
100
100
100
100
1.000
1.100
1.200
1.300
1.400
Juros compostos (exponencial)
( )
( )t
t
VF
iVPVF
1,01000.1
1
+=
+=
VF = capital ao final do ano t
i = taxa de juros
VP = capital inicial
Valor Futuro
5
Ao final de cada período, o juro obtido nesse período é incorporado
ao principal que o produziu e passam os dois, principal mais juro, a
render juros no período que segue.
Assim :
S1 = P + J = P + P x i x 1 => S1 = P x ( 1 + i )
S2 = S1 + J2 = S1 + S1 x i x 1 = S1 x ( 1 + i ) = P x ( 1 + i )
2
S3 = P x ( 1 + i )
3 e assim por diante.
A fórmula geral é dada por:
Capitalização composta (juros compostos)
Sn = P x ( 1 + i ) 
n ou VF = VP x ( 1 + i ) n
6
Exemplo:
Determinar o valor acumulado em 24 meses
(montante), a partir de um principal de R$ 2.000,00
aplicado a uma taxa de 1% a.m.
VF = VP ( 1 + i ) n
VF = 2.000,00(1+0,01)24 = 2.539,46
Capitalização composta
Taxa mensal de juro: 20% ao mês
Qual os juros após 1, 2, 3,..., n meses?
Após 1 mês J = 1000 x 0,2 x 1 = 200 M = 1000 + 200 = 1.200
Após 2 meses J = 1200 x 0,2 x 1 = 240 M = 1200 + 240 = 1.440
Após 3 meses J = 1440 x 0,2 x 1 = 288 M = 1440 + 288 = 1.728
Fórmulas:
JUROS COMPOSTOS
Taxas:
TAXAS PROPORCIONAIS - duas taxas são proporcionais quando seus
valores formam uma proporção com os tempos a elas referidos, reduzidos
a mesma unidade.
ex: 30% ao ano é proporcional a 2,5% ao mês.
TAXAS EQUIVALENTES - duas taxas são equivalentes quando, aplicadas a
um mesmo capital, durante o mesmo período, produzem o mesmo juro.
ex: um capital de $ 20.000 aplicado durante 6 meses à taxa de 4% ao mês
ou aplicado durante 2 trimestres à taxa de 12% ao trimestre, produz o
mesmo juro de $ 4.800
Obs: Em juros compostos as taxas proporcionais não são equivalentes.
TAXAS EQUIVALENTES
• Na capitalização composta, podemos encontrar
taxas equivalentes da seguinte forma:
Taxas de Juros
Exemplos:
Uma taxa de 1,0 % a.m. equivale a uma taxa de 12,68% a.a. pois:
1 + ia = ( 1+ im)
12 como im = 0,01 então ia = (1,01)
12 - 1 = 0,1268
Reciprocamente uma taxa efetiva de 20% é equivalente a 1,53% a.m., 
pois:
%53,10153,012,0111 1212 ==−+=−+= am ii
11
Exemplo:
Quais as taxas de juros compostos mensal e trimestral
equivalentes a 25% ao ano?
Solução:
a) Taxa de juros equivalente mensal, i = 25% a.a.
1 ano (12 meses)
b) Taxa de juros equivalente trimestral
1 ano (4 trimestres)
TAXA NOMINAL
É aquela em que a unidade de referência de seu tempo é
diferente da unidade de tempo dos períodos de
capitalização.
Exemplos:
60% a.a. com capitalização mensal
40% a.a. com capitalização bimestral
18% a.m. com capitalização diária
TAXA EFETIVA
É aquela em que a unidade de referência de seu tempo coincide
com a unidade de tempo dos períodos de capitalização.
Exemplos:
15% ao mês com capitalização mensal.
24% ao semestre com capitalização semestral.
120% ao ano com capitalização anual.
14
Exemplo:
Seja a taxa nominal de juros de 36% ao ano capitalizada
mensalmente.
Os prazos não são coincidentes. O prazo de capitalização é
de um mês e o prazo a que se refere a taxa de juros igual a
um ano (12 meses).
A taxa por período de capitalização é de 36%/12 = 3% ao
mês (taxa proporcional ou linear).
