0 - Texto - integral

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO
RIO GRANDE DO SUL
INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA
Cálculo e Geometria Anaĺıtica I - A
(Notas de aula - Integral 1)
1Agradecimentos: Texto adaptado do Prof. Jairo Krás Mengue, Copyright c© 2015
1 Integrais
1.1 Primitiva ou antiderivada
Dizemos que F (x) é uma primitiva de f(x) em um intervalo I se F ′(x) = f(x) para todo x ∈ I.
Exemplo 1 -
I-
F (x) = x2 é uma primitiva de f(x) = 2x
F (x) = sen(x) é uma primitiva de f(x) = cos(x)
F (x) = −cos(x) é uma primitiva de f(x) = sen(x)
F (x) = ln(x) é uma primitiva de f(x) = 1/x em I = (0,+∞)
F (x) = ln(−x) é uma primitiva de f(x) = 1/x em I = (−∞, 0).
II - Mostre que F (x) = x ln(x)− x é uma primitiva de f(x) = ln(x) no intervalo I = (0,+∞).
Solução: Como F ′(x) = [ln(x) + x( 1x)]− 1 = ln(x), conclúımos o desejado.
III-
Determine 3 primitivas de f(x) = 3x2
Solução:
F (x) = x3 H(x) = x3 + 7 G(x) = x3 − π.
Teorema 2 Se F (x) é uma primitiva de f em um intervalo I então:
- Para qualquer constante C, F (x) + C é uma primitiva de f(x) em I.
- Qualquer primitiva de f(x) em I pode ser expressa na forma F (x) + C para alguma constante C.
2 A integral indefinida
Se F ′(x) = f(x), escrevemos ∫
f(x) dx = F (x) + C.
O lado esquerdo é lido como a integral indefinida de f e o lado direito representa todas as posśıveis primitivas
de f , considerando que a letra C representa uma constante indefinida.
Exemplo 3 -∫
x dx = x
2
2 + C∫
x2 dx = x
3
3 + C∫
x3 dx = x
4
4 + C∫
ex dx = ex + C∫
sen(x) dx = −cos(x) + C
2
Exemplo 4 Tabela de integrais∫
xn dx = x
n+1
n+1 + C, n 6= −1
∫
1
x dx = ln(x) + C, x > 0
∫
cos(x) dx = sen(x) + C
∫
sen(x) dx = −cos(x) + C
∫
ex dx = ex + C
∫
ln(x) dx = x ln(x)− x+ C
Proposição 5 ∫
f(x) + g(x) dx =
∫
f(x) dx+
∫
g(x) dx.
Se k é uma constante ∫
k · f(x) dx = k
∫
f(x) dx.
Exemplo 6
a :
∫
x2 − 5ex dx =
∫
x2 dx− 5
∫
ex dx =
x3
3
− 5ex + C
b :
∫
2sen(x)− 3cos(x) dx = 2
∫
sen(x) dx− 3
∫
cos(x) dx
= 2(−cos(x))− 3(sen(x)) + C = −2cos(x)− 3sen(x) + C
c :
∫
ln(x)− ex dx =
∫
ln(x) dx−
∫
ex dx = x ln(x)− x− ex + C.
3 Integração via substituição
Note que pela regra da cadeia,
d
dx
f(u(x)) = f ′(u(x)) · u′(x)
portanto f(u(x)) é uma primitiva de f ′(u(x)) · u′(x). Assim escrevemos∫
f ′(u(x)) · u′(x) dx = f(u(x)) + C.
Acima, se denotarmos u′(x) dx simplesmente por du (note que u′(x) = dudx) e omitirmos a variável x temos
a expressão. ∫
f ′(u) du = f(u) + C.
Exemplo 7 ∫
cos(x2 + 5) · 2x dx =?
