Cálculo Técnico Industrial - desbloqueado

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Departamento Regional de São Paulo
Cálculo Técnico Industrial
ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ”
TREINAMENTO













 ×−×
−
2
2 7
5,14,32,122
8,07
1
TREINAMENTO 
Cálculo Técnico Industrial
 SENAI-SP, 2005
Trabalho elaborado pela Escola SENAI “Almirante Tamandaré”, CFP - 1.20, do Departamento
Regional do SENAI-SP.
1ª edição, 2005
Coordenação Geral Murilo Strazzer
Equipe Responsável
Coordenação Celso Guimarães Pereira
Estruturação Ilo da Silva Moreira
Elaboração Davi Ricardo Ferreira
Revisão Luiz Juscelino de Melo
SENAI - Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial
Departamento Regional de São Paulo
Escola SENAI “Almirante Tamandaré”
Av. Pereira Barreto, 456
CEP 09751-000 São Bernardo do Campo - SP
Telefone: (011) 4122-5877
FAX: (011) 4122-5877 (ramal 230)
E-mail: senaitamandare@sp.senai.br
Cód. 120.9.011
Sumário
Página 4 Sistema de numeração
8 Regras de arredondamento
10 Operações
16 Frações
24 Números relativos
30 Cálculo de expressões matemáticas
34 Razão e Proporção
38 Grandezas
44 Sistema métrico decimal
46 Operações com ângulos
Cálculo Técnico Industrial
4ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ”
SISTEMA DE NUMERAÇÃO
Todo algarismo ou sinal gráfico usado para representar um numero é chamado numeral.
Os símbolos utilizados por nós são:
( 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 )
Em função das suas posições quando são agrupados, possuem um certo valor. O nosso
sistema de numeração é chamado : " Sistema de numeração decimal"
Sistema de Numeração Decimal (base dez)
No sistema temos: Ordem e Classe
Ordem Classe
1°- Unidade 1°- Unidades
2°- Dezena 2°- Milhar
3°- Centena 3°- Milhão
4°- Bilhão
C
e
t
e
n
a
d
e
z
e
n
a
u
n
i
d
a
d
e
C
e
t
e
n
a
d
e
z
e
n
a
u
n
i
d
a
d
e
C
e
t
e
n
a
d
e
z
e
n
a
u
n
i
d
a
d
e
C
e
t
e
n
a
d
e
z
e
n
a
u
n
i
d
a
d
e
C
e
t
e
n
a
d
e
z
e
n
a
u
n
i
d
a
d
e
1 5 1 3 7 9 2 0 1 4 38 6 2 3 5
Trilhão Bilhão Milhão Milhar Unidade
Cálculo Técnico Industrial
ESCOLA
Números Decimais
É todo número que contém uma parte inteira e uma parte decimal separadas pela virgula.
Com
Colo
decrescen
Exe
Exe
 SENAI “ALMIR
paração de Números
car os números abaixo em ordem, do maior para o menor, ou seja, em ordem
te:
mplo 1: Dados 9, 8, 7, 9, 5
mplo 2 : 
 maior 9 Neste caso, temos dois números
9 iguais e o colocamos em ordem
8 normalmente.
7 Do maior para o menor
menor 5
 Dados 7; 8,3; 4,9; 6,8; 7,9
 maior 9
9
8
7
menor 5 Do maior para o menor
5ANTE TAMANDARÉ”
Cálculo Técnico Industrial
6ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ”
Exemplo 3 : Dados 0,009 ; 0,01 ; 0,019 ; 0,119 ; 0,02
Neste caso a primeira vista, não conseguimos dizer prontamente qual é o maior e coloca-los
em ordem, mas, seguindo uma regra prática, vamos conseguir.
Escrever os números na ordem em que aparecem, mas um sobre o outro, com virgula
embaixo de virgula:
0,009
0,010
0,019 Completamos os números que faltam com zeros.
0,119
0,020
Após completarmos os números, podemos observar diretamente a ordem dos números:
0,119 Maior
0,020
0,019 Do maior para o menor
0,010
0,009 Menor
Comparação entre números decimais:
Símbolos usados: > maior
 < menor
 = igual
Cálculo Técnico Industrial
ESCOLA S
Exercícios
Compare os números dizendo se é maior ( > ), menor ( < ) ou igual ( = ):
Comp
10,38;
16,82;
0,0008
13,20;
0,0028
0,98; 
a)
b)
c)
d)
e)
f) 
g)
h)
i) 
 8,04 8,40 j) 7,2 2,7