Taxa efetiva de juros:
= 42,6% ao ano
Taxa real e taxa aparente:
• A taxa real é a taxa aparente descontada a inflação do período.
A taxa real reflete com maior precisão o ganho real de um
investimento por considerar a perda com a desvalorização
causada pela inflação do período.
(1 + ia) = (1 + ir) (1 + ii)
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O Valor do Dinheiro no Tempo
JUROS
Estrutura da Taxa de Juros
Taxa de Risco
Taxa Livre de Risco
Correção Monetária 
(Inflação)
Taxa de 
Juro 
Real
(iR)
Taxa 
Bruta 
de Juro
(iA)
Se, em determinado ano, a inflação for igual a 20%, será mais
atraente para um investidor fazer suas aplicações à taxa real
de 10% do que à taxa aparente de 30%.
Teoricamente para inflação de 20% e uma taxa real de 10%,
temos:
(1 + Ia) = (1 + 0,10).(1 + 0,20) = 1,32
Ia = 1,56 – 1 = 0,32 ou 32% e não 30% como no exercício!!!
Exemplo:
18
Taxas de Juros
ESPECIFICAÇÃO DAS TAXAS DE JUROS
- Taxas Proporcionais - mais empregada com juros simples
- Taxas Equivalentes - taxas que transformam um mesmo P em 
um mesmo F.
- Taxas Nominais - período da taxa difere do da capitalização
- Taxas Efetivas - período da taxa coincide com o da capitalização
JUROS COMPOSTOS
1) Determinar o valor de resgate de um empréstimo de R$ 50.000,00, com a 
taxa de juros compostos de 5% a.m., com prazo de 3 trimestres. 
PV = 50000
I = 0,05 a. m.
N = 3 trimestres = 9 meses
FV = 50000 . ( 1 + 0,05 ) 9 
R$ 77.566,41
Exemplos:
JUROS COMPOSTOS
2) Determinar o prazo necessário para um capital triplicar, a uma taxa de 25% 
a.a. (4,92 anos = 5 anos)
PV = PV
FV = 3PV
i = 0,25 % a.a
Exemplos:
3PV = PV . (1+0,25)n 
3 = (1,25)n
log 3 = log (1,25)n
log 3 = n log 1,25 (propriedade log an = n log a)
n = 0,48 / 0,097 = 4,94 aproximadamente 5 anos
JUROS COMPOSTOS
3) Qual a taxa semestral de juros compostos que produz um montante de 
R$ 79.000, a partir de um investimento de R$ 50.000,00 no final de 10 anos? 
PV = 50000
FV = 79000
N = 10 anos ou 20 semestres
79000 = 50000 (1 + i)20
1,58 = (1 + i)20
Raiz vigésima de 1,58 = Raiz vigésima de (1 + i)20
1,0231 = 1 + i
I = 1,0231 – 1 = 0,0231 a. s. ou 2,31% a. s. 
Exemplos:
JUROS COMPOSTOS
1) Determinar o valor de resgate de um investimento de $ 20.000,00, a
uma taxa de juros de 3,2 % a.m., por um prazo de 4 semestres.
($ 42.593,44)
2) Em que prazo um capital de $ 18.000 acumula um montante de
$ 83.743 á taxa de 15% a.m.? (11 meses)
3) Qual a taxa mensal de juros necessária para um capital de $ 2.500,00
produzir um montante de $ 4.489,64 durante um ano? (5% ao mês)
Exercícios:
JUROS COMPOSTOS
4) O capital de $ 18.000,00 foi colocado por dois anos a 20% ao ano,
capitalizados trimestralmente. Qual o montante? ( $ 26.594,20)
Exercícios:
24
Descontos
Vencimento
Desconto
É o custo financeiro do dinheiro pago em função da
antecipação de recurso, ou seja, no valor nominal de
uma dívida, quando ela é negociada antes de seu
vencimento.