Escrevendo u = x2 + 5 temos du = u′(x) dx = 2x dx. Como∫
cos(u) du = sen(u) + C e u = x2 + 5
obtemos ∫
cos(x2 + 5) · 2x dx = sen(x2 + 5) + C.
3
Exemplo 8 Calcule
∫
esen(x)cos(x) dx:
Escrevendo u = sen(x) temos du = cos(x) dx.∫
eu du = eu + C
Portanto ∫
esen(x)cos(x) dx = esen(x) + C.
Calcule
∫
(ex − 3)5ex dx:
Escrevendo u = ex − 3 temos du = ex dx. ∫
u5 du =
u6
6
+ C
então ∫
(ex − 3)5ex dx = (e
x − 3)6
6
+ C
4 A integral definida
Dada uma função cont́ınua f ≥ 0 sobre um intervalo [a, b], por
∫ b
a f(x) dx denotamos a medida da área
abaixo do gráfico de f e acima do intervalo [a, b] no eixo x.
Exemplo 9
∫ 4
0 x dx =?
Devemos calcular a área de um triângulo:
A =
b · h
2
=
4 · 4
2
= 8.
Então ∫ 4
0
x dx = 8.
4
∫ 3
2 2x dx =?
Devemos calcular a área de um trapézio:
A =
(b+B)h
2
=
(4 + 6)1
2
= 5.
Então ∫ 3
2
2x dx = 5.
Como calcular a área se a região não é uma figura elementar?
Dada f ≥ 0 em [a, b], para cada N = 1, 2, 3, ... dividimos [a, b] em N intervalos de mesmo comprimento
∆x = b−aN cujos extremos são
x0 = a, x1 = a+ ∆x, x2 = x1 + ∆x, ..., xN = b.
Constrúımos em seguida N retângulos, cujas bases são os intervalos
[x0, x1], [x1, x2], ..., [xN−1, xN ]
e as alturas respectivas são
f(x0), f(x1), ..., f(xN−1).
Abaixo apresentamos uma figura para o caso N = 8:
5
É natural esperarmos que a soma das áreas dos retângulos resulte em um número próximo da área sob
o gráfico de f e que o erro seja pequeno se o número de retângulos N for muito grande.
Se f ≥ 0 for cont́ınua sobre [a, b] então existe o limite
lim
N→∞
[f(x0)∆x+ f(x1)∆x+ ...+ f(xN−1)∆x] = lim
N→∞
N−1∑
n=0
f(xn)∆x.
Neste caso definimos ∫ b
a
f(x) dx = lim
N→∞
N−1∑
n=0
f(xn)∆x.
Área Ĺıquida: Se f não for positiva, a expressão
∫ b
a f(x) dx representará uma área com sinal. A área
de uma região entre o gráfico de f e o eixo x será multiplicada por (−1) no cálculo de
∫ b
a f(x) dx, se o gráfico
estiver abaixo do eixo x.
Exemplo 10
∫ 2π
0 sen(x) dx = 0
Exemplo 11 ∫ 1
−2
x+ 1 dx =?
No intervalo [−2,−1] o gráfico de f fica abaixo do eixo x e no intervalo [−1, 1] o gráfico de f fica acima do
eixo x. Temos ∫ 1
−2
x+ 1 dx = (−1)(1/2) + (4/2) = (3/2).
∫ 2
0
−2x+ 1 dx =?
No intervalo [0, 1/2] o gráfico de f fica acima do eixo x e no intervalo [1/2, 2] o gráfico fica abaixo do eixo
x. Temos ∫ 2
0
−2x+ 1 dx = 1 · 1/2
2
− (3/2) · 3
2
= −2
6
Propriedades:
1.
∫ a
b f(x) dx = −
∫ b
a f(x) dx (convenção)
2.
∫ a
a f(x) dx = 0 (convenção)
3.
∫ b
a k · f(x) dx = k
∫ b
a f(x) dx, k constante
4.
