Matemática Aplicada CONTEÚDO IV

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Matemática Aplicada (DISCIPLINA UNINASSAU) IV 
 
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Unidade 4. 
Conjuntos, sistemas e matrizes 
Daniel de Freitas Barros Neto 
OBJETIVOS DA UNIDADE 
• Discutir o conceito de conjuntos por meio de noções intuitivas; 
• Caracterizar relações entre conjuntos; 
• Definir algebricamente um sistema de equações lineares, resolvê-los e representá-
los por matrizes. 
TÓPICOS DE ESTUDO 
Conjuntos e relações 
// Conjuntos 
// Relações entre conjuntos 
Matrizes e sistemas de equações lineares 
// Sistemas de equações lineares 
// Matrizes 
Conjuntos e relações 
O campo de estudo dos conjuntos é de grande relevância para a Matemática 
Aplicada. Por meio desse campo, é possível compreender as relações numéricas 
entre diversos conjuntos, possibilitando o estudo das funções e das relações de 
equivalência. Dessa maneira, este tópico busca discutir o conceito de conjuntos de 
uma maneira introdutória. 
No primeiro subtópico, será apresentada uma noção intuitiva de conjunto, 
explorando a ideia de coleção de objetos. Posteriormente, as formas de 
se representar o conjunto serão exploradas por meio da representação por 
enumeração, propriedade e pelo diagrama de Venn. Por fim, será discutida outra 
intuitiva noção de conjuntos, de modo a possibilitar a compreensão do conjunto 
unitário e vazio, levando em conta as relações de pertinência e inclusão. 
O segundo subtópico, por sua vez, apresentará uma definição formal 
de relação entre conjuntos por meio do produto cartesiano de dois conjuntos. Será 
destacado, também, que a função é um tipo específico de relação de conjuntos, em 
que a regra associativa entre os elementos é definida de uma forma específica. Por 
fim, será apresentado outro tipo de relação: a relação de equivalência. 
O objetivo deste tópico é capacitar o aluno para a identificação de conjuntos 
numéricos e suas relações, tendo em vista as distintas formas representativas de 
ambos. Além disso, almeja-se desenvolver a capacidade analítica para que o aluno 
consiga caracterizar cada uma das relações entre conjuntos e elementos. 
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CONJUNTOS 
 
 
 
 
 
 
O conceito de conjunto é um dos mais fundamentais para os seres humanos. 
Intuitivamente, diz-se que um conjunto é uma coleção de determinados objetos, 
em que tais objetos pertencentes ao conjunto são chamados de elementos. Essa ideia 
pode ser aplicada em inúmeras situações do dia a dia de um ser humano. 
Uma banda realizando uma apresentação musical, usualmente, é chamada de 
conjunto, e os integrantes são elementos desse conjunto. Do mesmo modo, uma 
mulher, ao escolher algumas peças de roupa que satisfazem determinada 
característica visual, está escolhendo um conjunto de roupas, assim, cada peça de 
roupa representa um elemento desse conjunto. 
Outro exemplo intuitivo de conjunto refere-se a uma sala de aula, em que 
existem diversos alunos, sendo que a sala em si representa o conjunto, enquanto os 
alunos representam os elementos. Por outro lado, uma universidade pode representar 
um conjunto de salas de aula e, desse modo, cada sala passaria a ser um elemento 
do conjunto universidade. 
Determinar se algo é ou não um conjunto depende do contexto que se analisa. 
Uma pessoa que foi considerada elemento do conjunto banda, ou do conjunto sala de 
aula, pode ser também um conjunto formado por células. Caso o objeto analisado seja 
uma coleção de elementos, ele pode ser compreendido intuitivamente como um 
conjunto. A Figura 1 sintetiza essa visão intuitiva de conjunto: 
 
Figura 1. Noções intuitivas: conjunto e elemento. 
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A coleção de objetos chamada conjunto pode ser definida com base em uma 
quantidade finita ou infinita de elementos. Um exemplo de conjunto finito de objetos 
pode-se referir ao conjunto dos dias da semana que têm os elementos: segunda-feira, 
terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira, sábado e domingo. Por outro lado, 
um conjunto com quantidade infinita de objetos pode referir-se ao conjunto dos 
números reais (ℝ), que contém os números inteiros, naturais, racionais e irracionais. 
Uma maneira de se referir a conjuntos, na matemática, é por meio de letras 
maiúsculas. O conjunto dos dias da semana, por exemplo, poderia ser representado 
pela letra D, já o conjunto das salas de aula de uma universidade poderia ser 
representado pela letra S. Um elemento genérico é representado por uma letra 
minúscula. 
A primeira relação que se pode definir refere-se à relação entre elemento e 
conjunto. Essa relação recebe o nome de pertinência, e aponta quando um elemento 
determinado pertence ou não a um conjunto. Para representar a relação de 
pertinência ou não pertinência de um elemento a um conjunto utilizam-se dois 
símbolos matemáticos específicos, detalhados na Figura 2. 
 