Prazo de 
Antecipação de 
Recursos
Antes do 
Vencimento
Valor Nominal Desconto Valor Atual(-) =
25
Descontos
TIPOLOGIA DOS DESCONTOS
RACIONAL
SIMPLES
COMERCIAL ou (BANCÁRIO)
DESCONTO
RACIONAL
COMPOSTO
COMERCIAL ou (BANCÁRIO)
26
Descontos
SIGLAS USADAS EM DESCONTOS
DRS = Desconto Racional Simples
DBS = Desconto Bancário Simples
DRC = Desconto Racional Composto
DBC = Desconto Bancário Composto 
Vn = Valor nominal
Va = Valor atual
id = Taxa de desconto
nd = Período do desconto27
Descontos
DESCONTOS SIMPLES
- DESCONTO RACIONAL SIMPLES OU “POR DENTRO”
Não é muito usado no Brasil
É mais interessante para quem solicita o desconto
DRS = (Vn . id . nd) / (1 + id . nd) ou DRS = Va . id . nd
- DESCONTO BANCÁRIO OU COMERCIAL OU “POR FORA”
Muito usado nas operações comerciais e bancárias
É mais interessante para o Banco.
DBS = Vn . id . nd
28
Descontos
COMPARAÇÃO DOS TIPOS DE DESCONTOS SIMPLES
DESCONTO RACIONAL SIMPLES x DESCONTO BANCÁRIO SIMPLES
(DRS) (DBS)
=
DRS (Va maior que DBS)
O Valor Nominal é o montante
do Valor Atual.
A taxa de juros é aplicada
sobre o Valor Atual.
Va = Vn / (1 + id . nd)
DRS = Va . id . nd
DRS = Vn - Va
DBS (Va menor que DRS)
O Valor Nominal não é o
montante do Valor Atual.
A taxa de juros é aplicada
sobre o Valor Nominal.
Va = Vn . (1 - id . nd )
DBS = Vn . id . nd
DBS = Vn - Va
29
DescontosExemplos:
1. Um valor nominal de R$25.000,00 é descontado 2 meses antes do 
seu vencimento, à taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual é o 
desconto racional simples?
Vn = 25000 nd = 2 meses id = 2,5% ao mês 
DRS = (Vn . id . nd) / (1 + id . nd)
DRS = (25000 . 0,025 . 2) / (1 + 0,025 . 2)
DRS = 1190,47
O título será pago no valor de R$23.809,52 (25000 - 1190,47)
Opcionalmente temos: Va = 25000 / (1 + 0,025 . 2) = R$ 23.809,52
DRS = 23809,52 . 0,025 . 2 = R$ 1.190,47
30
DescontosExemplos:
2. Um título de valor nominal de R$25.000,00 é descontado 2 meses 
antes do seu vencimento, à taxa de juros simples de 2,5% ao mês. 
Qual é o desconto bancário simples?
Vn = 25000 nd = 2 meses id = 2,5% ao mês 
DBS = Vn . id . nd
DBS = 25000 . 0,025 . 2
DBS = 1250
O título será pago no valor de R$23.750,00 (25000 - 1250)
Desconto simples
1) Você tem uma aplicação para resgate de R$ 1.500,00 em 3 meses e deseja
antecipar a retirada. Se a taxa de Desconto Bancário (e o do Racional) é de
8% ao mês, qual o valor resgatado na data de hoje (ambos os casos)?
Exercício:
Desconto simples
1) 
Desconto bancário:
Desconto = 0,08 x 3 x 1500 = 360
Valor Regatado = 1500 – 360 = R$ 1140,00
Desconto racional:
Va = 1500/(1+ 0,08 x 3)= 1209,67
Desconto = 1209,67 x 3 x 0,08 = R$ 290,32
Exercícios:
33
Descontos
DESCONTO COMPOSTO
- DESCONTO RACIONAL COMPOSTO OU “POR DENTRO”
Conceito teoricamente correto, mas não utilizado.
DRC = Vn . ( 1 – ( 1 / (1 + id )nd ))
- DESCONTO BANCÁRIO COMPOSTO OU “POR FORA”
Conceito sem fundamentação teórica, mas utilizado.
DBC = Vn . ( 1 – ( 1 – id )nd )
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DescontosExemplos:
1. Um valor nominal de R$25.000,00 é descontado 2 meses antes do 
seu vencimento, à taxa de juros compostos de 2,5% ao mês. Qual é o 
desconto racional composto?