∫ b
a (f(x) + g(x)) dx =
∫ b
a f(x) dx+
∫ b
a g(x) dx
5 Teorema Fundamental do Cálculo
Teorema 12 (Teorema Fundamental do Cálculo (Parte II)) -
Se f é cont́ınua em [a, b] e F é uma primitiva de f em [a, b] então∫ b
a
f(x) dx = F (b)− F (a).
Notação: F (x)|ba = F (b)− F (a).
Exemplo 13
∫ 4
0 x dx =?
∫ 4
0
x dx =
x2
2
∣∣∣∣4
0
=
42
2
− 0
2
2
= 8.
7
∫ 3
2 2x dx =?
∫ 3
2
2x dx = x2
∣∣3
2
= 32 − 22 = 5.
∫ 1
0
x2 dx =
x3
3
∣∣∣∣1
0
=
13
3
− 0
3
3
=
1
3
.
∫ 1
0
ex dx = ex|10 = e
1 − e0 = e− 1 ≈ 1, 718.
Exemplo 14 ∫ 2
1
1
x
dx = ln(x)|21 = ln(2)− ln(1) = ln(2).
8
∫ 5
1
1
x
dx = ln(x)|51 = ln(5)− ln(1) = ln(5).
Em geral para qualquer valor de b > 0 temos
∫ b
1
1
x
dx = ln(x)|b1 = ln(b)− ln(1) = ln(b).
Se considerarmos uma nova função F (x) que para cada x associa o valor de
∫ x
1
1
t dt, então F (x) = ln(x).
Note que F (x) é uma primitiva de f(x) = 1x
Exemplo 15 Dada a função f(x) = cos(x), usando a variável t e escrevendo f(t) = cos(t) temos
F (x) =
∫ x
0
cos(t) dt = sen(t)|x0 = sen(x)− sen(0) = sen(x).
Note que F (x) = sen(x) é uma primitiva de f(x) = cos(x).
Além disso, se trocarmos 0 por π/2 temos
G(x) =
∫ x
π/2
cos(t) dt = sen(t)|xπ/2 = sen(x)− sen(π/2) = sen(x)− 1.
Note que G(x) = sen(x)− 1 é outra primitiva de f(x) = cos(x).
Teorema 16 (Teorema Fundamental do Cálculo (Parte I)) -
Se f é cont́ınua em [a, b] então
F (x) =
∫ x
a
f(t) dt
é diferenciável em [a, b] e dFdx = f(x).
Definição 17 Considere uma função cont́ınua f em [a, b] com primitiva F . O valor médio de f em [a, b] é
dado por
M(f) =
1
b− a
∫ b
a
f(x) dx =
F (b)− F (a)
b− a
.
Exemplo 18 -
O valor médio de f(x) = ex no intervalo [1, 3] é dado por
M =
1
3− 1
∫ 3
1
ex dx =
1
2
ex|31 =
e3 − e1
2
≈ 8, 68.
O valor médio de f(x) = 1x + 2x no intervalo [1, 4] é dado por
M =
1
4− 1
∫ 4
1
1
x
+ 2x dx =
1
3
(ln(x) + x2)
∣∣4
1
=
ln(4) + 15
3
≈ 5, 46.
9
6 Substituição em integrais definidas
Sabemos pela regra da cadeia que F (u(x)) é uma primitiva de F ′(u(x))u′(x). Se denotarmos F ′(x) por f(x)
então ∫
f(u(x))u′(x) dx = F (u(x)) + C.
Em integrais definidas, pelo TFC∫ b
a
f(u(x))u′(x) dx = F (u(x))|x=bx=a = F (u(b))− F (u(a)).
Acima, no lado direito escrevemos
F (u(b))− F (u(a)) = F (u)|u=u(b)u=u(a)
que pelo TFC é o resultado de ∫ u(b)
u(a)
f(u)du.
