EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 15-07-2016

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GRADUAÇÃO EAD 
GABARITO 
 PROGRAMA RECUPERAÇÃO 2016.1 
 AV2 –15/07/2016 
 
 
CURSO 
DISCIPLINA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
PROFESSOR(A) 
TURMA DATA DA PROVA 
ALUNO(A) 
MATRÍCULA POLO 
 
 
GABARITO OBRIGATÓRIO 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
 D A E C A D E C E A 
 
 
 
 
ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR 
 
1. Preencha, obrigatoriamente, todos os itens do cabeçalho. 
2. Esta avaliação possui 10 questões. 
3. Todas as questões de múltipla escolha, apresentando uma só alternativa correta. 
4. Qualquer tipo de rasura no gabarito anula a resp osta. 
5. Só valerão as questões que estiverem marcadas no gabarito presente na primeira 
página. 
6. O aluno cujo nome não estiver na ata de prova deve dirigir-se à secretaria para 
solicitar autorização, que deve ser entregue ao docente. 
7. Não é permitido o empréstimo de material de nenhuma espécie. 
8. Anote o gabarito também na folha de “gabaritos d o aluno” e leve-a para 
conferência posterior à realização da avaliação. 
9. O aluno só poderá devolver a prova 1 hora após o início da avaliação. 
10. A avaliação deve ser respondida com caneta com tinta nas cores azul ou preta. 
 
 
 
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 
 
1. A determinação da área de uma região qualquer, 
definida sobre uma curva e cuja altura seja variável 
não é possível através de integral definida nem de 
integral dupla. Apesar disso, o cálculo dessa área 
pode ser realizado através de um tipo de integral 
diferente, a integral de linha ou integral curvilínea. 
Partindo desse princípio, calcule a integral de 
linha ( ) ( )2 2
C
x y dx y x ydy− + +∫ , onde C é a 
porção direita da parábola y = x2 + 1, 0 1x≤ ≤ . 
 
a) 1/2. 
b) 1. 
c) 3/2. 
d) 2. 
e) 5/2 
 
2. Seja uma curva C plana simples, seccionalmente 
lisa, que defina uma região R limitada fechada. Se 
considerarmos que P e Q são funções de duas 
variáveis, x e y, ou seja, P (x,y) e Q (x,y), com 
derivadas parciais de primeira ordem contínuas 
nessa região, podemos dizer que 
( ) ( ), ,
C R
Q P
P x y dx Q x y dy dxdy
x y
 ∂ ∂+ = − ∂ ∂ ∫ ∫∫�
 Esta é uma definição formal de(a)(o): 
 
a) Teorema de Green. 
b) Teorema de Stokes. 
c) Teorema de Laplace. 
d) Inversa de Laplace. 
e) Séries de potências. 
 
3. Uma série de potências pode ser conceituada 
como um polinômio infinito. A soma de seus 
termos poderá, entretanto, não dar um valor 
infinito. É quando dizemos que a série converge. 
No caso de a soma de seus termos não convergir, 
dizemos que a série é divergente. Através do 
critério da razão, é possível determinar o 
comportamento da série a seguir quanto à 
convergência. Assinale a alternativa correta quanto 
a isso. 
 
( ) 1
1
1
2
n
n
n
n
+∞
=
−
∑ 
 
a) A série não converge, isto é, é divergente para 
qualquer valor de x. 
b) A série é divergente para qualquer valor de x, 
exceto 0, quando converge. 
 
 
c) A série converge para 2. 
d) A série converge para 1. 
e) A série converge para 1/2. 
 
4. Equações diferenciais são equações que 
relacionam variáveis e suas derivadas. É 
importante lembrar que o termo diferenciável é 
sinônimo de derivável, assim como o termo 
diferencial é sinônimo de derivada. Por fim, 
podemos dizer que as diferentes formas de 
escrever as derivadas estão geralmente 
relacionadas com quem as criou. Assinale como é 
conhecida a notação . 
 
a) Notação de Lagrange. 
b) Notação de Newton. 
c) Notação de Leibniz. 
d) Notação de Euler. 
e) Notação “excremento de mosca”. 
 
5. Equações diferenciais são equações que 
relacionam variáveis e suas derivadas. Há diversos 
tipos de equações diferenciais, conforme alguns 
critérios de classificação que se costuma usar. 
Alguns desses critérios são o tipo, a ordem e o 
grau de uma equação diferencial. Observe a 
equação diferencial a seguir. Podemos dizer que se 
trata de uma: 
 
3
2 " 0
dy
y y
dx
  − + = 
  
 
a) Equação diferencial ordinária de segunda 
ordem e primeiro grau. 
b) Equação diferencial ordinária de primeira ordem e 
primeiro grau. 
c) Equação diferencial parcial de primeira ordem e 
segundo grau. 
d) Equação diferencial parcial de segunda ordem e 
primeiro grau. 
e) Equação diferencial parcial de segunda ordem e 
segundo grau. 
 
6. Uma equação diferencial ordinária exata é aquela 
que pode ser rearranjada de tal maneira que pode 
ser solucionada em função desse arranjo. 
Determine se a equação diferencial a seguir é 
exata, e, se for, determine sua solução: 
 
( )22 6 0xxdy xe y x dx− − + = 
 
 
 
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 
 
Dica: 
1axax exe dx x
a a
 = − 
 
∫ 
 
a) É exata, cuja solução é xy C= . 
b) É exata, cuja solução é 
2 23 7x x y y C− + + = . 
c) É exata, cuja solução é 3 0xy C+ = . 
d) É exata, cuja solução é 
32 2 2x xxy xe e x C− + − = . 
e) Não é exata. 
 
7. Equações diferenciais ordinárias costumam não 
possuir uma solução apenas, muitas vezes 
possuindo até o que chamamos de família de 
soluções. Por outro lado, em uma família de 
soluções, há sempre uma solução única que se 
pode obter para determinada situação, se partirmos 
de valores iniciais ou de contorno. Admitindo que a 
EDO de primeira ordem 
22 0dy xy dx+ = possua 
uma família de soluções do tipo
2
1
y
x C
=
+ , 
determine uma solução para o PVI em 
que ( ) ( ), 0,1x y = : 
 
a) 
2
1
y
x
= 
b) 2 1y x= + 
c) 
2
2
1
y
x
=
+
 
d) 
2
1
1
y
x
=
−
 
e) 
2
1
1
y
x
=
+
 
 
 
8. Uma mola que suspende um dado corpo possui 
associada a si uma equação ordinária de segunda 
ordem do tipo " 4 ' 4 0y y y+ + = . Se a posição 
inicial da mola pode ser representada por y(0) = 2, e 
a velocidade inicial da mola por y’(0) = −−−−2, 
determine a solução desta equação para as 
condições apresentadas. 
 
a) 10
12
sen10
5
xy e x−= 
b) 7 2
1 1
5 5
x xy e e− −= − 
 
 
c) 2 22 2x xy e xe− −= + 
d) cos 2seny x x= + 
e) 7 5sen cosx xy e e−= + 
 
9. A transformação de Laplace é uma operação que 
transforma uma função f (t) em uma outra função 
costumeiramente indicada por F (s). Esta 
transformação consiste determinar a integral 
imprópria do produto da função f (t) por e−−−−st, para 
t ≥≥≥≥ 0. Assinale a alternativa que não representa a 
correspondência das transformadas de Laplace 
elementares (para s > 0). 
 
a) ( ) ( ) cf t c F s
s
= ⇒ = 
b) ( ) ( ) 2
1
f t t F s
s
= ⇒ = 
c) ( ) ( ) 1
!n
n
n
f t t F s
s +
= ⇒ = 
d) ( ) ( ) 1atf t e F s
s a
= ⇒ =
−
 
e) ( ) ( ) ( ) 2 2sen
s
f t at F s
s a
= ⇒ =
−
 
 
10. Uma formula da integral da transformada 
inversa de Laplace, chamada de integral de 
Bromwich, a integral de Fourier-Mellin, e fórmula da 
inversa de Mellin, é dada pela integral de linha: 
 
( ) { }( ) ( ){ }( ) ( )1 1 1 lim
2
iT st
iTT
f t F t F s t e F s ds
i
γ
γπ
+− −
−→∞
= = = ∫L L
 
Apesar dessa definição parecer complexa, algumas 
inversas de Laplace são tabeladas, em virtude de a 
transformada ser de fácil resolução. 
Determine a inversa de Laplace da seguinte função: 
( ) 2
1
2 2
F s
s s
=
− +
. 
Dica: use a técnica de completar o quadrado: 
( )22 2as bs c a s k h+ + = + + , sendo 
2
2
e
2 4
b b
k h c
a a
= = − . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 
 
Outras dicas: 
 
( )
1
1
2 2
1
2 2
1
sen
sen
at
bt
e
s a
a
at
s a
a
e at
s b a
−
−
−
  = − 
  = + 
 
= 
− +  
L
L
L
 
 
a) sente t 
b) te 
c) sent 
d) 2sent 
e) sent t