Figura 2. Relação de pertinência. 
Caso um objeto qualquer a pertença a um conjunto A, escreve-se que a ∈ A. 
Um exemplo disso pode ser apresentado levando em conta os números 1 e 0,5, pois 
ambos são pertencentes ao conjunto dos números reais (ℝ). Como ambos elementos 
pertencem a esse conjunto, tem-se que 1 ∈ ℝ e 0,5 ∈ ℝ. A leitura dessa notação é 
realizada da seguinte forma: 
"1 pertence aos reais" e "0.5 pertence aos reais" 
 
Por outro lado, caso um objeto b não pertença a um conjunto A, tem-se 
que b ∉ A. Um exemplo disso pode ser apresentado levando em conta os números -
2 e -5 com relação ao conjunto dos números naturais (ℕ). Como ambos elementos 
não pertencem a esse conjunto numérico, tem-se que −2 ∉ ℕ e −5 ∉ ℕ. A leitura dessa 
notação é realizada da seguinte forma: 
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"−2 não pertence aos naturais" e "−5 não pertence aos naturais" 
Tendo em vista a relação de pertencimento de elementos a conjuntos, 
destacam-se casos particulares de conjuntos que contém elementos que os fazem 
escapar da noção intuitiva de conjunto. 
A noção intuitiva de conjunto considerada até então associa a esse conceito 
uma ideia de coleção de objetos, o que implicitamente pressupõe a existência de mais 
de um objeto no conjunto. Desse modo, de acordo com a noção intuitiva de conjunto 
trabalhada até o momento, para que um A qualquer seja considerado conjunto, dois 
ou mais elementos devem pertencer a A. 
Para a noção de coleção de objetos não há sentido em considerar um conjunto 
com apenas um objeto, tampouco um conjunto com nenhum objeto. Porém, essa 
conceituação intuitiva acerca de conjuntos não compreende o conceito de conjuntos 
no âmbito da matemática. 
Na Matemática, pode-se definir conjuntos com apenas um elemento. Esses 
conjuntos são chamados de conjuntos unitários. Também é possível definir 
conjuntos com nenhum elemento, e esses são chamados de conjuntos vazios. 
Desse modo, pode-se conceber uma outra noção intuitiva de conjuntos, isto é, a de 
receptáculo de objetos. 
Conceber um conjunto como um receptáculo de objetos, ou seja, local onde se 
‘’coloca’’ objetos, permite o entendimento acerca dos conjuntos unitários e vazios. A 
fim de elucidar o entendimento acerca da noção intuitiva de conjuntos por meio de um 
receptáculo, considere a Figura 3: 
 
Figura 3. Noção intuitiva: conjunto como receptáculo. 
Com a noção de conjuntos como recipiente que comporta objetos, é possível 
compreender a existência de conjuntos vazios e conjuntos unitários, uma vez que um 
conjunto vazio seria apenas um recipiente sem objetos. Já um conjunto unitário seria 
apenas um recipiente com 1 objeto. 
É importante destacar que ambas as noções intuitivas apresentadas, tanto a 
de conjuntos como coleções de objetos ou de conjunto como receptáculos de objetos, 
buscam representar intuitivamente o objeto matemático chamado conjunto. Porém, 
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existem representações matemáticas acerca desses objetos. Existem três formas dese representar um conjunto e essas são: enumeração, diagrama de 
Venn e propriedade. Optar por utilizar qualquer uma delas depende da finalidade do 
estudante. 
Na representação conjuntiva denominada enumeração, o conjunto é 
representado por uma letra maiúscula e seus elementos são colocados dentro de um 
conjunto de chaves { }, separados por vírgula. A representação do conjunto dos dias 
da semana (D) por enumeração seria escrita da seguinte forma: 
D = {segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado, domingo} 
É possível representar conjuntos finitos abreviando alguns de seus elementos, 
para isso utiliza-se as reticências (...). Um exemplo disso é a representação do 
conjunto dos dias do mês de janeiro (J): 
J = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…, 31} 
A utilização das reticências também é útil para a representação de conjuntos 
infinitos. Um exemplo disso é a representação do conjunto dos números naturais 
(ℕ), que contém infinitos elementos: 
ℕ = {1, 2, 3, 4, 5,…} 
O conjunto vazio, nesse tipo de representação, pode ser descrito por duas maneiras. 
Considerando um conjunto A vazio: 
A = {} 
A = ∅ 
Considerando a representação por enumeração, pode-se pensar que o par de 
chaves é a escrita matemática referente ao receptáculo. Toda vez que foi escrito um 
par de chaves { }, deve-se compreender que se trata de um conjunto, caso o par de 
chaves não tenha elemento, será um conjunto vazio. 
DICA 
A representação de um conjunto vazio A é definida como 𝐴 = { } ou 𝐴 = ∅, porém um 
erro comum é encontrar representações desse tipo: 𝐴 = {∅}. Essa representação, no 
entanto, não representa um conjunto vazio, mas sim um conjunto que tem como 
elemento um conjunto vazio. Seria equivalente afirmar 𝐴 = {{ }}, portanto, deve-se 
tomar cuidado para que esse erro representativo não ocorra. 
Outra representação possível para conjuntos trata-se da descrição de suas 
propriedades. Representar um conjunto por sua propriedade consiste em descrever 
uma característica dos objetos do conjunto sem fazer menção direta a eles. 
Usualmente, essas propriedades conjuntivas são colocadas dentro do conjunto de 
chaves. 
Considere o exemplo que se deseja representar o conjunto A que contém 
números naturais (ℕ) maiores do que 10: 
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A = {x|x ∈ ℕ e x > 10} 
A leitura dessa representação pode ser efetuada da seguinte forma: 
"O conjunto A é composto por elementos x tal que x pertence aos números 
naturais e x é maior do que dez" 
 