 7,89 6,99 k) 10,8 10,9
 11,71 11,071 l) 10,8 10,09
 5,34 5,43 m) 2,718 2,728
 3,41 3,041 n) 1,03 1,030
 14,08 8,07 o) 1,4 1,54
 12,73 12,74 p) 0,13 0,135
 8,7 8,07 q) 90,03 90,30
 1,3 1,5 r) 31,49 94,13
7ENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ”
arar os números e coloca-los em ordem do maior para o menor (ordem decrescente).
 9,91; 10,1; 9,6; 10,19
 16,9138; 16,925; 17,001; 17,017
; 0,001; 0,002; 0,005; 0,2
 13,35; 13,26; 13,09; 13,137
; 0,03; 0,0088; 0,001; 0,0139
 0,16; 0,32; 0,07; 0,538
Cálculo Técnico Industrial
8ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ”
Escreva os números abaixo em ordem crescente.
1,3; 0,2; 0,9; 1,05; 3,1 0,08 
0,3; 0,30; 0,32; 0,300; 0,03
0,09; 0,9; 0,99; 0,909; 0,009
0,12; 0,10; 0,01; 0,001; 0,09; 0,8
1,03; 1,09; 1,1; 1,009; 12 1,099
Escreva os números abaixo em ordem decrescente.
3,1; 3,09; 3,2; 3,99; 3,07
0,03; 0,9; 0,009; 0,1; 0,10; 0,5
2,3; 2,07; 2,9; 1,99; 1,08
3,01; 3,9; 4,06; 4,1; 0,09; 3,009
5,2; 4,07; 3,09; 4,01; 5,09; 3,1
REGRAS DE ARREDONDAMENTO (NBR 5891/77)
RT- Resposta Técnica
A gestão de qualquer processo (produtivo/administrativo) se quer a padronização de respostas,
que realmente “cai bem” no mesmo, eliminando duvidas entre clientes/fornecedor e para que o
processo siga com mais facilidade.
Quando o algarismo imediatamente seguinte ao ultimo algarismo a ser conservado é inferior a
5, o ultimo algarismo a ser conservado permanecerá sem modificação.
Cálculo Técnico Industrial
9ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ”
Exemplo:
Se arredondarmos 1,34625 à terceira casa decimal, teremos 1,346.
Quando o algarismo imediatamente seguinte ao ultimo algarismo a ser conservado é 5,
seguido de zero, deverá ser arredondado o algarismo a ser conservado para o algarismo mais
próximo.
Consequentemente, o ultimo algarismo ma se retido, se for impar, aumenta-se de uma
unidade.
Exemplo:
Se arredondarmos 4,735500 à 3ª decimal, teremos : 4,736.
Quando o algarismo imediatamente seguinte ao ultimo a ser conservado é 5, seguido de zeros,
se for par o algarismo a ser conservado ele permanecerá sem modificações.
Exemplo:
Se arredondarmos 7,834500 à 3ª decimal, teremos: 7,384.
Quando o algarismo imediatamente seguinte ao ultimo a ser conservado é superior a 5 ou,
sendo 5 for seguido de no mínimo um algarismo diferente de zero, o ultimo algarismo a ser
conservado deverá ser aumentado de uma unidade.
Exemplo:
Se arredondarmos 2,983600 à 3ª decimal, teremos = > 2,984
6,434503 arredondado à 3ª decimal é igual a 6,435.
Cálculo Técnico Industrial
10ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ”
Exercícios
Aproximar os números abaixo para segunda casa decimal:
a) 34,5621 =_____________ e) 17,12500 =______________
b) 9,996 =_______________ f) 13,1152 =_______________
c) 7,1534 =______________ g) 4,1850 =________________
d) 75,47500 =____________ h) 6,5574 =________________
Aproximar os números abaixo para terceira casa decimal:
a) 7,895231 =______________ e) 100,313500 =_____________
b) 6,743834 =______________ f) 15,998503 =_______________
c) 9,99504 =_______________ g) 4,317415 =________________
d) 45,312500 =______________ h) 1,514617 =________________
OPERAÇÕES
Adição/Subtração
Só podemos adicionar e subtrair unidades de mesma ordem decimal (unidade com unidade,
décimos com décimos, etc...). Para isso é necessário que ao se montar a operação, as vírgulas
estejam alinhadas (vírgula embaixo de vírgula).
Cálculo Técnico Industrial
11ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ”
Exemplos :
13,15 + 0,51 + 1,0001 =
13,1500
 0,5100
 + 2,0001
 15,2011
89,679 - 72,147 = 
89,679
 -72,147
17,532
Multiplicação
Multiplicação de números decimais é feita desprezando-se a vírgula para depois coloca-la no
resultado.
Para encontrar a posição da vírgula no resultado:
Contamos quantos algarismos após a vírgula (lado direito) tem os números envolvidos.
Contamos, no resultado, da direita para a esquerda o mesmo número de algarismos e
colocamos a vírgula.
Exemplo: 
 0,15(dois algarismos após a vírgula)
x 0,2 ( um algarismo após a vírgula)
 0,030 (três algarismos após a vírgula)
0,15 x 0,2 = 0,030
Cálculo Técnico Industrial
Divisão 
A divisão é a operação que nos traz a noção de razão e proporção.
Procedimento:
Divisão de dois números naturais dividendo maior que o divisor.
Exemplo
0
Para continuarmos a conta acrescentamos zeros nos restos até obter zero ou até a
aproximação desejada e a vírgula no quociente:
a
12ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ”
Dividendo menor que o divisor
Para iniciar esta conta já é necessária acrescentar o primeiro zero e, portanto, colocar o zero e
 vírgula no quociente.
outros exemplos :
Cálculo Técnico Industrial
ESCO
Divisão de decimal por decimal.
Devemos:
Igualar as casas decimais, isto é, deixar o dividendo e o divisor com a mesma quantidade de
algarismos após a vírgula.
Cortar as vírgulas e recopiar a conta sem elas.
D
P
E
D
U
ividir como números naturais.
ara continuar procede-se como no primeiro caso.
xemplo :
13LA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ”
ivisão de número natural por decimal e vice-versa:
samos também o processo anterior (Igualar as casas)
Cálculo Técnico Industrial
14ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ”
Exemplo :
Divisão de um número decimal por 10,100,1000,.... para dividir por 10,100,1000....um número
decimal basta deslocar a vírgula 1,2,3.... casas para a esquerda.
Exemplo :
43,25 : 10 = 4,325 3,5 : 100 = 0,035
432,5 : 100 = 4,325 0,34
:
10 = 0,034
4235 : 1000 = 4,235 14,2
:
1000 = 0,0142
Observação:
Existem maneiras diferentes para se fazer a mesma divisão.
Exercícios
Efetuar as operações:
Adição
3,45 + 2,75 = 2) 100,3 + 0,4 = 
3) 10,3 + 3,4 = 4) 30,4 + 21,3 = 
Cálculo Técnico Industrial
15ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ”
5) 4,53 + 1,2 = 6) 0,05 + 0,2 = 
7) 32,45 + 1, 3 = 8) 0,035 + 1,32 =
Subtração 
25,3 - 1,23 = 2) 918,74 - 10,786 = 
3) 0,09 - 0,03 = 4) 135,04 - 9,328 = 
5) 40,32 - 20,49 = 6) 0,777 - 0,090 = 
7) 132,45 - 45,2 = 8) 525,9 - 52,3 = 
Multiplicação
45,32 x 9 = 2) 10,4 x 10,9 =
3) 98,33 x 1,32 = 4) 9,870 x 1,32 =
Cálculo Técnico Industrial
16ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ”
5) 5,52 x 7,2 = 6) 0,478 x 0,004 = 
7) 100,04 x 6,2 = 8) 0,005 x 0,09 = 
Divisão 
98,3 : 22 = 2) 0,72 : 0,035 =
3) 136,75 : 37,8 = 4) 0,725 : 0,3 = 
5) 144 : 12,3 = 6) 1213,2 : 1,3 = 
7) 100,04 : 2,2 = 8) 5,005 : 1,00 = 
FRAÇÕES
FRAÇÃO: o conjunto dos números racionais.
É a representação da divisão de um inteiro em uma ou mais partes.
divide-se o circulo ao meio e torna-se apenas uma metade.
indica-se 21 .
Cálculo Técnico Industrial
17ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ”
divide-se o circulo em 3 partes e toma-se uma parte.
Indica-se 31 .
Necessita-se de dois números. Um deles representa quantas partes se tomou do inteiro
(numerador) e o outro indica em quantas partes se dividiu o inteiro (denominador).
 
5
2 
Leitura das Frações
Se o denominador da fração não for maior que o número 10, lê-se o denominador como se
fosse número ordinal (ordem). Ultrapassando o número 10, lê-se o valor do número acrescido da
palavra “AVOS”, exemplo:
5
3 lê-se: três quintos 
 
7
4 lê-se: quatro sétimos
 
10
5 lê-se: cinco décimos
11
3 lê-se: três onze avos
 16 lê –se: dezesseis trinta e cinco avos
 35 
numerador
denominador
Cálculo Técnico Industrial
18ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ”
Classificação
Próprias: O numerador é menor que o denominador, exemplo:
5
3
 , 
8
3 , 
7
4 
Impróprias: O numerador é maior ou igual ao denominador, exemplo:
3
4 , 
2
3 , 
6
8
Homogêneas: São chamadas as frações de mesmo denominador, exemplo:
7
2 , 
7
4 , 
7
10
Heterogêneas: São chamadas as frações de denominadores diferentes, exemplo:
5
3 , 
4
6 , 
9
7 
Número Misto: É um número que apresenta uma parte inteira e uma fracionária:
2 
3
1 lê-se: dois inteiros e um terço
4 
5
3 lê-se: quatro inteiros e três quintos
 
Observação: Toda fração imprópria pode ser transformada em número misto.
Regra para se transformar fração imprópria em número misto:
Divide-se o numerador pelo denominador. O quociente fica sendo a parte inteira: o resto passa
a ser numerador e o denominador permanece o mesmo.
Cálculo Técnico Industrial
ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ”
+
x
Exemplo :
3
7 = 2 
3
1 
Regra para se transformar número misto em
Multiplica-se o denominador pelo inteiro e
fração o mesmo denominador do número misto.
Exemplo:
2 
5
1
 = 
5
11 
Simplificação de Fração (Fração Irredutí
É obter uma fração com números menores
valor).Parar isto, divide-se o numerador e o denom
 Exemplo:
36
24 
)12(:
)12(:
 
=
=
 
3
2
Operações Fundamentais com Frações
Adição e Subtração
CASO 1 Os denominadores são iguais 
somar, ou subtrair os numeradore
19
 fração imprópria:
 soma-se com o numerador, deixando para a nova
vel)
, que seja equivalente à fração dada(sem alterar seu
inador pelo mesmo número.
(homogêneos), basta conservar o denominador e
s. 
quociente (parte inteira)
resto (numerador)
Cálculo Técnico Industrial
ESCOL
Exemplo :
5
8
5
6
5
2
=+
CASO 2 Os denominadores são diferentes. 
Exemplo :
4
1
3
2
+
Reduzem –se as frações ao mesmo denominador (MMC)
Em seguida, divide-se o MMC pelo denominador de cada fração e o resultado multiplica-se
pelo numerador de cada fração e coloca-se sobre a fração de denominador comum (12). Exemplo:
O sinal da operação deve ser conservado, seja ela de adição ou subtração, pois o
procedimento é idêntico para ambos.
MMC (3 e 4)
20A SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ”
Cálculo Técnico Industrial
21ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ”
Multiplicação de Fração
Basta multiplicar diretamente numerador com numerador e denominador com denominador. 
Exemplo :
5
2 X 
4
3 = 
20
6
Divisão de Fração
Manter a primeira fração e inverter as demais (divisão).
Exemplo :
Conversão de frações ordinárias em números decimais
Para se converter frações ordinárias em números decimais, basta apenas efetuar a divisão do
numerador pelo denominador.
Exemplo : 
4
1 = 1 : 4 = 0,25
16
13 = 13 : 16 = 0,8125
Cálculo Técnico Industrial
22ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ”
Para se converter frações mistas em números decimais, basta transforma-los em frações
ordinárias e proceder como no caso A.
Exemplo : 
3 
4
1 = 
4
13 = 13 : 4 = 3,25
 
3 
4
1 = 3,25
Conversão de números decimais em frações ordinárias ou números mistos
Basta transformar o número decimal em frações ordinárias e efetuar a simplificação da fração.
0,25 = 
100
25 (vinte e cinco centésimos) 
100
25 
:
:
 
5
5 = 
20
5 
:
:
 
5
5 = 
4
1 = 0,25 
3,6 = 3 
10
6 = 
10
36
10
36 
:
:
 