Assim ∫ b
a
f(u(x))u′(x) dx = F (u)|u=u(b)u=u(a) =
∫ u(b)
u(a)
f(u)du.
Exemplo 19 -∫ π/2
0 (sen(x))
2 · cos(x) dx =?
Escrevendo u = sen(x) obtemos du = cos(x) dx. Além disso, u(0) = sen(0) = 0 e u(π/2) = sen(π/2) = 1.
Então ∫ π/2
0
(sen(x))2 · cos(x) dx =
∫ u(π/2)
u(0)
u2 du =
∫ 1
0
u2 du =
u3
3
∣∣∣∣u=1
u=0
=
1
3
.
∫ 2
0 4(e
x − 9)3(ex) dx =?
Escrevendo u = ex − 9 obtemos du = ex dx. Assim∫ 2
0
4(ex − 9)3(ex) dx =
∫ u(2)
u(0)
4u3 du =
∫ e2−9
−8
4u3 du = u4
∣∣u=e2−9
u=−8 = (e
2 − 9)4 − (−8)4.
∫ 4
−1 sen(x
3 + 2) · x2 dx =?
Escrevendo u = x3 + 2obtemos du = 3x2 dx. Assim∫ 4
−1
sen(x3 + 2) · x2 dx =
∫ 66
1
sen(u)
1
3
du =
−cos(u)
3
∣∣∣∣u=66
u=1
=
−cos(66) + cos(1)
3
.
10
7 Método do Trapézio
Dada f cont́ınua em [a, b], para cada N defina h = b−aN e a sequencia de números
x0 = a, x1 = a+ h, x2 = a+ 2h, ..., xn−1 = a+ (n− a)h, xn = b.
Construa trapézios a partir destes pontos e dos pontos do gráfico associados. Na figura abaixo apresen-
tamos o caso N = 4:
A soma das áreas dos trapézios aproxima
∫ b
a f(x) dx:
∫ b
a
f(x) dx ≈ h
(
f(x0) + f(x1)
2
)
+ ...+ h
(
f(xn−1) + f(xn)
2
)
=
h
2
(f(x0) + 2f(x1) + ...+ 2f(xn−1) + f(xn)) = SN
Teorema 20 Se f ′′ for cont́ınua e −M ≤ f ′′(x) ≤M para todo x ∈ [a, b], então
−b− a
12
h2M ≤
∫ b
a
f(x) dx− SN ≤
b− a
12
h2M.
8 Exerćıcios
Q1) Calcule:
a)
∫
4x3 − 3x2 + 8x− 1 dx b)
∫
x3 + x2 − x dx
c)
∫
2x5 + 7x3 − 8 dx d)
∫
ex + 1x − sen(x) dx, x > 0
e)
∫
cos(x) + 3ex − 5x dx, x > 0 f)
∫
e3x − cos(2x) + x
g)
∫
2cos(x)− 1
x2
+ 4e4x dx, x > 0 h)
∫
1
x + 3sen(x) dx, x > 0
11
Q2) Calcule:
a)
∫
ecos(x)sen(x) dx b)
∫
e(x
2)x dx
c)
∫
e(x
2+4)x dx d)
∫
e(5x
3)x2 dx
e)
∫
sen(x4)x3 dx f)
∫
sen(ex)ex dx
g)
∫
cos(x5)5x4 dx h)
∫
cos(ex)ex dx
i)
∫
2x
x2+3
dx j)
∫
x
x2+1
dx
k)
∫ cos(x)
sen(x) dx, 0 < x < π l)
∫
1
x−3 dx, x > 3
Q3) Calcule a integral indicada:
a)
∫
xcos(x) dx, sabendo que ddx(xsen(x)) = sen(x) + xcos(x)
b)
∫