Todos os elementos que compõem o conjunto A devem obedecer à lei de 
formação x ∈ ℕ e x > 10. É possível, também, descrever as propriedades dos 
elementos do conjunto por meio da escrita em português. Considere o conjunto B dos 
números naturais pares: 
B = {x|x ∈ ℕ e x é par} 
Um conjunto vazio, nesse tipo de representação, refere-se a um conjunto que 
tem propriedades e características que não são satisfeitas por nenhum elemento. Por 
exemplo, um conjunto C de números inteiros que sejam positivos e negativos: 
C = {x|x ∈ ℤ ,x ≥ 0 e x < 0} 
Por fim, outra representação possível para um conjunto trata-se do diagrama 
de Venn. Essa representação explora um caráter visual dos conjuntos, buscando 
apresentar conjuntos e objetos por meio de diagramas. Os conjuntos passam a ser 
entendidos como uma figura com um formato arredondado e fechado, e seus 
elementos são escritos na parte interna da figura. Representar os elementos é 
opcional. 
Considere a representação por diagrama de Venn de um conjunto A que tem 
os elementos 1, 2 e 3: 
 
Figura 4. Diagrama de Venn do conjunto A. 
 
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Caso o conjunto que se deseja representar tenha um número muito grande de 
elementos, apenas representam-se alguns. Esse tipo de representação é 
extremamente útil para o estudo do tópico de relações entre conjuntos. 
A partir dessa representação, pode-se, também, apresentar um outro conceito 
de maneira menos complexa trata-se do conjunto universo. Esse conceito refere-se 
a um conjunto que possui todos os elementos de um determinado contexto de estudo. 
Um exemplo disso é o conjunto dos números reais, que pode representar o conjunto 
universo para o conjunto dos números inteiros, naturais, racionais e irracionais. 
O conjunto universo é representado pela letra U e a figura que o representa é 
sempre um retângulo que contém os outros diagramas. Considere a Figura 5 que 
representa o conjunto universo dos números reais (ℝ) e o conjunto dos números 
naturais (ℕ): 
 
Figura 5. Conjunto universo. 
O conjunto dos números reais considerado pela Figura 5 como conjunto 
universo tem diversos outros conjuntos em sua composição, sendo eles os: naturais, 
inteiros, racionais e irracionais. Isso quer dizer que todos os elementos desses 
conjuntos pertencem, também, ao conjunto dos números inteiros. Diz-se que tais 
conjuntos são subconjuntos do conjunto dos números reais. 
Pode-se estabelecer uma definição formal de subconjuntos para dois conjuntos 
A e B quaisquer. Diz-se que B é subconjunto de A se os elementos do conjunto B 
são também elementos do conjunto A. A partir dessa definição, compreende-se que o 
conjunto dos números naturais, enumerado por ℕ = {1, 2, 3, 4, 5,…} é um subconjunto 
dos números reais, pois os números naturais pertencem também ao conjunto dos 
reais. 
Existe um sinônimo na matemática para se referir a essa relação de 
subconjuntos (inclusão). Pode-se dizer que se A é subconjunto de B, então A está 
contido em B e, similarmente, B contém A. Destaca-se uma simbologia matemática 
específica para esse vocabulário, conforme apresenta a Figura 6: 
 