2
2 = 
5
18 = 
3
18 
3
5
 = 3 
5
3
Calcule
=++
5
1
2
1
3
1
=+
3
1
9
7
=++
2
1
5
22
Cálculo Técnico Industrial
23ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ”
=+++
5
1
10
7
15
4
30
2
=−
5
2
10
4
=−
4
94
=−
5
31
=××
2
1
2
5
8
3
=×5
1
4
3
=
8
5:10
=
14
3:
7
9
=2:
3
4
=2:
8
3
=
7
15:10
=
11
4:
10
4
Cálculo Técnico Industrial
24ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ”
NÚMEROS RELATIVOS
Às vezes, aparecem situações onde é necessário registrar numericamente variações de
valores em sentidos opostos, ou seja, maiores ou acima de zero (positivo) e menores ou abaixo de
zero (negativos), como, por exemplo, nas medidas de temperatura ou na utilização de um relógio
comparador.
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6
números negativos números positivos
Esses números, que se estendem infinitamente tanto para o lado direito (positivo) como para o
lado esquerdo (negativo), são chamados números relativos.
O valor absoluto de um número relativo é o valor do número que faz parte de sua
representação.
O valor absoluto de –3 é 3. Representa-se / 3 / = 3.
O valor absoluto de +8 é 8. Representa-se / 8 / = 8.
Exercícios
Colocar os sinais: > (maior) ou < (menor)
a) + 8 + 3 g) + 5 0
b) - 2 + 7 h) + 3 + 7
c) - 100 + 3 i) 0 8
d) - 10 + 9 j) 4 6
e) - 20 - 30 k) 2 - 2
f) - 2 0 l) 12 - 13
Cálculo Técnico Industrial
25ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ”
Observação: Quando um número for positivo, o sinal (+) poderá ser dispensado, no caso de
números negativos o sinal é obrigatório.
Operações
Adição/Subtração
Na adição de números relativos devemos observar:
Inicialmente eliminamos os parênteses, e após essa passagem efetuamos a adição/subtração,
obedecendo as regras:
Números com o mesmo sinal
Somam-se os números e conservam-se os sinais.
Exemplo:
+ 3 + 2 = +5
5 – 4 = - 9 
Números com “sinais diferentes”
subtraem-se os números e pegamos o sinal do número maior absoluto (módulo).
Exemplo : 
+ 3 – 2 = + 1
+ 5 – 8 = -3 
+ 3 – 9 = - 6
2 + 7 = + 5
Cálculo Técnico Industrial
26ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ”
Multiplicação de números relativos
O produto de dois números relativos de mesmo sinal é sempre positivo.
+3 . 4 = +12
-5 . (- 2) = +10
O produto de dois números de sinais diferentes é sempre negativo.
- 8 . 2 = - 16
+7 . (- 3) = -21
Resumo:
+. + = +
- . - = +
- . + = -
+ . - = -
Divisão de números relativos
O quociente (resultado da divisão) de dois números relativos de mesmo sinal é sempre
positivo.
-10 : 5 = +2
-12 : (-4) = +3
O quociente de dois números relativos de sinais diferentes é sempre negativo.
-20 : 4 = 5
28 : (-7) = -4
Cálculo Técnico Industrial
27ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ”
Resumo:
+: + = +
- : - = +
- : + = -
+: - = -
Exercícios 
Efetuar as operações abaixo :
a) 5 + 9 = l) - 5 + 2 - 7 =
b) 9 - 7 = m) 12 - 8 + 5 =
c) 15 + 2 = n) - 3 - 8 - 4 =
d) - 9 - 5 = o) - 1 + 7 - 3 =
e) - 2 + 8 = p) 3 - 6 - 1 =
f) 5 - 2 - 3 = q) - 3 - 6 + 7 - 3 =
g) 3 - 9 + 3 = r) 18 - 5 - 2 + 1 =
h) - 5 - 7 - 3 = s) - 14 - 5 + 2 - 5 =
i) 3 + 0 + 5 = t) - 30 + 28 - 3 - 4 =
j) - 3 + 7 - 4 = u) 30 - 14 + 8 - 13 =
Cálculo Técnico Industrial
28ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ”
Calcule o valor das expressões abaixo
a) - 5 : (-2) =
_______________________
b) - 13 : (-1) =
____________________
c) - 9 . (7) =
_______________________
d) 25 : (-5) =
____________________
e) 8 . (-3) =
_______________________
Cálculo Técnico Industrial
29ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ”
Calcule :
a) 7+ (2 - 5) =
_____________________
b) 18 - (3 + 8) =
____________________
c) (12 - 3)+ (5 - 4) =
_________________
d) (15 - 18) - (4 + 9) =
_______________
e) 19 - (9 - 13) - 4 =
_________________
f) 0 : (-23) =
_______________________
g) - 3 . 2 . (-1) =
____________________
h) 9 . (-1) . 2 . (-3) =
_________________
i) - 5 : 1 . (-3) . 0 =
__________________
j) 12 : (-1) . 1 : (-1) . (-3) =
___________
Cálculo Técnico Industrial
30ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ”
CÁLCULO DE EXPRESSÕES MATEMÁTICAS
Dada uma expressão matemática, podemos resolve-la obedecendo as seqüência de
prioridades:
1º resolve-se os parênteses
2º resolve-se os colchetes
3º resolve-se as chaves
Resolvendo-se as operações na seguinte ordem:
1º potências e radiciações
2º os produtos e divisões
3º as adições e subtrações
Exemplo : 
7 + {-3 + 2 . [4 - (3 . 2² + 4) ] -1} =
7 + {-3 + 2 . [4 - (3 . 4 + 4) ] -1} =
7 + {-3 + 2 . [4 - (12 + 4) ] -1} =
7 + {-3 + 2 . [4 -(16) ] -1} =
7 + {-3 + 2 . [4 - 16] -1} =
7 + {-3 + 2 . [12] -1} =
7 + {-3 + 24 - 1} =
7 + {-28} =
7 - 28 =
-21
Cálculo Técnico Industrial
31ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ”
Exercício 
a) 2 - [-3 . (2) + (3 + 3 . 4) ] = b) -2 + 3 . [4 - 5 . (3 . 2 - 4) ] =
c) 2 . [13 - 4 . (4) ] + 8 = d) 5 (4 - 3 . 2 + 1) - (-3) =
e) (3 . 4 - 8) . (7 + 3 . 2) = f) 5 (-3 . 5 + 18) + 5 . [-2 (-2) - 3] =
g) 1 - 10 {10 - 1 [1 - 1 - (10 - 1) ] } . (1 + 10 - 10 . 1) =
Cálculo Técnico Industrial
32ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ”
h) [5 + 3 . (-2) ] - [6 (-1) + 2 (-4) ] = i) 0,33 [ (-0,5 : 4) . 1,5 - (1,7 : 2) ] =
j) - {-1,8 [0,15 - 7 (-7,2 + 4,7) - 7 (-0,3) ] } =
l) 1,8² + 
2
8,0 2 - 
5
547 +− = m) 23
11
+ + 0,8² - 
2
431− =
n) 
4
12,2
5,0
2,3
5,0
7
8,020
37 2
2
+
−


−+
−
 =
Cálculo Técnico Industrial
33ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ”
o) 













 •−•
−
2
2 7
5,14,32,122
8,07
1 =
p) ( )







 +
−−
−
2
2,2
45,152,15
715
138 =
q) 







+•
3
2,2
5
31
8,0
21 2
2
 =
Cálculo Técnico Industrial
34ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ”
RAZÃO E PROPORÇÃO
Razão: noção de “caber”
Freqüentemente, fazemos comparações entre grandezas.
A primeira barra de ferro é menor do que a Segunda.
Também é comum comparar duas grandezas para se saber quantas vezes uma quantidade
cabe em outra. Observe as duas engrenagens abaixo.
A engrenagem A tem 80 dentes. A engrenagem B tem 20 dentes. Dividindo o número de
dentes da engrenagem A pelo número de dentes da engrenagem B encontramos: 80:20=4.
Verificamos, então que 20 cabe 4 vezes em 80.
Por isso, podemos dizer que a engrenagem A tem 4 vezes mais dentes que a engrenagem B.
Essa é uma comparação por divisão, que chamamos de razão.
Cálculo Técnico Industrial
35ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ”
Razão entre dois números é o quociente indicado entre eles.
Razões especiais
Existem casos muito usados de comparação entre grandezas de espécies diferentes, como
quilômetro e hora, habitantes e quilômetros quadrados.
Exemplos:
Se um município tem 43 habitantes por quilômetro quadrado, indicamos a razão entre os
habitantes e a área ocupada com 43 hab. / 1 km ou 43 hab. : 1 km², que lemos 43 habitantes por
quilômetro quadrado.
A razão entre a distância percorrida e o tempo gasto por uma pessoa que andou 50 metros
em 1 minuto é 50 m/1 min ou 50 m : 1 min.
indicações: 80 km/h; 43 hab/km²; 50 m/min 
Exercícios
Obs: < MENOR
 > MAIOR
Se 
10
a < (menor) 
10
b < (menor) 
10
c Logo:
 
c < b < a
c > b > a
c > b < a
a > b > c
n.d.a
Cálculo Técnico Industrial
36ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ”
Se 
20
a > (maior) 
20
b
 > (maior) 
20
c Logo: 
 
a > b > c
a < b < c
a > b < c
a < b > c
n.d.a
3) Se 
50
a = 
50
b
 < 
50
c Logo:
a = c > b
c > b = a
a > c = b
b < c = a
n.d.a
Cálculo Técnico Industrial
37ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ”
4) Se 
15
a < 
15
b > 
15
c
 Logo:
 
a < b > c
a > b = c
a > b < c
a > b > c
n.d.a
Cálculo de um termo qualquer da proporção (regra de três)
12
?
4
3
= 
12
x
4
3
=
Observação: 
" x " é valor a se descobrir
Multiplica-se um dos valores conhecidos que está em “baixo” pelo “outro” valor conhecido que
está em “cima” do outro lado da igualdade (multiplica-se em cruz) e divide-se pelo valor que sobrar.
O resultado é “x” 
Cálculo Técnico Industrial38ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ”
Exercícios
a) 
5,15
x
2,5
27,0
= b) 
54,1
54,3
3,1
x
= c) 
51,0
21
x
75,0
=
d) 
2,3
5,1
75,2
x
= e) 
21,5
15,0
x
5,2
= f) 
5,1
47,2
x
34,0
=
g) 
2,3
5,1
72,2
x
= h) 
21,5
15,0
x
50,2
= i) 
5,1
47,2
x
34,0
=
GRANDEZAS
Grandezas diretamente proporcionais
São aquelas que quando aumentando-se ou diminuindo-se uma delas, a outra aumenta ou
diminui na mesma razão.
Exemplo :
Horas de trabalho e R$
 1 1.200
 240 X
Cálculo Técnico Industrial
39ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ”
Fazendo-se a pergunta: Em uma hora de trabalho recebe R$ 1.200, em 240 horas receberá
mais ou menos que R$ 1.200?
É claro que mais. Então como 240 é maior que 1 e x é maior que 1.200, teremos Regra de
Três Diretamente Proporcional.
Grandezas inversamente proporcionais
São aquelas que quando aumentas, a outra diminui na mesma razão.
Exemplo :
 
Correndo a 60 km/h, faz-se uma viagem em três horas; se correr a 120 km/h fará a viagem em
mais ou menos quanto tempo?
É claro que será menos. Então como de 60 km/h para 120 km/h aumentou, de 3 horas para x
irá diminuir, temos Regra de Três Inversamente Proporcional
 
Velocidade Tempo
60 Km / h 3 horas
120 Km / h X horas
Inversamente Diretamente
Proporcional Proporcional ou
Cálculo Técnico Industrial
40ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ”
Problemas
1. Um mecânico faz 84 peças em 6 horas. Quantas peças fará em 8 horas?
2. Trinta máquinas, gastam 15 dias para realizar uma certa produção. Se funcionarem 40
máquinas, quantos dias serão precisos para executar a mesma produção?
3. Numa sala de 6m² de área usei 150 ladrilhos. Quantos ladrilhos são necessários para uma
sala de 10m²?
4. Uma engrenagem de 30 dentes gora com 120 rpm. Qual a rotação de outra engrenagem de
45 dentes quando acoplada a primeira?
5. Uma máquina deve trabalhar a 800 rpm. Qual o diâmetro da polia a ser colocada no seu
eixo se o motor que vai acioná-lo dá 1200 rpm e tem uma polia de 100 mm?
Cálculo Técnico Industrial
41ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ”
6. Uma fábrica de tecido consumiu 1800 fardos de algodão em 13 dias. Em 8 dias quantos
fardos consumiu?
7. Uma engrenagem de 40 dentes dá 300 rpm. Qual a rotação de outra de 60 dentes
engrenados ela?
8. Se 4,8 m de fio custam R$ 2,40, qual será o preço de 6 m do mesmo fio?
9. Um automóvel com velocidade constante percorre 20 m em 4 minutos. Quantos metros
percorrerá em 6 minutos?
10. Num dia, 5 operários produziram 800 peças. Se 8 operários trabalhassem no mesmo ritmo
quantas peças iriam produzir?
Cálculo Técnico Industrial
42ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ”
11. Para construir uma casa 4 pedreiros levaram 60 dias. Em quantos dias 5 pedreiros com a
mesma capacidade de trabalho fariam a mesma casa?
12. Num lote de 200 peças, 16 não foram aprovadas pelo controle de qualidade. Num lote de
86000 peças, quantas peças fora de especificação são esperadas?
13. A 60 km/h, vamos de São Paulo ao Rio de Janeiro em 8 horas. Qual deve ser a
velocidade para fazer o percurso em 6 horas?
14. Em cada 10 voltas, um parafuso avança 4,5 mm. Quantas voltas deve dar para avançar
6,3 mm?
15. Uma polia menor, de diâmetro 150 mm, gira com 750 rpm. Qual deverá ser o diâmetro da
polia maior para girar com 100 rpm?
Cálculo Técnico Industrial
43ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ”
16. Se três torneiras idênticas, completamente abertas, enchem um tanque em 80 minutos,
em quanto tempo, 5 dessas torneiras encherão o mesmo tanque?
17. Um litro de água do mar tem 25 g de sal. Quantos litros de água são necessários para
obter 8 kg de sal?
18. Fazendo um desenho em escala, uma medida de 75 mm foi desenhada em 15 mm. Qual
é a medida da peça cuja medida do desenho é de 42 mm?
19. Se uma vara de 1,5 m de comprimento, projeta uma sombra de 2,2 m, qual será a altura
de um edifício que projeta uma sombra de 99 m?
Cálculo Técnico Industrial
44ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ”
SISTEMA MÉTRICO DECIMAL (medida linear)
Unidade fundamental ( U ) é o metro ( m ).
Metro : é a milionésima parte de um quarto do meridiano da terra.
Múltiplos do metro U.F. Submúltiplos do metro
Quilômetro
(km)
1000m
Hectômetro
(hm)
100m
Decâmetro
(dam)
10m
Metro
(m)
1m
Decímetro
(dm)
0,1m
Centímetro
(cm)
0,01m
Milímetro
(mm)
0,001m
Observação:
Cada unidade de comprimento á 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior a, as
sucessivas unidades variam de 10 em 10.
No processo de Fabricação Industrial usamos o milímetro, como unidade principal e os seus
submúltiplos.
 Unidade superior para inferior x ( multiplica-se )
 Unidade inferior para superior ÷ ( divide-se )
Cálculo Técnico Industrial
45ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ”
Milímetro
(mm)
1 mm
Décimos
(dm)
0,1 mm
Centésimos
(cm)
0,01 mm
Milésimos ou mícron
(mLm ou µm)
0,001 mm
Décimos de milésimo
(Dec - microns)
0,0001 mm
Transformar as unidades
 284 mícrons = décimos
 8,94 milímetros = décimos
 18 décimos = milímetros
 2,85 milímetros = centésimos
 246 décimos = mícrons
 243 mícrons = centésimos
 13 décimos = milímetros
 943 mícrons = décimos
 50 mícrons = centésimos
 2,85 milímetros = décimos
 1000 mícrons = décimos
 2005 centésimos = décimos
 300 décimos = mícrons
 1000 décimos = milímetros
 2000 mícrons = décimos
Cálculo Técnico Industrial
46ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ”
OPERAÇÕES COM ÂNGULOS (medida angular)
Circulo / circunferência = 360º (graus)
1º grau = 60’ (minutos)
1’ minuto = 60” (segundos)
Adição
Para somar graus, coloca-se as unidades iguais, uma sobre as outras e efetuam-se as somas
como se fosse números inteiros.
Exemplo :
13º 24’ 13” + 26º 12’ 14” = 39º 36’ 27” .
13º
26º
24’
12’
13”
14”
39º 36’ 27”
Quando os segundos ou minutos tem soma maior que 60 então devemos transformá-los.
18º 24’ 48” + 12º 37’ 14” =
18º
12º
24’
37’
48”
14”
30º 61’
+1’
62”
-60”
+1º 62’
-60’
2”
2’
31º 2’ 2”
Cálculo Técnico Industrial
47ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ”
Subtração
Para subtrair graus colocam-se unidades iguais, uma sob as outras, e efetua-se as subtrações
como se fossem números inteiros.
Exemplo:
22º 14’ 26” - 14º 12’ 14” =
22º
-14º
14’
12’
26”
14”
8º 2’ 12”
Caso em que a parcela em segundos ou minutos do subtraendo é maior do que a respectiva
parcela em segundos ou minutos do minuendo.
36º
-32º
26’
14’ 28”
Para que a subtração seja possível é necessário que transformemos no minuendo uma
unidade da parcela anterior para a seguinte; assim no exemplo.
36º 26’ = 36º 25’ 60”
Então : 
36º
-32º
25’
14’
60”
28”
4º 11’ 32”
 
