Resumo Cálculo III - P1

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Guia de Estudo de 
Cálculo III 
 
 
 
 
 
 
Autora Grazielle Alessa 
 
   
 
 
Como será o Curso? 
Livro-Texto:​ Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis - Diomara 
Pinto/Cândido Magado 
 
Matéria: ​Capítulos 5,6 e 7. 
 
Provas: 
P1 - 30/05 - Capítulo 5.  
P2 - 18/07 
PF - 25/07 
 
Conteúdo Programático: 
1. Integrais múltiplas. ​(P1) 
2. Integração iterada. ​(P1) 
3. Mudanças de variáveis e jacobiano. ​(P1) 
4. Integral de linha e potencial.  
5. Integrais de superfície. 
6. Teoremas clássicos de Green, Stokes e Gauss. 
 
 
 
 
Tabela de Derivadas e Integrais 
 
 
 
Dicas para saber como Integrar 
★ Integração por substituição​ ​- Esta técnica, é consequência da regra da cadeia para 
derivadas. 
★ Integração por partes​ - ​A técnica de integração por partes é uma consequência da regra 
do produto para derivadas. 
 
Considere o diagrama com as funções elementares abaixo: 
 
Nesse acróstico, as letras da palavra ​LIATE​ são iniciais de diferentes tipos de funções e a 
estratégia que deve ser adotada é: 
“Escolher como função , a função cuja letra inicial está mais próxima de L e para formar a 
diferencial , escolhemos a função cuja letra inicial posiciona-se mais próxima de E”. 
Substituição Trigonométrica: ​Uma maneira simples de descobrir tais substituições consiste no 
uso da fórmula fundamental da trigonometria  
É fácil de perceber, que as funções e podem ser obtidas, passando um delas para o 
outro lado e subtraindo de 1. Obtendo as seguintes fórmulas: 
 
 
Fórmulas de outras funções trigonométricas como tangente e secante, podem ser obtidas 
dividindo ambos os lados da equação fundamental da trigonometria por um fator conveniente. 
 
 
Por exemplo, para se obter uma relação envolvendo a tangente e a secante divide-se ambos os 
lados da equação por  
 
Resultando em: 
 
Essas substituições podem ser sumarizadas da seguinte forma: 
para , sendo a uma constante positiva. 
para , com a > 0 
para , sendo a maior do que zero, constante. 
 
 
 
   
 
 
 
 
Conteúdo para P1 
Capítulo 5 - Integrais Múltiplas 
5.1 Interpretação Geométrica da Integral Dupla 
Vamos pegar uma função real contínua - a superfície azul da figura, por exemplo - e o domínio(x, ) z f y =  
 - O retângulo hachurado embaixo dela. Essa superfície, o retângulo e os planos laterais R R , x , x = a = b y = c
e formam uma região fechada. y = d  
 
Anteriormente aprendeu-se que, para as funções de uma variável, a integral pode ser representada pela 
área entre a função e o eixo coordenado (x), agora temos algo similar: O que chama-se de integral dupla de f
em é exatamente o volume dessa região que fica embaixo de , escrevemos assim:R f  
ou ​(Sendo a área de )(x, ) dx dyV = ∫
 
 
∫
 
R
f y (x, ) dA∫
 
 
∫
 
R
f y A R  
Isso então é a​ interpretação geométrica​ de integral dupla. 
 
   
 
 
5.2 Integral dupla sobre um retângulo 
Cada uma dessa "caixas" tem volume dado pelo valor da área da sua base vezes suaAΔ  
altura , ou seja, , certo? Se somarmos todos esses pequenos volumes, temos f f (x , )ΔAv = ij yij  
a Soma​ Dupla de Riemann ​(muito parecida com o que ja visto para uma variável): 
(x , )ΔA∑
m
i = 1
∑
n
j = i
f ij yij  
A soma é dupla porque temos duas dimensões, ​x ​e ​y​! 
 