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Figura 6. Relação de Inclusão. 
Tendo em vista as notações, a relação entre o conjunto A e B pode ser descrita 
de duas maneiras: o conjunto B contido em A (B ⊂ A), e o conjunto A contém o 
conjunto B (A ⊃ B). Já a relação entre o conjunto D e C pode ser descrita de duas 
maneiras, isto é: o conjunto D não está contido no conjunto C, e o conjunto C não 
contém o conjunto D. 
A inclusão é uma das relações possíveis entre conjuntos, porém existem outras 
a serem estudadas. Tal estudo será o tópico da próxima subseção, na qual será 
definido formalmente o conceito de relação entre conjuntos e serão discutidas 
algumas relações especiais. 
A definição formal de relação entre conjuntos é definida a partir de dois 
conjuntos A e B quaisquer, sendo que A ≠ ∅ e B ≠ ∅. Uma relação R é a associação 
entre elementos do conjunto A aos elementos do conjunto B, representada por uma 
flecha entre os elementos nos diagramas de Venn. A Figura 7 apresenta essa relação: 
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Figura 7. Relação entre conjuntos. 
Define-se algebricamente a relação entre os elementos do conjunto A definidos 
por a, e os elementos de B, descritos por b: 
aRb ⟺ a está associado a b 
Um elemento de A está relacionado com um elemento de B (aRb) se , e 
somente se, a está associado a b. Caso todos os elementos do conjunto A estejam 
associados a todos os elementos do conjunto B, essa relação recebe o nome 
de produto cartesiano (A · B) descrito pela Figura 8: 
 
Figura 8. Produto cartesiano. 
O produto cartesiano (A · B) pode ser entendido como o conjunto de flechas 
dessa representação, definido algebricamente como todos os pares ordenados 
possíveis de elementos do conjunto A e B: 
A × B = {(a, b)|a ∈ A e b ∈ B} 
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Pode-se definir uma relação R tendo em vista o produto cartesiano de dois 
conjuntos. A relação R seria definida como qualquer subconjunto do produto 
cartesiano (A · B). Em outras palavras, para uma relação não importa quantas e quais 
flechas tenham entre A e B, R será qualquer conjunto delas. 
Desse modo, concebe-se função como um tipo de relação específica. A função 
é uma relação entre os conjuntosque é dada por uma regra 𝒇, que associa valores do 
conjunto D (valores de entrada) aos valores do conjunto E (valores de saída). O 
conjunto do qual partem as flechas é chamado de domínio, e o conjunto no qual 
chegam as flechas é chamado de contradomínio. O conjunto de valores contidos em 
E que estão associados aos elementos do outro conjunto compõe o que se chama 
de imagem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9. Relação: função. Fonte: STEWART, 2003. (Adaptado). 
Uma função f é uma relação que associa valores de um conjunto D qualquer a 
valores de um conjunto E qualquer. Vale ressaltar que, para que 𝑓 seja uma função, 
todo elemento pertencente ao conjunto D deve ter apenas uma correspondência no 
conjunto E. Em outras palavras, não se poderia observar duas flechas saindo de um 
mesmo elemento de E e chegando em D quando a regra 𝑓 se tratar de uma função. 
Outro tipo de relação específica entre conjuntos é a relação de equivalência. 
Nesse tipo de relação, são estudadas as associações de elementos de um conjunto 
A qualquer a elementos do seu próprio conjunto. A representação de uma relação R 
de equivalência por diagramas de Venn é apresentada pela Figura 10: 
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Figura 10. Relação de equivalência. Fonte: STEWART, 2003. (Adaptado). 
Para que a relação R em questão seja uma relação de equivalência, ela deve 
satisfazer três propriedades algébricas: a simétrica, reflexiva e transitiva. Portanto, 
para compreender uma relação de equivalência, deve-se discutir uma a uma dessas 
propriedades elencadas. 
A propriedade reflexiva enuncia que, para todo (∀) elemento a ∈ A, é 
necessário que esse esteja relacionado com ele mesmo, ou seja: 
∀a ∈ A ⟹ aRa 
A propriedade simétrica, por outro lado, enuncia que para todo (∀) a, a1 ∈ A, 
se a se relaciona com a1 então a1 relaciona-se com a, ou define-se algebricamente da 
seguinte forma: 
∀a, a1 ∈ A e aRa1 ⟹ a1Ra 
Por fim, a propriedade transitiva enuncia que para todo (∀) 𝑎,𝑎1,𝑎2∈𝐴 se 𝑎 se 
relaciona com 𝑎1, e 𝑎1 se relaciona com 𝑎2 ,então, 𝑎 se relaciona com 𝑎2, ou seja: 
∀a, a1, a2 ∈ A e aRa1 e a1Ra2 ⟹ aRa2 
Um exemplo desse tipo de relação é a relação de igualdade (=) no conjunto dos 
números reais (ℝ). Verifica-se que xRy, sendo R uma relação de equivalência se, e 
somente se x = y para todo x, y. Para isso, porém, é necessária a utilização de 
conceitos matemáticos mais avançados, os quais fogem do escopo dessa disciplina. 
É possível, em contrapartida, identificar relações que não são de equivalência, 
encontrando contraexemplos que façam com que as relações não satisfaçam uma ou 
mais das propriedades elencadas. Analisa-se a relação “menor que” designada por < 
no conjunto dos números reais (ℝ). 
Considerando a propriedade de reflexividade, tem-se que, para que < seja uma 
relação de equivalência, todo número deve estar relacionado a si mesmo. Em outras 
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palavras, deveria ser verdade que ∀a ∈ A ⟹ a < a. Analisando um caso em que a = 
2, tem-se que: 
2 < 2 
Porém, verifica-se que a sentença 2 < 2 é falsa, uma vez que dentro do 
conjunto dos reais um número não pode ser menor do que ele mesmo. Desse modo, 
a propriedade de reflexividade não é satisfeita, o que aponta que a relação < não é 
uma relação de equivalência. 
Matrizes e sistemas de equações lineares 
As equações são conceitos essenciais para o estudo da Matemática Aplicada. 
Por meio da relação de igualdade entre expressões algébricas e numéricas, advinda 
das equações, é possível estabelecer conexões entre a álgebra e a geometria, de 
modo a modelar situações e representá-las graficamente. 
Este tópico busca aprofundar o estudo em sistemas de equações lineares, que 
são compostos por equações. Nele, será definido formalmente esse tipo de sistema e 
apresentada a sua representação algébrica. Além disso, será estabelecido um método 
de resolução para sistemas lineares de duas variáveis, de modo a possibilitar a 
delimitação de seu conjunto solução. 
Posteriormente, será delineado outro objeto matemático importante: a matriz. 
A partir desse objeto será possível escrever sistemas de equações lineares na forma 
de linhas e colunas e operacionalizá-los. Neste tópico será abordado o que são esses 
objetos e quais as operações envolvidas em sua manipulação. É a partir desse ponto 
que se iniciará o estudo de álgebra linear. 
Este tópico tem por objetivo, portanto, a capacitação do aluno para que ele 
possa definir algebricamente sistemas de equações lineares e resolvê-los de uma 
maneira introdutória. Além de possibilitar que o aluno consiga representar esses 
sistemas por matrizes. 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
Para iniciar o estudo acerca de sistemas de equações lineares, é 
necessário recordar os conceitos de equação e equação linear. É a partir da 
conceituação desses objetos matemáticos que se torna possível a definição 
matemática de um sistema de equações lineares. 
Uma equação é definida como uma afirmação de que duas expressões 
matemáticas são iguais. As equações podem se referir tanto às expressões numéricas 
quanto às expressões algébricas. As expressões numéricas são aquelas que contêm 
somente números e operações, já as expressões algébricas podem conter variáveis 
além de números e operações. 
Alguns exemplos de equações numéricas: 
1 + 1 = 2 
2 · 3 + 5 = 11 
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A primeira equação apresentada é conhecida como uma das menos complexas 
da aritmética, geralmente utilizada para alfabetizar matematicamente indivíduos que 
estejam iniciando seus estudos na Matemática. O que a caracteriza como uma 
equação é o fato de que a expressão numérica à esquerda da igualdade (1 + 1) é 
apontada como equivalente à expressão à direita da igualdade (2), isso se dá pela 
inserção do símbolo de igualdade (=) entre as expressões. 
O que caracteriza a segunda equação apresentada como uma equação é o fato 
de que há um símbolo de igualdade (=) que separa duas expressões, a do lado 
esquerdo (2 · 3 + 5) e a do lado direito (11). Portanto, com essa equação numérica, 
pode-se afirmar que o resultado numérico da expressão 2 · 3 + 5 é 11. 
É possível, também, estabelecer equações algébricas, ou seja, equações que 
contenham números, operações e variáveis. Os exemplos representam essas 
equações: 
 
