Axiomas de Medição de Segmentos na Geometria

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beiramar rp

21/09/2020

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Introdução à Administração

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AXIOMAS DE MEDIÇÃO DE
SEGMENTOS
Walcy Santos Geometria I- aula 5 1 / 28
Muitos resultados de Geometria envolvem
comprimento....
Teorema de Pitágoras;
Triângulos são equiláteros se e somente se são
equiângulos;
Segmento de reta é a curva de menor
comprimento ligando dois pontos;
· · ·
Walcy Santos Geometria I- aula 5 2 / 28
Perguntas. . . .
A construção axiomática de Euclides independe
da distância que se coloque na geometria?
O que é uma distância?
Existe mais de uma distância?
Walcy Santos Geometria I- aula 5 3 / 28
Função Distância.
Definição
Dado um conjunto X , podemos definir uma função que a cada par de
pontos A e B de X , associa um número real d(A,B) que satisfaz:
1 d(A,B) >≥ 0, para todo A,B ∈ X e d(A,B) = 0 se e somente se
A = B
2 d(A,B) = d(B,A), para todo A,B ∈ X .
3 d(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B), para todo A,B,C ∈ X (Dsigualdade
Triangular)
Walcy Santos Geometria I- aula 5 4 / 28
Função Distância.
Definição
Dado um conjunto X , podemos definir uma função que a cada par de
pontos A e B de X , associa um número real d(A,B) que satisfaz:
1 d(A,B) >≥ 0, para todo A,B ∈ X e d(A,B) = 0 se e somente se
A = B
2 d(A,B) = d(B,A), para todo A,B ∈ X .
3 d(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B), para todo A,B,C ∈ X (Dsigualdade
Triangular)
Walcy Santos Geometria I- aula 5 4 / 28
Função Distância.
Definição
Dado um conjunto X , podemos definir uma função que a cada par de
pontos A e B de X , associa um número real d(A,B) que satisfaz:
1 d(A,B) >≥ 0, para todo A,B ∈ X e d(A,B) = 0 se e somente se
A = B
2 d(A,B) = d(B,A), para todo A,B ∈ X .
3 d(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B), para todo A,B,C ∈ X (Dsigualdade
Triangular)
Walcy Santos Geometria I- aula 5 4 / 28
Função Distância.
Definição
Dado um conjunto X , podemos definir uma função que a cada par de
pontos A e B de X , associa um número real d(A,B) que satisfaz:
1 d(A,B) >≥ 0, para todo A,B ∈ X e d(A,B) = 0 se e somente se
A = B
2 d(A,B) = d(B,A), para todo A,B ∈ X .
3 d(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B), para todo A,B,C ∈ X (Dsigualdade
Triangular)
Walcy Santos Geometria I- aula 5 4 / 28
Função Distância.
Definição
Dado um conjunto X , podemos definir uma função que a cada par de
pontos A e B de X , associa um número real d(A,B) que satisfaz:
1 d(A,B) >≥ 0, para todo A,B ∈ X e d(A,B) = 0 se e somente se
A = B
2 d(A,B) = d(B,A), para todo A,B ∈ X .
3 d(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B), para todo A,B,C ∈ X (Dsigualdade
Triangular)
Walcy Santos Geometria I- aula 5 4 / 28
Exemplos de Função Distância.
Distância Euclidiana
X = R2 = {(x , y)|x , y ∈ R}
A = (xA, yA); B = (xB, yB)
d(A,B) =
√
(xA − xB)2 + (yA − yB)2
Walcy Santos Geometria I- aula 5 5 / 28
Definição
(Cı́rculo) Um cı́rculo de centro C e raio r é o lugar geométrico dos
pontos P cuja distância a C é igual a r .
Equação do Cı́rculo de centro C = (a,b) e raio r na distância
euclidiana.
Um ponto P = (x , y) esta neste cı́rculo d(P,C) = r se e somente se
(x − a)2 + (y − b)2 = r2
Walcy Santos Geometria I- aula 5 6 / 28
Distância Caótica
X = R2 = {(x , y)|x , y ∈ R}
d̃(A,B) =
{
0, se A = B
1, se A 6= B
1 Quem é o cı́rculo de centro (0,0) e raio 12 nessa distância?
R. ∅
2 Quem é o cı́rculo de centro (0,0) e raio 1 nessa distância?
R. R2 \ {(0,0)}
3 Quem é o cı́rculo de centro (0,0) e raio 2 nessa distância?
R. ∅
Walcy Santos Geometria I- aula 5 7 / 28
Distância Caótica
X = R2 = {(x , y)|x , y ∈ R}
d̃(A,B) =
{
0, se A = B
1, se A 6= B
1 Quem é o cı́rculo de centro (0,0) e raio 12 nessa distância?
R. ∅
2 Quem é o cı́rculo de centro (0,0) e raio 1 nessa distância?
R. R2 \ {(0,0)}
3 Quem é o cı́rculo de centro (0,0) e raio 2 nessa distância?
R. ∅
Walcy Santos Geometria I- aula 5 7 / 28
Distância Caótica
X = R2 = {(x , y)|x , y ∈ R}
d̃(A,B) =
{
0, se A = B
1, se A 6= B
1 Quem é o cı́rculo de centro (0,0) e raio 12 nessa distância?
R. ∅
2 Quem é o cı́rculo de centro (0,0) e raio 1 nessa distância?
R. R2 \ {(0,0)}
3 Quem é o cı́rculo de centro (0,0) e raio 2 nessa distância?
R. ∅
Walcy Santos Geometria I- aula 5 7 / 28
Distância Caótica
X = R2 = {(x , y)|x , y ∈ R}
d̃(A,B) =
{
0, se A = B
1, se A 6= B
1 Quem é o cı́rculo de centro (0,0) e raio 12 nessa distância?
R. ∅
2 Quem é o cı́rculo de centro (0,0) e raio 1 nessa distância?
R. R2 \ {(0,0)}
3 Quem é o cı́rculo de centro (0,0) e raio 2 nessa distância?
R. ∅
Walcy Santos Geometria I- aula 5 7 / 28
Distância Caótica
X = R2 = {(x , y)|x , y ∈ R}
d̃(A,B) =
{
0, se A = B
1, se A 6= B
1 Quem é o cı́rculo de centro (0,0) e raio 12 nessa distância?
R. ∅
2 Quem é o cı́rculo de centro (0,0) e raio 1 nessa distância?
R. R2 \ {(0,0)}
3 Quem é o cı́rculo de centro (0,0) e raio 2 nessa distância?
R. ∅
Walcy Santos Geometria I- aula 5 7 / 28
Distância Caótica
X = R2 = {(x , y)|x , y ∈ R}
d̃(A,B) =
{
0, se A = B
1, se A 6= B
1 Quem é o cı́rculo de centro (0,0) e raio 12 nessa distância?
R. ∅
2 Quem é o cı́rculo de centro (0,0) e raio 1 nessa distância?
R. R2 \ {(0,0)}
3 Quem é o cı́rculo de centro (0,0) e raio 2 nessa distância?
R. ∅
Walcy Santos Geometria I- aula 5 7 / 28
Distância Caótica
X = R2 = {(x , y)|x , y ∈ R}
d̃(A,B) =
{
0, se A = B
1, se A 6= B
1 Quem é o cı́rculo de centro (0,0) e raio 12 nessa distância?
R. ∅
2 Quem é o cı́rculo de centro (0,0) e raio 1 nessa distância?
R. R2 \ {(0,0)}
3 Quem é o cı́rculo de centro (0,0) e raio 2 nessa distância?
R. ∅
Walcy Santos Geometria I- aula 5 7 / 28
Distância Caótica
X = R2 = {(x , y)|x , y ∈ R}
d̃(A,B) =
{
0, se A = B
1, se A 6= B
1 Quem é o cı́rculo de centro (0,0) e raio 12 nessa distância?
R. ∅
2 Quem é o cı́rculo de centro (0,0) e raio 1 nessa distância?
R. R2 \ {(0,0)}
3 Quem é o cı́rculo de centro (0,0) e raio 2 nessa distância?
R. ∅
Walcy Santos Geometria I- aula 5 7 / 28
Distância do taxista
A Geometria do taxista ou do pedestre, considerada por Hermann
Minkowski no século XIX , é uma forma de geometria em que a
distância entre dois pontos é a soma das diferenças absolutas de suas
coordenadas. A distância do taxista é também conhecida como
distância L1, ou distância de Manhattan, com variações
correspondentes no nome da geometria. O último nome faz alusão ao
formato quadriculado da maior parte das ruas na ilha de Manhattan.
Tal configuração faz com que a menor distância a ser percorrida por
um carro que vai de um ponto a outro na cidade tenha como valor
aquele número fornecido pela métrica L1.
Walcy Santos Geometria I- aula 5 8 / 28
Walcy Santos Geometria I- aula 5 9 / 28
A distância do taxista entre dois pontos em um espaço euclidiano com
sistema de coordenadas cartesianas fixado é a soma dos
comprimentos das projeções do segmento de reta que liga os pontos
sobre os eixos coordenados. Por exemplo, no plano, a distância do
taxista entre o ponto P1 com coordenadas (x1, y1) e o ponto P2 em
(x2, y2) é
d1((x1, y1), (x2, y2)) = |x1 − x2|+ |y1 − y2|.
Walcy Santos Geometria I- aula 5 10 / 28
Equação do cı́rculo de centro (0,0) e raio 1 é dado por:
d1((x , y), (0,0)) = 1 ⇔ |x − 0|+ |y − 0| = 1 ⇔ |x |+ |y | = 1
1o quadrante⇒ |x |+ |y | = 1 ⇔ x + y = 1
2o quadrante⇒ |x |+ |y | = 1 ⇔ −x + y = 1
3o quadrante⇒ |x |+ |y | = 1 ⇔ −x − y = 1
4o quadrante⇒ |x |+ |y | = 1 ⇔ x − y = 1
Walcy Santos Geometria I- aula 5 11 / 28
Observação
A distância do taxista depende da rotação do sistema de
coordenadas, mas não depende de sua reflexão em torno de um eixo
ou suas translações.
Walcy Santos Geometria I- aula 5 12 / 28
Walcy Santos Geometria I- aula 5 13 / 28
Na geometria do Taxista não vale o caso lal de
congruência de triângulos
Walcy Santos Geometria I- aula 5 14 / 28
Walcy Santos Geometria I- aula 5 15 / 28
AXIOMAS DE MEDIÇÃO DE SEGMENTOS
AXIOMA DE MEDIÇÃO 1
A todo par de pontos A e B corresponde um número maior ou igual a
zero. Este número é zero se e somente se A = B. Este número real é
chamado distânciaentre A e B.
Observação
Não vamos impor que a distância satisfaça a Desigualdade Triangular,
pois será possı́vel demonstrá-la no futuro.
Walcy Santos Geometria I- aula 5 16 / 28
Definição
O comprimento de um segmento de reta AB é dado pela distância de
seus extremos. Vamos denotar o comprimento de AB por
AB = d(A,B).
Está implı́cito no enunciado do axioma, a escolha de uma unidade de
medida que será fixada em nossa geometria.
Walcy Santos Geometria I- aula 5 17 / 28
AXIOMA DA RÉGUA
Walcy Santos Geometria I- aula 5 18 / 28
AXIOMA DE MEDIÇÃO 2
Os pontos de uma reta podem ser sempre colocados em
correspondência biunı́voca com os números reais, de modo que o
módulo da diferença entre estes números meça a distância entre os
pontos correspondentes.
Vamos pensar o conjunto de numeros reais arrumados sobre uma
linha reta.
Pelo axioma da régua, por exemplo, na reta abaixo, P está associado
ao 0, R ao 1, T a x2 e Q a x1.
Walcy Santos Geometria I- aula 5 19 / 28
Seja l uma reta. O que este axioma nos diz é que existe então uma
função f : l → R tal que:
f é injetiva.
f é sobrejetiva.
∀A,B ∈ l ,d(A,B) = AB = |f (A)− f (B)|
Definição
A função f é chamada um sistema de coordenadas para a reta l.
Observação
O sistema de coordenadas de uma reta não é único. De fato temos o
seguinte resultado:
Walcy Santos Geometria I- aula 5 20 / 28
Proposição
Se f : l → R é um sistema de coordenadas para a reta l, então:
1 g : l → R dada por g(P) = f (P) + c, para todo P ∈ l é um sistema
de coordenadas para l, onde c é um número real constante.
2 h : l → R dada por g(P) = −f (P), para todo P ∈ l é um sistema
de coordenadas para l
Walcy Santos Geometria I- aula 5 21 / 28
Teorema
Sela l uma reta, e sejam P e Q pontos distintos de l. Então l possui
um sistema de coordenadas no qual o ponto P tem coordenada 0 e a
coordenada do ponto Q é positiva.
Seja f um sistema qualquer de coordenadas para l . Seja a = f (P), e
para cada T ∈ l , g(T ) = f (T )− a. Logo, pela proposição anterior, g é
um sistema de coordenadas para l tal que
g(P) = f (P)− a = a− a = 0. Se g(Q) > 0, g é o sistema de
coordenadas que estavamos procurando. Caso contrário, defina
h(T ) = −g(T ), para T ∈ l . Temos que h(P) = 0 e h(Q) > 0.
Walcy Santos Geometria I- aula 5 22 / 28
Fixada um sistema de coordenadas, o número que corresponde a um
ponto da reta é denominado coordenada daquele ponto. Portanto, se
a e b são as coordenadas dos pontos A e B, respectivamente, então o
comprimento do segmento AB, denotado por AB, é igual a
AB = |a− b|.
AXIOMA DE MEDIÇÃO 3
Se A ∗ C ∗ B, então
AC + CB = AB.
Observação
É importante observar aqui que o axioma não diz que se
AC + CB = AB então A ∗ C ∗ B. Você acha que essa afirmação é
verdadeira?
Walcy Santos Geometria I- aula 5 23 / 28
O Axioma de Medição 2 diz apenas que existe uma bijeção entre os
pontos de uma reta e os números reais, porém não fixa nenhuma
restrição para a bijeção. O Axioma de Medição 3, garante que a
bijeção não será arbitrária.
Proposição
Se em uma semirreta SAB considerarmos um segmento AC com
AC < AB, então A ∗ C ∗ B.
Observe que A,B e C são pontos distintos. Sabemos que, pelo
Axioma de Ordem 2, só pode ocorrer uma das seguintes
possibilidades: B ∗ A ∗ C, A ∗ B ∗ C ou A ∗ C ∗ B.
Vamos mostrar que não pode ocorrer a primeira nem a segunda
possibilidade. Como A é a origem da semirreta SAB, então não é
verdade que B ∗ A ∗ C, caso contrário terı́amos C não pertenceria a
esta semiRreta. Se A ∗ B ∗ C, então, pelo Axioma de Medição 3
terı́amos AB + BC = AC, implicando que AB < AC, que é uma
contradição com a hipótese AC < AB. Logo, só pode ocorrer A ∗C ∗B.
Walcy Santos Geometria I- aula 5 24 / 28
Teorema
Sejam A,B e C pontos distintos de uma reta cujas coordenadas são,
respectivamente, a,b e c. Então A ∗ C ∗ B se e somente se o número
c está entre a e b.
Suponha A ∗ C ∗ B. Pelo Axioma de Medição 3 e pela definição de
comprimento, tem-se que AC + CB = AB, implicando que
|c − a|+ |b − c| = |a− b|.
Sem perda de generalidade, podemos supor que a < b. Assim,
obtemos que
|c − a| < b − a e |b − c| < b − a.
Isto implica que
c − a < b − a e b − c < b − a.
Logo, a < c < b.
Walcy Santos Geometria I- aula 5 25 / 28
Suponha agora que a < c < b. Então
b − a = b − c + c − a,
ou seja,
|b − a| = |b − c|+ |c − a|.
Segue daı́ que AC + CB = AB e então AC < AB e CB < AB. Se A,B
e C pertencem à mesma semirreta determinada por A, segue que
A ∗ C ∗ B. Caso B e C pertençam a semirretas distintas, então
B ∗ A ∗ C. Neste caso,
BA + AC = BC ⇒ BA < AC,
o que está em contradição com a igualdade obtida anteriormente.
Walcy Santos Geometria I- aula 5 26 / 28
Definição
O ponto médio C de um segmento AB é um ponto deste segmento tal
que AC = CB.
Teorema
Um segmento tem exatamente um ponto médio.
Sejam a e b as coordenadas dos extremos do segmento AB. Pelo
Axioma de Medição 2, existe um ponto C, na reta que contém A e B,
com coordenada c =
a + b
2
Walcy Santos Geometria I- aula 5 27 / 28
Afirmação 1: O ponto C é o ponto médio de AB.
De fato, verifica-se que
AC = |a− c| =
∣∣∣∣a2 − b2
∣∣∣∣
CB = |c − b| =
∣∣∣∣a2 − b2
∣∣∣∣ ,
e como c está entre a e b, logo, temos que C é o ponto médio de AB.
Afirmação 2: O ponto C é o único ponto médio de AB.
Se D é ponto médio de AB, então AD = DB. Se a,b e d são
coordenadas dos pontos A,B e D, respectivamente, então
|a− d | = |d − b|.
Daı́, obtemos d =
a + b
2
. Assim, c = d e pelo Axioma de Medição 2,
segue que D = C.
Walcy Santos Geometria I- aula 5 28 / 28