Nossa intuição nos diz que, quanto menores esses sub-intervalo (e, portanto, menores 
essas "caixas"), melhor será essa aproximação de V. Assim, vamos fazer m e n tender ao infinito, 
o que nos dá exatamente a definição de Integral dupla. 
(x, )dA (x , )ΔA ∫
 
 
∫
 
R
f y = lim
m,n→∞
∑
m
i = 1
∑
n
j = i
f ij yij  
Nesse caso, a função é positiva e, portanto, essa integral dupla representa o volume abaixo 
dela, mas pode ocorrer casos em que teremos ​números​ ​negativos​ - O que não há problema 
algum. ​A integral existe, apenas não representa um volume. 
Tinhamos algo parecido com as integrais simples - Quando uma função se encontrava 
abaixo do eixo y, sua integral em x era um número negativo. 
 
Da definição de integral dupla como limite de somas de Riemann e dos teoremas sobre 
limites, podemos deduzir algumas propriedades fundamentais da integral dupla. Estas 
propriedades são, essencialmente, as mesmas da integral de uma função real de uma variável 
real. 
   
 
 
Propriedades 
I. Linearidade. 
 ​Sejam e funções integráveis num retângulo e constantes reais. Então f g R , c1 c2  
é integrável sobre ef g c1 + c2 R  
 (c f (x, ) c g(x, ) )dxdy, (x, ) c (x, )dxdy (x, )dxdy∫
 
 
∫
 
R
1 y + 2 y y = 1∫
 
 
∫
 
R
f y + c2∫
 
 
∫
 
R
g y  
II. Monotonicidade. 
Se e são integráveis num retângulo e , então f g R (x, ) (x, ), x, ) ε R f y ≥ g y ( y  
(x, )dxdy (x, )dxdy.∫
 
 
∫
 
R
f y ≥ ∫
 
 
∫
 
R
g y  
III. Aditividade.  
Se o retângulo é subdividido em n retângulos , e se f é integrável sobre R , .. , Ri . Rn  
 então é integrável sobre e, , .. , Ri i = 1 . n f R   
 (x, ) dxdy (x, )dxdy.∫
 
 
∫
 
R
f y = ∑
n
i = 1
∫
 
 
∫
 
R
f y  
O teorema a seguir nos dá um método prático para o cálculo de algumas integrais duplas através de duas 
integrações sucessivas de funções de uma variável. 
- Teorema 5.1: 
Toda função contínua definida num retângulo R é integrável sobre R. 
- Teorema 5.2: 
Seja uma função limitada no retângulo .Se os conjuntos dos f (x, ) z = y R = a,[ b] × c,[ d]  
pontos de descontinuidade de pode ser descrito como uma união finita de gráficos de funções f  
contínuas, então f é integrável sobre R.  
- Teorema 5.3 - Teorema de Fubini 
Se a função é contínua no retângulo , então a integral dupla de(x, ) z = f y R = a,[ b] × c,[ d]  
sobre pode ser obtida através de integrais iteradas, ou seja: f R  
  
 
 
 
 (x, ) dxdy x y ∫
 
 
∫
 
R
f y = ∫
b
a
 (x, )dy[ ∫d
c
f y ] d = ∫d
c
 (x, )dx[ ∫b
a
f y ] d  
 
Calculando a Integral dupla 
 
- Começa integrando a parte mais interna. 
- Quando integramos em função de x, y se torna constante. 
- Quando integramos em função de y, x se torna constante. 
 
Tendo , então: R = 0,[ 1] × 0,[ 1]  
➔ Em função de X: 
y y y ∫
1
0
² y² dx[∫1
0
x + ] d = ∫1
0
² dx y² dx[∫1
0
x + ∫
1
0
 ] d = ∫1
0
| ²x|[ 3x³ 10 + y 10] d  
- Agora substitui o x pelos intervalos. 
y y ∫
1
0
 [( 31³ − 30³) + (1y² 0y²)− ] d = ∫
1
0
 ²[ 31 + y ] d  
 
➔ Em função de Y: 
 y dy ² dy y| | ∫
1
0
 ²[ 31 + y ] d = ∫
1
0
3
1 + ∫
1
0
y = 3
1 1
0 + 3
y³ 1
0  
- Agora substitui o y pelos intervalos. 
 1 0[ 31 − 31 ] + [ 31³ − 30³] = 31 + 31 = 32  
 
 
  
 
 
5.3 Integral dupla sobre regiões mais gerais 
 
Considere, primeiramente, um subconjunto D do plano xy descrito de seguinte modo: 
, D = {(x, ) ε ℜ² | a e φ (x) (x)}y ≤ x ≤ b 1 ≤ y ≤ φ2  
Onde e são contínuas em e .φ1 φ2 a,[ b] φ1 ≤ φ2   
Tal subconjunto é chamado de região de ​tipo 1​. Nesse tipo de região, para cada a ε t a,[ b]  
reta intercepta segundo um segmento de reta compreendido entre as curvas e x = t D (x) y = φ1  
. Esta região é fechada e limitada porque e são contínuas em .(x) y = φ2 φ1 φ2 a,[ b]  
Já a região de​ tipo 2​ e descrita por:D  
, D = {(x, ) ε ℜ² | c e Ψ (x) (x)}y ≤ y ≤ d 1 ≤ y ≤ Ψ2  
Onde e são contínuas em e .Ψ1 Ψ2 c,[ d] Ψ1 ≤ Ψ2   
Regiões de tipo 2 são também fechadas e limitadas. 
 
Todas as regiões que consideremos serão do tipo 1, de tipo 2, ou então poderãp ser 
divididas num número finito de subregiões, cada uma das quais é do tipo 1 ou 2. 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema 5.4: 
Seja uma função definida e contínua num subconjunto limitado e fechado . f ² D ⊂ ℜ  
Se é uma região de tipo 1, entãoD  
(x, ) dxdy (x, ) dxdy. ∫
 
 
∫
 
D
f y = ∫
b
a
∫
φ (x)2
φ (x)1
f y  
Se é uma região de tipo 2, entãoD  
(x, ) dxdy (x, ) dxdy. ∫
 
 
∫
 
D
f y = ∫
d
c
∫
Ψ (y)2
Ψ (y)1
f y  
 
   
 
 
5.5 Mudança de Variáveis na Integral Dupla 
Para simplificar alguns limites e expressões nas integrais duplas, faz-se a mudança 
de variável. 
Os passos são: 
1 - Mudaa variável. 
2 - Faz-se a integral. 
Ao mudar a variável, também se muda a região D a ser integrada e ela passar a ser D'. 
 
O custo dessa operação é achar um fator multiplicativo que transforme a integral que você 
quer simplificada na integral simplificada. A esse fator chamamos de ​jacobiano. 
● Exemplo 1​: Seja . Aqui, e . A matriz 
jacobiana de F é: 
[1] 
O determinante Jacobiano é . 
 
 
   
https://pt.wikipedia.org/wiki/Matriz_jacobiana#cite_note-1
 
 
5.5.1 Casos Especiais de Mudança de Variáveis 
 
I. Mudança Linear 
Consideremos a transformação linear g definida pelas equações: 
e​ , au v x = + b u v y = c + d  
onde a, b, c e d são constante reais. O determinante Jacobiano desta transformação é 
dado por 
 
Se , então o sistema pode ser resolvido para e em termos de e . Portanto,=∂(x,y)∂(u,v) / 0 u v x y  
é injetora em e a fórmula pode ser escrita na formag ² ℜ  
(x, ) dxdy (au v, u v)dudv.∫
 
 
∫
 
g(Q)
f y = ad c| − b | ∫
 
 
∫
 
Q
f + b c + d  
II. Mudança Polar 
Um ponto com coordenadas retangulares tem coordenadas polares , onde rP x, ) ( y r, ) ( θ  
é a distância do ponto P à origem e e o ângulo formado pelo eixo positivo dos e o segmentoθ x  
da reta que liga a origem . As coordenadas retangulares e polares do ponto estãoP P  
relacionadas por 
 e cosθ x = r senθ y = r  
 
Onde e varia num intervalo da forma r ≥ 0 θ θ , π). [ 0 θ0 + 2  
 
A curva no plano imagem de é uma circunferência de raio centrada na origem.y x r = a a  
A curva no plano imagem de é uma semi-reta que contém a origem.y x onstante θ = c  
 
5.6 Exercícios 
 
   
 
 
5.7 Centro de Massa e Momento de Inércia 
Quando consideramos um sistema cuja massa total está distribuída numa região do plano 
e não apenas num conjunto formado por um número finito de pontos, os conceitos de massa, 
centro de massa e momento são definidos por meio de integrais duplas. 
Quando a densidade varia de ponto para ponto e é integrável sobre , podemos f f D  
concluir, utilizando somas de Rieman, que a massa total de é dada pela equação:D  
(D) (x, ) dxdym = ∫
 
 
∫
 
D
f y  
E que o centro de massa da lâmina é determinado pelas equações: x, ) C = ( y 
e x = m(D)
f (x.y)dxdy∫
 
 
∫
 
D
x
y = m(D)
f (x.y)dxdy∫
 
 
∫
 
D
y
 
Densidade 
A densidade num ponto P de coordenadas (x,y) é dada por , onde k é a(x, ) f y = k√x² ²+ y  
constante de proporcionalidade. 
 
Inércia Polar 
Se é uma reta no plano da lâmina ,seja a distância do ponto em à retaL D (x, ) δ y x, ) ( y D  
. O número definido pela equaçãoL IL  
 IL = ²(x, )f (x, ) dxdy∫
 
 
∫
 
D
δ y y  
Onde é a densidade em cada ponto de , é chamado​ momento de inércia da(x, ) f y x, ) ( y D  
lâmina em relação à reta​ . Os momentos de inércia em relação ao eixo x e eixo y, denotadosL  
por e , respectivamente, são dados pelas integrais:Ix Iy  
e​ Ix = ²(x, )f (x, ) dxdy∫
 
 
∫
 
D
y y y Iy = ²(x, )f (x, ) dxdy∫
 
 
∫
 
D
x y y  
A soma é chamada ​momento de inércia polar em relação a origem​, denotado por Ix + Iy  
. Logo,I0  
(x² ²)f (x, ) dxdyI0 = ∫
 
 
∫
 
D
+ y y  
 
 
 
5.9 Integrais Triplas 
 
Observações: 
1. A noção de conteúdo nulo poder ser estendida ao paralelepípedo R de forma 
completamente análoga ao caso do retângulo; mudando subretângulos por 
sub-paralelepípedos e área por volume.  
2. Como antes, o teorema é válido se o conjunto de descontinuidades de f é de 
conteúdo nulo.  
3. Para integrais triplas continua valendo o teorema de Fubini. Agora temos 3 ! 
= 6 possíveis integrais iteradas.  
 
Volume de Sólidos Mais Complexos 
 
É chamado sólido mais complexo um sólido que é limitado por superfícies 
(planos) - na integral dupla os sólidos eram limitados por funções. 
 
 
 
Tipos de Sólido 
1. Tipo 1 : xy. 
 
O sólido xy é chamado assim porque é limitado por superfícies em torno do eixo z e sua 
projeção R é dada no plano xy. 
2. Tipo 2: xz 
 
O sólido xz onde a projeção está no plano xz. Agora, as superfícies limitadoras 
dele estão em função de y. 
 
 
 
3. Tipo 3: yz 
 
Novamente, aqui, sua projeção será dado no plano yz. O sólido estará ao longo 
do eixo x. 
 
   
 
 
Passo a Passo para calcular a integral tripla 
 
 
OBS:  
- Ao igualar z1 = z2, você adquire uma equação que descreve sua projeção. Após isso, você 
terá que ter o limite da projeção. 
   
 
 
5.10 Mudança de Variáveis na Integral Tripla 
Coordenadas Cilíndricas 
 
 
Coordenadas Esféricas 
 
- O ângulo vai ser o ângulo entre o eixo de coordenadas z e a reta . ϕ ρ   
- O ângulo vai ser o ângulo entre o eixo x e a reta r.θ  
 
 
-  
   
 
 
1ª Lista de Exercícios  
1ª Questão​ - Determine nos seguintes casos:(x, )dxdy∫
 
 
∫
 
Ω
f y  
 
(i) e é o quadrado .(x, ) os x sen y f y = c Ω 0, ] 0, ] [ π × [ π  
(ii) e é o quadrado .(x, ) y log xy f y = x Ω 1, ] 1, ] [ e × [ e  
(iii​) e é o triângulo de vértices .(x, ) os²x en²y f y = c + s Ω (0, ), B 1, ), C 0, ) A = 0 = ( 0 = ( 2  
(iv) e , onde T é o triângulo de vértices(x, ) f y = ex+y ∖T Ω = T ′
 e T’ é o triângulo de vérticesA (0, ), B 0, ), C 4, ) = 0 = ( 2 = ( 1  
.(0, ), B 0, ), C 3, ) A = 0 = ( 2 ′ = ( 1  
(v) e .(x, ) ² ² f y = x + y Ω = {(x, ), ² ² }y 1 ≤ x + y ≤ 4  
(vi) e .(x, ) y f y = x Ω = {(x, ), ² y² }y 1 ≤ x + 4 ≤ 4  
2ª Questão​ - Determine . (Sugestão: Mude a ordem da integração.)dydx∫
1
0
∫
1
x
y
sen y  
3ª Questão​ - Jogo de 1 erro. Descubra o que está errado na fórmula. 
(x, )dxdy (x, )dydx.∫
1
0
∫
√1−y²
−√1−y²
f y = ∫
1
0
∫
√1−x²
−√1−x²
f y  
 
4ª Questão​ - Calcule , onde T é o triângulo de vérticesye dxdy∫
 
 
∫
 
x
x x+y  
.(0, ), B 1, ), C 2, ) A = 0 = ( 2 = ( 1  
(Sugestão: Faça uma mudança de variáveis) . 
   
 
 
Gabarito da 1ª Lista de Exercícios 
1)i) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ii) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
iii) 
iv) 
 
   
 
 
v) 
 
 
 
 
 
vi) 
 
 
 
 
 
2) 
 
3) 
4) 
 
 
 
 
2ª Lista de Exercícios 
 
1ª Questão​ - Calcule nos seguintes casos: ∫
 
 
∫
 
 
∫
 
Ω
f  
(1) e .​✓0, ) 1, ) 0, ) Ω = ( 1 × ( 2 × ( 2 (x, , ) f y z = ex + y + z  
(2) e (Aviso de Questão1, ) 1, ) 1, ) Ω = ( 2 × ( 2 × ( 2 (x, , ) f y z = (x )log(x ).+ y + z + y + z  
Escrota. Mas escrota pra caralho.) 
(3) é a esfera de raio 1 centrada na origem e ✓Ω (x, , ) yz. f y z = x  
(4) é a esfera de raio 1 centrada na origem e ✓Ω (x, , ) ². f y z = z  
 
2ª Questão​ - Seja a região acima do plano e no interior da esfera .Ω z = 1 ² ² ² x + y + z = 4  
(1)​Determine o volume de .​✓Ω  
(2)​Determine o centro de massa de .Ω  
 
3ª Questão​ - Determine o volume da região , situada no interior do cilindro , entreΩ ² ² x + y = 1  
os planos e . z = 0 y z x + 2 + 3 = 1  
 
4ª Questão​ - Seja e é o círculo centrada na origem e de raio 1., f (x, ) x² ²) p > 0 y = ( + y −p C  
Determine os valores de para os quais a integral imprópria é finita.p ∫
 
 
∫
 
C
f  
 
5ª Questão​ - Seja e a esfera centrada na origem e de raio 1., f (x, , ) x² ² ²) p > 0 y z = ( + y + z −p E  
Determine os valores de para os quais a integral imprópria é finita.p ∫
 
 
∫
 
 
∫
 
E
f  
 
6ª Questão​ - Jogo do 1 erro. Descubra o que está errado na fórmula. 
(x, , ) dxdydz (x, , ) dydzdx∫
1
0
∫
√1 − x²
−√1 − x²
∫
1−√x² + y²
0
f y z = ∫
1
−1
∫
z − 1
1 − z
∫
√(1 − z)² − x²
0
f y z  
 
7ª Questão​ - Um recipiente em forma da parabolóide está cheio de umz x² y², 0 = + ≤ z ≤ 1  
gás cuja densidade , inversamente proporcional à altura, vale . Determine aρ (x, , ) ρ y z = 11 + z  
massa total de gás contida no recipiente. 
 
 
 
 
 
 
Gabarito da 2ª Lista de Exercícios 
1)  
a)  
 
   
 
 
b) A 
c)  
 
d) A 
2) A 
a) D 
b) d 
3) A 
4) A 
5) A 
6) A 
7) A 
 
 
Prova 1 - 2015 
 
 
 
   
 
 
Resolução da Prova 1 - 2015 
 
1)  
a)  
 
   
 
 
b) A 
 
 
   
 
 
 
2) A 
3) A