Tal como as equações numéricas, as equações algébricas determinam uma 
relação de igualdade entre duas expressões, nesse caso, sendo uma ou mais delas 
algébricas. As três equações algébricas apresentadas estabelecem uma relação de 
igualdade entre expressões algébricas e expressões numéricas. 
 
 
 
 
 
Existem algumas definições de equação linear que podem ser consideradas. 
A primeira delas é considerar uma equação linear para uma variável x como uma 
expressão algébrica da seguinte forma: 
 ax + b = 0 
 
 
 
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EXPLICANDO 
Essa equação recebe esse nome pois sua representação gráfica, tomando 
como base sua representação algébrica pela função f(x) = ax + b, define o objeto 
geométrico conhecido como reta. Essa mesma função escrita como y = ax + b é 
conhecida como equação da reta. 
Os coeficientes a e b referem-se aos números reais, e 𝑥 refere-se a uma 
variável. Alguns exemplos de equações lineares: 
3x − 2 = 0 
x + 1 = 0 
4x − 5 = 3 
Para duas variáveis x e y, uma equação linear é definida em termos de 
números reais a, b e c, em que a e b devem ser diferentes de 0, de tal modo que: 
ay + bx + c = 0 
Algumas equações lineares de duas variáveis: 
10x - 3y - 5 = 0 
 -2x - 4y = 7 
Tendo em vista as definições de equações lineares para duas variáveis, pode-
se definir um sistema de equações lineares na sua forma mais simples. Um sistema 
de equações lineares que envolve duas variáveisé um conjunto de equações lineares 
que abrange as mesmas variáveis. A representação algébrica desse sistema 
considera a escrita das equações uma embaixo da outra com uma chave ao lado. 
Apresenta-se, assim, um sistema de equações lineares envolvendo duas 
equações (STEWART; REDLIN; WATSON, 2013): 
 
Dado um sistema de equações lineares, seu conjunto solução refere-se a todos 
os pares ordenados (x, y) que satisfaçam ambas as equações ao mesmo tempo. Em 
outras palavras, um conjunto de pares ordenados que, ao se substituir os valores 
de x e y não resultem em igualdades matemáticas absurdas. 
Para elucidar o entendimento desse conceito, verifica-se se os valores de x = 
3 e y = 1 satisfazem as equações. Portanto, substitui-se tais valores em ambas as 
equações. Realizando a substituição desses valores na primeira equação, tem-se que: 
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2x - y = 5 
2(3) - (1) = 5 
6 - 1 = 5 
Como a igualdade é verdadeira, logo o par ordenado (3,1) satisfaz primeira 
equação. Realizando a substituição de (3,1) na segunda equação, tem-se que: 
x + 4y = 7 
(3) + 4(1) = 7 
3 + 4 = 7 
Como a igualdade resultante do processo de substituição é verdadeira, tem-se 
que o par ordenado (3, 1) satisfaz a segunda equação. Uma vez que o par ordenado 
(3, 1) satisfez as duas equações, diz-se que esse par ordenado satisfaz o sistema de 
equações lineares, logo, (3, 1) é um elemento do conjunto solução desse sistema. 
Pode-se verificar se outros pares ordenados satisfazem tal sistema apenas 
considerando valores arbitrários para x e y e substituí-los nas equações, da mesma 
forma anterior. Considere o par ordenado (0, 1) em ambas equações lineares. 
Substituindo (0,1) na primeira equação linear, tem-se que: 
2x - y = 5 
 2(0) - (1) = 5 
 0 - 1 = 5 
 -1 = 5 
Como a igualdade resultante da substituição de (0, 1) é uma afirmação 
matemática falsa, pois -1 ≠ 5, tem-se que (0, 1) não satisfaz a primeira equação do 
sistema de equações lineares. Desse modo, (0, 1) não pertence ao conjunto solução 
desse sistema de equações lineares. 
No primeiro exemplo foi possível identificar um par ordenado (3, 1) como 
solução do sistema de equações lineares. Porém, isso foi feito considerando valores 
arbitrários de x e y e substituindo-os nas equações. No entanto, existem métodos 
matemáticos que permitem encontrar soluções para sistemas de equações lineares e, 
neste tópico, estudaremos o método de substituição. 
O método de substituição consiste na realização de três passos(STEWART; 
REDLIN; WATSON, 2013): 
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1. Resolver para uma variável: escolher uma equação e resolver para uma 
variável em termos da outra; 
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2. Substituir: substituir a equação encontrada no primeiro passo na outra 
equação e resolvê-la para uma variável; 
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3. Substituir novamente: substituir o valor encontrado no passo 2 de volta na 
expressão do passo 1, resolvendo a equação para a variável restante. 
A fim de elucidar o entendimento acerca do funcionamento e aplicação do 
método de substituição, considere o sistema de equações lineares: 
 
Realizando o primeiro passo para a primeira equação, deve-se isolar uma das 
variáveis (x ou y). Escolhendo arbitrariamente a variável y, tem-se que: 
2x + y = 1 
 y = 1 - 2x 
De acordo com o segundo passo, a equação y = 1 - 2x deve ser considerada 
para que se possa substituir y na segunda equação do sistema de equações lineares 
e isolar a variável x. Desse modo, executando o passo 2, tem-se: 
 
Encontrado o valor da variável x, de acordo com o terceiro passo, deve-se 
substituir esse valor na equação encontrada no passo 1. Logo, substituindo x = -2 na 
equação do passo 1, tem-se: 
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y = 1 - 2x 
y = 1 - 2(-2) 
y = 1 + 4 
y = 5 
Por fim, encontrou-se que os valores de x = -2 e y = 5 satisfazem o sistema de 
equações lineares, ou seja, o par ordenado (-2, 5) é um elemento pertencente ao 
conjunto solução desse sistema de equações. 
É possível, também, trabalhar com sistemas de equações lineares de outra 
forma, com um outro tipo de álgebra, denominada álgebra das linhas ou álgebra 
linear. Isso se dá por meio da definição de outros objetos matemáticos, dentre eles, 
a matriz, assunto da próxima subseção. 
MATRIZES 
 
Como apresentado na subseção anterior, um sistema de equações lineares é 
composto por equações lineares, organizadas por meio de uma chave. Um exemplo 
desse tipo de sistema de equações é: 
 
Esse sistema de equações, no entanto, pode ser apresentado de outra forma, 
considerando uma tabela, com linhas e colunas de uma maneira específica. A 
representação visual se dá conforme apresenta a Figura 11: 
Matemática Aplicada (DISCIPLINA UNINASSAU) IV 
 
18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 11. Sistemas lineares e matrizes. 
 
Essa representação por linhas e colunas destacada na Figura 11 é chamada 
de matriz. A matriz dessa figura representa um objeto matemático com duas linhas 
e três colunas, logo, é uma matriz 2 x 3. Define-se que uma matriz tem dimensão ou 
ordem m x n quando ela possui m linhas e n colunas. 
ASSISTA 
É sabido que existem noções intuitivas relacionadas aos 
objetos matemáticos. Assista ao vídeo Matrizes no cotidiano e 
compreenda alguns desses elementos presentes no dia a dia do ser 
humano. 
A Figura 12 apresenta uma definição geral de matriz, em que se considera uma 
matriz A de dimensão m x n com termos aij 
 
Figura 12. Matriz A de dimensões m x n. 
Matemática Aplicada (DISCIPLINA UNINASSAU) IV 
 
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Cada elemento da matriz tem a forma aij, em que i representa o número da 
linha em que ele se encontra, e j representa o número da coluna. Desse modo, o 
elemento a12 está localizado na linha 1 (i = 1) e na coluna 2 (j = 2). Tendo isso em 
vista, considere a matriz M de dimensões 2 x 2: 
 
Considerando a matriz M e seus elementos, tem-se que o elemento m11 = 3, 
pois é o elemento que se localiza na linha 1 (i = 1) e na coluna 1 (j = 1). Já o 
elemento m12 = 4, pois é o elemento que se localiza na linha 1 (i = 1) e na coluna 2 (j 
= 2). O elemento m21 = 2, pois é o elemento que se localiza na linha 2 (i = 2) e na 
coluna 1 (j = 1). Por fim, m22 = 1, pois é o elemento que se localiza na linha 2 (i = 2) e 
na coluna 2 (j = 2). 
Existem alguns tipos específicos de matrizes. Neste tópico, listaremos alguns 
deles. Os tipos de matrizes discutidos serão referentes às matrizes: linha, coluna, 
quadrada, não quadrada e nula. 
As matrizes linha, como o próprio nome sugere, referem-se às matrizes que 
contêm apenas uma linha, podendo conter, porém, diversas colunas. Considere a 
matriz linha L apresentada: 
L = [1, 2, 3, 4] 
Todas as matrizes linha possuem dimensões 1×𝑛 com 𝑛≥1, e seus elementos 
têm o formato 𝑙1𝑛. A matriz L apresentada possui dimensões 1×4. Similarmente às 
matrizes linha, existem aquelas matrizes que só possuem colunas, chamadas 
de matrizes coluna. Um exemplo desse tipo de matriz é representado pela matriz 
C: 
 
Todas as matrizes coluna possuem dimensões m x 1 com m ≥ 1, e seus 
elementos têm o formato cm1 e possui dimensões 3 x 1. Além desses dois 
tipos, existem as matrizes que contêm tanto linhas quanto colunas, havendo 
uma subdivisão de diversos tipos entre elas. 
Matemática Aplicada (DISCIPLINA UNINASSAU) IV 
 
20 
 
As matrizes que possuem dimensões m x n com m = n são chamadas matrizes 
quadradas. Esse nome é devido ao fato que as matrizes com essa dimensão 
possuem um formato quadrado em sua representação matricial. Tome como exemplo 
a matriz quadrada Q de dimensões 2 x 2: 
 
Qualquer matriz que tenha dimensões m x n com m ≠ n é denominada matriz 
não quadrada. As matrizes linha e coluna apresentadas anteriormente são tipos de 
matrizes não quadradas. Existem, porém, matrizes que não são definidas de acordo 
com seunúmero de linhas e colunas, mas sim considerando os elementos que as 
constituem. 
A matriz nula é um exemplo desse tipo de matriz, uma vez que sua classificação 
independe do número de linhas ou colunas. Denomina-se uma matriz N como matriz 
nula caso todos seus elementos forem 0. Considere a matriz nula N representada: 
 
Tendo em vista os tipos possíveis de matrizes, pode-se definir algumas 
operações e relações matriciais. A primeira relação apresentada é a relação 
de igualdade entre matrizes. Tem-se que duas matrizes A e B de mesma 
ordem m x n são iguais se, e somente se, todos os elementos que corresponde a A 
e B forem iguais, em outras palavras: 
A = B ⟺ aij = bij 
A fim de se compreender adequadamente a relação de igualdade entre 
matrizes, considere as matrizes A e B de ordem 2 x 2: 
 
Matemática Aplicada (DISCIPLINA UNINASSAU) IV 
 
21 
 
Para que duas matrizes sejam consideradas iguais, todos seus elementos nas 
mesmas posições devem ser iguais. Portanto, a11 = b11, a12 = b12, a21 = b21 e a22 = 
b22 devem ser todas verdadeiras. Verificando a11 = b11, tem-se que: 
a11 = b11 
1 = 1 
Verificando a12 = b12: 
a12 = b12 
2 = 2 
Verificando a21 = b21: 
a21 = b21 
3 ≠ 4 
Como 3 ≠ 4, tem-se que a21 ≠ b21 o que implica em 𝐴 ≠ 𝐵. Para que a matriz A 
fosse igual a matriz B, todos as igualdades supracitadas deveriam ser verificadas. Se 
uma das igualdades não for verificada, não vale a relação de igualdade. 
As matrizes, tais como os números reais, podem ser somadas e subtraídas. 
Ambas operações em matrizes de mesma ordem ocorrem de maneira similar. 
Considerando duas matrizes A e B de mesma ordem, A - B e A + B originam uma 
matriz C e D, respectivamente, apenas subtraindo e somando os elementos 
correspondentes. Tem-se: 
A - B = C ⟹ aij - bij = cij 
A + B = D ⟹ aij + bij = dij 
Considerando as matrizes A e B, que possuem mesma ordem, calcula-se A - 
B e A + B: 
 
Matemática Aplicada (DISCIPLINA UNINASSAU) IV 
 
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Calculando-se A - B: 
 
Calculando-se A + B: 
 
Por fim, apresenta-se a operação de multiplicação de matrizes. 
Considerando duas matrizes A e B de ordem m x n e n x p, respectivamente, tem-se 
que o produto AB resulta em uma matriz C de ordem m x p, de tal modo que: 
Matemática Aplicada (DISCIPLINA UNINASSAU) IV 
 
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A apresentação da definição da multiplicação matricial na forma algébrica, tal 
como apresentada, pode não evidenciar o que deve ser feito para alguns estudantes. 
Tendo isso em vista, considere as matrizes A e B do exemplo anterior, calculando-as 
ao seu produto AB: 
 
Para que se efetue o cálculo do produto dessas matrizes, deve-se considerar 
que a i-ésima linha de A multiplicará os elementos da j-ésima coluna de B e, somando 
os resultados dos produtos, será originado o termo cij. A Figura 13 representa essa 
operação: 
 
 
 
Figura 13. Produto de matrizes. 
Matemática Aplicada (DISCIPLINA UNINASSAU) IV 
 
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A partir disso, efetua-se o cálculo dos elementos da nova matriz C que 
representa o produto AB: 
Destaca-se que a matriz resultante desse produto tem ordem 3 x 3, e isso se deve ao 
fato de que A e B de ordem m x n e n x p, respectivamente, originam por meio de seu 
produto AB uma matriz C de ordem m x p. 
Agora é a hora de sintetizar tudo o que aprendemos nessa unidade. 
Vamos lá?! 
SINTETIZANDO 
Dentre os objetivos estipulados para essa unidade, estavam a apresentação e 
discussão do conceito de conjuntos por meio de noções intuitivas. Esse objetivo foi 
alcançado ao final do primeiro tópico desta unidade. Foram apresentadas e discutidas 
duas noções intuitivas de conjuntos: a de coleção e a de receptáculo. 
Outro objetivo determinado para essa unidade foi a caracterização das relações 
entre conjuntos. Ainda no primeiro tópico, foram definidas algumas relações entre 
conjuntos, tais como as funções e as relações de equivalência e, também, uma 
relação entre conjuntos como um subconjunto do produto cartesiano dos conjuntos. 
Já com relação ao segundo tópico, almejou-se definir algebricamente um 
sistema de equações lineares por meio das equações algébricas. Além disso, 
apresentou-se um método de resolução para um tipo específico desse sistema, 
denominado método da substituição. Com esse método foi possível encontrar um par 
ordenado pertencente ao conjunto solução do sistema. 
Matemática Aplicada (DISCIPLINA UNINASSAU) IV 
 
25 
 
Por fim, objetivou-se definir o objeto matemático conhecido como matriz, de 
modo que se pudesse representar os sistemas de equações lineares. Somado a isso, 
foram apresentadas as regras operativas envolvendo as matrizes e seus diversos 
tipos, tais como as matrizes quadradas, nulas, linha e coluna. 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
4- VOLUME 2 - Matrizes no cotidiano - MAT EM. Postado por CEEJA Luiz 
Carlos Romazzini. (14min. 42s.). son. color. port. Disponível em: 
<https://www.youtube.com/watch?v=buerk4QxjXc>. Acesso em: 15 jun. 2020. 
STEWART, J. Calculus: early transcendentals. Thomson Brooks: Cole, 2003. 
STEWART, J.; REDLIN, L.; WATSON, S. Precalculus: Mathematics for 
calculus. [s. n.] [s. l.], 2013. 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=buerk4QxjXc