Vn = 25000 nd = 2 meses id = 2,5% ao mês 
DRC = Vn . ( 1 – ( 1 / (1 + id ) nd ))
DRC = 25000 . ( 1 – ( 1 / (1 + 0,025) 2))
DRC = 1204,64
O título será pago no valor de R$23.795,36 (25000 – 1204,64)
Opcionalmente: Va = Vn / (1 + i) 2 = 25000 / (1 + 0,025) 2 = 
R$23.795,36
35
Descontos
Exemplos:
2. Um valor nominal de R$25.000,00 é descontado 2 meses 
antes do seu vencimento, à taxa de juros compostos de 2,5% 
ao mês. Qual é o desconto bancário composto?
Vn = 25000 nd = 2 meses id = 2,5% ao mês
DBC = Vn . ( 1 – (1 - id ) nd ))
DBC = 25000 . ( 1 – (1 - 0,025) 2))
DBC = 1234,37
O título será pago no valor de R$23.765,62 (25000 – 1234,37)
Desconto composto
Va = Vn . (1+ i)-n Va = Vn___ 
(1+ i)n
Cálculo de Va:
Desconto composto
1) Um título de valor nominal de R$ 59.895,00 foi pago três meses antes do
vencimento. Se a taxa mensal de desconto composto era de 10%, o valor
líquido era?
2) Uma duplicata, no valor de R$ 2.000,00, é resgatada 2 meses antes do
vencimento, obedecendo ao critério de desconto comercial composto.
Sabendo-se que a taxa de desconto é de 10% ao mês, qual o valor
descontado?
3) Por um título de R$ 18.950,00, que vence em 42 dias, o credor recebe R$
12.000,00 Qual foi a taxa do desconto composto aplicado ?
Exercícios:
Desconto composto
4) Um título foi pago por R$ 14.612,00. Qual o prazo de antecipação, dado que
o desconto composto de $ 1.638,00, à taxa 2,692% a.m.?
5) Uma duplicata de R$ 26.000,00 foi descontada com 90 dias de antecedência
à taxa de 32,40 % a. a. capitalizada mensalmente. Calcular o valor líquido.
Exercícios:
Desconto composto
1) Vn= 59895
n= 3 m
i = 10 % a.m.
Va = 59895,00 = 59895 = 45.000,00
(1+0,10)
3 
1,1
3
Va = 59895.(1,10)
-3 
= 59895 . 0,75131 = 44.999,71
Exercícios:
Desconto composto
2) Vn=2000
n=2m
i=10% a.m.
Va = 2000 .
(1 + 0,10)
2
Va = 2000 = 2000 = 1.652,89
(1,1)
2 
1,21
Exercícios
Desconto composto
3) Va = 12.000,00 Vn = 18.950,00 n = 42 dias. i = ? %
12000 = _18950_ => (1 + i)
42
= 18950_ => => (1 + i)
42
= 1,57916
(1 + i)
42 
12000
(1 + i) = 1,57916 
1/42 
=> 1 + i = 1,57916 
0,02381
1 + i = 1,01093 => i = 1,01093 -1 = 0,01093 => i = 1,093% a.d.
Exercícios:
Desconto composto
4) Va = 14.612,00 d = 1.638,00 Vn = 16.250,00 i= 2,692% a.m. n= ?
14612 = ___16250___ => 1,02692n = 16250_ => 1,02692n = 1,11210
(1 + 0,02692)n 14612
log 1,02692n = log 1,11210 => n . log 1,02692 = log 1,11210 
n x 0,01154 = 0,04614 => n = 0,04614 => n = 3,99 meses = 4 meses
0,01154
Exercícios:
Desconto composto
5) Vn = 26.000,00 i= 32,40 0% a.a. capitalizada mensalmente 
i = 32,40%/12 = 2,70 % a.m. n= 90 dias n= 3 meses
Va = _26.000,00 => Va = 26.000,00
(1 + 0,0270)
3 
1,027
3
Va = 26.000,00
1,08321
Va = 24.002,81
Exercícios: