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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE MATEMA´TICA E ESTATI´STICA Ca´lculo e Geometria Anal´ıtica I - A (Notas de aula - Derivada 1) 1Agradecimentos: Texto adaptado do Prof. Jairo Kra´s Mengue, Copyright c© 2015 1 Derivada 1.1 Taxa de variac¸a˜o me´dia Se f esta´ definida em [a, b], dizemos que ∆f ∆x = f(b)− f(a) b− a e´ a taxa de variac¸a˜o me´dia de f em [a, b]. Exemplo 1 Se f(x) = 3x+ 5, A taxa de variac¸a˜o me´dia de f em [1, 6] e´ dada por f(6)−f(1) 6−1 = 23−8 5 = 15 5 = 3 A taxa de variac¸a˜o me´dia de f em [2, 4] e´ dada por f(4)−f(2) 4−2 = 17−11 2 = 6 2 = 3 Observac¸a˜o: A taxa de variac¸a˜o me´dia de uma func¸a˜o afim f(x) = mx + b e´ igual ao coeficiente angular m (inclinac¸a˜o da reta). Exemplo 2 Vamos tentar entender a taxa de variac¸a˜o me´dia de f(x) = x2 em intervalos de comprimento 1. no intervalo [0, 1] a taxa e´ dada por f(1)−f(0) 1−0 = 1−0 1−0 = 1 no intervalo [1, 2] a taxa e´ dada por f(2)−f(1) 2−1 = 4−1 2−1 = 3 no intervalo [2, 3] a taxa e´ dada por f(3)−f(2) 3−2 = 9−4 3−2 = 5 no intervalo [3, 4] a taxa e´ dada por f(4)−f(3) 4−3 = 16−9 4−3 = 7 Note que aparentemente cada vez que deslocamos o intervalo analisado em uma unidade para a direita, o valor da taxa de variac¸a˜o me´dia e´ aumentado em duas unidades. Em geral, para um intervalo da forma [a, a+ 1] temos a taxa ∆f ∆x = f(a+ 1)− f(a) (a+ 1)− a = (a+ 1)2 − a2 1 = a2 + 2a+ 1− a2 1 = 2a+ 1 Observe a tabela valor de a 1 2 3 4 5 6 7 8 intervalo [a, a+ 1] [1, 2] [2, 3] [3, 4] [4, 5] [5, 6] [6, 7] [7, 8] [8, 9] variac¸a˜o me´dia (2a+ 1) 3 5 7 9 11 13 15 17 2 Exemplo 3 Vamos tentar entender a taxa de variac¸a˜o me´dia de f(x) = x2 em intervalos de comprimento 2. no intervalo [0, 2] a taxa e´ dada por f(2)−f(0) 2−0 = 4−0 2 = 2 no intervalo [1, 3] a taxa e´ dada por f(3)−f(1) 3−1 = 9−1 2 = 4 no intervalo [2, 4] a taxa e´ dada por f(4)−f(2) 4−2 = 16−4 2 = 6 no intervalo [3, 5] a taxa e´ dada por f(5)−f(3) 5−3 = 25−9 2 = 8 Novamente, cada vez que deslocamos o intervalo analisado em uma unidade para a direita, o valor da taxa de variac¸a˜o me´dia e´ aumentado em duas unidades. Em geral, para um intervalo da forma [a, a+ 2] temos a taxa ∆f ∆x = f(a+ 2)− f(a) (a+ 2)− a = (a+ 2)2 − a2 2 = a2 + 4a+ 4− a2 2 = 2a+ 2 Observe a tabela valor de a 1 2 3 4 5 6 7 8 intervalo [a, a+ 2] [1, 3] [2, 4] [3, 5] [4, 6] [5, 7] [6, 8] [7, 9] [8, 10] variac¸a˜o me´dia (2a+ 2) 4 6 8 10 12 14 16 18 Exemplo 4 Vamos tentar entender a taxa de variac¸a˜o me´dia de f(x) = 2x em intervalos de comprimento 1. no intervalo [0, 1] a taxa e´ dada por f(1)−f(0) 1−0 = 2−1 1−0 = 1 no intervalo [1, 2] a taxa e´ dada por f(2)−f(1) 2−1 = 4−2 1 = 2 no intervalo [2, 3] a taxa e´ dada por f(3)−f(2) 3−2 = 8−4 1 = 4 no intervalo [3, 4] a taxa e´ dada por f(4)−f(3) 4−3 = 16−8 1 = 8 Aparentemente cada vez que deslocamos o intervalo analisado em uma unidade para a direita, o valor da taxa de variac¸a˜o me´dia e´ multiplicado por 2. 3 Em geral, para um intervalo da forma [a, a+ 1] temos a taxa ∆f ∆x = f(a+ 1)− f(a) (a+ 1)− a = 2a+1 − 2a 1 = 2 · 2a − 2a 1 = 2a Observe a tabela valor de a 1 2 3 4 5 6 7 8 intervalo [a, a+ 1] [1, 2] [2, 3] [3, 4] [4, 5] [5, 6] [6, 7] [7, 8] [8, 9] variac¸a˜o me´dia (2a) 2 4 8 16 32 64 128 256 Interpretac¸a˜o geome´trica: A taxa de variac¸a˜o me´dia de f em [a, b] e´ a inclinac¸a˜o da reta secante ao gra´fico de f pelos pontos (a, f(a)) e (b, f(b)). Exemplo 5 A partir do gra´fico abaixo podemos dizer que a taxa de variac¸a˜o me´dia de f no intervalo [4, 8] e´ dada por f(8)− f(4) 8− 4 = 4− 6 8− 4 = −2 4 = −1 2 . 4 2 taxa de variac¸a˜o instantaˆnea e derivada A taxa de variac¸a˜o instantaˆnea de f em a e´ dada por lim b→a f(b)− f(a) b− a se o limite existir. Notac¸o˜es: f ′(a) ou dfdx ∣∣∣ x=a Observac¸a˜o: Escrevendo h = b− a (e portanto b = a+ h) temos df dx ∣∣∣∣ x=a = lim h→0 f(a+ h)− f(a) h Exemplo 6 Vamos tentar entender a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea de f(x) = x2 em diferentes valores. f ′(1) = lim h→0 f(1 + h)− f(1) h = lim h→0 (1 + h)2 − 12 h = lim h→0 (1 + 2h+ h2)− 1 h = lim h→0 2h+ h2 h = lim h→0 2 + h = 2. f ′(2) = lim h→0 f(2 + h)− f(2) h = lim h→0 (2 + h)2 − 22 h = lim h→0 (4 + 4h+ h2)− 4 h = lim h→0 4h+ h2 h = lim h→0 4 + h = 4. f ′(3) = lim h→0 f(3 + h)− f(3) h = lim h→0 (3 + h)2 − 32 h = lim h→0 (9 + 6h+ h2)− 9 h = lim h→0 6h+ h2 h = lim h→0 6 + h = 6. Em geral, se queremos a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea em um nu´mero x qualquer calculamos f ′(x) = lim h→0 f(x+ h)− f(3) h = lim h→0 (x+ h)2 − 32 h = lim h→0 (x2 + 2xh+ h2)− x2 h = lim h→0 2xh+ h2 h = lim h→0 2x+ h = 2x. Definic¸a˜o 7 (Derivada) - Fixada uma func¸a˜o f , consideramos a partir desta uma nova func¸a˜o f ′ dada por f ′(x) = lim h→0 f(x+ h)− f(x) h . Chamamos a func¸a˜o f ′ de derivada da func¸a˜o f . O domı´nio da func¸a˜o f ′ e´ formado pelos pontos no domı´nio de f onde existe o limite acima. Dizemos que f e´ diferencia´vel nestes pontos. 5 Exemplo 8 - Se f(x) = k, onde k e´ uma contante temos que f ′(x) = lim h→0 f(x+ h)− f(x) h = lim h→0 k − k h = lim h→0 0 = 0. Se f(x) = mx+ b e´ uma func¸a˜o afim temos que f ′(x) = lim h→0 f(x+ h)− f(x) h = lim h→0 (m(x+ h) + b)− (mx+ b) h = lim h→0 (mx+mh+ b)− (mx+ b) h = lim h→0 mh h = m. Reta tangente: A reta tangente ao gra´fico de f no ponto (a, f(a)) e´ a reta que conte´m este ponto (x0, y0) = (a, f(a)) e possui inclinac¸a˜o m = f ′(a). Exemplo 9 Reta tangente ao gra´fico de f(x) = x2 no ponto (3, 9): inclinac¸a˜o: m = f ′(3) = 2 · 3 = 6 ponto: (x0, y0) = (3, 9) equac¸a˜o: y − y0 = m(x− x0) −→ y − 9 = 6(x− 3) −→ y = 6x− 18 + 9 −→ y = 6x− 9 Note na figura acima que, pro´ximo do ponto (3, 9), e´ dif´ıcil perceber a diferenc¸a entre a reta y = 6x− 9 e o gra´fico de f . Localmente, em torno do ponto (a, f(a)), a reta tangente e´ a reta que melhor se ajusta ao gra´fico de f . 6 Exemplo 10 Derivada de f(x) = x3: f ′(x) = lim h→0 f(x+ h)− f(x) h = lim h→0 (x+ h)3 − x3 h = lim h→0 (x3 + 3x2h+ 3xh2 + h3)− x3 h = lim h→0 3x2 + 3xh+ h2 = 3x2. Proposic¸a˜o 11 Para n = 1, 2, 3, 4, ... d dx xn = nxn−1 Exemplo 12 - d dx x = 1, d dx x2 = 2x, d dx x3 = 3x2, d dx x4 = 4x3, d dx x5 = 5x4 3 Derivada da soma, diferenc¸a, produto por constante Proposic¸a˜o 13 - d dx (f(x) + g(x)) = d dx f(x) + d dx g(x) d dx (f(x)− g(x)) = d dx f(x)− d dx g(x) d dx ((cte) · f(x)) = (cte) · d dx f(x) As fo´rmulas podem ser aplicadas nos pontos onde f e g sa˜o diferencia´veis. Exemplo 14 d dx (3x2 + 5x+ 10) = d dx (3x2) + d dx (5x) + d dx (10) = 3 · d dx (x2) + 5 · d dx (x) + d dx (10) = 3 · (2x) + 5 · (1) + 0 = 6x+ 5 d dx (5x7 + 4x4 + 8x2 + x) = d dx (5x7) + d dx (4x4) + d dx (8x2) + d dx x = 5 · d dx (x7) + 4 · d dx (x4) + 8 · d dx (x2) + d dx x = 5 · (7x6) + 4 · (4x3) + 8 · (2x) + 1 = 35x6 + 16x3 + 16x+ 1. d dx (8x6 + 3x5 + 2x3 + 7) = d dx (8x6) + d dx (3x5) + d dx (2x3) + d dx 7 = 8 · d dx (x6) + 3 · d dx (x5) + 2 · d dx (x3) + d dx 7 = 8 · (6x5) + 3 · (5x4) + 2 · (3x2) + 0 = 48x5 + 15x4 + 6x2. 7 4 Derivadas das func¸o˜es seno e cosseno Teorema 15 d dx sen(x) = cos(x) e d dx cos(x) = −sen(x) Exemplo 16 -A reta tangente ao gra´fico de y = sen(x) no ponto de abscissa x = pi/2 tem inclinac¸a˜o m = 0 (pois cos(pi/2) = 0). A reta tangente ao gra´fico de y = sen(x) no ponto de abscissa x = pi tem inclinac¸a˜o m = −1 ( pois cos(pi) = −1). A reta tangente ao gra´fico de y = cos(x) no ponto de abscissa x = pi tem inclinac¸a˜o m = 0 (pois sen(pi) = 0). Exemplo 17 Determine a inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de y = cos(x) + 2x no ponto (0, 1). Obtenha a equac¸a˜o desta reta: Soluc¸a˜o: dydx = d dxcos(x) + d dx2x = −sen(x) + 2. Enta˜o dy dx ∣∣∣∣ x=0 = −sen(0) + 2 = 2. Inclinac¸a˜o da reta tangente: m = 2 Ponto:(x0, y0) = (0, 1) Equac¸a˜o: y − y0 = m(x− x0) −→ y − 1 = 2(x− 0) −→ y = 2x+ 1. Equac¸a˜o da reta tangente: y = 2x+ 1. 8 5 Regra do Produto Teorema 18 Se f e g sa˜o func¸o˜es diferencia´veis em um nu´mero x enta˜o f · g e´ diferencia´vel em x. Ale´m disso (f · g)′(x) = f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x) Em notac¸a˜o compacta escrevemos (f · g)′ = f ′ · g + f · g′ Outra notac¸a˜o: d dx (f(x) · g(x)) = ( d dx f(x) ) g(x) + f(x) ( d dx g(x) ) . Exemplo 19 - (x3 · x2)′ = (x3)′(x2) + (x3)(x2)′ = (3x2)(x2) + (x3)(2x) = 3x4 + 2x4 = 5x4. O resultado e´ coerente ja´ que a func¸a˜o que derivamos era y = x3 · x2 = x5. Note tambe´m que (x3 · x2)′ 6= (x3)′(x2)′ pois (x3)′(x2)′ = (3x2)(2x) = 6x3. Geralmente: (f · g)′ 6= f ′ · g′ Exemplo 20 - d dx(sen(x) · x4) = ( d dxsen(x) ) x4 + sen(x) ( d dxx 4 ) = cos(x) · x4 + sen(x) · 4x3 (sen(x)·cos(x))′ = (sen(x))′(cos(x))+(sen(x))(cos(x))′ = (cos(x))(cos(x))+(sen(x))(−sen(x)) = cos2(x)− sen2(x). 9 (sen2(x))′ = (sen(x) · sen(x))′ = (sen(x))′(sen(x)) + (sen(x))(sen(x))′ = 2sen(x)cos(x). Observac¸a˜o: A regra do produto pode ser deduzida a partir dos ca´lculos abaixo: (f · g)′(x) = lim h→0 f(x+ h)g(x+ h)− f(x)g(x) h = lim h→0 f(x+ h)g(x+ h)− f(x)g(x+ h) + f(x)g(x+ h)− f(x)g(x) h = lim h→0 [f(x+ h)− f(x)]g(x+ h) + f(x)[g(x+ h)− g(x)] h = lim h→0 f(x+ h)− f(x) h g(x+ h) + lim h→0 f(x) g(x+ h)− g(x) h = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x). 6 Regra do quociente Teorema 21 Se f e g sa˜o func¸o˜es diferencia´veis em x e g(x) 6= 0 enta˜o fg e´ diferencia´vel em x. Ale´m disso( f(x) g(x) )′ = f ′(x)g(x)− f(x)g′(x) (g(x))2 . Exemplo 22 Para x 6= 0: d dx ( x5 x2 ) = ( d dxx 5 ) (x2)− (x5) ( ddxx2) (x2)2 = ( 5x4 ) (x2)− (x5) (2x) (x2)2 = 5x6 − 2x6 x4 = 3x2 O resultado e´ coerente, pois y = ( x5 x2 ) = x3 para x 6= 0. Note que ( x5 x2 )′ 6= (x5)′ (x2)′ pois (x5)′ (x2)′ = 5x4 2x = 5 2x 3. Geralmente: ( f g )′ 6= f ′ g′ Exemplo 23 ( 3x2 + 4x− 1 x+ 1 )′ = (3x2 + 4x− 1)′(x+ 1)− (3x2 + 4x− 1)(x+ 1)′ (x+ 1)2 = (6x+ 4)(x+ 1)− (3x2 + 4x− 1)(1) (x+ 1)2 = (6x2 + 10x+ 4)− (3x2 + 4x− 1) (x+ 1)2 = 3x2 + 6x+ 5 (x+ 1)2 ( sen(x) x )′ = (sen(x))′ (x)− (sen(x)) (x)′ x2 = (cos(x)) (x)− (sen(x)) (1) x2 = xcos(x)− sen(x) x2 10 7 Regra da cadeia Teorema 24 Se g e´ diferencia´vel em x e f e´ diferencia´vel em g(x) enta˜o f ◦ g e´ diferencia´vel em x e (f ◦ g)′(x) = f ′(g(x)) · g′(x). Outra notac¸a˜o: Escrevendo u = g(x) e y = f(u) = f(g(x)) dy dx = dy du · du dx . Exemplo 25 ddx(sen(x 2)) =? escrevemos u = x2 e y = sen(u) (assim y = sen(x2)). dy dx = dy du · du dx = ( d du sen(u) )( d dx x2 ) = (cos(u)) (2x) = cos(x2) · 2x. Exemplo 26 ddx(sen(x)) 3 =? escrevemos u = sen(x) e y = u3 (assim y = (sen(x))3). dy dx = dy du · du dx = ( d du u3 )( d dx sen(x) ) = ( 3u2 ) (cos(x)) = 3(sen(x))2 · cos(x). Exemplo 27 ddx(cos(3x 2 + 5)) =? escrevemos u = 3x2 + 5 e y = cos(u) (assim y = cos(3x2 + 5)). dy dx = dy du · du dx = ( d du cos(u) )( d dx (3x2 + 5) ) = (−sen(u)) (6x) = −(sen(3x2 + 5)) · 6x. 8 Derivadas das func¸o˜es exponencial e logaritmo Toda func¸a˜o exponencial f(x) = bx, b > 0 conte´m o ponto (0, 1) em seu gra´fico. Temos interesse na reta que conte´m este ponto e possui inclinac¸a˜o m = 1. Neste caso a reta possui equac¸a˜o y − y0 = m(x− x0) −→ y − 1 = 1(x− 0) −→ y = x+ 1. A escolha da base b = e ≈ 2, 71828 esta´ relacionada com esta reta. Mais precisamente, se quisermos que a reta y = x + 1 seja tangente ao gra´fico da func¸a˜o exponencial y = bx no ponto de abscissa x = 0 devemos considerar a base b = e. Abaixo apresentamos em um mesmo sistema de eixos os gra´ficos de y = 2x, y = 3x e da reta y = x+ 1. Ao fazermos uma ampliac¸a˜o para ana´lise em torno do ponto (0, 1) vemos que os gra´ficos de y = 2x e y = 3x localmente parecem retas com inclinac¸o˜es respectivamente menor e maior que 1. 11 Abaixo apresentamos o gra´fico de y = ex e da reta y = x+ 1 em um mesmo sistema de eixos. Para f(x) = ex temos que f ′(0) = 1 (inclinac¸a˜o da reta tangente no ponto de abscissa x = 0). Lembrando que f ′(x) = lim h→0 f(x+ h)− f(x) h obtemos que (para x = 0) 1 = lim h→0 e0+h − e0 h = lim h→0 eh − 1 h . (∗) Teorema 28 ddxe x = ex. justificativa: d dx ex = lim h→0 ex+h − ex h = lim h→0 ex ( eh − 1 h ) = ex lim h→0 eh − 1 h (∗) = ex Teorema 29 ddx ln(x) = 1 x justificativa: Escrevendo u(x) = ln(x) temos eu(x) = x. Derivando ambos os lados em relac¸a˜o a x: d dx eu(x) = d dx (x) = 1. (1) 12 O lado esquerdo da equac¸a˜o pode ser derivado pela regra da cadeia escrevendo y = eu = eu(x) temos d dx eu(x) = dy dx = dy du · du dx = eu · du dx (2) Por (1) e (2) obtemos eu · du dx = 1 Assim du dx = 1 eu = 1 x . Exemplo 30 Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de y = ln(x) no ponto (1, 0). Soluc¸a˜o: dy dx = d dx ln(x) = 1 x . Inclinac¸a˜o da reta: m = dydx ∣∣∣ x=1 = 1. Ponto: (1,0) Equac¸a˜o: y − y0 = m(x− x0) −→ y − 0 = 1(x− 1) −→ y = x− 1. Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de y = ex no ponto (2, e2). Soluc¸a˜o: dy dx = d dxe x = ex. Inclinac¸a˜o da reta: m = dydx ∣∣∣ x=2 = e2 ≈ 7, 389. Ponto: (2, e2) Equac¸a˜o: y − y0 = m(x− x0) −→ y − e2 = e2(x− 2) −→ y = e2x− e2. 13 Exemplo 31 Calcule ddx(e 2x+1) : Soluc¸a˜o: (Regra da cadeia) escrevemos u = 2x+ 1 e y = eu = e2x+1. d dx (e2x+1) = dy dx = dy du · du dx = ( d du eu )( d dx (2x+ 1) ) = (eu)(2) = e2x+1 · 2 Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de y = e2x+1 no ponto de abscissa x = 0: Soluc¸a˜o: Inclinac¸a˜o: m = dydx ∣∣∣ x=0 = 2e2·0+1 = 2e. Ponto: (0, e2·0+1) = (0, e). Equac¸a˜o: y − y0 = m(x− x0) −→ y − e = 2e(x− 0) −→ y = 2ex+ e. Exemplo 32 Calcule ddx(cos(e x)): 14 Soluc¸a˜o: (Regra da cadeia) escrevemos u = ex e y = cos(u). dy dx = dy du · du dx = ( d du cos(u) )( d dx ex ) = (−sen(u))(ex) = −sen(ex)ex. Calcule ddx(cos(x)e x): Soluc¸a˜o: (Regra do produto) (cos(x)ex)′ = (cos(x))′(ex) + (cos(x))(ex)′ = (−sen(x))(ex) + (cos(x))(ex) = ex(cos(x)− sen(x)). Calcule ddx x3 ex : Soluc¸a˜o: (Regra do quociente)( x3 ex )′ = (x3)′(ex)− (x3)(ex)′ (ex)2 = (3x2)(ex)− (x3)(ex) (ex)2 = (3x2 − x3)(ex) (ex)2 = −x3 + 3x2 ex Exemplo 33 Calcule ddx(ln(x 3 + x2)): Soluc¸a˜o: (Regra da cadeia) escrevemos u = x3 + x2 e y = ln(u) dy dx = dy du · du dx = ( d du ln(u) )( d dx (x3 + x2) ) = 1 u (3x2 + 2x) = 3x2 + 2x x3 + x2 Esta u´ltima expressa˜o pode ser reescrita como 3x+ 2 x(x+ 1) . Calcule ddx(cos(x) ln(x)): Soluc¸a˜o: (Regra do produto) (cos(x) ln(x))′ = (cos(x))′(ln(x)) + (cos(x))(ln(x))′= (−sen(x))(ln(x)) + (cos(x))(1/x) Derivada da func¸a˜o exponencial em outra base Fixada uma base b > 0 diferente de e existe um nu´mero k (que depende de b) tal que bx = ekx. O valor de k e´ dado por k = ln(b). De fato, b = eln(b) ⇒ bx = ( eln(b) )x = eln(b)·x. 15 Teorema 34 ddxb x = ln(b) · bx justificativa: Como bx = ekx temos ddxb x = ddxe kx. Para derivar o lado direito da equac¸a˜o usamos a regra da cadeia com u = kx e y = eu. Assim d dx bx = d dx ekx = dy dx = dy du · du dx = ( d du eu )( d dx (kx) ) = eu · k = kekx. Por fim basta observar que k = ln(b) e ale´m disso ekx = bx. Exemplo 35 - d dx 10x = ln(10) · 10x d dx 2x = ln(2) · 2x d dx (x2 · 10x) = (x2)′(10x) + (x2)(10x)′ = 2x · 10x + x2 · ln(10) · 10x = (2x+ ln(10)x2)10x Derivada da func¸a˜o logaritmo em outra base Fixada uma base b > 0 diferente de e existe um nu´mero k (que depende de b) tal que logb(x) = ln(x) k . O valor de k e´ dado por k = ln(b). De fato, como para x > 0 x = blogb(x) = eln(b)·logb(x) aplicando-se ln em ambos os lados ln(x) = ln(b) · logb(x) −→ logb(x) = ln(x) ln(b) . Teorema 36 ddx logb(x) = 1 ln(b) 1 x . Exemplo 37 d dx log10(x) = 1 ln(10) 1 x d dx log2(x) = 1 ln(2) 1 x d dx (x2 · log10(x)) = (x2)′(log10(x)) + (x2)(log10(x))′ = 2x · log10(x) + x2 · 1 ln(10) 1 x = 2x · log10(x) + x ln(10) 16 9 Aplicac¸a˜o: crescimento e decrescimento Dizemos que uma func¸a˜o f e´ crescente em um intervalo I se f(x1) < f(x2) para quaisquer x1 < x2 em I. Dizemos que uma func¸a˜o f e´ decrescente em um intervalo I se f(x1) > f(x2) para quaisquer x1 < x2 em I. Exemplo 38 A func¸a˜o f(x) = x2 e´ crescente em [0,+∞) e decrescente em (−∞, 0]. Teorema 39 Seja f uma func¸a˜o diferencia´vel em todos os pontos de (a, b) e cont´ınua em [a, b] - Se f ′(x) > 0 para todo x ∈ (a, b) enta˜o f e´ crescente em [a, b] - Se f ′(x) < 0 para todo x ∈ (a, b) enta˜o f e´ decrescente em [a, b] Exemplo 40 Determine os intervalos de [0, 2pi] onde f(x) = sen(x) e´ crescente ou decrescente. Soluc¸a˜o: ddxsen(x) = cos(x). 17 Assim f(x) = sen(x) e´ crescente nos intervalos [0, pi/2] e [3pi/2, 2pi] (1◦ e 4◦ quadrantes) f(x) = sen(x) e´ decrescente no intervalo [pi/2, 3pi/2] (2◦ e 3◦ quadrantes) Exemplo 41 determine os intervalos onde f(x) = x3−3x e´ crescente e os intervalos onde f e´ decrescente. Soluc¸a˜o: f ′(x) = 3x2 − 3 = 3(x2 − 1). A func¸a˜o f ′(x) tem como gra´fico uma para´bola coˆncava para cima. Para determinarmos os intervalos onde f ′ > 0 e´ u´til determinarmos os pontos onde f ′ e´ nula. 3(x2 − 1) = 0 −→ x2 − 1 = 0 −→ x = −1 ou x = 1. Assim, f ′(x) > 0 quando x ∈ (−∞,−1) ou x ∈ (1,+∞) f ′(x) < 0 quando x ∈ (−1, 1). Portanto: f e´ crescente nos intervalos (−∞,−1] e [1,+∞) f e´ decrescente no intervalo [−1, 1] 18 Exemplo 42 Determine os intervalos onde f(x) = ex(x2 − 3x) e´ crescente. Soluc¸a˜o: f ′(x) = (ex)′(x2 − 3x) + (ex)(x2 − 3x)′ = (ex)(x2 − 3x) + (ex)(2x − 3) = ex(x2 − x − 3). Para determinarmos os intervalos onde f ′ e´ positiva, observamos que no produto ex(x2 − x− 3) o termo ex sera´ sempre positivo. Enta˜o f ′ > 0 nos intervalos onde x2−x−3 > 0. Como y = x2−x−3 tem como gra´fico uma para´bola coˆncava para cima, devemos entender em quais pontos x2 − x− 3 = 0. Pela fo´rmula de Bhaskara temos: x1 = 1−√13 2 ≈ −1, 30 e x2 = 1 + √ 13 2 ≈ 2, 30. Assim, f ′(x) = ex(x2 − x− 3) e´ positiva quando x ∈ (−∞, 1− √ 13 2 ) ou x ∈ (1+ √ 13 2 ,+∞) portanto f e´ crescente nos intervalos (−∞, 1− √ 13 2 ] e [ 1+ √ 13 2 ,+∞). 10 Exerc´ıcios Q1 - Calcule df dx : a) f(x) = 5x3 + 2x2 − 3x+ 1 b) f(x) = 3x5 − 2x3 + 8 19 c) f(x) = 15x4 + 8x3 − 12x+ 2 d) f(x) = 5x12 − 12x2 + 4x− 3 Q2 - Determine a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea de f em x = a, onde: a) f(x) = x2 + 3x− 2, a = 3 b) f(x) = 2x3 + 5x2 − 8, a = −2 c) f(x) = x4 − 3x2 + 12, a = 1 d) f(x) = x5 − 8x2 + x− 5, a = 0 e) f(x) = −4x9 + 7x4 − 2x2 + 8x− 1, a = 0 f) f(x) = 8x4 + 7x3 − 2x, a = −1 Q3 - Determine a inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f(x) = x2 + 3x− 1 no ponto de abscissa 3. Q4 - Determine a inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f(x) = 2x3 + 7x−1 no ponto de coordenadas (2, f(2)). Q5 - Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto de abscissa a onde: a) f(x) = x2 + 8 e a = 2 b)f(x) = 3x2 + 7x e a = 1 c)f(x) = x3 + 3x− 1 e a = −1 d)f(x) = 2x+ 3 e a = 4 e)f(x) = 7x− 8 e a = pi f)f(x) = 2x3 − 3 e a = 0 Q6 - Determine dydx : a) y = (3x2 + 1)(6x2 + x) b) y = (5x3 + x)(2x4 − 3x2) c) y = (−3x4 + 2x)(5x− 2) d) y = (2 + 7)(x2 − x) e) y = 2x+1x f) y = x 2−x x−1 g) y = 1 x2+2x Q7 - Determine a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea de f em x = a, onde: a) f(x) = x sen(x), e a = 0 b) f(x) = sen(x)cos(x), e a = pi/2 c) f(x) = x2cos(x) e a = pi d) f(x) = sen(x)x e a = pi/4 e) f(x) = x 2−3x+1 x e a = −2 f) f(x) = 1sen(x) e a = pi/2 20 Q8 - Determine a inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f(x) = sen(x) no ponto de coordenadas (pi2 , 1). Q9 - Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto de abscissa a onde: a)f(x) = sen(x) e a = 3pi2 b)f(x) = xcos(x) e a = 0 c)f(x) = x2sen(x) e a = pi d)f(x) = (cos(x))2 e a = pi/2. Q10 - Calcule dfdt onde: a) f(t) = t sen(t) + t cos(t) b) f(t) = (sen(t))2 c) f(t) = t 2 sen(t) d) f(t) = 1cos(t) e) f(t) = (t3 + 2)(t2 − 3t+ 1) f) f(t) = 1 tk , k ∈ {1, 2, 3, ...