Cálculo Técnico Industrial
48ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ”
Multiplicação
Para a multiplicação de graus efetuam-se operações como se fossem números inteiros
fazendo-se as transformações no final das operações.
Exemplo :
36º
X
34’
3
108º
+1º
102’
-60
109º 4’
Divisão
Dividem-se graus, como se fossem números comuns, fazendo-se as transformações no
decorrer das operações.
Exemplo :
 33º 15’ : 2 = ou dividem-se primeiro os graus pelo divisor
11,5º = 11º 30' 0,5 x 60' = 30'
Cálculo Técnico Industrial
49ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ”
Exercícios
Efetuar as operações com medidas angulares:
a) 32º 20’ + 41º 10’ =
 
b) 7º 34’ 21” + 39º 40’ 17” =
c) 80º 48’ 59 + 30º 53' 14” = d) 3º 40” + 27º 27’ =
e) 107º + 50’ = f) 34’ + 8º 40’ 5” =
g) 45º 50’ 34 + 27º 39' 17” = h) 40º 18’ 42 + 30º 30’ 42” =
i) 60º 15’ 20”- 34º 45’ 46” = j) 20º + 23’ =
Cálculo Técnico Industrial
50ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ”
l) 7º - 59” = m) 20º - 23’ =
n) ( 7º 20’ 32” ) . 2 = o) ( 29º 43” ) . 3 =
p) 31º 42’ 21” . 2 = q) 2º 05’ . 100 =
r) 45º 30’ 12” : 2 = s) 3º 12’ 40” : 3 =
t) 350º : 3 = u) 41º 22” : 4 =
v) 15º 25’ : 6 = x) 3º : 8 =
Cálculo Técnico Industrial
51ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ”
Transformar milésimos para medida angular sabendo-se que 1’ equivale a 0.004 mm (4 µm).
Para uma distância fixa de 10 mm.
a) 12µm_________________minutos b) 16µm__________________minutos
c) 20µm_________________minutos d) 25µm__________________minutos
e) 2µm__________________minutos f) 38µm__________________minutos
g) 3µm__________________minutos h) 24µm_________________minutos
Transformar minuto para mícrons, sabendo-se que 0,003 mm (µm) equivale a 1’ para uma
distância fixa de 10 mm.
a) 2”____________________microns b) 3”____________________microns
c) 3’20”__________________microns d) 6”____________________microns
Cálculo Técnico Industrial
52ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ”
e) 1’40__________________microns f) 20”___________________microns
g) 9”____________________microns h) 40”___________________microns
Cada 30” equivale a 0,006 (6 µm) numa distância fixa de 15 mm. Se a distância for mudada
para 135 mm, quantos mícrons teremos?
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