xsen(x) dx, sabendo que ddx(xcos(x)) = cos(x)− xsen(x)
c)
∫
xex dx, sabendo que ddx(xe
x) = ex + xex
d)
∫
x ln(x) dx, x > 0, sabendo que ddx(x
2 ln(x)) = 2x ln(x) + x
e)
∫
(2x− 3)ex dx, sabendo que ddx((2x− 3)e
x) = 2ex + (2x− 3)ex
f)
∫
(x+ 5)e2x dx, sabendo que ddx((x+ 5)e
2x) = e2x + 2(x+ 5)e2x
g)
∫
(5x− 7)cos(x) dx, sabendo que ddx((5x− 7)sen(x)) = 5sen(x) + (5x− 7)cos(x)
h)
∫
(4x+ 1)sen(x) dx, sabendo que ddx((4x+ 1)cos(x)) = 4cos(x)− (4x+ 1)sen(x)
Q4 - Calcule:
a)
∫ 1
0 4x dx b)
∫ 3
2 2x+ 3x
2 dx c)
∫ 1
0 e
x − 2x dx
d)
∫ e
1
1
x dx e)
∫ π
0 cos(x) dx f)
∫ 2π
π sen(x) dx
g)
∫ 0
−2 1 + 2x dx h)
∫ 2
0 3e
x − 2 dx i)
∫ π/2
0 sen(x)− cos(x) dx
Q5 -Calcule:
a)
∫ 1
0 e
3x+1 dx b)
∫ π
0 cos(2x+ π) dx
c)
∫ 2
1 4e
(2x+2) dx d)
∫ π
π/2 sen(2x− π) dx
e)
∫ 1
0 5(3x− 1)
4 dx f)
∫ 3
0 ln(2) dx
Q6 - Calcule:
a)
∫ 3
1
d
dxx
2 dx b)
∫ 2
0
d
dx(x
3 − 1) dx c)
∫ 2
1
d
dx ln(x) dx
d) ddx
∫ x
0 t
3 dt e) ddx
∫ x
1 t
3 dt f) ddx
∫ x
π cos(t) dt
Q7 -
a) Mostre que x ln(x)− x é uma primitiva de ln(x).
b) Calcule
∫ e
1 ln(x) dx.
Q8) Usando que ddx(xe
x) = ex + xex, calcule
∫ 1
0 xe
x dx
Respostas:
12
Q1
a)x4 − x3 + 4x2 − x+ C b) x44 +
x3
3 −
x2
2 + C
c) x
6
3 +
7x4
4 − 8x+ C d) e
x + ln(x) + cos(x) + C
e)sen(x) + 3ex − 5 ln(x) + C f) e3x3 −
sen(2x)
2 +
x2
2 + C
g)2sen(x) + 1x + e
4x + C h) ln(x)− 3cos(x) + C.
Q2
a) −ecos(x) + C b) e(x
2)
2 + C c)
e(x
2+4)
2 + C d)
e(5x
3)
15 + C
e) −cos(x
4)
4 + C f) −cos(e
x) + C g) sen(x5) + C h) sen(ex) + C
i) ln(x2 + 3) + C j) ln(x
2+1)
2 + C
k) ln(sen(x)) + C, 0 < x < π l) ln(x− 3) + C, x > 3
Q3
a)xsen(x) + cos(x) + C b) −xcos(x) + sen(x) + C
c) (x− 1)ex + C d) 2x
2 ln(x)−x2
4 + C, x > 0
e) (2x− 5)ex + C f) (2x+9)e
2x
4 + C
g) (5x− 7)sen(x) + 5cos(x) + C h) 4sen(x)− (4x+ 1)cos(x) + C
Q4− a)2 b)24 c)e− 2 d)1 e)0 f)− 2 g)− 2 h)3e2 − 7 i)0
Q5 - a) e
4−e
3 b) 0 c) 2e
6 − 2e4 d) 1 e) 11 f) 3 ln(2)
Q6− a)8 b)8 c) ln(2) d)x3 e)x3 f)cos(x)
Q7 - b)1 Q8 - b) 1
13