} Q11 - Calcule f ′(x) onde: a) f(x) = sen(x3) b) f(x) = cos(x2 + 3x+ 1) c) f(x) = cos2(x) d) f(x) = (x3 + 4x2 − 2x+ 1)4 e) f(x) = (sen(x))3 + 3(sen(x))2 + 5 f) f(x) = sen(cos(x)) g) f(x) = sen( 1 x3 ) h) f(x) = sen(x2) + (cos(x))3 i) f(x) = (3x+ 2)5 + (2x− 8)4 j) f(x) = sen(x2)cos(x2) k) f(x) = (sen(x))2 + (cos(x))2 l) f(x) = (sen(x))5 + (cos(x))4 + sen(x)x − 2 Q12 - Calcule f ′(x) onde a) f(x) = x2ex b) f(x) = (x+ 1)ex c) f(x) = x.ln(x) d) f(x) = exln(x) e) f(x) = sen(x)ex f) f(x) = ln(x).sen(x) 21 g) f(x) = xex h) f(x) = ln(x)x i) f(x) = e x ln(x) Q13 - Calcule f ′(x) onde a) f(x) = e5x b) f(x) = ln(5x) c) f(x) = ln(3)ex d) f(x) = ln(2) e) f(x) = sen(ex) f) f(x) = ln(ex) g) f(x) = cos(ln(x)) h) f(x) = esen(x) i) f(x) = ln(x3) Q14 - Determine os intervalos onde f e´ crescente e os intervalos onde f e´ decrescente, sendo: a) f(x) = x3 − 27x+ 2 b) f(x) = 2x3 + 3x2 − 12x− 1 c) f(x) = −2x3 + 15x2 − 36x+ 1 d) f(x) = (sen(x))2 para x ∈ [0, 2pi] e) f(x) = (sen(x))3 para x ∈ [0, 2pi] f) f(x) = (x2 + x)ex g) f(x) = x ln(x), x > 0 Respostas: Q1) - a)15x2 + 4x− 3 b)15x4 − 6x2 c)60x3 + 24x2 − 12 d)60x11 − 24x+ 4 Q2) - a)9 b)4 c)− 2 d)1 e)8 f)− 13 Q3) 9 Q4) 31 Q5) -a) y = 4x+ 4 b) y = 13x− 3 c) y = 6x+ 1 d) y = 2x+ 3 e) y = 7x− 8 f)y = −3. Q6) a) dydx = (6x)(6x 2 + x) + (3x2 + 1)(12x+ 1) b) dydx = (15x 2 + 1)(2x4 − 3x2) + (5x3 + x)(8x3 − 6x) c) dydx = (−12x3 + 2)(5x− 2) + (−3x4 + 2x)(5) d) dydx = 9(2x− 1) e) dydx = −1 x2 f) dydx = 1 se x 6= 1 g) dydx = − 2x+2(x2+2x)2 Q7 - a) 0 b) − 1 c) − 2pi d) ( √ 2/2)(pi/4)−√2/2 (pi/4)2 = 2 √ 2(pi−4) pi2 e) 3/4 f) 0 Q8 - 0 Q9 - a) y = −1 b) y = x c) y = −pi2x+ pi3 d) y = 0 Q10 - a) sen(t) + cos(t) + t(cos(t)− sen(t)) b) 2sen(t)cos(t) c) 2tsen(t)−t2cos(t) (sen(t))2 d) sen(t) cos2(t) e)5t4 − 12t3 + 3t2 + 4t− 6 f) −k tk+1 Q11 - a) cos(x3)3x2 b) − sen(x2 + 3x+ 1)(2x+ 3) c) − 2sen(x)cos(x) 22 d) 4(x3 + 4x2 − 2x+ 1)3(3x2 + 8x− 2) e) 3sen2(x)cos(x) + 6sen(x)cos(x) f) − cos(cos(x))sen(x) g) − 3cos(x−3)x−4 h) cos(x2)2x− 3cos2(x)sen(x) i)15(3x+ 2)4 + 8(2x− 8)3 j) 2x(cos2(x2)− sen2(x2)) k) 0 l) 5(sen(x))4cos(x)− 4(cos(x))3sen(x) + cos(x)x−sen(x) x2 Q12 -a)f ′(x) = (x2 + 2x)ex b) f ′(x) = (x+ 2)ex c) f ′(x) = ln(x) + 1 d) f ′(x) = (ln(x) + 1/x)ex e) f ′(x) = (sen(x) + cos(x))ex f) f ′(x) = sen(x)x + ln(x)cos(x) g) f ′(x) = 1−xex h) f ′(x) = 1−ln(x) x2 i) f ′(x) = e x(ln(x)−1/x) (ln(x))2 Q13 - a) f ′(x) = 5e5x b) f ′(x) = 1/x c) f ′(x) = ln(3)ex d) f ′(x) = 0 e) f ′(x) = cos(ex)ex f) f ′(x) = 1 g) f ′(x) = − sen(ln(x))x h) f ′(x) = esen(x)cos(x) i) f ′(x) = 3/x. Q14 - a) cres: (−∞,−3] e [3,+∞) dec: [−3, 3] b) cres: (−∞,−2] e [1,+∞) dec: [−2, 1] c) cres: [2, 3] dec: (−∞, 2] e [3,+∞) d) cres: [0, pi/2] e [pi, 3pi/2] dec: [pi/2, pi] e [3pi/2, 2pi] e) cres: [0, pi/2] e [3pi/2, 2pi] dec: [pi/2, 3pi/2] f) cres: (−∞, −3− √ 5 2 ] e [ −3+√5 2 ,+∞) dec: [−3− √ 5 2 , −3+√5 2 ] g) cres: (1e ,+∞) dec: (0, 1e ). 23